6 月 1 日 概率……………………………………………………………01
6 月 2 日 统计……………………………………………………………29
6 月 3 日 数系的扩充与复数的引入……………………………………65
6 月 4 日 算法初步………………………………………………………78
6 月 5 日 推理与证明……………………………………………………105
6 月 6 日 选修部分………………………………………………………118
目录 / contents
时间：6 月 1 日 今日心情：
核心考点解读——概 率
考纲解读
随机事件的概率（I）
古典概型（II）
几何概型（I）
高考预测
1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目若在选择题、填空题中出现，则主要考查古典概型
和几何概型概率的计算；若在解答题中出现，则主要考查古典概型概率的计算.
2.从考查内容来看，主要考查在古典概型或几何概型下求随机事件的概率，通过互斥事件、
对立事件考查等可能性事件的概率取值问题，体现了概率问题的实际应用状况.
3.从考查热点来看，概率求值是高考命题的热点，以古典概型或几何概型为主线，考查随机
事件的概率.解答题中常与统计知识相结合考查概率的求解，需注意知识的灵活运用.
1.随机事件的概率
(1)概率与频率：理解概率与频率的关系.知道频率是指在 n 次重复试验下，某事件 A 出现的
次数与试验次数的比值，其随着试验次数的改变而改变.概率是指对于给定的随机事件，
随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某一个常数附近，这个常数称为事件 A
发生的概率.频率值随着试验次数的变化而变化，概率值则是一个常数，当试验次数越多
时，频率值越接近于概率值，此时可以把频率近似地看做概率.
(2)互斥事件与对立事件：由对立事件的定义可知，对立事件首先是互斥事件，即两个事件
是对立事件，则它们肯定是互斥事件，反过来，当两个事件是互斥事件时，这两个事件不
一定是对立事件.
(3)随机事件的概率的性质及其求解方法
性质：0 1p .若事件的概率为 1，则该事件是必然事件；若事件的概率为 0，则该事件
是不可能事件；若事件的概率为 0 1p ，则该事件是随机事件.
应试技巧
随机事件概率的求法：
(i)将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率的加法公式求解概率；
(ii)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面
的分类较少，则可考虑利用对立事件的概率公式，即利用“正难则反”的思想.
2.古典概型与几何概型
(1)古典概型：(i)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(ii)每个基本事件出现的可能
性相等.
古典概型的概率计算公式： ( ) AP A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数 .
(2)几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例.
特点：(i)一次实验的基本事件数是无限的；(ii)每个基本事件发生的可能性是相等的.
几何概型的概率计算公式：
( ) AP A 构成事件 的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）.
(3)异同点：共同点是基本事件的发生是等可能的，不同点是古典概型有有限个基本事件，
几何概型有无限个基本事件.
(4)能够通过枚举的方法将试验的所有结果（基本事件）进行一一罗列，并确定事件 A 发生
所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率计算公式进行求解.
1．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的
3 点共线的概率为
A． 1
5 B． 2
5
C． 1
2 D． 4
5
【答案】A
【解析】如图，从O A B C D, , , , 5 个点中任取 3 个有：{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }O A B O A C O A D O B C ，
{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }O B D O C D A B C A B D ，{ , , },{ , , }A C D B C D 共10 种不同取法，
3 点共线只有{ , , }A O C 与{ , , }B O D 共 2 种情况，
由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为 2 1
10 5
.
故选 A.
【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
2．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳，60%
的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比
例是
A．62% B．56%
C．46% D．42%
【答案】C
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件 A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 B ，则“该中学学生喜欢足球
或游泳”为事件 A B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 A B ，
则 ( ) 0.6P A ， ( ) 0.82P B ， 0.96P A B ，
所以 ( )P A B ( ) ( ) ( )P A P B P A B 0.6 0.82 0.96 0.46
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 46% .
故选：C.
【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
3．（2019 年高考全国Ⅱ卷文数）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子
中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为
A． 2
3 B． 3
5
C． 2
5 D． 1
5
【答案】B
【分析】首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式
即可求解．
【解析】设其中做过测试的 3 只兔子为 , ,a b c ，剩余的 2 只为 ,A B ，
则从这 5 只中任取 3 只的所有取法有{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，
{ , , },{ , , },{ , , }b c B b A B c A B ，共 10 种．
其中恰有 2 只做过测试的取法有{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },a b A a b B a c A a c B { , , },{ , , }b c A b c B ，共 6 种，
所以恰有 2 只做过测试的概率为 6 3
10 5
，故选 B．
【名师点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用
列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度
的避免出错．
4．（2018 新课标全国Ⅱ文科）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女
同学的概率为
A． 0.6 B． 0.5
C． 0.4 D． 0.3
【答案】D
【解析】设 2 名男同学为
，3 名女同学为
，
从以上 5 名同学中任选 2 人总共有
，共 10 种可能，
选中的 2 人都是女同学的情况共有
，共 3 种可能，
则选中的 2 人都是女同学的概率为
洠
.
故选 D.
【名师点睛】应用古典概型求概率的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件
；
第二步，分别求出基本事件的总数
与所求事件
中所包含的基本事件个数
；第三步，利用公式
ሺܣ
求出事件
的概率.
5．【2020 年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概
率是_____.
【答案】 1
9
【解析】根据题意可得基本事件数总为 6 6 36 个.
点数和为 5 的基本事件有 1,4 ， 4,1 ， 2,3 ， 3,2 共 4 个.
∴出现向上的点数和为 5 的概率为 4 1
36 9P .
故答案为： 1
9 .
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【2020 年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1
2
和 1
3
．假定两球是否落入盒子互不影响，
则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】 1
6
2
3
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 1,2 3
，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为 1 1 1
2 3 6
，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 1 1 1(1 ) (1 )2 3 3
，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 2
3 .
故答案为： 1
6
； 2
3 .
【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.
7．（2019 年高考全国Ⅱ卷文数）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有
10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高
铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．
【答案】 0.98
【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10 0.97 20 0.98 10 0.99 39.2 ，其中高铁
个数为10 20 10 40 ，所以该站所有高铁平均正点率约为 39.2 0.9840
．
【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度
不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车
总数的比值．
8．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，
C，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，
20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂
加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分
厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂
承接加工业务?
【解析】（1）由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 40 0.4100
；
乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 28 0.28100
.
（2）由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为
利
润
65 25 −5 −75
频
数
40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为
65 40 25 20 5 20 75 20 15100
.
由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 −70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为
70 28 30 17 0 34 70 21 10100
.
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属
于基础题．
9．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某
公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0,200] (200,400] (400,600]
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称
这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把
握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【解析】（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表：
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
1 (100 20 300 35 500 45) 350100
．
（3）根据所给数据，可得 2 2 列联表：
人次≤400 人次>400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
根据列联表得
2
2 100 (33 8 22 37) 5.82055 45 70 30K
．
由于 5.820 3.841 ，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处
理能力，属于基础题.
10．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100 天空气中的
PM 2.5 和 2SO 浓度（单位： 3μg/m ），得下表：
2SO
PM 2.5
[0,50] (50,150] (150,475]
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中 PM 2.5 浓度不超过 75 ，且 2SO 浓度不超过150 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表：
2SO
PM 2.5
[0,150] (150,475]
[0,75]
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与 2SO 浓度有关？
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，
2( )P K k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【解析】（1）根据抽查数据，该市 100 天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 2SO 浓度不超过 150 的天
数为 32 18 6 8 64 ,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且 2SO 浓度不超过 150 的概率的估
计值为 64 0.64100
．
（2）根据抽查数据，可得 2 2 列联表：
2SO
PM 2.5
[0,150] (150,475]
[0,75] 64 16
(75,115] 10 10
（3）根据（2）的列联表得
2
2 100 (64 10 16 10) 7.48480 20 74 26K
．
由于 7.484 6.635 ，故有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与 2SO 浓度有关．
11．（2019 年高考全国Ⅰ卷文数）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位
顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为 0.8，0.6 ；（2）有 95%的把握认为
男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.850
，
因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0.650
，
因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6 ．
（2）由题可得
2
2 100 (40 20 30 10) 4.76250 50 70 30K
．
由于 4.762 3.841 ，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
12．（2019 年高考天津卷文数）2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教
育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分
别有 72,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受
情况．
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 , , , , , A B C D E F ．享受
情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访．
员工
项目
A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生的概率．
【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人；（2）（i）见解析，（ii） 11
15
．
【分析】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公
式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为 6 : 9 : 10 ，
由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人．
（ 2 ） （ i ） 从 已 知 的 6 人 中 随 机 抽 取 2 人 的 所 有 可 能 结 果 为
{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },A B A C A D A E A F B C { , },{ , },{ , },{ , { , }}, ,B D B E B F C D C E { , },C F
{ , },{ , },{ , }D E D F E F ，共 15 种．
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , { , },{ , },{ , },{ ,}, }A B A D A E A F B D B CE B F E C F D F E F ，共 11 种．
所以，事件 M 发生的概率 11( ) 15P M ．
13．（2019 年高考北京卷文数）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成
为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000
名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和
仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额
支付方式
不大于 2 000 元 大于 2 000 元
仅使用 A 27 人 3 人
仅使用 B 24 人 1 人
（1）估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数；
（2）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2 000 元的概率；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人，发
现他本月的支付金额大于 2 000 元．结合（2）的结果，能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额
大于 2 000 元的人数有变化？说明理由．
【答案】（1）该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数约为 400 ；（2）0.04 ；（3）见解
析．
【解析】（1）由题知，样本中仅使用 A 的学生有 27+3=30 人，
仅使用 B 的学生有 24+1=25 人，
A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人．
估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为 40 1000 400100
．
（2）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，
则 1( ) 0.0425P C ．
（3）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，
则由（2）知， 4( 0) 0.P E ．
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
( )P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，
一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化，
所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件， ( )P E 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，
所以无法确定有没有变化．
14．（2018 新课标全国Ⅰ文科）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了
节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用水量 0 0.1， 0.1 0.2， 0.2 0.3， 0.3 0.4， 0.4 0.5， 0.5 0.6， 0.6 0.7，
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用水量 0 0.1， 0.1 0.2， 0.2 0.3， 0.3 0.4， 0.4 0.5， 0.5 0.6，
频数 1 5 13 10 16 5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组
数据所在区间中点的值作代表．）
【解析】（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3 的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3 的概率的估计值为 0.48．
（3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为
1
1 (0.05 1 0.15 3 0.25 2 0.35 4 0.45 9 0.55 26 0.65 5) 0.4850x ．
该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为
2
1 (0.05 1 0.15 5 0.25 13 0.35 10 0.45 16 0.55 5) 0.3550x ．
估计使用节水龙头后，一年可节省水 3(0.48 0.35) 365 47.45(m ) ．
15．（2018 北京文科）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表
格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，
使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
【解析】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25=50，
故所求概率为 50 0.0252000
.
（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.
故所求概率估计为 3721 0.8142000
.
方法二：设“随机选取 1 部电影,这部电影没有获得好评”为事件 B.
没有获得好评的电影共有 140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628 部.
由古典概型概率公式得 1628 0.8142) 00( 0P B .
（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.
16．（2018 天津文科）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160．现采用分
层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院
的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率．
【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，
因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人．
（Ⅱ）（i）从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，
G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，
共 21 种．
（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E，来自
丙年级的是 F，G，
则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，
{D，E}，{F，G}，共 5 种．
所以，事件 M 发生的概率为 P（M）= 5
21
．
1．（2021·江西高三二模（文））某医院某科室有 5 名医护人员，其中有医生 2 名，护士 3 名．现要抽调 2
人前往新冠肺炎疫情高风险地区进行支援，则抽调的 2 人中恰好为 1 名医生和 1 名护士的概率是（ ）
A． 1
6 B． 2
5 C． 3
5 D． 2
3
2．（2021·陕西西安市·高三一模（文））某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先
拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价(元) 4 5 6 7 8 9
销量(件) 90 84 83 80 75 68
由表中数据，求得线性回归方程 y =-4x+a，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为
（ ）
A． 1
6 B． 1
3 C． 1
2 D． 2
3
3．（2021·甘肃高三一模（文））圆 2 2 4x y 上任意一点 M 到直线3 4 15 0x y 的距离大于 2 的概率
为（ ）
A． 1
6 B． 1
3 C． 2
3 D． 5
6
4．（2021·江西萍乡市·高三二模（文））2021 年是中国共产党百年华诞，3 月 24 日，中宣部发布中国共产
党成立 100 周年庆祝活动标识(图 1)，标识由党徽､数字“100”“1921”“2021”和 56 根光芒线组成，生动展现中
国共产党团结带领中国人民不忘初心､牢记使命､艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个
半径为 R 的相交大圆，分别内含一个半径为 r 的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切(图 2).已知
( 2 1)R r ，则在两个大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（ ）
A． 1
2 1
B． 2
3 2
C． 3
4 3
D． 4
5 4
5．（2021·陕西榆林市·高三二模（文））甲､乙约定晚上七点在某校门口见面，甲晚上七点准时到了门口，
此时，乙打电话告知甲路上出现堵车状况，至少要过 20 分钟才能到.甲决定等乙半个小时，超过半个小时乙
还未到就离开，若乙在晚上七点五十之前一定能到，则两人能见面的概率为___________.
6．（2021·高三一模（文））一只蚂蚁在最小边长大于 4，且面积为 24 的三角形内自由爬行，某
时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过 2 的概率为______.
7．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三三模（文））在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔
滨市的 A ､ B 两所同类学校的高三学年分别采用甲､乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在
两所学校的高三学年各随机抽取 60 名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80 及以上的学生
为优秀学生.经统计得到两所学校抽取的学生中共有 72 名优秀学生，且 A 学校的优秀学生占该校抽取总人数
的 2
3 .
（1）填写下面的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过 0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学
方案有关.
（2）在 A 学校的 60 名学生中依据综合测评是否优秀进行分层抽样，抽取容量为 6的样本，在 6名学生中随
机抽取 2 名同学，求 2 名同学都是优秀学生的概率.
优秀学生 非优秀学生 合计
甲方案
乙方案
合计
附：
2
0P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
8．（2021·江西九江市·高三二模（文））2021 年春节，由贾玲导演的春节档电影《你好，李焕英》总票房
已突破 50 亿元，影片的感人情节引起同学们广泛热议.开学后，某校团委在高三年级中（其中男生 200 名，
女生 150 名），对是否观看该影片进行了问卷调查，各班男生观看人数统计记为 A 组，各班女生观看人数
统计记为 B 组，得到如图的茎叶图.已知全年级恰有 3 个班级观看该影片的人数超过 40.
（Ⅰ）根据茎叶图绘制 2 2 列联表，并判断是否有97.5%的把握认为观看该影片与性别有关？
（Ⅱ）若先从 A 组人数超过 20 的数据中随机抽取一个数据，再从 B 组人数少于 20 的数据中随机抽取一个
数据，求抽到的这两个数据来自同一个班的概率.
参考数据及公式如下：
2P K k 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
， n a b c d .
9．（2021·陕西高三三模（文））统计某班级 20 名学生数学期末考试成绩（单位：分）的频率频率分布直
方图如图所示：
（1）分别求出成绩落在 50,60 与 60,70 中的学生人数；
（2）从成绩在 60,70 和 80,90 的学生中按照分层抽样的方法抽取 6人参加全校数学文化知识竞赛，如
果有 2 人获奖，求这 2 人的成绩都在 80,90 中的概率.
1．某校高二年级四个文科班要举行一轮单循环（每个班均与另外三个班比赛一场）篮球赛，则所有场次中
甲､乙两班至少有一个班参加的概率是
A. 1
3 B. 1
2 C. 2
3 D. 5
6
2．福彩是利国利民游戏，其刮刮乐之《蓝色奇迹》：如图（1）示例，刮开票面看到最左侧一列四个两位
数字为“我的号码”，最上行四个两位数为“中奖号码”，这八个两位数是 00 至 99 这一百个数字随机产生
的，若两个数字相同即中得其相交线上的奖金，奖金可以累加.小明买的一张《蓝色奇迹》刮刮乐如图（2），
除了一个“我的号码”外，他已经刮开票面上其它所有数字，依据目前的信息，小明从这张刮刮乐得到的
奖金额高于 600 元的概率为（无所得税）
图（1） 图（2）
A． 1
100 B． 1
50 C． 3
100 D． 1
25
3．如图所示，在边长为 2 的正方形中随机撒 1500 粒豆子，有 300 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的
面积为______．
4．生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生
二孩的意愿，现随机抽取某地 200 户家庭进行调查统计.这 200 户家庭中，头胎为女孩的频率为 0.5，生
二孩的频率为 0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为 60.
（1）完成下列 2 2 列联表，并判断能否有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；
生二孩 不生二孩 合计
头胎为女孩 60
头胎为男孩
合计 200
（2）在抽取的 200 户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了 5 户，进一步了
解情况，在抽取的 5 户中再随机抽取 3 户，求这 3 户中恰好有 2 户生二孩的概率.
附：
2P K k 0.15 0.05 0.01 0.001
k 2.072 3.841 6.635 10.828
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
（其中 n a b c d ）.
5.冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等
四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄羽、
补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据
此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65) 的人群，数据表明，交通道
路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占 80%.现从参与调查并关注交通道
路安全的人群中随机选出 100 人，并将这 100 人按年龄分组：第 1 组[15,25) ，第 2 组[25,35) ，第 3
组[35,45) ，第 4 组[45,55) ，第 5 组[55,65) ，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求这 100 人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点
后一位）；
（2）现在要从年龄较大的第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人进行
问卷调查，求第 2 组恰好抽到 1 人的概率.
名校预测
1.【答案】C
【分析】
根据条件列举出所有的情况，找出其中恰好为 1 名医生 1 名护士的种类数，相除即可.
【详解】
设 5 名医护人员，2 名医生 a，b，3 名护士 c，d，e，
则抽调 2 人的情况有 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de 共 10 种不同结果，
其中恰好为 1 名医生和 1 名护士的不同结果有 6 种，
故所求概率为 6 3
10 5
故选：C.
2.【答案】C
【分析】
先求得样本点，进而得到回归直线方程，再得到在回归直线右上方的点的个数，代入古典概型概率公式求
解.
【详解】
因为 1 134 5 6 7 8 96 2x ，
1 90 84 83 80 75 68 806y ，
所以 4 106a y x ，即 4 106y x
满足 4 106 0x y 的点有 6,83 , 7,80 , 8,75 ，共 3 个
所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为 3 1
6 2p ，
故选：C
3.【答案】C
【分析】
试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件
的弧长对应的圆心角是 4
3
，根据几何概型概率公式得到结果.
【详解】
设圆心为 C ，圆心到直线 l 的距离 2 2
| 15| 3
3 4
d
，
如图，
取 1CD ，过 D 做 //AB l 交圆于 ,A B ，可知满足条件的点在劣弧 AB 上（不包括 A，B），
在 Rt ACD△ 中， 2, 1AC CD ,
所以 1cos 2ACD ，
3ACD ， 即 2
3ACB ,
因为符合条件的点所在弧长所对圆心角为 4
3
，
由几何概型可知
4
23
2 3P
,
故选：C
4.【答案】B
【分析】
计算两大圆公共部分面积，利用几何概型公式计算即可.
【详解】
如图所示， D 是线段 AB 的中点，
2 2
2OD r ， ( 2 1)R r ，
在 ADO△ 中， 2cos 2
ODAOD OA
，
∴ ,4 2AOD AOB ，
∴两大圆公共部分的面积为： 2 2 212 14 2 2R R R
∴该点取自两大圆公共部分的概率为
2
2 2
1 22
3 22 12
R
R R
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是表示两大圆公共部分的面积，利用扇形面积减去三角形面积即为弓形面积.
5.【答案】 1
3
【分析】
根据长度型几何概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：依题意 30 20 1
50 20 3P
；
故答案为： 1
3
6.【答案】
12
【分析】
算出蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过 2 的点形成的区域的面积，利用几何概型的概率计算公
式可求概率.
【详解】
在三角形内，蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过 2 的点形成的区域如阴影部分所示，因为三个
阴影部分对应的圆心角的和为 ，
故阴影部分的面积和为 1 4 22
，
故所求的概率为 2
24 12
.
故答案为：
12
.
7.【答案】（1）列联表答案见解析，不能在犯错误的概率不超过 0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀
与教学方案有关；（2） 2
5 .
【分析】
（1）先根据已知数据填写列联表，再由公式
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
求值，由附表查出 0.1对应
数值为 2.706 ，再判断所求值与 2.706 的大小，最后作答结论；
（2）先列举出“在 6 名学生中随机抽取 2 名同学”的所有基本事件，和“两名同学都是优秀”的所有基本事件，
由古典概型概率公式求解即可.
【详解】
（1）填写列联表如下：
优秀学生 非优秀学生 合计
甲方案 40 20 60
乙方案 32 28 60
合计 72 48 120
计算
2
2 120(40 28 20 32) 2.22 2.70660 60 72 48K .
所以不能在犯错误的概率不超过 0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.
（2）由分层抽样可知，A 学校抽取的6名同学中优秀学生有 4 人，记为 A ， B ，C ， D ，非优秀学生记为
E ，F ，从中选出 2 名同学，基本事件有：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，
CE ，CF ， DE ， DF ， EF 共15 个事件，
这15 个事件是等可能的，设 2 名同学都是优秀学生为事件 M ，
其中事件 M 包括的基本事件有： AB ， AC ， AD ， BC ， BD ， CD 共6个，
所以由古典概型概率公式得， 6 2( ) 15 5P M .
【点睛】
独立性检验的一般步骤：
（1）根据样本数据填写 2 2 列联表；
（2）计算统计量 2K ，根据临界值判断.
8.【答案】（Ⅰ）表格见解析，没有； （Ⅱ） 2
27 .
【分析】
（Ⅰ）绘制 2 2 列联表，计算 2K 的值，由此判断出没有97.5%的把握认为观看该影片与性别有关.
（Ⅱ）利用古典概型计算公式，计算出所求概率.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图绘制 2 2 列联表如下，
观看 没观看 合计
男生 140 60 200
女生 120 30 150
合计 260 90 350
计算
2
2 350 (140 30 120 60) 4.0487 5.024260 90 200 150K
，
所以没有97.5%的把握认为观看该影片与性别有关.
（Ⅱ）因为全年级恰有 3 个班级观看该影片的人数超过 40，
所以这三个班的男女生人数依次是：
“男 22 女 23，男 24 女 17，男 25 女 18”或“男 22 女 23，男 24 女 18，男 25 女 17”；
若先从 A 组人数超过 20 的数据中随机抽取一个数据，再从 B 组人数少于 20 的数据中随机抽取一个数据，
可能情况有3 9 27 （种），其中满足抽到的这两个数据来自同一个班的情况有 2 种，
所以所求的概率为 2
27P .
9.【答案】（1）成绩落在 50,60 中学生人数为 2 ，成绩落在 60,70 中学生人数为3；（2） 2
5 .
【分析】
（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1求出实数 a 的值，并计算出成绩落在 50,60 与 60,70
中的学生所占的频率，乘以 20 可得结果；
（2）列出所有的基本事件，并确定事件“所抽的 2 人的成绩都在 80,90 中”所包含的基本事件数，利用古
典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
（1）据直方图知组距为10，由 2 2 3 7 6 10 1a a a a ，解得 1 0.005200a ，
成绩落在 50,60 中学生人数为 2 0.005 10 20 2 ，
成绩落在 60,70 中学生人数为 3 0.005 10 20 3 ；
（2）从成绩在 60,70 和 80,90 的学生中按照分层抽样的方法抽取 6人，成绩落在 60,70 有 2 人，成绩
落在 80,90 有 4 人，
记成绩落在 60,70 中的 2 人为 1A 、 2A ，成绩落在 80,90 中的 4 人为 1B 、 2B 、 3B 、 4B ，
则从 6人选 2 人的基本事件共有15 个：
1 2,A A 、 1 1,A B 、 1 2,A B 、 1 3,A B 、 1 4,A B 、 2 1,A B 、 2 2,A B 、 2 3,A B 、 2 4,A B 、 1 2,B B 、
1 3,B B 、 1 4,B B 、 2 3,B B 、 2 4,B B 、 3 4,B B .
其中 2 人的成绩都在 80,90 中的基本事件有 6 个.
故所求概率为 6 2
15 5
.
【点睛】
方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：
（1）列举法；
（2）列表法；
（3）数状图法；
（4）排列组合数的应用.
专家押题
1．【答案】D
【解析】所有比赛的场次有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共六种可能，至少含有甲乙两班中的
一个班的有 5 种情况，概率为 5
6
故选 D.
2．【答案】B
【解析】根据所刮开数据，小明已经获得了 200 元，
在剩下的数字中，可能获得的 100，200，1000，500，
获得 500，100 分别有 100 种可能，所以中 500 或者 1000 的概率为 1 1 1
100 100 50
，
所以得到的奖金额高于 600 元的概率为 1
50
，
故选： B ．
3．【答案】 4
5
【解析】正方形的面积 S=4，设阴影部分的面积为 1S ，
∵随机撒 1500 粒豆子，有 300 粒落到阴影部分，
∴几何概型的概率公式进行估计得 1 1 300
4 1500
S SP S
，即 1
4 300 4=1500 5S ，
故答案为： 4
5 .
4．【答案】（1）列联表见解析，有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；（2） 3
5
【解析】（1）因为头胎为女孩的频率为 0.5，
所以头胎为女孩的总户数为 200 0.5 100 .
因为生二孩的概率为 0.525，
所以生二孩的总户数为 200 0.525 105 .
2 2 列联表如下：
生二孩 不生二孩 合计
头胎为女孩 60 40 100
头胎为男孩 45 55 10
合计 105 95 200
2
2 200(60 55 45 40) 600 4.511 3.841105 95 100 100 133K
，
故有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.
（2）在抽取的 200 户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了 5 户，则这 5
户家庭中，生二胎的户数为 3，分别记为 , ,A B C ，不生二孩的户数为 2，分别记为 ,a b .
从这 5 户家庭中随机抽取 3 户有 ( , , )A B C ， ( , , )A B a ， ( , , )A B b ， ( , , )B C a ， ( , , )B C b ， ( , , )A C a ，
( , , )A C b ， ( , , )A a b ， ( , , )B a b ， ( , , )C a b ，共 10 种情况，
其中恰好有 2 户生二孩的有 ( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , )A B a A B b B C a B C b A C a A C b ，
故 6 种情况，
故所求概率为 6 3
10 5
.
5.【答案】（1）平均数为 41.5 岁；中位数为 42.1岁（2） 3
5
【解析】（1）由10 (0.010 0.015 0.030 0.010) 1a ，得 0.035a ，
平均数为 20 0.1 30 0.15 40 0.35 50 0.3 60 0.1 41.5 岁；
设中位数为 x，则10 0.010 10 0.015 ( 35) 0.035 0.5 x ，
∴ 42.1x 岁.
（2）根据题意，第 1，2 组分的人数分别为100 0.1 10 人，100 0.15 15 人，按照分层抽样的方
式抽取的人数分别为 2 人，3 人.
设第 1 组抽取的人员为 1 2,a a ；第 2 组抽取的人员为 1 2 3, ,b b b .
于是，在 5 人随机抽取两人的情况有： 1 2,a a ， 1 1 1 2 1 3, , , , ,a b a b a b ，
2 1 2 2 2 3, , , , ,a b a b a b ， 1 2 1 3 2 3, , , , ,b b b b b b 共 10 种.
满足题意的有： 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3, , , , , , , , , , ,a b a b a b a b a b a b 共 6 种.
所以第 2 组恰好抽到 1 人的概率 6 3
10 5p .
时间：6 月 2 日 今日心情：
核心考点解读——统 计
考纲解读
抽样方法（I）
用样本估计总体（II）
两个变量的线性相关（II）
高考预测
1.从考查题型来看，选择题、填空题与解答题并重，并各有侧重，选择题、填空题中以考查
抽样方法和用样本估计总体为主，兼顾两个变量的线性相关；解答题中则重点考查求回归
直线方程及独立性检验.
2.从考查内容来看，主要考查抽样方法的选择，利用频率分布直方图、茎叶图等图表分析众
数、中位数、平均数等数字特征，两个变量之间的线性相关等.
3.从考查热点来看，用样本估计总体是高考命题的热点，频率分布直方图、茎叶图、众数、
中位数、平均数等是考查的重点，要能够对数据进行分析，然后对总体作简单、准确的评
价.
1.抽样方法
(1)抽样方法包括：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.
它们的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等，都是 n
N
（ N ：个体总数，n ：
抽取的样本个体数）；每次抽出个体后不再将其放回，即是不放回地逐个抽样.
不同点是简单随机抽样是从总体中逐个抽取个体，适用于总体个数较少的情况；系统抽样
是总体个数较多，将总体分成几部分，按预先制定的规则在各部分中抽取，其中起始部分
抽样采用简单随机抽样；分层抽样是指总体由差异比较明显的几部分组成，则在这几部分
应试技巧
中分层进行抽样，各层抽样采用简单随机抽样.
简单随机抽样常采用的方法有抽签法与随机数法.
2.用样本估计总体
(1)用样本的频率分布估计总体的频率分布
主要的图表：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图.
优缺点：
频率分布表：在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的主体趋势不太
方便；
频率分布直方图：能够很容易表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，但得不出原始
的数据内容；
茎叶图：所有的数据信息都可以从茎叶图中得到，同时便于记录和读取，能够展示数据的
分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，就显得不太方便.
(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征
主要的数字特征：众数、中位数、平均数、极差、标准差和方差，要能从样本数据中找到
众数与中位数，能够利用公式计算平均数、极差、标准差.
平均数： 1 2 nx x xx n
，
极差：样本数据的最大值与最小值的差，
标准差： 2 2 2
1 2
1 [( ) ( ) ( )ns x x x x x xn
.
(3) 由 频 率 分 布 直 方 图 进 行 相 关 计 算 时 ， 需 掌 握 这 些 公 式 ： =频率 组距 频率组距 ，
=频数 频率样本容量 .注意频率分布直方图的纵坐标是 频率
组距 ，而不是频率.
3.两个变量的线性相关
(1)相关关系：正相关、负相关.
正相关：因变量随自变量的增大而增大；
负相关：因变量随自变量的增大而减小.
(2)若两个变量之间具有线性相关关系，则点散布在一条直线附近，该直线为回归直线，能
够用最小二乘法求回归直线方程，能够利用相关系数来表明两个变量的线性相关性的强
弱.
求回归直线方程的步骤：先依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；
然后计算出 2
1 1
, , ,
n n
i i i
i i
x y x x y
的值；再计算回归系数 ,a b ，由此写出回归直线方程：
y bx a .
(3)能够进行独立性检验
独立性检验的一般步骤：
i)根据样本数据列出 2 2 列联表；
ii)计算随机变量 2K 的观测值 k ，查下表确定临界值 0k ：
2
0( )P K k
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10
0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
2
0( )P K k
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
iii)如果 0k k ，就推断“ X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过 2
0( )P K k ；否
则，就认为在犯错误的概率不超过 2
0( )P K k 的前提下不能推断“ X 与Y 有关系”.
1．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：℃）
的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ( , )( 1,2, ,20)i ix y i 得到下面的散点
图：
由此散点图，在 10℃至 40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类
型的是
A． y a bx B． 2y a bx
C． exy a b D． lny a b x
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 lny a b x .
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.
2．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，…，
10xn 的方差为
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【答案】C
【解析】因为数据 ( 1,2, , )iax b i n L， 的方差是数据 ( 1,2, , )ix i n L， 的方差的 2a 倍，
所以所求数据方差为 210 0.01=1
故选：C
【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．（2019 年高考全国Ⅲ卷文数）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，
并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，
其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西
游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值
的估计值为
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
【答案】C
【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90-80+60=70，
则其与该校学生人数之比为 70÷100=0.7．
故选 C．
【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化
归思想解题．
4．（2019 年高考全国Ⅰ卷文数）某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，
从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验．若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生
中被抽到的是
A．8 号学生 B．200 号学生
C．616 号学生 D．815 号学生
【答案】C
【解析】由已知将 1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样，46 号学生被抽到，所以第
一组抽到 6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列{ }na ，公差 10d ，所以 6 10na n ( )n N ，若
8 6 10n ，解得 1
5n ，不合题意；若 200 6 10n ，解得 19.4n ，不合题意；若 616 6 10n ，
则 61n ，符合题意；若815 6 10n ，则 80.9n ，不合题意．
故选 C．
5．【2020 年高考江苏】已知一组数据 4,2 ,3 ,5,6a a 的平均数为 4，则 a 的值是 ▲ ．
【答案】2
【解析】∵数据 4,2 ,3 ,5,6a a 的平均数为 4
∴ 4 2 3 5 6 20a a ，即 2a .
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．
6．【2020 年高考天津】从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位： mm），将所得数据分为 9 组：
[5.31,5.33),[5.33,5.35), , [5.45,5.47),[5.47,5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的
零件中，直径落在区间[5.43,5.47) 内的个数为
A．10 B．18
C．20 D．36
【答案】B
【解析】根据直方图，直径落在区间 5.43,5.47 之间的零件频率为： 6.25 5.00 0.02 0.225 ，
则区间 5.43,5.47 内零件的个数为：80 0.225 18 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.
7．（2019 年高考江苏卷）已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．
【答案】 5
3
【解析】由题意，该组数据的平均数为 6 7 8 8 9 10 86
，
所以该组数据的方差是 2 2 2 2 2 21 5[(6 8) (7 8) (8 8) (8 8) (9 8) (10 8) ]6 3
．
8．（2018 新课标全国Ⅲ文科）公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客
户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则
最合适的抽样方法是________．
【答案】分层抽样
【解析】由于从不同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样.
9．（2018 江苏）已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平
均数为 ▲ ．
【答案】90
【解析】由茎叶图可知，5 位裁判打出的分数分别为
，
，
，
，
，故平均数为
+
+
+91+91
.
10．【2020 年高考全国Ⅱ卷文数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为
调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的
方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区
的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得
20
1
60
i
ix
，
20
1
1200
i
iy
，
20
2
1
) 80
i
i xx
（ ，
20
2
1
) 9000
i
iy y
（ ，
20
1
) ) 800i
i
ix yx y
（ （ ．
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数)；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到 0.01)；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野
生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数 r= 1
2 2
1 1
( (
(
)
) (
)
)
n
i
i i
i i
i i
n n
x y
x
x y
yyx
， 2 ≈1.414．
【解析】（1）由己知得样本平均数
20
1
601
20 i
iy y
，从而该地区这种野生动物数量的估计值为 60×
200=12000．
（2）样本 ( , )i ix y ( 1,2, ,20)i 的相关系数
20
1
20 20
2 2
1 1
) ) 80 2 2 0.94380 9000) )
i
i
i
i
i
i
i
x y
r
x
x y
yx y
（ （
（ （
．
（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对 200 个地块进行分层抽样．
理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物
覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了
样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确
的估计．
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能
力，是一道容易题.
11．（2019 年高考全国Ⅰ卷文数）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位
顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为 0.8，0.6 ；（2）有 95%的把握认为
男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.850
，
因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0.650
，
因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6 ．
（2）由题可得
2
2 100 (40 20 30 10) 4.76250 50 70 30K
．
由于 4.762 3.841 ，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
12．（2019 年高考全国Ⅱ卷文数）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个
企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表．
y 的分组 [ 0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）．（精确到 0.01）
附： 74 8.602 ．
【答案】（1）产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%，产值负增长的企业比例为 2%；（2）这类企
业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 30%，17%．
【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，
所调查的 100 个企业中产值增长率不低于 40%的企业频率为 14 7 0.21100
．
产值负增长的企业频率为 2 0.02100
．
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企
业比例为2%．
（2） 1 ( 0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7) 0.30100y ，
5 22
1
1
100 i i
i
s n y y
2 2 2 2 21 ( 0.40) 2 ( 0.20) 24 0 53 0.20 14 0.40 7100
=0.0296，
0.0296 0.02 74 0.17s ，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．
13．（2019 年高考全国Ⅲ卷文数）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200
只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每
只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离
子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
【答案】（1） 0.35a ， 0.10b ；
（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为 4.05 ， 6.00 ．
【解析】（1）由已知得 0.70 0.20 0.15a ，
故 0.35a ．
1 0.05 0.15 0.70 0.10b ．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2 0.15 3 0.20 4 0.30 5 0.20 6 0.10 7 0.05 4.05 ．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3 0.05 4 0.10 5 0.15 6 0.35 7 0.20 8 0.15 6.00 ．
14．（2018 新课标全国Ⅰ文科）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了
节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用水量 0 0.1， 0.1 0.2， 0.2 0.3， 0.3 0.4， 0.4 0.5， 0.5 0.6， 0.6 0.7，
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用水量 0 0.1， 0.1 0.2， 0.2 0.3， 0.3 0.4， 0.4 0.5， 0.5 0.6，
频数 1 5 13 10 16 5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组
数据所在区间中点的值作代表．）
【解析】（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3 的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3 的概率的估计值为 0.48．
（3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为
1
1 (0.05 1 0.15 3 0.25 2 0.35 4 0.45 9 0.55 26 0.65 5) 0.4850x ．
该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为
2
1 (0.05 1 0.15 5 0.25 13 0.35 10 0.45 16 0.55 5) 0.3550x ．
估计使用节水龙头后，一年可节省水 3(0.48 0.35) 365 47.45(m ) ．
【名师点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布
直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审
题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.
15．(2018 年高考新课标Ⅲ卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两
种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人.第一
组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的
工人数填入下面的列联表：
超过 m 不超过 m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，
2P K k≥ 0.050 0.010
0.001
k 3.841
6.635
10.828
【解析】（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，
用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式的
效率更高.
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟，用第二种
生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产
方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8
大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致
呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生
产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方
式的效率更高.
以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
（2）由茎叶图知 79 81 802m .
列联表如下：
超过 m 不超过 m
第一种生产方式 15 5
第二种生产方式 5 15
（3）由于
2
2 40(15 15 5 5) 10 6.63520 20 20 20K
，
所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
16．（2018 新课标全国Ⅱ文科）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的
折线图．
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型．根据 2000
年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为1, 2, ,17 ）建立模型①： ˆ 30.4 13.5y t ；根据 2010 年
至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1, 2, , 7 ）建立模型②： ˆ 99 17.5y t ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【解析】（1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
y$ =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
y$ =99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=–30.4+13.5t 上下，这
说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
势．2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条
直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016
年的数据建立的线性模型 y$ =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，
因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的预测值 226.1 亿
元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
1．（2021·湖南高三三模）每年的 3 月 15 日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的 20
家肉制品店、100 家粮食加工品店和 15 家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检 27 家，则粮食
加工品店需要被抽检（ ）
A．20 家 B．10 家 C．15 家 D．25 家
2．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三三模（文））三年前，为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富
知识，提高社会实践能力和综合素质，哈三中团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度(单位： cm )的
社会实践活动.利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图.现在，由于原始数据不全，只
能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的中位数.则估计的中位数为（ ）
A． 21.25 B． 22.75 C． 23.25 D． 20.25
3．（2021·江西九江市·高三二模（文））恩格尔系数(Engel’sCoefficien)是食品支出总额占个人消费支出总
额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图为
我国 2013 年至 2019 年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.
给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．②③
4．（2021·陕西宝鸡市·高三三模（文））某居民区有 5000 人自愿接种了抗病毒疫苗，其中 60 ~ 70 岁的老
人有 1400 人，16 ~19岁的中学生有 400 人，其余为符合接种条件的其它年龄段的居民．在一项接种疫苗
的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该居民区 5000 名接种疫苗的人群中抽取 50 人，则从其余符合接种
条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为（ ）
A．14 B．18 C．32 D．50
5．（2021·江西宜春市·高三其他模拟（文））某公司由于改进了经营模式，经济效益与日俱增.统计了 2018
年 10 月到 2019 年 4 月的纯收益 y （单位：万元）的数据，如下表：
月份 十 十一 十二 一 二 三 四
月份代号 t 3 4 5 6 7 8 9
纯收益 y 66 69 73 81 89 90 91
得到 y 关于 t 的线性回归方程为 4.75 51.36y t .请预测该公司 2019 年 6 月的纯收益为（ ）
A．94.11万元 B．98.86 万元
C．103.61万元 D．108.36万元
6．（2021·江西萍乡市·高三二模（文））2021 年 3 月 12 日是全国第 43 个植树节，为提高大家爱劳动的意
识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级 1~11 班植树量的数据(单位：棵)，绘制了下面的折线图.
根据折线图，下列结论不正确的是（ ）
A．各班植树的棵数不是逐班增加的
B．4 班植树的棵数低于 11 个班的平均值
C．各班植树棵数的中位数为 6 班对应的植树棵数
D．1 至 5 班植树的棵数相对于 6 至 11 班，波动更小，变化比较平稳
7．（2021·陕西咸阳市·高三三模（文））某高中在创建文明校园活动中，利用班会对全校学生开展了为期
一周的环保知识培训，为了解培训效果，随机抽取 200 名同学参加环保知识测试，测试共 5 道题，每答对
一题得 20 分，答错得 0 分．已知每名同学至少能答对 2 道题，得分不少于 60 分记为及格，不少于 80 分记
为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．该次环保知识测试及格率为 92%
B．该次环保知识测试得满分的同学有 24 名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该校共有 3000 名学生，则环保知识测试成绩能得优秀的同学大约有 1440 名
8．（2021·江西鹰潭市·高三二模（文））若一组数据 1 2 3, , , , nx x x x 的平均数是 30，另一组数据
1 1 2 2 3 3, , , , n nx y x y x y x y 的平均数是 70, 则第三组数据 1 2 34 1,4 1,4 1, ,4 1ny y y y 的平均
数是___________.
9．（2020·陕西咸阳市·高三三模（文））给出以下四个命题：
①设 , ,a b c 是空间中的三条直线,若 a b , b c ,则 //a c .
②在面积为S 的 ABC 的边 AB 上任取一点 P ,则 PBC 的面积大于 S
4 的概率为 3
4 .
③已知一个回归直线方程为 1.5 45y x 1,5,7,13,19 , 1,2,...,5ix i ,则 58.5y .
④数列 na 为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数.
其中正确命题的序号为________.（把所有正确命题的序号都填上）
10．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有
关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分 (采用百分制)，剔除平均分在 40 分以下的学生
后，共有男生 300 名，女生 200 名.现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，按性别分为两组，
并将两组学生的成绩分为 6 组，得到下表.
分数段
性别
40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100
男/人 3 9 18 15 6 9
女/人 6 4 5 10 13 2
附表及公式：其中 n a b c d ，
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
P （ 2K k ） 0. 100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
（1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别
是否有关；
（2）规定成绩在 80 分以上为优秀(含 80 分) ，请你根据已知条件补全所列的 2×2 列联表，并判断是否有
90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.
优秀 非优秀 合计
男生
女生
合计
11．（2021·江西高三二模（文））某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价 x（单位：万元/吨）
和一天销售量 y（单位：吨）的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图．
x y z
10
2
1
i
i
x
10
2
1
i
i
z
10
1
i i
i
x y
10
1
i i
i
z y
0.33 10 3 0.164 100 68 350
表中 1z x
， 0.2 0.45 ， 4.8 2.19 ．
（1）根据散点图判断， y a bx 与 1y c k x 哪一个更适合作为 y 关于 x 的回归方程；（给出判断即
可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果，试建立 y 关于 x 的回归方程；
（3）若生产 1 吨该产品的成本为 0.20 万元，依据（2）的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利
润最大，并求此时的月利润．（每月按 30 天计算，计算结果保留两位小数）
（参考公式：回归方程 y bx a ，其中
1 1
2 2 2
1 1
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
， a y bx ）
12．（2021·江西鹰潭市·高三二模（文））第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月在中国北京举行.
为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考
核.为了了解本次培训活动的效果，从 A、B 两所大学随机各抽取 10 名学生的考核成绩，并作出如图所示的
茎叶图.
考核成绩 [60,85] [86,100]
考核等级 合格 优秀
（1）计算 A、B 两所大学学生的考核成绩的平均值；
（2）由茎叶图判断 A、B 两所大学学生考核成绩的稳定性；（不用计算）
（3）将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示.现从样本考核等级为优秀的学生中任取 2 人，求 2 人来
自同一所大学的概率.
13．（2021·陕西汉中市·高三二模（文））去年我校有 30 名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与
学生序号之间的统计图如下：
（1）下表是根据统计图中的数据得到的频率分布表，求出 a，b 的值，并估计这些学生面试分数的平均值(同
一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
面试分数 [0，100) [100，200) [200，300) [300，400)
人数 15 a 4 1
频率 1
2 b 2
15
1
30
（2）该大学的招生办从 25～30 号这 6 位学生中随机选择两人进行访谈，求选择的两人的面试分数均在 200
分以上的概率．
14．（2021·山东高三专题练习）某公司对项目进 A 行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
项目 A 投资金额 x （单位：百万元） 1 2 3 4 5
所获利润 y （单位：百万元） 0.3 0.3 0.5 0.9 1
（1）请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；
（2）该公司计划用 7 百万元对 A 、 B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资 1 6x x 百万元所获得
的利润 y 近似满足： 0.490.16 0.491y x x
，求 A 、 B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润
最大？
附：①对于一组数据 1 1,x y 、 2 2,x y 、、 ,n nx y ，其回归直线方程 y bx a $ $ $ 的斜率和截距的最
小二乘法估计公式分别为： 1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
， ˆa y bx ．
②线性相关系数 1
2 22 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x y nx y
r
x nx y ny
．一般地，相关系数 r 的绝对值在 0.95以上（含 0.95）
认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目 A 投资的统计数据表中
1
11
n
i i
i
x y
， 2
1
2.24
n
i
i
y
， 4.4 2.1 ．
15．（2021·吉林吉林市·高二三模（文）） 2020 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新
冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真
抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使
用面积 x 与相应的管理时间 y 的关系如下表所示:
土地使用面积
x （单位：亩）
1 2 3 4 5
管理时间 y（单
位：月）
8 11 14 24 23
并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示;
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 140 60
女性村民 40
（1）做出散点图，判断土地使用面积 x 与管理时间 y 是否线性相关;并根据相关系数 r 说明相关关系的强
弱．(若 0.75r ，认为两个变量有很强的线性相关性， r 值精确到 0.001) .
参考公式：
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
参考数据： 2
16, 206, 515 22.7y y y
（2）完成以下 2 2 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关.
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 140 60
女性村民 40
2
2 ,n ad bcK n a b c da b c d a c b d
2
0P K k 0.050 0.010 0.001
0k 3.841 6.635 10.828
1．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期
间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是
A．年接待游客量逐年增加
B．各年的月接待游客量高峰期大致在 8 月
C．2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
2．据国家统计局发布的数据，2019 年 11 月全国CPI （居民消费价格指数），同比 上涨 4.5% ，CPI 上涨
的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨 3.27 个百分点．下图是 2019 年 11 月CPI
一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有______．
①CPI 一篮子商品中权重最大的是居住
②CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%
③猪肉在 CPI 一篮子商品中权重为 2.5%
④猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为 0.18%
3．足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调
查小组得到如下统计数据：
年份 x 2014 2015 2016 2017 2018
足球特色学校 y（百个） 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
（1）根据上表数据，计算 y 与 x 的相关系数 r，并说明 y 与 x 的线性相关性强弱.
（已知： 0.75 | | 1r ，则认为 y 与 x 线性相关性很强； 0.3 | | 0.75r ，则认为 y 与 x 线性相关性一
般；| | 0.25r ，则认为 y 与 x 线性相关性较）：
（2）求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 A 地区 2020 年足球特色学校的个数（精确到个）.
参考公式和数据：
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
，
2
1
10,
n
i
i
x x
2
1
1.3,
n
i
i
y y
13 3.6056 ，
1
2
1
ˆ ,
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
ˆˆa y bx .
4．在改革开放 40 年成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
年份代码 x 1 2 3 4 5[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 6
年产量（万吨） 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4
（1）根据表中数据，建立 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a ．
（2）根据线性回归方程预测 2020 年该地区该农产品的年产量．
附：对于一组数据 1 1,x y ， 2 2,x y ，…， ,n nx y ，其回归直线方程 ˆˆ ˆy bx a 的斜率和截距的最小二乘
估计分别为
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
， ˆˆa y bx ．（参考数据： 6
1
2.8i i
i
x x y y
，计算结果保
留到小数点后两位）
5.鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢,而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年,有
着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农
历十二月底进行一次性采购小张把去年年底采购鱼卷的数量 x(单位:箱)在 100,200 的客户称为“熟客”,并
把他们去年采购的数量制成下表:
采购数 x 100,120 120,140 140,160 160,180 180,200
客户数 10 10 5 20 5
(I)根据表中的数据作出频率分布直方图,并估计采购数在 168 箱以上(含 168 箱)的“熟客”人数;
(II)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的 5
8 ,估算小张去年年底总的销售量(同
一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(III)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,决定今年年底是否在网上出售鱼卷,若不在网上出售
鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为 20 元,预计销售量与去年持平;若在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下
调 2 至 5 元,且每下调 m 元( 2 5m )销售量可增加 1000m 箱,求小张今年年底收入 Y(单位:元)的最大值.
名校预测
1.【答案】A
【分析】
确定抽样比，即可得到结果.
【详解】
解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检 10027 2020 100 15
（家）.
故选：A.
2.【答案】A
【分析】
根据频率分布直方图中，中位数两侧的频率之和分别都是 0.5，即可结合题中数据，求出结果.
【详解】
由频率分布直方图可得，棉花的纤维长度为 10,20 对应的频率为 0.01 0.07 5 0.40 ；
纤维长度为 20,25 对应的频率为 0.08 5 0.40 ，
所以这一批棉花的纤维长度的中位数为 120 5 21.254
.
故选：A.
3.【答案】C
【分析】
通过对 2013 年至 2019 年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图的分析，了解两者间的相关性而
作出判断.
【详解】
由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，
故两者之间存在负相关关系，结论①正确；
恩格尔系数越小，居民人均可支配收入越多，经济越富裕，结论②正确；
家庭收入越少，人们为解决温饱问题，收入的大部分用来购买食品，结论③错误.
故选：C
4.【答案】C
【分析】
根据分层抽样的定义求抽样人数.
【详解】
1400 400 50 185000
（人），所以从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为50 18 32
（人）.
故选：C.
【点睛】
知识点点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
（1）样本容量与总体的个体数之比等于该层抽取的个体数与该层的个体数；
（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
5.【答案】C
【分析】
根据表格可得 6 月对应的代码为 11t ，代入线性回归方程即可得到答案．
【详解】
将 2019 年 6 月代号 11t 带入题中的线性回归方程，得 4.75 11 51.36 103.61y ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【分析】
从图中直接观察可以判定 AD 正确，结合平均数的定义，将比 4 班多的里面取出部分补到比 4 班少的班中，
可以使得 4 班的植树量最少，从而判定 B 正确；结合中位数的定义可以判定 C 错误.
【详解】
从图可知，2 班的植树量少于 1 班，8 班的植树量少于 7 班，故 A 正确；
4 班的指数棵数为 10，11 个班中只有 2、3、8 班三个的植树棵数少于 10，且大于 5 棵，其余 7 个班的植树
棵数都超过 10 棵，且有 6、7、9、10、11 班五个班的植树棵数都不少于 15 棵，将这五个班中的植树棵数
各取出 5 棵，加到 2、3、8 班中取，除 4 班外，其余各班的植树棵数都超过了 4 班，所以 4 班植树的棵数
低于 11 个班的平均值，故 B 正确；
比 6 班植树多的只有 9、10、11 三个班，其余七个班都比 6 班少，故 6 班所对应的植树棵数不是中位数，
故 C 是错误的；
1 到 5 班的植树棵数的极差在 10 以内，6 到 11 班的植树棵数的极差超过了 15，另外从图明显看出，1 至 5
班植树的棵数相对于 6 至 11 班，波动更小，变化比较平稳，故 D 正确；
综上，不正确的只有 C，
故选：C.
【点睛】
本题考查频数折线图的意义，涉及平均数，中位数，波动大小的判定，难点是平均数的估算，这里采用取
长补短法进行估算，可以避免数字的计算.
7.【答案】D
【分析】
利用测试成绩百分比分布图直接求解即可
【详解】
解：对于 A，由图可知及格率为1 8% 92% ，所以 A 正确；
对于 B，由图可知，该次环保知识测试得满分的同学的百分比为1 8% 32% 48% 12% ，所以该次环
保知识测试得满分的同学有12% 200 24 人，所以 B 正确；
对于 C，由图可知中位数为 80 分，平均数为 40 8% 60 32% 80 48% 100 12% 72 分，所以该
次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数，所以 C 正确；
对于 D，3000 名学生中，环保知识测试成绩能得优秀的同学大约有3000 (48% 12%) 1800 名，所以 D
错误，
故选：D
8.【答案】161
【分析】
根据数据平均数计算公式可得.
【详解】
数据 1 1 2 2 3 3, , , , n nx y x y x y x y 共有 n 个，其平均数为
1 1 1
1 1 1( ) 30 70.
n n n
i i i i
i i i
x y x y yn n n
因此 40y
故数据 1 2 34 1,4 1,4 1, ,4 1ny y y y 的平均数是 4 40 1 161 .
故答案为：161
9.【答案】②③
【分析】
对①,举出反例即可.
对②,根据几何概型的方法确定 PBC 的面积大于 S
4 的概率即可.
对③,利用回归直线方程经过样本中心点求解即可.
对④,举出反例即可.
【详解】
对①,长方体中相交于同一顶点的三条棱互相垂直,满足 a b
r r ,b c ,但 a c .故①错误.
对②,当 PBC 的面积大于 S
4 时, 1
4 AB PB AB ,故②正确.
对③,易得 1 1 5 7 13 19 95x ,又 1.5 45 1.5 9 45 58.5y x ,故③正确.
对④, 0na 也为等差数列,但通项公式不为 n 的一次函数.故④错误.
故②③正确.
故答案为：②③
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判定,包括空间中的线面位置关系判定、几何概型、回归方程与等差数列等,需要
根据各章节的知识点进行证明或者举出反例,属于中档题.
10.【答案】（1）答案见解析；（2）2×2 列联表见解析，没有 90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有
关”.
【分析】
（1）计算出男、女生各自的平均分，从结果可得答案；
（2）计算出 2K ，根据临界值表可得结果.
【详解】
（1）男生的平均分 1
45 3 55 9 65 18 75 15 85 6 95 9 71.560x
女生的平均分 2
45 6 55 4 65 5 75 10 85 13 95 2 71.540x
从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关.
(2)由题表可知， 在抽取的 100 名学生中，男生组中成绩优秀的有 15 人，女生组中成绩优秀的有 15 人，据
此可得 2×2 列联表如下：
优秀 非优秀 合计
男生 15 45 60
女生 15 25 40
合计 30 70 100
计算可得 2
2 100 15 25 15 45 1.786 2.70630 70 60 40K
所以没有 90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.
11.【答案】（1） 1y c k x ；（2） 55y x
；（2）预计定价为 0.45 万元/吨吋，该产品一天的利润
最大，此时的月利润为 45.00 万元．
【分析】
（1）根据散点图作出判断；
（2）根据（1）的判断结果，令 1z x
，则 y c k z ，计算系数即可得到方程；
（3）建立利润函数，利用均值不等式求最值即可.
【详解】
解：（1）根据散点图知 1y c k x 更适合作为 y 关于 x 的回归方程．
（2）令 1z x
，则 y c k z ，
则
10
1
10 2
2 2
1
10 350 10 10 3 5100 10 310
i i
i
i
i
z y z y
k
z z
，
5c y k z ， 55y x
， y 关于 x 的回归方程为 55y x
．
（3）一天利润为 5 0.2( 0.20) 5 ( 0.2) 6 5 6 10 0.2 1.5T y x x xx x
．
（当且仅当 0.2x x
即 0.45x 时取等号）
每月的利润为30 1.5 45.00 （万元）
预计定价为 0.45 万元/吨吋，该产品一天的利润最大，此时的月利润为 45.00 万元．
【点睛】
方法点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计
算 2
1 1
, , ,
n n
i i i
i i
x y x x y
的值；③计算回归系数 ˆˆ,a b ；④写出回归直线方程为 ˆˆ ˆy bx a ； 回归直线过样本点中
心 ,x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
12.【答案】（1）80，80；（2）A 所大学学生的成绩比 B 所大学学生的成绩稳定；（3） 2
5 .
【分析】
（1）直接利用平均数公式计算得解；
（2）直接观察茎叶图判断 A、B 两所大学学生考核成绩的稳定性；
（3）直接利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
（1） 64 75 78 78 79 72 85 86 91 92 800 8010 10Ax
67 62 70 79 78 87 84 85 95 93 800 8010 10Bx
（2）由茎叶图可知，A 所大学学生的成绩比 B 所大学学生的成绩稳定.
（3）记事件 M 为“从样本考核等级为优秀的学生中任取 2 人，
2 人来自同一所大学”.本中，A 校考核等级为优秀的学生共有 3 人，分别记为 a，b，c，B 校考核等级为优秀
的学生共有 3 人，分别记为 A，B，C，从这 6 人中任取 2 人，所有的基本事件个数为 ab ，ac ，aA ，aB ，
aC ，bc ，bA，bB ，bC ，cA，cB，cC ， AB ， AC ，BC 共 15 种，而事件 M 包含的基本事件是 ab ，
ac ，bc ， AB ， AC ， BC 共 6 种，
因此 6 2
15 5P M .
【点睛】
方法点睛：求古典概型的概率的解题步骤：（1）求出总的基本事件的总数；（2）求出事件 A 的基本事件
的总数；（3）代入古典概型的概率公式求解.
13.【答案】（1）a＝10，b＝ 1
3
；面试分数的平均值为 120 分；（2） 1
5
．
【分析】
（1）由已知及频率分布表即可求参数 ,a b，进而根据所得表格数据求平均值即可.
（2）列举出 25～30 号学生的所有可能的两人组合，根据折线图有 25，26，27 这三个号的学生面试分数均
在 200 分以上，即可求概率.
【详解】
（1）面试分数在[100,200)内的学生共有 30－15－4－1＝10(名)，故 a＝10，b＝ 10
30
＝ 1
3
，
估计这些学生面试分数的平均值为 50× 1
2
＋150× 1
3
＋250× 2
15
＋350× 1
30
＝120(分)．
（2）从 25～30 号学生中任选两人的选择方法有(25,26)，(25,27)，(25,28)，(25,29)，(25,30)，(26,27)，(26,28)，
(26,29)，(26,30)，(27,28)，(27,29)，(27,30)，(28,29)，(28,30)，(29,30)共 15 种，而由折线图知：25 号，26
号，27 号学生的面试分数均在 200 分以上，
∴选择的两人的面试分数均在 200 分以上的选择方法有(25,26)，(25,27)，(26,27)共 3 种，故选择的两人的面
试分数均在 200 分以上的概率为 3
15
，即 1
5
．
14.【答案】（1） 0.2y x ；答案见解析；（2）对 A 、 B 项目分别投资 4.5 百万元， 2.5 百万元时，获得
总利润最大．
【分析】
（1）计算出 x 、 y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出 b 、 a 的值，可得出回归直线方程，
并计算出相关系数 r 的值，可得出结论；
（2）求得 0.491.93 0.04 11y xx
，利用基本不等式可求得 y 的最大值，利用等号成立求得 x 的值，
即可得出结论.
【详解】
解：（1）对项目 A 投资的统计数据进行计算，有 3x ， 0.6y ，
5
2
1
55i
i
x
，
所以
5
1
5 222
1
5 11 9 0.255 5 35
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
， 0.6 0.2 3 0a y bx ，
所以回归直线方程为： 0.2y x .
线性相关系数
5
1
5 5 2 22 22 2
1 1
5 11 9
55 5 3 2.24 5 .65 5
i i
i
i i
i i
x y x y
r
x x y y
2 0.9534 0.95
4.4
，
这说明投资金额 x 与所获利润 y 之间的线性相关关系较强，
用线性回归方程 0.2y x 对该组数据进行拟合合理；
（2）设对 B 项目投资 1 6x x 百万元，则对 A 项目投资 7 x 百万元．
所获总利润 0.49 0.490.49 0.2 7 1.93 0.6 04 11 1 10. x xy x x x
0.491.93 2 0.04 1 1.651 xx
，
当且仅当 10 0.0 41 94 .x x
，即 2.5x 时取等号，
所以对 A 、 B 项目分别投资 4.5 百万元， 2.5 百万元时，获得总利润最大．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15.【答案】（1）散点图见解析，有线性相关， 0.947 0.75r ，故有很强的线性相关性；（2）列联表
见解析，有99.9%的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关.
【分析】
（1）根据数据，做出散点图，进而根据其可以判断有线性相关，再根据数据计算相关系数即可.
（2）根据题意补全列联表，再根据独立性检验思想计算 2K ，并结合已知数据判断即可.
【详解】
（1）根据表中数据得散点图如图，
由散点图可知土地使用面积 x 与管理时间 y 有线性相关.
1 1 2 3 4 5 35x ， 16y ，
所以
1
2 8 1 5 0 1 8 2 7 43
n
i i
i
x x y y
，
2
1
4 1 0 1 4 10
n
i
i
x x
，
所以
1
2 2
1 1
43 43 43 0.947 0.752 22.710 206 2 515
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
，
所以两个变量有很强的线性相关性.
（2）由于男性村民有 200 人，故女性村民有 100 人，
所以补全列联表得：
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 140 60 200
女性村民 40 60 100
合计 180 120 300
计算 2K 得 2
2 300 140 60 40 60 25 10.828180 120 100 200K
，
所以有99.9%的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关.
【点睛】
本题考查散点图，相关系数，独立性检验等，考查运算求解能力，数据分析处理能力，是中档题.本题解题
的关键在于根据已知数据，结合已知的公式，进行数据计算，再计算过程中要仔细，认真，避免出错.
专家押题
1.【答案】C
【解析】由 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量的折线图得：
在 A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故 A正确；
在 B 中，各年的月接待游客量高峰期都在 8 月，故 B 正确；
在C 中，2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数小于 30，故C 错误；
在 D 中，各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确．
2.【答案】①②③
【解析】对于①，CPI 一篮子商品中居住占 23% ，所占权重最大，故①正确；
对于②， CPI 一篮子商品中吃穿住所占19.9% 8% 23% 50.9% ，权重超过50%，故②正确；
对于③，由第二个图可知，猪肉在CPI 一篮子商品中权重为 2.5% ，故③正确；
对于④，由第二个图可知，猪肉与其他禽肉在 CPI 一篮子商品中权重约为 2.5% 2.1% 4.6% ，故④错
误.
故答案为：①②③.
3．【答案】（1） 0.998 ，y 与 x 线性相关性很强;（2） ˆ 0.36 724.76y x ，244
【解析】（1）由题得 2016,x 1y
所以
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
3.6
10 1.3
3.6 0.998 0.73.6056
，
y 与 x 线性相关性很强.
（2）
5
1
5 2
1
ˆ
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
( 2) ( 0.7) ( 1) ( 0.4) 1 0.4 2 0.7
4 1 0 1 4
0.36 ，
ˆˆa y bx 1 2016 0.36 724.76 ，
y 关于 x 的线性回归方程是 ˆ 0.36 724.76y x .
当 2020x 时， ˆ 0.36 724.76y x 2.44 ，
即该地区 2020 年足球特色学校有 244 个.
4.【答案】（1） 0.16 6.44y x ；（2）7.56 万吨
【解析】（1）由题意可知：
1 2 3 4 5 6 3.56x ， 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4 76y ，
6 2 2 2 2 2 2 2
1
( 2.5) ( 1.5) ( 0.5) 0.5 1.5 2.5 17.5i
i
x x
，
所以
1
2
1
2.8ˆ 0.1617.5
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
，
又 7 0.16 3.5 6.44a y bx ，
故 y 关于 x 的线性回归方程为 0.16 6.44y x ．
（2）由（1）可得，当年份为 2020 年时，年份代码为 7x ，此时 0.16 7 6.44 7.56y ．
所以可预测 2020 年该地区该农产品的年产量约为 7.56 万吨．
5.解： (1)作出频率分布直方图,如图
根据上图,可知采购量在 168 箱以上(含 168 箱)的“熟客”人数为 180 16850 20 0.005 0.020 1720
(2)去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为
110 10 130 10 150 5 170 20 190 5 7500 (箱)
小张去年年底总的销售量为 57500 120008
(箱)
(3)若不在网上出售鱼卷,则今年年底小张的收入为 1200 20 240000Y (元);
若在网上出售鱼卷,则今年年底的销售量为 12000 100m 箱,每箱的利润为 20 m ,
则今年年底小张的收入为
2 2(20 ) (12000 1000 ) 1000 8 240 1000 ( 4) 256Y m m m m m ,
当 4m 时, Y 取得最大值 256000
∵ 256000 240000 ,
∴小张今年年底收入Y 的最大值为 256000 元.
时间：6 月 3 日 今日心情：
核心考点解读——数系的扩充与复数的引入
考纲解读
复数的有关概念（II）
复数的代数表示法及几何意义（I）
复数的四则运算（II）
高考预测
1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要在选择题、填空题中，考查复数的概念、模、
几何意义及复数代数形式的四则运算.
2.从考查内容来看，主要考查复数的几何意义的理解，复数的模的表示以及复数代数形式的
四则运算.
3.从考查热点来看，复数代数形式的四则运算是高考命题的热点，以复数的四则运算法则为
依据，对复数的加、减、乘、除进行求值计算.
应试技巧
1.数系的扩充
数系的扩充：自然数集 N ，整数集 Z ，有理数集Q ，实数集 R ，复数集C ，其从属关系
用集合来表示为 N Z Q R C .
2.复数的有关概念
(1)复数的表示： 1 i( , )z a b a b R ， a ：复数的实部；b ：复数的虚部；i ：虚数单位，
规定： 2i 1 .
(2)复数的分类：若 0b ，则复数为实数；若 0b ，则复数为虚数；若 0, 0a b ，则复
数为纯虚数.
(3)复数相等：若 i i( , , , )a b c d a b c d R ，则 ,a c b d .
(4) 共 轭 复 数 ： 若 1 i( , )z a b a b R 与 2 i( , )z c d c d R 互 为 共 轭 复 数 ， 则
,a c b d .记作 2 1z z .
(5)复数的模：若 1 i( , )z a b a b R ，则复数的模为 2 2iz a b a b .
(6)复数的几何意义： 1 i( , )z a b a b R 与复平面上的点 ( , )Z a b 一一对应；与向量
( , )OZ a b 一一对应.
3.复数代数形式的四则运算
(1)设 1 i( , )z a b a b R ， 2 i( , )z c d c d R ，则
1 2 ( i) ( i) ( ) ( )iz z a b c d a c b d ，
1 2 ( i) ( i) ( ) ( )iz z a b c d a c b d ，
1 2 ( i) ( i) ( ) ( )iz z a b c d ac bd ad bc ，
1
2 2
2
i ( i)( i) ( )i
i ( i)( i)
z a b a b c d ac bd bc ad
z c d c d c d c d
.
(2)复数代数形式的四则运算满足分配律、结合律等.复数的除法运算一般是将分母实数化，
即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法运算加以化简.
(3)几个常见的复数运算的技巧：
4 4 1 4 2 4 3i 1,i i i 1,i i( )k k k k k N， ；
2 2(1 i) 2i,(1 i) 2i ；
1 i 1 ii, i1 i 1 i
；
22z z z z ；
若 1 3 i2 2w ，则 3 21,1 0w w w .
(4)注意复数代数形式的四则运算与复数几何意义的综合应用.
1．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】若 31 2i iz ，则| | =z
A．0 B．1
C． 2 D．2
【答案】C
【解析】因为 31+2 1+2 1z i i i i i ，所以 2 21 1 2z ．
故选 C．
【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．
2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】（1–i）4=
A．–4 B．4
C．–4i D．4i
【答案】A
【解析】 4 2 2 2 2 2(1 ) [(1 ) ] (1 2 ) ( 2 ) 4i i i i i .
故选 A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
3．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】若 )(1 i 1 iz ，则 z=
A．1–i B．1+i C．–i D．i
【答案】D
【解析】因为
21 (1 ) 2
1 (1 )(1 ) 2
i i iz ii i i
，所以 z i= .
故选：D
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
4．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】 2 i
1 2i
A．1 B．−1
C．i D．−i
【答案】D
【解析】 2 (2 )(1 2 ) 5
1 2 (1 2 )(
i i i i ii 1 2 )i i 5
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．【2020 年高考北京】在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (1,2) ，则i z
A．1 i2 B． 2 i
C．1 2i D． 2 i
【答案】B
【解析】由题意得 1 2iz ， i i 2z .故选：B．
【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．（2019 年高考全国Ⅰ卷文数）设 3 i
1 2iz
，则| |z
A． 2 B． 3
C． 2 D．1
【答案】C
【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得 z ，再求| |z 即可．
【解析】方法 1：由题可得 (3 i)(1 2i) 1 7 i(1 2i)(1 2i) 5 5z ，所以 2 21 7( ) ( )| | 25 5z ，故选 C．
方法 2：由题可得
2 2
2 2
| 3 i | 10| | 2|1 2i
3 ( 1
| 5
)
1 2
z
，故选 C．
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模
的运算性质直接求解．
7．（2019 年高考全国Ⅱ卷文数）设 )i i(2z ，则 z
A．1 2i B． 1 2i
C．1 2i D． 1 2i
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算法则先求得 z ，然后根据共轭复数的概念写出 z 即可．
【解析】由题可得 2i(2 i) 2i i 1 2iz ，所以 1 2iz ，故选 D．
【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的
考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误．
8．（2019 年高考全国Ⅲ卷文数）若 (1 i) 2iz ，则 z
A． 1 i B． 1 i
C．1 i D．1 i
【答案】D
【解析】由题可得 ( )
(
2i 2i 1 i 1 i1 i 1 i 1 i)( )z ．故选 D．
【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
9．（2019 年高考北京卷文数）已知复数 2 iz ，则 z z
A． 3 B． 5
C．3 D．5
【答案】D
【解析】因为 2 iz ，所以 2 iz ，所以 (2 i)(2 i) 5z z ，故选 D．
10．（2018 新课标 I 文科）设 1 i 2i1 iz
，则 z
A． 0 B． 1
2
C．1 D． 2
【答案】C
【解析】
1 i 1 i1 i 2i 2i1 i 1 i 1 iz
i 2i i ，则 1z .
故选 C.
【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理
解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数
的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.利用复数的除
法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 z ，然后求解复数的模.
11．（2018 新课标Ⅲ文科） 1 i 2 i
A． 3 i B． 3 i
C．3 i D．3 i
【答案】D
【解析】 21 i 2 i 2 i 2i i 3 i .
故选 D.
【名师点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.由复数的乘法运算展开即可.
12．（2018 新课标 II 文科） i 2 3i
A．3 2i B．3 2i
C． 3 2i D． 3 2i
【答案】D
【解析】 2i 2 3i 2i 3i 3 2i .
故选 D.
【名师点睛】复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数
主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此
类问题时，注意避免忽略 2i 1 中的负号导致出错.根据公式 2i 1 ，可直接计算得 i 2 3i 3 2i .
13．【2020 年高考江苏】已知i 是虚数单位，则复数 (1 i)(2 i)z 的实部是 ▲ ．
【答案】3
【解析】∵复数 i1 2 iz
∴ 2i i i2 i2 3z
∴复数的实部为 3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．
14．（2019 年高考天津卷文数）i 是虚数单位，则 5| i
i |1
的值为______________．
【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
【答案】 13
【解析】由题可得 5 i (5 i)(1 i)| | | | | 2 3i | 131 i (1 i)(1 i)
．
15．（2019 年高考江苏卷）已知复数 ( 2i)(1 i)a 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是
______________．
【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得 z ，然后根据复数的概念，令实部为 0 即得 a 的值．
【答案】 2
【解析】由题可得 2( 2i)(1 i) i 2i 2i 2 ( 2)ia a a a a ，令 2 0a ，解得 2a ．
【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解
能力．
1．（2021·江西鹰潭市·高三二模（文））复数 z 满足 (1 ) 2 2z i i （i 是虚数单位），则 z 的模| |z （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·陕西宝鸡市·高三二模）复数 2
1
iz i
（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021·江西上饶市·高三二模（文））已知复数 z 满足 2 3 4z i i （其中i 为虚数单位），则复数
z 的共轭复数为（ ）
A．1 2i B．1 2i C． 2 i D． 2 i
4．（2021·陕西汉中市·高三二模（文））在复平面内，复数 1 2,z z 对应的点关于实轴对称， 1 1 2z i ，则 1 2z z
（ ）
A．-5 B．5 C．1-4i D．-1+4i
5．（2021·河北承德市·高三二模）设 a R 且 0a ，若复数 3(1 )ai 是实数，则 2a （ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
6．（2021·贵州高三其他模拟（文））已知i 为虚数单位，复数 5
2z i
的虚部为（ ）
A．1 B．2 C．i D． 2i
7．（2021·陕西渭南市·高三二模（文））在复平面内，若复数 z 对应的点与复数1 i 对应的点关于实轴对
称，则 z
i
（ ）
A．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i
8．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）若 1
3 4
ai
i
为纯虚数，i 为虚数单位，则实数 a 的值为（ ）
A． 3
4
B． 4
3 C． 3
4 D． 4
3
9．（2021·陕西西安市·高三一模（文））若 2z i ，则 2z z =（ ）
A． 10 B．2 C． 26 D．3
10．（2021·陕西咸阳市·高三三模（文））设 1 2 1 6 (i y x i i 为虚数单位， )x y R､ ，则 x yi
（ ）
A． 4 3i B． 4 3i
C．3 4i D．3 4i
11．（2021·湖南永州市·高三三模）已知i 为虚数单位，复数 (2 )(1 )z i ai ， a R ，若 z R ，则 a
（ ）
A． 1
2 B． 1
2
C． 2 D． 2
12．（2021·湖北高三二模）设复数 1 3z i ，若 2
1
z iz
，则 1 2z z ________.
13．（2021·山西高三一模（理））若 1 3z i （其中 i 为虚数单位），则 3z ____________．
1．设复数 z 满足（1+i）z＝2，则复平面内表示 z 的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数 i( )z a a R ，若 8z z ，则复数 z （ ）
A. 4 i B. 4 i
C. 4 i D . 4 i
3．若复数 z 满足(3-4i)z=5(1-i),其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部为
A.1 1. 5B
1.5C D.-1
4.已知 i 是虚数单位，若
3
2
i az i
是纯虚数，则实数 a=
A.1 B. 1
2
C. 1
2
D.-2
5．已知复数
th
th
，则复数 z 的 虚部为______．[来源:Z.Com]
6．已知复数 z 满足 1 3iz i （i 为虚数单位），则复数 z __________.
名校预测
1.【答案】B
【分析】
由复数乘除运算法则求得复数 z ，然后计算模长即可.
【详解】
由题知
22 2 (2 2 )(1 ) 2 4 2 21 1 (1 ) 2
i i i i iz ii i i
则 2z
故选：B
2.【答案】A
【分析】
根据复数的除法和乘法的运算法则化简复数的表示，最后判断即可.
【详解】
复数
2 1 2 12 11 1 1 2
i i i iiz ii i i
在复平面上对应的点 1,1 位于第一象限.
故选：A.
3.【答案】C
【分析】
根据复数模的公式，结合复数除法运算的法则、共轭复数的定义进行求解可.
【详解】
解：∵ 2 3 4z i i ，
∴
2 23 4 3 4 5 5(2 ) 22 2 2 (2 )(2 )
i iz ii i i i i
，
∴ 2z i ，
故选：C．
4.【答案】B
【分析】
根据对称得 2 1 2z i ，再由复数的乘法计算即可.
【详解】
复数 1 2,z z 对应的点关于实轴对称， 1 1 2z i ，
所以 2 1 2z i ，
所以 1 2 (1 2 )(1 2 ) 1 4 5z z i i .
故选：B.
5.【答案】C
【分析】
对给定式子进行运算，利用复数为 0 的充要条件求解即得.
【详解】
因为 23 3 2 3(1 ) 1 3 3( ) ( ) 1 3 3ai ai ai ai a a a i ，
所以 33 0a a ，又 0a ，所以 2 3a .
故选：C
6.【答案】A
【分析】
根据复数的除法运算化简复数可得选项.
【详解】
解：复数 5 5(2 ) 5(2 ) 22 (2 )(2 ) 5
i iz ii i i
的虚部为 1，
故选：A.
7.【答案】B
【分析】
由题意先求出复数 z ，然后再求出 z
i
的值
【详解】
解：因为复数 z 对应的点与复数1 i 对应的点关于实轴对称，
所以 1z i ，
所以 2
1 (1 ) (1 ) 1z i i i i i ii i i
，
故选：B
8.【答案】A
【分析】
先对复数化简，然后令实部为零，虚部不为零，可求出实数 a 的值
【详解】
因为
1 3 4 33 41
3 4 3 4 3 4
4
25 25
ai iai
i i
a
i
a i
为纯虚数，
所以
3 4 025
3 4 025
a
a
，
所以 3
4a .
故选：A
9.【答案】A
【分析】
根据复数的运算法则，以及复数模的计算公式，即可得出结果.
【详解】
因为 2z i ，所以 22 2 2 4 4 1 2 1 3z z i i i i i ，
因此 2 2 21 3 10z z .
故选：A.
10.【答案】B
【分析】
由题中条件，根据复数相等列出方程组，求出 ,x y ，即可得出结果.
【详解】
由 1 2 1 6i y x i ，可得 2 1 6y yi x i ，
则 1
2 6
y x
y
，解得 4
3
x
y
，因此 4 3x yi i .
故选：B.
11.【答案】B
【分析】
利用复数乘法的四则运算法则，计算 2 1 2z a a i ，利用复数的基本概念可解出 a 的值.
【详解】
解： (2 )(1 ) 2 1 2z i ai a a i ，
因为 z R ，所以1 2 0a ，解得： 1
2a .
故选：B.
12.【答案】 2 2
【分析】
根据复数的乘法运算求出 2z ，再根据复数的加法运算求出 1 2z z ，再根据复数的模长公式可求出结果.
【详解】
1 3z i ， 2 1z z i ( 3 ) 1 3i i i ，
1 2 1 3 ( 3 1)z z i ，
所以 1 2z z 2 2| 1 3 ( 3 1) | ( 1 3) ( 3 1) 2 2i .
故答案为： 2 2
13.【答案】8
【分析】
根据复数的乘法运算，准确计算，即可求解.
【详解】
由复数 1 3z i ，可得 2 2( 1 3 ) 2 2 3z i i ，
进而可得 3 ( 2 2 3 )( 1 3 ) 8z i i .
故答案为：8
专家押题
1．【答案】D
【解析】∵（1+i）z＝2，∴ ，
则复平面内表示 z 的点位于第四象限．故选：D．
2．【答案】B
【解析】由题意， i( )z a a R ， iz a ，所以 i i 8a a ，解得 4a ，故 z 4 i .
故选：B.
3．【答案】C
【解析】根据已知得 5(1 ) 5(1 )(3 4 ) 7
3 4 (3 4 )(3 4 ) 5
i i i iz i i i
，故虚部为 1
5
，故选 C。
4.【答案】B
【解析】据题，得到
3 ( )(2 ) 2 1 2
2 (2 )(2 ) 5 5
i a i a i a az ii i i
，因而选 B。
5．【答案】
【解析】
th
th
ሺthܣሺthܣ
ሺthܣሺthܣ
t
h
，
复数 z 的虚部为
．故答案为：
．
6．【答案】 3 i
【解析】
2
2
1 3 3 3 31
i i i iz ii i
3z i .
故答案为：3 i
时间：6 月 4 日 今日心情：
时间：6 月 4 日 今日心情：
核心考点解读——算法初步
考纲解读
算 法 的 概 念 （I）
程序框图（II）
基本算法语句（I）
高考预测
1.从考查题型来看，主要在选择题、填空题中考查程序框图与基本算法语句.
2.从考查内容来看，主要考查程序框图的理解与应用，根据程序的功能将框图补充完整或通
过框图判断输入或输出的结果；根据基本算法语句的功能运行程序，解决问题.
3.从考查热点来看，程序框图是高考命题的热点，其中循环结构的程序框图更是几乎每年必
考.
应试技巧
1.算法的概念
算法具有有限性、确定性、顺序性、正确性、不唯一性及普遍性的特点，即根据不同的思
维方式，对同一个问题，可以设计出不同的算法，但其针对的问题是同一个.
2.程序框图
(1)程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算
法的图形.一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程
序框外必要的文字说明.
(2)算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.
①顺序结构
顺序结构由若干个依次执行的步骤组成.
如下图中，A 框和 B 框是依次执行的，只有在执行完 A 框指定的操作后，才能接着执
行 B 框所指定的操作.
A
B
②条件结构
条件结构是指在算法中通过对条件的判断，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结
构.根据是否满足条件而选择执行步骤 A 或步骤 B，且只能执行步骤 A 或步骤 B 之一，不
可能同时执行步骤 A 或步骤 B，也不可能步骤 A 或步骤 B 都不执行.一个条件结构可以有
多个判断框.
③循环结构
当型循环结构是当给定的条件成立时，执行循环体，直到某一次条件不成立为止，此时不
再执行循环体，终止循环.
直到型循环结构是先执行循环体，然后判断给定的条件是否成立，如果不成立，则继续执
行循环体，直到某一次给定的条件成立为止，此时不再执行循环体，终止循环.
当型循环结构 直到型循环结构
3.基本算法语句
（1）输入语句、输出语句和赋值语句
语句 一般格式 功能
输入语句 INPUT “提示内容”；变量 输入信息
输出语句 PRINT “提示内容”;表达式
输出常量、变量的值和系统
信息
赋值语句 变量＝表达式 将表达式代表的值赋给变量
对于赋值语句，需注意以下几点：
（1）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量
或算式；
（2）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的.赋值号的左右两边
不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；
（3）不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、因式分解、解方程等）；（4）对于
一个变量可以多次赋值，但只保留最后一次所赋的值.
2.条件语句
（1）条件语句的功能
条件语句的功能是实现程序框图中的条件结构.
（2）条件语句的格式
①IF—THEN—END IF 语句(一个分支的条件结构)；
②IF—THEN—ELSE—END IF 语句(两个分支的条件结构).
③条件语句的嵌套
条件语句的嵌套是条件结构嵌套的实现和表达.
其一般格式如下：
IF 条件 1 THEN
语句体 1
ELSE
IF 条件 2 THEN
语句体 2
ELSE
语句体 3
END IF
END IF
对应的程序框图如图所示.
3.循环语句
（1）循环语句的功能
循环语句的功能是实现程序框图中的循环结构.
（2）循环语句的格式
①UNTIL 语句
②WHILE 语句
1．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】执行下面的程序框图，则输出的 n=
A．17 B．19 C．21 D．23
【答案】C
【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的 n 是满足1 3 5 100n 的最小正奇数，
因为
2
11 1 121 3 5 1 1002 4
nn
n n
，解得 19n ，
所以输出的 21n ．
故选：C.
【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前 n 项和公式的应用，属于基础题．
2．【2020 年高考全国Ⅱ卷文数】执行下面的程序框图，若输入的 k=0，a=0，则输出的 k 为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 k 值
模拟程序的运行过程：
0, 0k a ，
第 1 次循环， 2 0 1 1a , 0 1 1k ，1 10 为否；
第 2 次循环， 2 1 1 3a , 1 1 2k ，3 10 为否；
第 3 次循环， 2 3 1 7a , 2 1 3k ， 7 10 为否；
第 4 次循环， 2 7 1 15a , 3 1 4k ，15 10 为是 ，
退出循环.
输出 4k .
故选：C.
【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能
力和计算能力，属于基础题.
3．（2019 年高考天津卷文数）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为
A．5 B．8
C．24 D．29
【答案】B
【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．
【解析】 1, 2S i ； 11, 1 2 2 5, 3j S i ； 8, 4S i ，
结束循环，输出 8S ．故选 B．
【名师点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
4．（2019 年高考北京卷文数）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可．
【解析】初始： 1s ， 1k ，
运行第一次，
22 1 23 1 2s
， 2k ，
运行第二次，
22 2 23 2 2s
， 3k ，
运行第三次，
22 2 23 2 2s
，结束循环，
输出 2s ，
故选 B．
【名师点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．
5．（2019 年高考全国Ⅰ卷文数）如图是求
1
12 12 2
的程序框图，图中空白框中应填入
A． 1
2A A
B． 12A A
C． 1
1 2A A
D． 11 2A A
【答案】A
【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征
与程序框图结构，即可找出作出选择．
【解析】初始： 1 , 1 22A k ，因为第一次应该计算
1
12 2
= 1
2 A
， 1k k =2；
执行第 2 次， 2 2k ，因为第二次应该计算
1
12 12 2
= 1
2 A
， 1k k =3，
结束循环，故循环体为 1
2A A
，故选 A．
【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 1
2A A
．
6．（2019 年高考全国Ⅲ卷文数）执行下边的程序框图，如果输入的 为 0．01，则输出 s 的值等于
A． 4
12 2
B． 5
12 2
C． 6
12 2
D． 7
12 2
【答案】C
【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果．
【解析】输入的 为 0.01，
11, 0 1, 0.01?2x s x 不满足条件；
1 10 1 , 0.01?2 4s x 不满足条件；
6
1 1 10 1 , 0.0078125 0.01?2 2 128S x 满足条件，结束循环；
输出 6 7 6
1 1 1 11 2 (1 ) 22 2 2 2S ，故选 C．
【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．
7．（2018 新课标全国Ⅱ文科）为计算 1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S … ，设计了下面的程序框图，则在空白
框中应填入
A． 1i i B． 2i i
C． 3i i D． 4i i
【答案】B
【解析】由 1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S … 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.
因此在空白框中应填入
h h t
，
选 B.
8．【2020 年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 2 ，则输入 x 的值是_____.
【答案】 3
【解析】由于 2 0x ，所以 1 2y x ，解得 3x .
故答案为： 3
【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.
9．（2019 年高考江苏卷）下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是______________．
【答案】5
【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可．
【解析】执行第一次， 1 , 1 42 2
xS S x 不成立，继续循环， 1 2x x ；
执行第二次， 3 , 2 42 2
xS S x 不成立，继续循环， 1 3x x ；
执行第三次， 3, 3 42
xS S x 不成立，继续循环， 1 4x x ；
执行第四次， 5, 4 42
xS S x 成立，输出 5.S
【名师点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：（1）要明确程序框图的顺序结构、条件结构
和循环结构；（2）要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；（3）按照题目的要求完成解
答并验证．
1．（2021·江西鹰潭市·高三二模（文））执行如图所示的程序框图，若输入的 t 为区间 1 ,1010
内任意一
个数，则输出的 M 的取值范围为（ ）
A． 1( , 2] ,2
B． 12, 2
C． 10, 2,2
D． 1, 2 0, 2
2．（2021·江西萍乡市·高三二模（文））执行如图所示的程序框图，则输出的 y 值为（ ）
A． 2018
1
2 B． 2019
1
2 C． 2020
1
2 D． 2021
1
2
3．（2021·陕西宝鸡市·高三三模（文））执行如图所示程序框图，则输出的 s （ ）
A．50l B．642 C．645 D．896
4．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（文））执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A．4 B．5
C．6 D．8
5．（2021·河南高三二模）执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为 7，则框图中①处可以填入（ ）
A． 7S B． 21S
C． 28S D． 36S
6．（2021·河南郑州市·高三其他模拟（文））执行如图所示的程序框图，若输出的 0S ，则空
白判断框中可填入的条件是（ ）
A． 3?n B． 4?n C． 5?n D． 6?n
7．（2021·全国高三其他模拟（文））某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值为100
101
，则 n （ ）
A．99 B．100 C．101 D．102
8．（2021·辽宁高三二模）如图所示，流程图所给的程序运行结果为 840S ，那么判断框中所填入的关于
k 的条件是（ ）
A． 5?k B． 4?k
C． 3?k D． 2?k
9．（2021·安徽合肥市·高三二模（文））秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出
的多项式求值算法，至今仍是比较先进的算法.如图是秦九韶算法的一个程序框图，执行该程序框图，若输
入 x a ， 2n ，输出 26s ，则输入的实数 a 的值为（ ）
A．-4 或-3 B．-3 或 4 C．-4 或 3 D．3 或 4
10．（2021·江西九江市·高三二模（文））《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的是卷
下第 26 题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”是中国最早一
元线性同余方程组问题，如图为由该算法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出的结果是
___________.
11．（2021·江西高三二模（文））中国的太极图是由黑白两个鱼形图案拼成的一个完整的圆形，喻示着阴
阳相互转化又相互对立的基本道理，是反映我国传统哲学中辩证思想的一种象征性符号．若阴表示数字 1，
阳表示数字 0，这蕴含了二进制的思想．图中的程序框图的算法思路就源于我国古代的哲学辩证思想．执行
该程序框图，若输入 10101011a ， 2k ， 8n ，则输出的b ___________．
12．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大
公约数是一个伟大创举.这个伟大是举与古希腊算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗
转相除法”，若输入 288a ， 123b ，输出结果时，循环体被执行了___________次.
13．（2021·河南高三三模（文））执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出i 的值为______．
1．在如图所示的程序框图中，若输出的值是 3，则输入的 x 的取值范围是（ ）
A. (2, ) B. (4,10] C. (2,4] D. (4, )
2．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十
稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数 n 被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7
除余 4，求 n 的最小值．按此口诀的算法如图，则输出 n 的结果为（ ）
A．53 B．54
C．158 D．263
3．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）
A．输出 3(1 2 3 4 2018) 的值 B．输出 3(1 2 3 4 2017) 的值
C．输出 3(1 2 3 4 2019) 的值 D．输出1 2 3 4 2018 的值
4．执行如图所示的程序框图，若输出的 26S ，则判断框内应填入的条件是（ ）
A． 3?k B． 4?k
C． 4?k D． 3?k
名校预测
1.【答案】D
【分析】
根据程序框图写出函数 ( )M f t 的表达式，运用换元法、结合分式型函数、对钩函数的单调性进行求解即
可.
【详解】
由程序框图可知：当 1 ,1010
t 时，有： 2
lg ,1 10lg 1
(lg ) 1 1, 1lg 10
t ttM
t tt
，
设 lgx t ，所以 2
,0 11
1, 1 0
x xxM
x tx
，
当 0 1x 时， 1( ) 11 1
xM x x x
，显然此时函数 ( )M x 是单调递增函数，
所以有 1(0) ( ) (1) 0 2M M x M M ；
当 1 0x 时，
2 1 1( ) xM x xx x
，显然此时函数 ( )M x 是单调递减函数，
所以有 ( ) ( 1) 2M x M M ，
故选：D
【点睛】
关键点睛：根据程序框图写出函数 ( )M f t 的表达式，运用换元法是解题的关键.
2.【答案】D
【分析】
逐步模拟程序框图，计算 y 的值，当 2022x 时退出循环，求得输出 y 的值.
【详解】
模拟运行程序：
开始 1, 1x y ;
进入循环，判断为否， 1 , 22y x ；
判断否， 2
1 , 32y x ；
判断否，……，
以此类推，
判断否， 2021
1 , 20222y x ；
判断是，结束循环，输出 2021
1
2y .
故选：D.
【点睛】
本题考查程序框图的输入输出值的确定，涉及循环结构，属基础题，根据程序逐行模拟即得
3.【答案】B
【分析】
根据框图，逐一写出各个循环的运算结果，直到 s>500，跳出循环，得到输出值.
【详解】
s=0,m=1;
s=0+1×21=2，m=1+1=2,s≤500；
s=2+2×22=10，m=2+1=3,s≤500；
s=10+3×23=34,m=3+1=4, s≤500；
s=34+4×24=98,m=4+1=5, s≤500；
s=98+5×25=258,m=5+1=6, s≤500；
s=258+6×26=642，m=6+1=7, s>500；
结束循环，输出 s=642.
故选:B.
【点睛】
本题考查程序框图的输入输出值的确定，涉及循环结构，根据程序逐行模拟运算即得.
4.【答案】B
【分析】
模拟程序运行，判断循环条件，可得输出结果．
【详解】
解： 1n ， 12 2a ， 4 1 4b ，否； 2n ， 22 4a ， 4 2 8b ，否；
3n ， 32 8a ， 4 3 12b ，否； 4n ， 42 16a ， 4 4 16b ，是，
所以 2 2log 16 16 log 32 5T ，所以输出 5，
故选：B.
5.【答案】B
【分析】
根据程序流程图，结合循环语句的特点及题设输出的结果写出执行步骤，进而确定框图中的条件即可.
【详解】
由程序流程图，其执行逻辑及对应输出如下：
1、 1, 0i S ：输出 1S ，执行循环，则 2i ；
2、 2, 1i S ：输出 3S ，执行循环，则 3i ；
3、 3, 3i S ：输出 6S ，执行循环，则 4i ；
4、 4, 6i S ：输出 10S ，执行循环，则 5i ；
5、 5, 10i S ：输出 15S ，执行循环，则 6i ；
6、 6, 15i S ：输出 21S ，执行循环，则 7i ；
7、 7, 21i S ：输出 28S ，此时根据条件跳出循环，输出 7i .
∴只有 B：当 21S 符合要求.
故选：B.
6.【答案】C
【分析】
模拟执行程序框图，直到 0S 时满足判断框要求输出结果，由此可确定判断框内的条件.
【详解】
模拟执行程序框图，
输入 160S ， 1n ，不满足 10S ，则 80S ， 2n ，需不满足判断框，循环；
不满足 10S ，则 40S ， 3n ，需不满足判断框，循环；
不满足 10S ，则 20S ， 4n ，需不满足判断框，循环；
不满足 10S ，则 10S ， 5n ，需不满足判断框，循环；
满足 10S ，则 0S ， 6n ，需满足判断框，输出 0S ；
判断框中的条件应为： 5?n .
故选：C.
7.【答案】B
【分析】
根据框图知，程序实现当 k n 时，求 1 1 1
1 2 2 3 ( 1)S k k
的功能，由裂项相消求和即可求解.
【详解】
根据框图可知， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1001 =11 2 2 3 ( 1) 2 2 3 +1 1 1 101
kS k k k k k k
，
即 100k ，
即 100n ，
故选：B
8.【答案】B
【分析】
根据程序输出结果，列出执行步骤及各步的结果，直到出现 840S 时，由 k 的值确定判断框的条件即可.
【详解】
由程序流程的输出结果，知：
1、 1, 7S k ：执行循环， 7, 6S k ；
2、 7, 6S k ：执行循环， 42, 5S k ；
3、 42, 5S k ：执行循环， 210, 4S k ；
4、 210, 4S k ：执行循环， 840, 3S k ；
由题设输出结果为 840S ，故第 5 步输出结果，此时 3 4k .
故选：B.
9.【答案】C
【分析】
根据程序框图一步一步计算，然后根据输出的结果，可得结果.
【详解】
由 0, 0, , 2k s x a n
第一步： 0 2 2, 1s a k
第二步： 2 2, 2s a k
第三步： 2 2 2, 3s a a k
所以 2 2 2 26 4a a a 或 3a
故选：C
10.【答案】6
【分析】
根据程序框图，对每一步进行计算直到得到结果为止.
【详解】
模拟程序的运行，可得
3n ， 1i
7n ， 2i
不满足判断框条件， 11n ， 3i
不满足判断框条件， 15n ， 4i
不满足判断框条件， 19n ， 5i
不满足判断框条件， 23n ， 6i
满足判断框条件，故输出的i 的值为 6.
故答案为：6.
11.【答案】43
【分析】
模拟程序运行，确定变量的值，判断循环条件可得结论．．
【详解】
按照程序框图执行，b 依次为 0，1，3，3，11，11，43，43．当 43b 时， 7 1 8i ，跳出循环，故输
出 43b ．
故答案为：43．
12.【答案】4
【分析】
根据程序框图，输入 288a ， 123b ，执行循环，逐次计算，结合判定条件，即可求得答案.
【详解】
由题意得输入 288a ， 123b ，
执行第一次循环，288 除以 123 的余数 r=42，a=123，b=42， 0r ，
执行第二次循环，123 除以 42 的余数 r=39，a=42，b=39， 0r
执行第三次循环，42 除以 39 的余数 r=3，a=39，b=3， 0r ，
执行第四次循环，39 除以 3 余数 r=0，a=3，b=0，跳出循环，输出 a=3，结束.
共执行了 4 次循环.
故答案为：4
13.【答案】4
【分析】
根据程序逐一判断和运算，即得结果.
【详解】
由程序框图知，
当 3n 时，
第一次循环：“ 1n ”否，“ n 是奇数”是，则 3 1 4n ， 1 1 2i ；
第二次循环：“ 1n ”否，“ n 是奇数”否，则 4 22n ， 2 1 3i ；
第三次循环：“ 1n ”否，“ n 是奇数”否，则 2 12n ， 3 1 4i ；
满足条件“ 1n ”，结束循环，
输出i 的值为 4．
故答案为：4.
【点睛】
含有循环结构的程序框图问题，根据框图的结构，逐次循环，注意条件的检验是关键.
专家押题
1．【答案】B
【解析】设输入 x a ，
第一次执行循环体后， 3 2x a ， 1i ，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后， 9 8x a ， 2i ，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后， 27 26x a ， 3i ，满足退出循环的条件；
故 9 8 82a ，且 27 26 82a ，
解得： (4,10]a ，
故选：B．
2．【答案】A
【解析】正整数 n 被 3 除余 2，得 n＝3k+2，k∈N；
被 5 除余 3，得 n＝5l+3，l∈N；被 7 除余 4，得 n＝7m+4，m∈N；求得 n 的最小值是 53．
3．【答案】A
【解析】第一次运行时， 2, 3 3 2k S ；
第二次运行时， 3, 3 3 2 3 3k S ；
第三次运行时， 4, 3 3 2 3 3 3 4,k S … ，
以此类推，第 2017 次运行时，
2018, 3 3 2 3 3 3 2018k S ，
此时刚好不满足 2018k ，
故输出 3(1 2 3 4 2018)S ，
则该程序的功能是“输出 3(1 2 3 4 2018) 的值”.
故选 A.
4．【答案】C
【解析】 1, 1; 2, 4; 3, 11; 4, 26.k S k S k S k S
满足 26S ，退出循环体，所以条件语句是 4?k
故选:C
时间：6 月 5 日 今日心情：
核心考点解读——推理与证明
考纲解读
合情推理与演绎推理（I）
综合法与分析法（I）
反证法（I）
高考预测
1.从考查题型来看，以选择题、填空题为主，重点在于考查推理的应用以及学生联想、归纳、
假设、证明的数学应用能力.
2.从考查内容来看，主要考查归纳、类比推理，以及综合函数、导数、不等式、数列等知识
考查直接证明和间接证明，要能够对数学结论作简单证明.
3.从考查热点来看，推理是高考命题的热点，以合情推理与演绎推理为主线，考查学生联想、
归纳、假设、证明的能力，对数学知识、结论掌握的程度.
应试技巧
1.合情推理与演绎推理
(1)合情推理
合情推理分为归纳推理与类比推理，归纳推理的特点是由特殊到一般，由局部到整体.类
比推理的特点是由特殊到特殊.
归纳推理的主要考查类型是：与等式、不等式联系，通过观察所给的几个等式或不等式两
边式子的特点，发现隐含的规律；与数列联系，先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是
属于未知的一般结论，这是一种不完全归纳；与图形联系，合理利用给出的特殊图形归纳
推理，得出结论，并可用赋值检验法验证真假.
类比推理主要就是找出两类事物之间的相似性或一致性，根据这一特性，用一类事物的性
质去推测另一类事物的性质，并得出一个明确的命题或猜想.
(2)演绎推理
演绎推理的模式：三段论：大前提、小前提、结论.其特点是由一般到特殊的推理.
若大前提与小前提都成立，则结论也成立.
(3)注意点
i)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，以防犯机械类比的错
误.
ii)合情推理是从已知的结论推测未知的推论，发现与猜想的结论还需要进一步严格证明.
iii)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明数学问题，要注意推理过程的严密性，
书写格式的规范性.
2.直接证明与间接证明
(1)直接证明：综合法与分析法
综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推
导出要证明的结论成立.综合法是由因导果.
分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结
论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.分析法是执
果索因.
综合法与分析法是两种思路相反的证明方法，分析法侧重于结论提供的信息，综合法则侧
重于条件提供的信息.要把两者结合起来全方位综合分析信息，寻找合理的解题思路.没有
分析，就没有综合，分析是综合的基础，两者相辅相成.
要注意分析法的证明格式：要证明……，即证明……，即证明……，因为……，所以结论
成立.
(2)间接证明
反证法：从命题结论的反面出发，通过推理，引出矛盾，从而肯定命题的结论.
应用反证法解决问题的一般步骤为：首先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，
然后从假设出发进行正确推理，直到推出矛盾为止，最后由矛盾得到假设不成立，从而肯
定原命题成立.
1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i169.89.
②头顶至脖子下端长度为 26 cm，
即 AB
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