高三第三次调研测试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设集合 2log 1 1A x x ， 1 12 2
xB x
，则 A B （ ）
A. ,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,3
【答案】C
2. 已知复数 2 31z ii
，则 z （ ）
A. 5 B. 5 C. 17 D. 3 2
【答案】B
3. 设 1
43a ， 4log 3b ， 1
44c ，则（ ）
A. c b a B. a c b
C. c a b D. a b c
【答案】C
4. 已知点 1,1A ， 7,5B ，将向量 AB
绕点 A 逆时针旋转
2
得到 AC
，则点C 的坐标为（ ）
A. 5, 5 B. 3, 7 C. 5,5 D. 3,7
【答案】D
5. “角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲．该猜想是指对于每
一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 2．如此循环，经过有限步演
算，最终都能得到 1．若正整数 n 经过 5 步演算得到 1，则 n 的取值不可能是（ ）
A. 32 B. 16 C. 5 D. 4
【答案】B
6. 已知双曲线
2 2
2 2: 1x yE a b
（ 0a ， 0b ）的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 A 在双曲线 E 的左支上，
且 1 2 120F AF ， 2 12AF AF ，则双曲线 E 的离心率为（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 7
【答案】C
7. 在数 1 和 3 之间插入 n 个实数，使得这 2n 个数构成等差数列，将这 2n 个数的和记为 nb ，则数列
1
3log n
n
b
b
的前 78 项的和为（ ）
A. 3 B. 3log 78 C. 5 D. 3log 8
【答案】A
8. 已知函数 22ln +1xf x x x e ，若存在 0 0x ，使 0 0f x ax ，则 a 的最大值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 1 e D. 21 e
【答案】B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 在 ABC 中， M 是 BC 的中点，若 AB a ， AC b ，则 AM
（ ）
A. 1
2 a b
B. 1
2 a b
C. 22 21 22 a b a b
D.
2 21
2 a b
【答案】BC
10. 在
6
2 12x x
的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 各项系数和为1
B. 第 2 项的二项式系数为 15
C. 含 3x 的项的系数为 160
D. 不存在常数项
【答案】AC
11. 2021 年 3 月 30 日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo ．设计师的灵感来源于曲线
: 1n nC x y ．则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线C 关于原点成中心对称
B. 当 2n 时，曲线C 上的点到原点的距离的最小值为 2
C. 当 0n 时，曲线C 所围成图形的面积的最小值为
D. 当 0n 时，曲线C 所围成图形的面积小于 4
【答案】ABD
12. 已知菱形 ABCD 的边长为 2，
3ABC ．将 DAC△ 沿着对角线 AC 折起至 D AC△ ，连结 BD ．设
二面角 D AC B 的大小为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若四面体 D ABC 为正四面体，则
3
B. 四面体 D ABC 的体积最大值为 1
C. 四面体 D ABC 的表面积最大值为 2 3 2
D. 当 2
3
时，四面体 D ABC 的外接球的半径为 21
3
【答案】BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 在ΔABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a=4，b=6，cosB= 5
13
，则 sinA=__________．
【答案】 8
13
14. 为了解某小区居民的家庭年收入 x （万元）与年支出 y （万元）的关系，随机调查了该小区的 10 户家
庭，根据调查数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 y bx a $ $ $ ．已知
20x ， 16y ， 0.76b ．若该小区某家庭的年收入为 30 万元，则据此估计，该家庭的年支出为____万
元．
【答案】 23.6
15. 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 1 1f x f x ．当 0,1x 时， 2f x x ，则直线 1
5y x
与函数 y f x 的图象的交点的个数为_______．
【答案】7
16. 若矩形 ABCD 满足 5 1
2
AD
AB
，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图 1 所示的黄金矩形卡片
ABCD ，已知 2AD x ， 2AB y ，E 是 CD 的中点，EF CD ，FG EF ，且 EF FG x ，沿 EF ，
FG 剪开．用 3 张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图 2 所示的几何模型．若连结这个几何模
型的各个顶点，便得到一个正______面体；若 2y ，则该正多面体的表面积为_______．
【答案】 (1). 二十 (2). 120 3 40 15
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设各项均为正数的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S7＝35，且 a1，a4－1，a7 成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足 bn＋bn＋1＝an，求数列{bn}的前 2n 项的和 T2n．
【答案】（1） 1na n ；（2） 2n n ．
18. 已知函数 3sin 2 02f x x
同时满足下列 3 个条件中的 2 个．3 个条件依次是：
① f x 的图象关于点 ,012
对称；②当 5
12x 时， f x 取得最大值；③0 是函数 3
2y f x 的一
个零点．
（1）试写出满足题意的 2 个条件的序号，并说明理由；
（2）求函数 26cosg x f x x 的值域．
【答案】（1）①③；（2）[0,6]．
19. 面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机
床生产的零件的直径为 X （单位： mm ）．
（1）现有旧机床生产的零件 10 个，其中直径大于124mm 的有 3 个．若从中随机抽取 4 个，记 表示取出
的零件中直径大于124mm 的零件的个数，求 的概率分布及数学期望 E ；
（2）若新机床生产的零件直径 120,4X N ，从生产的零件中随机取出 10 个，求至少有一个零件直径
大于124mm 的概率．
参考数据：若 2,X N ，则 0.6827P X ， 2 0.9545P X ，
3 0.9974P X ， 100.97725 0.7944 ， 100.9545 0.6277 ．
【答案】（1）答案见解析（2） 0.2056
20. 如图， A 是以 BD 为直径的半圆 O 上一点，平面 BCD 平面 ABD ， BC BD ．
（1）求证： AD 平面 ABC ；
（2）若 2 2BD BC ， 2AD AB ，求二面角 A CD B 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析（2） 6
4
21. 已知圆 M：x2+(y- 5
2 )2=4 与抛物线 E：x2=my(m>0)相交于点 A，B，C，D，且在四边形 ABCD 中，AB//CD．
（1）若 15
4OA OD ，求实数 m 的值；
（2）设 AC 与 BD 相交于点 G，△GAD 与
△
GBC 组成蝶形的面积为 S，求点 G 的坐标及 S 的最大值．
【答案】（1）m=1；（2）G(0， 3
2 )；S 最大值为 3．
22. 已知函数 2sin 3f x a x x ．
（1）若
3x 是 f x 的一个极值点，试讨论 f x 在区间 0, 2
上的单调性；
（2）设 2 2a ，证明：当 0x 时， 0xf x ．
【答案】（1） f x 在 ,6 3
上单调递增，在 0, 6
和 ,3 2
上单调递减（2）证明见解析
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