湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021届高三下学期5月联考数学试题 含答案

2021 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 5 月联考 高三数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．） 1．已知集合U  R ，集合  ( 4)( 1) 0A x x x    ，  3log 1B x x  ，则  UA B ð （ ） A． 1 3x x  B． 1 3x x  C． 1 3x x  D． 1 4x x  2．已知 a 为实数，复数 ( 2) iz a a   （ i 为虚数单位），复数 z 的共轭复数为 z ，若 2 0z  ，则1 z （ ） A．1 i2 B．1 2i C． 2 i D． 2 i 3．在等比数列 na 中， 1 2 10a a  ， 3 4 20a a  ，则 7 8a a  （ ） A．80 B．100 C．120 D．140 4．甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有 人去，则不同游览方案的种数为（ ） A．60 B．65 C． 70 D． 75 5．关于直线 : 1 0l ax by   ，有下列四个命题： 甲：直线 l 经过点(0, 1) ； 乙：直线 l 经过点(1,0) ； 丙：直线 l 经过点( 1,1) ； 丁： 0ab  ． 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．已知 ABC△ 的外心为O ， 2 ,| | | | 2AO AB AC AO AB        ，则 AO AC  的值是（ ） A． 3 B． 3 2 C． 2 3 D． 6 7．如图，已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，以 2OF 为直径的圆与双 曲线C 的渐近线在第一象限的交点为 P ，线段 1PF 与另一条渐近线交于点Q ，且 2OPF△ 的面积是 OPQ△ 面积的 2 倍，则该双曲线的离心率为（ ） A． 3 2 B． 3 2 2 C． 2 D． 3 8．已知实数 a ， b 满足 7e aa  ， 4 ln3 ln c bb   ，则 ab  （ ） A．3 B． 4 C． 3e D． 4e 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分．） 9．已知 a ， b 均为正数，且 1a b  ，则（ ） A． 2a b B． 2 2 1a b  C． 4 1 1 a b   D． 1 3a b   10．如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 在线段 1BC 上运动，则下列判断中正确的是（ ） A．三棱锥 1A D PC 的体积是 1 6 B． //DP 平面 1 1AB D C．平面 1PB D 与平面 1ACD 所成的二面角为 60 D．异面直线 1A P 与 1AD 所成角的范围是 , 6 2       11．已知函数 ( ) 2cos( ) 0,| | 2 f x x           的图象上，对中心与对称轴 12 x  的最小距离为 4  ， 则下列结论正确的是（ ） A． 5( ) 0 6 f x f x      B．当 , 6 2 x       时， ( ) 3f x   C．若 ( ) 2cos2g x x ，则 ( ) 6 g x f x      D．若 4 4 4sin cos 5     ， 0, 2     ，则 4 f      的值为 4 3 3 5  12．函数 ln( ) xf x x  ，若 1 2x x 时，有    1 2f x f x m  ， 是圆周率，e 2.71828 …为自然对数的 底数，则下列说法正确的是（ ） A． 10 e m  B． (2) (3)f f C． 2 1 2 ex x  D． 3ea  ， e3b  ， ec  ， ed  ， x3s  ， 3t  ，则 S 最大 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13．在 5 2 2x x     的二项展开式中， 2x 的系数是 ． 14．请写出满足条件“ ( ) (1)f x f 对任意的 [0,1]x 恒成立，且 ( )f x 在[0,1]上不是增函数”的一个函 数： ． 15．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  ，直线 l 过抛物线C 的焦点与抛物线交于 A ， B 两点，以 AB 为直径 的圆与抛物线的准线的公共点是 ( 1, 1)M   ，则直线 l 的斜率 k  ． 16．无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-8 ”．无侦-8（如 图 1 所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了 2 台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度 超过 3马赫，比大多数防空导弹都要快如图 2 所示，已知空间中同时出现了 A ， B ，C ， D 四个目标（目 标和无人机的大小忽略不计），其中 6 kmAB AD BD a   ， 3 km3CD a ， 3 kmBC a ，且目标 A ， B ， D 所在平面与目标 B ，C ， D 所在平面满足二面角 A BD C  的大小是 2 3  ，若无人机可以同时观 察到这四个目标，则其最小侦测半径为 kma ． 图 1 图 2 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17．设 a ， b ， c 分别是 ABC△ 中角 A ， B ，C 的对边， cos cos 2 cos 0a B b A c C   ． （1）求C ； （2）若 3c  ，求 ABC△ 面积 S 的最大值． 18．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 1 3 1 2 n nS S n n     ， 1 1a  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 n n n nab S n   ，数列 nb 的前 n 项积为 nT ，若对任意的 *nN ， 4 nt T 恒成立，求实数t 的最大值． 19．已知 Rt ABC△ 中， 2 B   ， 4AB  ， 1BC  ， E ， F 为 AB ， AC 上的动点，且 //EF BC ，将 三角形 AEF 沿 EF 折起至如图所示，使平面 ABC  平面 BCEF ． （1）证明：平面 ABC  平面 ABE ； （2）求平面 AFC 和平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值的取值范围． 20．随着我国互联网的不断发展，自媒体业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等等视频自媒体 APP， 几乎是全民参与．某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷尾、公园，各行各业办 公室，对市民进行调研，发现约有 2 5 的人发过抖音小视频．为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取3 人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等． （1）记 表示发过抖音视频的人数，求 的分布列； （2）随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研时，先随机抽取一人，如 果他发过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取， 直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过  *n nN 次，（其中 n 小于当次调查 的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为 ，求 的数学期望． 21．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为点 F ，P 为C 上一点，若点 P 到原点的距离与点 P 到点 F 的 距离都是 3 2 ． （1）求C 的标准方程； （2）动点 M 在抛物线C 上，且在直线 2x  的右侧，过点 M 作椭圆 2 2 : 14 3 x yE   的两条切线分别交直 线 2x   于 A ， B 两点．当| | 10AB  时，求点 M 的坐标． 22．已知函数 2 2( ) 2cosf x x ax  ． （1）当 1a  时，求 ( )f x 的导函数 ( )f x 在 , 2 2      上的零点个数； （2）若关于 x 的不等式 2 22cos(2sin ) ( )x a x af x  在 ( , )  上恒成立，求实数 a 的取值范围． 2021 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 5 月联考 高三数学参考答案 1-8 BBAB CDCD 9-12 BC AB BD ABD 13． 10 14． 5( ) sin 2 f x x 【答案不唯一】 15． 2 16． 13 17．解：（1） cos cos 2 cos 0a B b A c C   ， sin cos sin cosA B B A  2sin cos 0C C  ， sin 2sin cos 0C C C   0 C   ， sin 0C  ， 1cos 2 C   ． 0 C   ， 2 3 C   ． （2） 2 3 C  ， 2 2 2 2 cosc a b ab C    2 2a b ab   ，即 2 2 9a b ab   ． 2 2 2a b ab  ， 2 2 3a b ab ab    ， 3 9ab  ， 3ab  ． 1 3 3 3sin 2 4 4 S ab C ab    ，当且仅当 3a b  时取等号． ABC△ 面积 S 的最大值为 3 3 4 ． 18．解：（1）由 1 3 1 2 n nS S n n     ，得 nS n    是首项为1，公差为 3 2 的等差数列， 3 3 11 ( 1) 2 2 nS nn n      ， 23 2n n nS   ． 当 2n  时， 1 3 2n n na S S n    ， 1 1a  符合上式，所以 3 2na n  ． （2） 2(3 2) 3 1 n n n na nb S n n     ， 1 2 3 2n n nT b b b b       1 4 7 3 2 2 4 7 10 3 1 3 1 nn n n      ， 1 1 2 2 3( 1) 1 3 1 n n n nT T n n        2 (3 2) 0(3 1)(3 4) n n n n    ， 1n nT T  ，  1min 1 2nT T  ． 因为对任意的 *nN ， 4 nt T 恒成立， 所以 14 2t T  ，即 2t  ． 19．解：（1）证明：由题意知 EF AE ， EF BE ， 而 AE  平面 ABE ， BE  平面 ABE ， AE BE E  ， EF  平面 ABE ， //BC EF ， BC  平面 ABE ． 又 BC  平面 ABC ，平面 ABC  平面 ABE ． （2）【解法一】延长 BE ，CF 交于点 P ，则 AP 为平面 ABE 和平面 ACF 的交线．过 B 作 BQ AP 于Q ， 连接CQ ． BC  平面 ABC ， BC AP  ，又 BQ AP ， AP  平面 BCQ ，所以 BQC 即为平面 AFC 与平 面 ABE 所成的角； 设 AE x ，则 4BE x  ， 2 2(4 ) 8 16AB x x x     ，且 (2,4)x ， 在 Rt ABP△ 中， AB BPBQ AP   4 8 16 4 2 4 8 16 16 2 x x x x     ， 4 2 4cos 2 16(2 4) xBQC x x      4 2 4 (2 4) 16(2 4) 4 x x x      ． 令 2 4 (0,2)t x   ，则 2 4cos 17 4 tBQC t    2 4 2 20, 3417 t      ． 【解法二】设 AE x ，则 4BE x  ， 2 2(4 ) 8 16AB x x x     ，且 (2,4)x ． 由（1）知 BA， BC ， BE 两两互相垂直，分别以 BE ， BC ， BA为 x 轴， y 轴， z 轴建立直角坐标系， 则 (0,0,0)B ， (0,1,0)C ， (0,0, 8 16)A x  ， (4 ,0,0)E x ， 4 , ,0 4 xF x     ，则 4 , , 8 16 4 xAF x x        ， 4 , 1,0 4 xCF x       ． 设平面 ACF 的法向量为 ( , , )m a b c ，则 0 0 m AF m AF        ，解得 4 , 2 2 4 b a c a x    ． 取 21,4, 2 4 m x      ， 又平面 ABE 的法向量为 (0,1,0)n  ，所以 4cos , 217 2 m n x       ， (0,2)x ，所以 2 2cos , 0, 3 m n        ． 所以平面 AFC 和平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值的取值范围是 2 20, 3     ． 20．解：（1）由题意知 23, 5 B     ，故 的所有可能为 0，1， 2 ，3 ． 3 0 3 3 27( 0) C 5 125 P        ， 2 1 3 2 3 54( 1) C 5 5 125 P         ， 2 2 3 3 2 36( 2) C 5 5 125 P         ， 3 3 3 2 8( 3) C 5 125 P        ， 的分布列为  0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 （2）依题意， 的所有可能的值是 0，1， 2 ，…， n ． 当0 1k n   时， 2 3( ) 5 5 k P k      ； 当 k n 时， 3( ) 5 n P k      ， 22 2 3 2 3( ) 0 1 2 5 5 5 5 5 E                12 3 3( 1) 5 5 5 n n n n             ，① 2 33 2 3 2 3( ) 1 2 5 5 5 5 5 E              12 3 3( 1) 5 5 5 n n n n             ，② 由①②，得 22 2 3 2 3( ) 5 5 5 5 5 E               1 1 12 3 2( 1) 3 3 5 5 5 5 5 n nnn n                       ， 2 3 3( ) 5 5 5 n E        2 3 3 315 5 5 5 n n             ， 3 3( ) 12 5 n E           ． 21．解：（1）设  0 0,A x y ，则 0 2 0 0 3 2 2 92 4 px x px       ，解得 2p  （负值舍去）． （2）不妨设 1MAk k ， 2MBk k ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  2,2 ( 2)M t t t  ． 设过点 M 作椭圆的切线方程为  2 2y k x t t   ，① 由  2 2 2 2 3 4 12 y k x t t x y       ，得    2 2 23 4 8 2k x k t t k x    224 2 12 0t t k    ， 由 0  得  4 2 3 24 4 4 3 0t k t k t     ， 所以 3 1 2 4 4 4 tk k t    ， 2 1 2 4 4 3 4 tk k t   ， 在①中令 2x   得，  2 2 2y t k t    ，  2 1 2 1 2| | 2AB y y t k k        4 2 2 4 2 3 16 122 10 4 t t t t     ， 解得 2 4t  ，点 M 的坐标为 (4, 4) ． 22．解：（1） ( ) 2( sin2 )f x x x   ， (0) 0f   ，所以 x 0 是 ( )f x 的一个零点． 令 ( ) sin2 0 2 g x x x x        ，则 ( ) 1 2cos2 0g x x    时， 6 x  ， 所以 ( )g x 在 0, 6      上单调递减，在 , 6 2       上单调递增，则 min 3( ) 06 6 2g x g        ． 又 (0) 0g  ，且 0 2 2 xg      ，所以 ( )g x 在 0, 2      上存在唯一零点 0 , 6 2 x      ， 则 ( ) 2 ( )f x g x  在 0, 2      上亦存在唯一点． 因为 ( )f x 是奇函数，所以 ( )f x 在 ,0 2     上也存在唯一零点 0x ． 综上所述，当 1a  时， ( )f x 的导函数 ( )f x 在 , 2 2      上的零点个数为 3． （2）不等式 2 22cos(2sin ) ( )x a x af x  恒成立，即不等式 2cos(2sin ) cosx a x 恒成立． 令sin [ 1,1]x t   ，则等价于不等式  2cos2 1t a t  ……（1）恒成立， ①若 2 1t  ，即 1t   时，不等式（1）显然成立，此时 aR ； ②若 1 1t   时，不等式（1）等价于 2 cos2 1 ta t   ……（2） 设 2 cos2( ) ( 1 1) 1 tk t t t      ，则 当0 1t  时，     2 22 2 cos2 1 sin2 ( ) 1 t t t t h t t       ， 令  2( ) cos2 1 sin2 (0 1)t t t t t t      ，则  2( ) 2 1 cos2t t t   ， 2 0 2       ， 0 4      ，且 20 1 2 4    ， ( )t 在 20, 2     ， ,1 4      上单调递减，在 2 , 2 4      上单调递增， 又 (0) 0  ， 2 1 04 16 x       ，所以 ( ) 0t  在 (0,1) 上恒成立， 所以 ( )h t 在[0,1) 上单调递减，则 ( ) (0) 1h t h  ， 显然 ( )h t 为偶函数，故 ( )h t 在[ 1,1] 上的最大值为1， 因此 1a  ，综上所述，满足题意的实数 a 的取值范围为[1, ) ．