1
5 月 21 日 解三角形 ………………………………………………………1
5 月 22 日 平面向量………………………………… ……………………16
5 月 23 日 数列 ………………………………………………………31
5 月 24 日 不等式 ……………………………………………………54
目 录 / contents
1
时间：5 月 21 日 今日心情：
核心考点解读——解三角形
一、考纲解读
1.正弦定理及其应用（II）
2.余弦定理及其应用（II）
3.三角形面积公式的应用（II）
4.解三角形的实际应用（II）
二、高考预测
1.涉及本单元的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三
角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综
合.
2.从考查难度来看，本单元试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积
公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.
3.从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要
能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意
三角形本身具有的性质的应用.
三、知识回顾
一、正弦定理
1．正弦定理
在 ABC△ 中，若角 A，B，C 对应的三边分别是 a，b，c，则各边和它所对角的正弦的
比相等，即
sin sin sin
a b c= =A B C .正弦定理对任意三角形都成立．
2．常见变形
（1）
sin sin sin, , , sin sin , sin sin , sin sin ;sin sin sin
A a C c B b a B b A a C c A b C c BB b A a C c
（2）
;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin
a b c a b a c b c a b c
A B C A B A C B C A B C
2
（3） : : sin :sin :sin ;a b c A B C
（4）正弦定理的推广： = = =2sin sin sin
a b c RA B C
，其中 R 为 ABC△ 的外接圆的半径.
3．解决的问题
（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
4．在 ABC△ 中，已知 a ，b 和 A 时，三角形解的情况
二、余弦定理
1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积
的 两 倍 ， 即
2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos , 2 cos 2 cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ，
2．余弦定理的推论
从余弦定理，可以得到它的推论：
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos , cos ,cos2 2 2
b c a c a b a b cA B Cbc ca ab
.
3
3．解决的问题
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．
4．利用余弦定理解三角形的步骤
三、解三角形的实际应用
1．三角形的面积公式
设 ABC△ 的三边为 a，b，c，对应的三个角分别为 A，B，C，其面积为 S.
（1） 1
2S ah (h 为 BC 边上的高)；
（2） 1 1 1sin sin sin2 2 2S bc A ac B ab C ；
（3） 1 ( )2S r a b c ( r 为三角形的内切圆半径)．
2．三角形的高的公式
hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．
3．测量中的术语
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角
(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角
相对于某一正方向的水平角.
4
①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；
②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
③南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；
②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比．
4．解三角形实际应用题的步骤
四、应试技巧
1.正弦定理及其应用
(1) 2sin sin sin
a b c RA B C
表示三角形中对边与对角正弦值的比值关系及与其外接圆
的直径之间的等量关系.
(2)能够利用正弦定理进行边、角计算：已知两角和一边求其他的边、角；已知两边和一对
角求其他的边、角等，此时要根据“大边对大角”的性质注意三角形解的问题.
(3)注意利用正弦定理实现边、角的互化，如“ a b ”可转化为“sin sinA B ”等，转化过程
中要注意平衡，如“ 2 2a b ”不可转化为“ 2sin 2sinA B ”.
2.余弦定理及其应用
(1) 2 2 2 2 cosa b c bc A 表示三角形中三边与任意角之间的等量关系.
(2)能够利用余弦定理进行边、角计算：已知三边求角；已知两边和一夹角求对边；已知两
5
边和一对角求其他的边、角等.此时利用余弦定理可以通过解方程清楚了解三角形的解的
问题.
3.三角形的面积公式及其应用
(1)三角形的面积公式： 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B ，利用三角形的两边及一夹
角求面积.
(2)注意三角形的面积公式与正弦定理、余弦定理之间的联系
4.解三角形的应用
通过正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式所建立起来的边、角的等量关系，不仅要
能够求解三角形的边与角，还要能够求解三角形的面积问题，考查三角形的形状问题，
利用公式、定理转化，建立等边三角形、等腰三角形、直角三角形等的判定条件，确定
三角形的形状.
5.解三角形的实际应用
解三角形的实际应用主要是实际问题中的测量问题，如测量角度问题，仰角、俯角、方
位角、视角等；测量距离问题；测量高度问题等.此类问题的关键在于通过构造三角形，
应用正弦定理、余弦定理进行求解测量.
6.解三角形与其他知识的综合
(1)解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问
题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“ 2 2, ,a b ab a b ”之间的等量
关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.
(2)注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也
注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.
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真题回顾
1．（2020 全国Ⅱ理 17） ABC△ 中， 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C ．
（1）求 A ；
（2）若 3BC ，求 ABC△ 周长的最大值．
【答案】（1） 2
3
；（2）3 2 3 ．
【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 cos A的形式，进而求得 A；
（2）利用余弦定理可得到 2 9AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得 AC AB 的
6
最大值，进而得到结果．
【解析】（1）由正弦定理可得： 2 2 2BC AC AB AC AB ，
2 2 2 1cos 2 2
AC AB BCA AC AB
，
0,A ， 2
3A ．
（2）由余弦定理得： 2 2 2 2 22 cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，
即 2 9AC AB AC AB ．
2
2
AC ABAC AB （当且仅当 AC AB 时取等号），
2
2 2 239 2 4
AC ABAC AB AC AB AC AB AC AB
，
解得： 2 3AC AB （当且仅当 AC AB 时取等号），
ABC 周长 3 2 3L AC AB BC ， ABC 周长的最大值为3 2 3 ．
2．（2020 江苏 16）在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 3a ， 2c ，
45B ．
（1）求sinC 的值；
（2）在边 BC 上取一点 D ，使得 4cos 5ADC ，求 tan DAC 的值．
【答案】见解析
【解析】（1）由余弦定理，得
2 2 2 211 2cos cos45 2 26 2
a c b bB ac
，
7
因此 2 5b ，即 5b ，由正弦定理
sin sin
c b
C B
，得 2 5
sin 2
2
C
，因此 5sin 5C ．
（2）∵ 4cos 5ADC ，∴ 2 3sin 1 cos 5ADC ADC ，
∵ ( , )2ADC ，∴ (0, )2C ，∴ 2 2 5cos 1 sin 5C C ，
∴
sin sin( ) sin( )DAC DAC ADC C
2 5sin cos cos sin 25ADC C ADC C ，∵ (0, )2DAC ，∴
2 11 5cos 1 sin 25DAC DAC ，故 sin 2tan cos 11
DACDAC DAC
．
3．（2020 天津 16）在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ．已知
2 2, 5, 13a b c ．
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ） 求 sin A 的值；
（Ⅲ）求sin 2 4A
的值．
【答案】（Ⅰ）
4C = ；（Ⅱ） 2 13sin 13A ；（Ⅲ） 17 2sin 2 4 26A
．
【思路导引】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2 ,cos2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即
可．
【解析】（Ⅰ）在 ABC 中，由 2 2, 5, 13a b c 及余弦定理得
2 2 2 8 25 13 2cos 2 22 2 2 5
a b cC ab
，
又因为 (0, )C ，所以
4C = ．
8
（Ⅱ）在 ABC 中，由
4C = ， 2 2, 13a c 及正弦定理，可得
22 2sin 2sin
13
a CA c
2 13
13
；
（Ⅲ）由 a c 知角 A 为锐角，由 2 13sin 13A ，可得 2cos 1 sinA A 3 13
13
，
进而 212 5sin2 2sin cos ,cos2 2cos 113 13A A A A A ，
所以 12 2 5 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin4 4 4 13 2 13 2A A A 17 2
26
．
4．（2020浙江18）
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2 sin 3b A a ．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I）
3B ；（II） 3 1 3,2 2
【思路导引】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的
大小；
（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三
角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得
cos cos cosA B C 的取值范围．
【解析】（I）由 2 sin 3b A a 结合正弦定理可得： 32sin sin 3 sin , sin 2B A A B ，
△ABC 为锐角三角形，故
3B ．
（II）结合(1)的结论有：
1 2cos cos cos cos cos2 3A B C A A
1 3 1cos cos sin2 2 2A A A 3 1 1sin cos2 2 2A A 1sin 6 2A
．
9
由
20 3 2
0 2
A
A
可得：
6 2A ， 2
3 6 3A ，则 3sin ,13 2A
，
1 3 1 3sin ,2 23 2A
，即 cos cos cosA B C 的取值范围是 3 1 3,2 2
．
5．（2020 山东 17）
在① 3ac ，② sin 3c A ，③ 3c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
若问题中的三角形存在，求 c 的值 ；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ABC△ ，它的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且sin 3sinA B ，
π
6C ， ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【思路导引】由题意结合所给的条件首先设出 a，b 的长度，然后结合余弦定理和正弦定理
解三角形确定边长 c 即可．
【解析】选择条件①的解析：
由sin 3sinA B= 可得： 3a
b
，不妨设 3 , 0a m b m m ，
则： 2 2 2 2 2 232 cos 3 2 3 2c a b ab C m m m m m ，即 c m ．
据此可得： 23 3 3ac m m m ， 1m ，此时 1c m ．
选择条件②的解析：由sin 3sinA B= 可得： 3a
b
，不妨设 3 , 0a m b m m ，
则： 2 2 2 2 2 232 cos 3 2 3 2c a b ab C m m m m m ，即 c m ．
据此可得：
2 2 2 2 2 2
2
3 1cos 2 2 2
b c a m m mA bc m
，则：
21 3sin 1 2 2A
，
此时： 3sin 32c A m ，则： 2 3c m ．
选择条件③的解析：由sin 3sinA B= 可得： 3a
b
，不妨设 3 , 0a m b m m ，
10
则： 2 2 2 2 2 232 cos 3 2 3 2c a b ab C m m m m m ，即 c m ．
据此可得 1c m
b m
， c b ，与条件 3c b 矛盾，则问题中的三角形不存在．
名校预测
1．（2021·山东高考模拟）在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ， 4a ， 2 3b ，
cos (2 )cosc B a b C ，则 ABC 的面积为______．
2.(2021·广东佛山)如图，在平面四边形 ABCD 中，∠ABC＝3π
4
，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若 AC＝ 5，求
△
ABC 的面积；
(2)若∠ADC＝π
6
，CD＝4，求 sin∠CAD.
3.(2020·)在
△
ABC 中，已知 c＝2，若 sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，则 a＋b 的
取值范围为________．
4.（2021·山东高考模拟（理））设锐角三角形 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，
若 2, 2a B A ，则b 的取值范围为（ ）
A． (0,4) B． (2,2 3)
C． (2 2,2 3) D． (2 2,4)
专家押题
1．平面四边形
′㔶⸸
中，
′㔶 ᦙ䁡
，
′ s′㔶
，
㔶
，
′⸸ ′
，
㔶⸸
，
则四边形
′㔶⸸
的面积为
A．
B． 7 3
2
C．
D．
s
11
2．已知△ABC 外接圆的半径为 3 ，内角 A ，B ，C 对应的边分别为 a ，b ，c ，若 60A ，
2b ，则 c 的值为____________．
3．在 ABC△ 中，D 为 BC 边上一点，若 ABD△ 是等边三角形，且 4 3AC ，则 ADC△
的面积的最大值为 .
4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西
偏北30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角
为30 ，则此山的高度 CD ___________m.
5．已知△ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 π , 6,1 43C a b ，则 sin A 的
取值范围为__________.
6．在△ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，已知 π
2A ， sin 2 6cos sinb A A B .
（1）求 a 的值；
（2）若 π
3A ，求△ABC 周长的取值范围.
答案
名校预测
1．【答案】6
【解析】 在 ABC 中，由正弦定理知 2sin sin sin
a b c RA B C
，又
(2 ) cos cosa b C c B ，
12
2sin cos sin cos cos sinA C B C B C ,即 2sin cos sinA C A ，
0 A ， sin 0A ； 1cos 2C ，又 0 C ，
3C ，
1 1 3sin 4 2 3 62 2 2ABCS ab C ．故答案为：6．
2．【答案】（1）1
2
（2）2 5
5
【解析】(1)在
△
ABC 中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即 5＝1＋BC2＋ 2BC，解得 BC＝ 2，
所以
△
ABC 的面积 S
△
ABC＝1
2AB·BC·sin∠ABC＝1
2×1× 2× 2
2
＝1
2.
(2)设∠CAD＝θ在
△
ACD 中，由正弦定理得 AC
sin∠ADC
＝ CD
sin∠CAD
，即 AC
sinπ
6
＝ 4
sin θ
， ①
在
△
ABC 中，∠BAC＝π
2
－θ，∠BCA＝π－3π
4
－
π
2
－θ ＝θ－π
4
，
由正弦定理得 AC
sin∠ABC
＝ AB
sin∠BCA
，即 AC
sin3π
4
＝
1
sin θ－π
4
，②
①②两式相除，得
sin3π
4
sinπ
6
＝4sin θ－π
4
sin θ
，即 4
2
2 sin θ－ 2
2 cos θ ＝ 2sin θ，
整理得 sin θ＝2cos θ.又因为 sin2θ＋cos2θ＝1，
所以 sin θ＝2 5
5
，即 sin∠CAD＝2 5
5 .
3．【答案】(2,4]
【解析】∵sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，∴a2＋b2－ab＝c2，∴cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＝1
2
，又
∵C∈(0，π)，∴C＝π
3.由正弦定理可得 a
sin A
＝ b
sin B
＝ 2
sinπ
3
＝4 3
3
，∴a＝4 3
3 sin A，b＝4 3
3 sin
B．又∵B＝2π
3
－A，∴a＋b＝4 3
3 sin A＋4 3
3 sin B＝4 3
3 sin A＋4 3
3 sin
2π
3
－A ＝4sin A＋π
6 .
又∵A∈ 0，2π
3 ，∴A＋π
6
∈
π
6
，5π
6 ，∴sin A＋π
6 ∈
1
2
，1 ，∴a＋b∈(2,4]．
（2）∵ 2 cos cosb C c B ，∴ 2sin cos sin CcosB C B ，
4．【答案】C
13
【解析】由锐角三角形 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，若 2, 2a B A ，
0 2 2A ， 3A B A , 32 A
6 3A ， 0 4A 2 3cos2 2A
2, 2a B A ,由正弦定理得 1 2cos2
b b Aa
，即 4cosb A
2 2 4cos 2 3A 则 b 的取值范围为 (2 2,2 3) ,故选 C.
专家押题
1．【答案】B
【解析】如图，
因为
′ s′㔶
，所以设
′ sʹ′㔶
，
又
′㔶 ᦙ䁡
，
㔶
，
所以由
㔶
s
′
s
′㔶
s
s′′㔶cos′㔶
，
得
⸱
s
s
⸱
s
cosᦙ䁡
s
，所以
，
所以
′ sʹ′㔶
，
又
′⸸ ′
，所以
⸸′㔶 䁡
，
由余弦定理可得，
㔶⸸
s
′⸸
s
′㔶
s
s′⸸′㔶cos⸸′㔶
，
可得
′⸸
s
′⸸
，解得
′⸸ s
，
故 1 1 sin602 2△ △四边形 ABD CBDABCDS S S AB BD BC BD
1 1 3 7 32 2 3 3 2 32 2 2 2
.
故选 B.
14
2．【答案】 6 1
【解析】由正弦定理可得： 2 2 3sin sin sin
a b c RA B C
，
2 3sin60
a
，解得： 3a ，
由余弦定理可得： 2 2 2 22 cos 4 2 9a b c bc A c c ，
解得： 1 6c 或1 6 （舍去）， 6 1c .
3．【答案】 4 3
【解析】如图.
在 ACD△ 中，
2 2 2 2 2 48cos 2 2 2
AD DC AC AD DCADC AD DC AD DC
1 ，
整理得 2 2 48 2AD DC AD DC AD DC ，
∴ 16AD DC ，当且仅当 AD=DC 时取等号，
∴ ADC△ 的面积 1 3sin 4 32 4S AD DC ADC AD DC ，
∴ ADC△ 的面积的最大值为 4 3 ．
4．【答案】 6100
【 解 析 】 依 题 意 ， 30BAC ， 105ABC ， 在 ABC△ 中 ， 由
180 ACBBACABC ，
得 45ACB ，因为 600mAB ，所以由正弦定理可得 30sin45sin
600 BC ，即
2300BC m.
在 Rt BCD△ 中，因为 30CBD ， 300 2mBC ，所以
2300
30tan CD
BC
CD ，
所以 6100CD m.
15
5．【答案】 3 93 ,131
【解析】∵ π , 6,1 43C a b ，
∴由余弦定理可得： 22 2 2 236 6 3 27 c a b ab b b b ，
∴ 22 3 27 27,31 c b ，
∴ 3 3, 31 c ，
由正弦定理
sin sin
a c
A C
，可得
36·sin 3 3 3 932sin ,131
a CA c c c
．
故答案为 3 93 ,131
．
6．【解析】（1）由 sin 2 6cos sinb A A B 及二倍角公式得 sin 3sinb A B ，
又
sin sin
a b
A B
即 sin sinb A a B ，所以 3a .
（2）由正弦定理得 sin 2 3sinsin
a Bb BA
， sin 2 3sinsin
a Cc CA
，
则△ABC 的周长为：
2π3 2 3sin 2 3sin 3 2 3sin 2 3sin( )3a b c B C B B
3 3 π3 2 3 sin cos 3 6sin2 2 6B B B
，
又因为 2π(0, )3B ，所以 π π 5π( , )6 6 6B ，则 π 1sin ( ,1]6 2B .
从而 π3 6sin (6,9]6B .
因此△ABC 周长的取值范围是 6,9 .
16
时间：5 月 22 日 今日心情：
核心考点解读——集合与常用逻辑用语
一、考纲解读
1.平面向量的有关概念（II）
2.平面向量的线性运算（II）
3.平面向量基本定理（I）
4.平面向量的数量积运算及坐标表示（II）
5.平面向量的应用（II）
二、高考预测
1.涉及本单元知识的题目，一般以选择题、填空题的形式出现，考查平面向量概念的正误，
应用三角形法则或平行四边形法则进行平面向量的线性运算，应用平面向量基本定理表示
平面向量，平面向量的数量积运算及向量的坐标化表示与运算，体现了平面向量的几何性
与代数性.注意向量在解析几何、三角函数中的应用.
2.从考查难度来看，考查本单元内容的题目一般难度不大，需注意运算过程中几何图形的辅
助效果.
3.从考查热点来看，向量线性运算及数量积运算是高考命题的热点，要能够利用回路三角形
法则表示向量，掌握向量数量积的运算法则，熟练进行数量积运算.
三、知识回顾
一、平面向量的相关概念
名称 定义 表示方法 注意事项
向量
既有大小又有方向的量叫做向
量；向量的大小叫做向量的长度
(或模)
向量 AB
或 a ；
模| |AB
或| |a
平面向量是自由向量
零向量
长度等于 0 的向量，方向是任意
的
记作 0 零向量的方向是任意的
单位向
量
长度等于 1 个单位的向量 常用 e 表示 非零向量 a 的单位向量是
17
| |
a
a
平行向
量
方向相同或相反的非零向量
a 与b 共线可
记为 a b
0 与任一向量平行或共线
共线向
量
平行向量又叫共线向量
相等向
量
长度相等且方向相同的向量 a b
两向量只有相等或不等，不
能比较大小
相反向
量
长度相等且方向相反的向量 a b 0 的相反向量为 0
二、平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且
只有一对实数λ1，λ2，使 1 1 2 2 a e e .其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所
有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
三、平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底，对
于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得 a=xi＋yj，
这样，平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定，我们把（x，y）叫做向量 a 的坐标，记
作 a=（x，y），其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标.
四、平面向量的坐标运算
1．向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 AB
=（x2－x1，y2－y1）.
2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，
λy1），
|a|= 2 2
1 1+x y ，|a＋b|= 2 2
1 2 1 2( + ) +( + )x x y y .
3．平面向量共线的坐标表示
18
设 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a∥b
⇔
x1y2－x2y1=0.
4．向量的夹角
已知两个非零向量 a 和 b，作OA
=a，OB
=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量 a 与 b
的夹角.如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
五、平面向量的数量积
1．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量 ,a b ，我们把数量| || | cosa b 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，
记作 a b ,即 a b | || | cosa b ，其中θ是a 与 b 的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为 0.
（2）投影的概念
设非零向量 a 与 b 的夹角是θ，则| | cosa (| | cosb )叫做向量 a 在b 方向上(b 在 a 方
向上)的投影.
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a 与 b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量 a 在
b 方向上的投影的情形，其中 1OB | | cosa ，它的意义是，向量 a 在向量 b 方向上
的投影长是向量 1OB
的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到 a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度| |a 与 b
在 a 方向上的投影| | cosb 的乘积.
2．平面向量数量积的运算律
已知向量 , ,a b c 和实数 ,则
①交换律： a b b a ；
19
②数乘结合律： ( ) ( ) a b a b = ( )a b ；
③分配律： ( ) a b c = a c b c .
六、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y a b ， 是a 与 b 的夹角.
（1）数量积： a b 1 2 1 2| || | cos x x y y a b .
（2）模： 2 2
1 1| | x y a a a .
（3）夹角： cos | || |
a b
a b
1 2 1 2
1
2
1 2
2 2 2
2
x x y y
x y x y
.
（4）垂直与平行： 0 a b a b 1 2 1 2 0x x y y ；a∥b
⇔
a·b=±|a||b|.
【注】当 a 与b 同向时, | || | a b a b ；
当 a 与 b 反向时, a b | || | a b .
（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)
⇔
1 2 1 2 1
2 2 2 2
21 2| |x x y y x y x y .
七、平面向量的应用
1．向量在平面几何中常见的应用
已知 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y a b .
（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：
∥a b a b 1 2 2 1x y x y 0( ) 0b
（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直
等，常用向量垂直的条件：
0 a b a b 1 2 1 2x x y y 0 （其中 ,a b 为非零向量）
（3）求夹角问题，若向量 a 与 b 的夹角为 ，利用夹角公式：
cos
| || |
a b
a b
1 2 1 2
1
2
1 2
2 2 2
2
x x y y
x y x y
（其中 ,a b 为非零向量）
（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：
| |a 1 1
2 2x y ，
20
或| | | |AB AB 2 2
3 4 3 4( ) ( )x x y y （其中 ,A B 两点的坐标分别为
3 3 4 4( , ),( , )x y x y ）
（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标
法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.
2．向量在物理中常见的应用
（1）向量与力、速度、加速度及位移
力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.
（2）向量与功、动量
力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的
数量积，即W
| | | | cos ( F s F s 为 F 和 s 的夹角).
四、应试技巧
1.平面向量的有关概念问题
(1)知道向量的定义及其表示，注意与数量的区别.知道向量既有大小又有方向.
(2)了解几个常见向量，如单位向量、零向量；了解共线向量、相等向量、相反向量指的是
两个向量之间的关系.能够通过大小、方向对这些向量进行区分判断，并简单判断真假.
2.平面向量的线性运算
(1)应用平行四边形法则与三角形法则进行向量的加法运算与减法运算，注意法则应用的区
分，向量共起点时可以使用平行四边形法则；一个向量的终点在另一个向量的起点时，这
两个向量的加法则可以使用三角形法则，如 AB BC AC
.
(2)共线向量体现了两个向量在同向或反向的情况下其模的大小的等量关系，通常可表示为
b a ，其中 0a ， 为确定的常数.
3.平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理反映了如何用平面内两个不共线的向量来唯一线性表示任意向量的原
理，数学表达式为 c a b ，此处 ,a b 要不共线， , 要唯一确定.通常把不共线的 ,a b
称为一组基底.应该明确基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为基底去表示平面
21
内的任意一个向量.
(2)当基底单位正交时（即垂直且模为 1），可以建立平面直角坐标系，利用坐标来表示向量，
( , )x ya ， 也 可 以 利 用 向 量 的 起 点 、 终 点 坐 标 的 确 定 来 表 示 向 量 ， 如 若
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 1 2 1( , )AB x x y y
.
(3)向量的坐标化线性运算：设 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y a b ，
则 1 2 1 2( , )x x y y a b ， 1 1( , )x y a ；
若 ∥a b ，则 1 2 2 1 0x y x y .
4.平面向量数量积的运算及其坐标化运算
(1)掌握向量数量积运算的定义 cos a b a b ，理解其几何意义：a 在 b 方向上的投影：
cosa .注意根据向量夹角的变化，其投影可能为负，可能为正，也可能为 0.
(2)掌握向量的运算法则及相关性质：如 ( ) a b c a c b c ； 22 a a ；若 a b ，则
0 a b 等，并作简单的应用.
(3)掌握向量数量积的坐标化运算：设 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y a b ，则 1 2 1 2x x y y a b ；
2 2
1 1x y a ；若 a b，则 1 2 1 2 0x x y y a b ； 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos , x x y y
x y x y
a b .
5.平面向量的应用
(1)应用向量考查模的大小或模的取值范围问题，可以从向量坐标化的角度进行处理，注意
对模 2 2x y a 的使用，同时注意对等式含义的表述，如 2 2 1x y 表示向量的终点
在以 (0,0) 为圆心，半径为1的圆上等.也可以利用条件中所呈现的几何意义，结合向量数
量积公式进行转化.
(2)以向量为载体研究三角函数问题，利用向量数量积的坐标表示，确立三角函数关系式，
并利用三角恒等变换化简为 sin( )y A x 的形式，然后利用整体代换来考查函数的
相关性质等.
6.平面向量的应用要注意向量的几何特性与代数特性，能够从代数的角度，对问题以计算的
方式进行求解，能够从几何的角度，从向量问题所表述的几何背景入手解决问题.两者要相
辅相成，兼而有之.
22
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真题回顾
1．（2020 江苏 13）在 ABC 中， 4AB ， 3AC ， 90BAC ， D 在边 BC 上，延
长 AD 到 P ，使得 9AP ，若 3( )2PA mPB m PC （ m 为常数），则 CD 的长度
是 ．
【答案】18
5
【解析】由向量系数 3 3( )2 2m m 为常数，结合等和线性质可知
3
2
1
PA
PD
，
故 2 63PD PA ， 3AD PA PD AC ，故 C CDA ，故 2CAD C ．
在 ABC 中， 3cos 5
ACC BC
；在 ADC 中，由正弦定理得
sin sin
CD AD
CAD C
，
即 sin( 2 ) sin 2 3 182cos 2 3sin sin 5 5
C CCD AD AD C ADC C
．
2.（2020 全国Ⅲ理 6）已知向量 ,a b 满足 5 , 6 , 6 a b a b ，则 cos , a a b （ ）
A．
35
31 B．
35
19 C．
35
17 D．
35
19
【答案】D
【思路导引】计算出 a a b 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出 cos ,a a b
的值．
【解析】 5a
， 6b ， 6a b ， 2 25 6 19a a b a a b ．
2 2 2
2 25 2 6 36 7a b a b a a b b ，因此
23
19 19cos , 5 7 35
a a b
a a b
a a b
．故选 D．
3.（2020 山东 7）已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围
是 （ ）
A． ( 2 , 6) B． ( 6 , 2) C． ( 2 , 4) D． ( 4 , 6)
【答案】A
【思路导引】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 AP
在 AB
方向上的投
影的取值范围是 ( 1,3) ，利用向量数量积的定义式，求得结果．
【解析】解法一： AB
的模为 2，根据正六边形的特征，可以得到 AP
在 AB
方向上的投影
的取值范围是 ( 1,3) ，结合向量数量积的定义式，可知 AP AB 等于 AB
的模与 AP
在 AB
方向上的投影的乘积，所以 AP AB 的取值范围是 ( )2,6 ，故选：A．
解法二：如图，建立平面直角坐标系 A xy ，由题意知 (0,0)A ， (2,0)B ， (3, 3)C ，
( 1, 3)F ，设 ( , )P x y ，则 1 3x ，∵ ( , ) (2,0) 2AP AB x y x
，∴ 2 2 6x ，
∴ AP AB 的取值范围是 ( 2, 6) ．
4.（2020 全国Ⅱ理 13）已知单位向量 ba, 的夹角为 45°，k ba 与 a 垂直，则 k __________．
【答案】 2
2
【思路导引】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数 k
的值．
24
【解析】由题意可得： 21 1 cos45 2a b
，由向量垂直的充分必要条件可得：
0k a b a
，
即：
2 2 02k a a b k
，解得： 2
2k ，故答案为： 2
2
．
5.（2020 全国Ⅰ理 14）设 ,a b 为单位向量，且 1 a b ，则 a b ．
【答案】 3
【思路导引】整理已知可得： 2 a b a b ，再 利用 ,a b
为单位向量即可求得
2 1 a b ，对 a b 变形可得： 2 22 a b a a b b ，问题得解．
【解析】∵ ,a b 为单位向量，∴ 1 a b ，
∴ 2 22 2 2 2 1 b ba a a ab b ba ，解得： 2 1 a b ，
∴ 2 22 2 3 b b ba ba a a ，故答案为： 3 ．
6.(2017 山东)已知 1e ， 2e 是互相垂直的单位向量，若 1 23 e e 与 1 2e e 的夹角为 60 ，则实
数 的值是 ．
【答案】 3
3
【解析】 2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2 2( 3 ) ( ) 3 3 3 e e e e e e e e e e ，
2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2| 3 | ( 3 ) 3 2 3 2 e e e e e e e e ，
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2| | ( ) 2 1 e e e e e e e e ，
2 23 2 1 cos60 1 ，解得： 3
3
．
名校预测
25
1．（2020·湖北随州·月考）设 A 、B 、C 是半径为1的圆上三点，若 2AB ，则 AB AC
uuur uuur
的最大值为（ ）
A．3 3 B． 3 32
C．1 2 D． 2
2.（2020·云南其他模拟（理））已知向量 cos ,sina ， 1, 2b
r
，若 a
与b
的夹角为 5
6
，则 a b
（ ）
A． 2 B． 7 C． 2 D．1
3.（2020·江苏泰州·月考）已知向量 2a m ， ， 1 2b ， ， 15c m ， ，若 a b ，
则 a 与 b c 的夹角为（ ）
A．
4
B． 3
4
C． 2
3
D．
3
4.（2020·全国高三单元测试）已知向量 (cos ,sin )a ， (cos ,sin )b ，a b
r r ，则
当 ,1[ ]2t 时， a tb
的最大值为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
5.（2020·全国专题练习）已知 AB 是半圆 O 的直径，AB=2，等腰三角形 OCD 的顶点 C､D
在半圆弧 AB 上运动，且 OC=OD，∠COD=120°，点 P 是半圆弧 AB 上的动点，则 PC PD
的取值范围（ ）
A． 3 3[ , ]4 4
B． 3[ ,1]4
C． 1[ ,1]2
D． 1 1[ , ]2 2
26
专家押题
1．给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若
，
都是单位向量，则
．③向
量
′
与向量
′
相等．④若非零向量
′
与
㔶⸸
是共线向量，则 A，B，C，D 四点共线．以上命
题中，正确命题序号是（ ）
A．① B．② C．①和③ D．①和④
2.如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点．若BE→＝λBA→＋
μBD→ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
3.在平行四边形 ABCD 中， 1 13, 2, , D,3 2AB AD AP AB AQ A
uuur uuur uuur uuur
若 CP C 12,Q
uur uuur 则
ADC ( )
A． 5
6
B． 3
4
C． 2
3
D．
2
4.若非零向量 a，b 满足|a|＝2 2
3 |b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则 a 与 b 的夹角为( )
A.π
4 B.π
2
C.3π
4 D．π
5.已知向量 AB―→与 AC―→的夹角为 120°，且| AB―→|＝3，| AC―→|＝2.若 AP―→＝λ AB―→＋ AC―→，且
AP―→⊥ BC―→，则实数λ的值为________．
27
答案
名校预测
1．【答案】C
【详解】
设圆心为点O ，则 1OA OB ， 2AB Q ， 2 2 2AB OA OB ，则 OA OB ，
2
1AB AC OB OA OC OA OB OC OA OC OA OB OA OC
1 cos , 1 2 1AB OC AB OC AB OC
.
当且仅当 AB
与OC
方向相同时，等号成立，因此， AB AC
uuur uuur 的最大值为1 2 .
故选：C.
2.【答案】B
【详解】
cos ,sina
r
Q ， 1, 2b
r
，则 2 2cos sin 1a ，同理 3b
，
22 222 2 5 32 2 cos 1 2 1 3 3 76 2a b a b a a b b a a b b
因此， 7a b
.
故选：B.
3.【答案】B
【详解】
因为 2a m ， ， 1 2b ， ， a b ，
· 2 2 0a b m ，
解得 1m ，
2 1a ， ， 15 0 5c m ， ， ，
13b c ， ，
设 a 与 b c 的夹角为 [ ]0α π，Î ，
28
则
· 2 3 2cos 25 10
a b c
a b c
.
3
4
.
故选：B.
4.【答案】D
【详解】
因为 (cos ,sin )a
r ， (cos ,sin )b ， a b ，
所以 1a
， 1b
， 0a b ，
所以 2 2( ) 1a tb a tb t ，
当 2,1t 时，
max
5a tb
.
故选：D
5.【答案】C
【详解】
以点 O 为原点，AB 为 x 轴,垂直于 AB 的直线为 y 轴建立直角坐标系，如下图所示，
不妨取 1,0C ，则 1 3,2 2D
，设 (cos ,sin )( [0, ])P ，
1 3 1 3 1 11 cos , sin cos , sin sin cos sin +2 2 2 2 2 2 6PC PD
，
因为 [0, ] ，所以 7+ [ , ]6 6 6
，所以 1sin + [ ,1]6 2
，所以
1 1sin + [ ,1]2 6 2
，
故选：C.
29
专家押题
1．【答案】A
【解析】根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故
②错误；
′
与向量
′
互为相反向量，故③错误；
若
′
与
㔶⸸
是共线向量，那么
ʹ′ʹ㔶ʹ⸸
可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，只要它
们的方向相同或相反即可，故④错误，故选 A.
2.【答案】 3
4
【解析】 ∵E 为线段 AO 的中点，
∴BE→＝1
2BA→＋1
2BO→ ＝1
2BA→＋1
2
1
2BD→
＝1
2BA→＋1
4BD→ ＝λBA→＋μBD→ ，∴λ＋μ＝1
2
＋1
4
＝3
4.
3.【答案】C
【解析】
如图所示,
平行四边形 ABCD 中, 3, 2AB AD ,
1 1,3 2AP AB AQ AD ，
2
3CP CB BP AD AB ，
30
1
2CQ CD DQ AB AD ,
因为 12CP CQ ,
所以 2 1
3 2CP CQ AD AB AB AD
2 22 1 4
3 2 3AB AD AB AD
2 22 1 43 2 3 2 cos 123 2 3 BAD ,
1cos 2BAD ， ,3BAD
所以 2
3 3ADC ，故选 C.
4.【答案】θ＝π
4
【解析】设 a 与 b 的夹角为θ，因为|a|＝2 2
3 |b|，(a－b)⊥(3a＋2b)，
所以(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b＝8
3|b|2－2|b|2－2 2
3 |b|2cos θ＝0，
解得 cos θ＝ 2
2
，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π
4.
5.【答案】 7
12
【解析】由 AP―→⊥ BC―→，知 AP―→· BC―→＝0，即 AP―→· BC―→＝(λ AB―→＋ AC―→)·( AC―→－ AB―→)＝(λ－
1) AB―→· AC―→－λ AB―→2＋ AC―→2＝(λ－1)×3×2×
－1
2 －λ×9＋4＝0，解得λ＝ 7
12.
31
时间：5 月 23 日 今日心情：
核心考点解读——数列
一、考纲解读
1.数列的概念及其通项公式（I）
2.等差数列的通项及其前 n 项和（II）
3.等比数列的通项及其前 n 项和（II）
4.等差数列、等比数列的性质（II）
5.数列求和及其求和方法（II）
6.数列的应用（II）
二、高考预测
1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式考查，利用等差数
列的概念判断性质真假，利用等差数列的通项公式、前 n 项和公式进行相关的求值计算；
利用等比数列的概念判断性质真假，利用等比数列的通项公式、前 n 项和公式进行相关的
求值计算等.
2.从考查内容来看，主要考查数列的递推关系、等差数列、等比数列的相关运算，重点在于
掌握等差数列和等比数列的通项公式和前 n 项和公式，能够利用“ 1, , , ,n na d n a S ”和
“ 1, , , ,n na q n a S ”这五个量进行相互转化，达到“知三求二”的目的.
3.从考查热点来看，数列计算是高考命题的热点，要注意通项公式与求和公式的正确使用及
利用数列的性质简化运算.
三、知识回顾
一、数列的相关概念
1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项，通常也叫做首
项，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项．所
以，数列的一般形式可以写成 1 2 3, , , , , ,na a a aL L 简记为 na ．
2．数列与函数的关系
32
数列可以看成定义域为正整数集 *N (或它的有限子集 1,2,{ },n )的函数 na f n ，当自
变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、
最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集 1,2,{ },n ）这
一条件.
3．数列的分类
分类标
准
名称 含义
按项的
个数
有穷数
列
项数有限的数列，如数列 1，2，3，4，5，7，8，9，10
无穷数
列
项数无限的数列，如数列 1，2，3，4，…
按项的
变化趋
势
递增数
列
从第 2 项起，每一项都大于它的前一项，如数列 1，3，5，7，9，…
递减数
列
从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，如数列 10，9，8，7，6，
5，…
常数列 各项都相等的数列，如数列 2，2，2，2，…
摆动数
列
从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如
1，2，1，2
按项的
有界性
有界数
列
任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…
无界数
列
不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如 2，4，6，8，10，…
二、数列的表示方法
（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较
少的情况．
（2）解析法：主要有两种表示方法，
①通项公式：如果数列 na 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那
么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 ( )na f n ．
33
②递推公式：如果已知数列 na 的第一项(或前几项)，且任一项 na 与它的前一项 1na
(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序
号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤
立的点．
三、数列的前 n 项和与通项的关系
数列的前 n 项和通常用 nS 表示，记作 1 2n nS a a a ，则通项 1
1, 2n
n n
Sa S S n
．
若当 2n 时求出的 na 也适合 1n 时的情形，则用一个式子表示 na ，否则分段表示．
四、等差数列
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这
个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．即
1n na a d ， d 为常数．
2．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且
2
a bA ．
3．等差数列的通项公式及其变形
以 1a 为首项，d 为公差的等差数列{ }na 的通项公式为 1 ( 1)na a n d ．
公式的变形： ( )n ma a n m d ， ,m n *N ．
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式 1 ( 1)na a n d ，可得 1( )na dn a d ．
令 p d ， 1q a d ，则 na pn q ，其中 p ， q 为常数．
（1）当 0p 时， ( , )nn a 在一次函数 y px q 的图象上，数列{ }na 的图象是直线
y px q 上均匀分布的一群孤立的点，且当 0d 时数列{ }na 为递增数列，当 0d 时
数列{ }na 为递减数列．
（2）当 0p 时， na q ，等差数列为常数列，数列{ }na 的图象是平行于 x 轴的直线（或
34
x 轴）上均匀分布的一群孤立的点．
五、等差数列的前 n 项和
1．等差数列的前 n 项和
首 项 为 1a ， 末 项 为 na ， 项 数 为 n 的 等 差 数 列 { }na 的 前 n 项 和 公 式 ：
1
1
( ) ( 1)= =2 2
n
n
n a a n nS na d ．
令
2
dp ， 1 2
dq a ，可得 2
nS pn qn ，则
① 当 0p ，即 0d 时， nS 是关于 n 的二次函数，点 ( , )nn S 是 2=y px qx 的图象上
一系列孤立的点；
② 当 0p ，即 0d 时， nS 是关于 n 的一次函数 ( 0q ，即 1 0)a 或常函数 ( 0q ，
即 1 0)a ，点 ( , )nn S 是直线 y qx 上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前 n 项和的相关问题．
2．用前 n 项和公式法判定等差数列
等差数列的前 n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若
数列{ }na 的前 n 项和 2
nS an bn c ，那么当且仅当 0c 时，数列{ }na 是以 a b 为
首项， 2a 为公差的等差数列；当 0c 时，数列{ }na 不是等差数列．
六、等差数列的性质
1．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为 d 的等差数列 na 具有如下性质：
（1）通项公式的推广： ( )n ma a n m d ， ,m n *N ．
（2）若 m n p q ，则 qpnm aaaa ( , )m n, p,q *N ．
特别地，①若 2m n p ，则 2m n pa a a ( , )m n, p *N ；
②若 m n t p q r ，则 m n t p q ra a a a a a ( , )m n, p,q,t,r *N ．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的
和，即
1 2 1 1 .n n i n ia a a a a a L L
（3）下标成等差数列的项 2, , ,k k m k ma a a L 组成以 md 为公差的等差数列．
35
（4）数列 ( ,nta t 是常数 ) 是公差为 td 的等差数列．
（5）若数列 nb 为等差数列，则数列 n nta b ( ,t 是常数 ) 仍为等差数列．
（6）若 ,p qa q a p ，则 0p qa ．
2．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式易得等差数列的前 n 项和具有如下性质：
设等差数列 na （公差为 d）和 nb 的前 n 项和分别为 ,n nS T ，
（1）数列{ }nS
n
是等差数列，首项为 1a ，公差为 1
2 d ．
（2） 2 3 2 ( 1), , , , ,k k k k k mk m kS S S S S S S L L 构成公差为 2k d 的等差数列．
（3）若数列 na 共有 2n 项，则 S S nd 奇偶 ，
1
n
n
S a
S a
奇
偶
．
（ 4 ） 若 数 列 na 共 有 2 1n 项 ， 则 S S 奇 偶 na ，
( ,1 n
S n S naS n
奇
奇
偶
( 1) )nS n a 偶 ．
（5） 2 1
2 1
n n
n n
S a
T b
， 2 1
2 1
2 1
2 1
m m
n n
S am
T n b
．
七、等比数列
1．等比数列的概念
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ( 0)q q ，那么这
个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为 0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与 n 无关的常数.
2．等比中项
如果在 a 与b 中间插入一个数G ，使 a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做 a 与b 的等比
中项，此时 2G ab ．
3．等比数列的通项公式及其变形
首项为 1a ，公比为 q 的等比数列的通项公式是 1
1 1( , 0)n
na a q a q ．
36
等比数列通项公式的变形： n m
n ma a q ．
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列 na 的通项公式 1
1
n
na a q 还可以改写为 1 n
n
aa qq
，当 1q 且 1 0a 时，
xy q 是指数函数， 1 xay qq
是指数型函数，因此数列 na 的图象是函数 1 xay qq
的
图象上一些孤立的点．
① 当 1 0
1
a
q
或 1 0
0 1
a
q
时， na 是递增数列；
② 当 1 0
0 1
a
q
或 1 0
1
a
q
时， na 是递减数列；
③ 当 1q 时， na 为常数列 ( 0)na ；
④ 当 0q 时， na 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
八、等比数列的前 n 项和公式
首 项 为 1a ， 公 比 为 q 的 等 比 数 列 na 的 前 n 项 和 的 公 式 为
1
11
, 1
.(1 ) , 11 1
n
n n
na q
S a a qa q qq q
（1）当公比 1q 时，因为 1 0a ，所以 1nS na 是关于 n 的正比例函数，则数列
1 2 3, , , , ,nS S S SL L的图象是正比例函数 1y a x 图象上的一群孤立的点．
（ 2 ） 当 公 比 1q 时 ， 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 是 1(1 )
1
n
n
a qS q
， 即
1
1
n
n
aS qq
1
1
a
q
，设 1
1
am q
，则上式可写成 n
nS mq m 的形式，则数列
1 2 3, , , , ,nS S S SL L的图象是函数 xy mq m 图象上的一群孤立的点．
由此可见，非常数列的等比数列的前 n 项和 nS 是一个关于 n 的指数型函数与一个常数的
和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
37
九、等比数列及其前 n 项和的性质
若数列 na 是公比为 q 的等比数列，前 n 项和为 nS ，则有如下性质：
（1）若 m n p q ，则 m n p qa a a a ；若 2m n r ，则 2 ( , )m n ra a a m n, p,q,r *N ．
推广： 1 2 1 1 ;n n i n ia a a a a a ① L L ② 若 m n t p q r ，则 m n t p q ra a a a a a ．
（2）若 , ,m n p 成等差数列，则 , ,m n pa a a 成等比数列．
（3）数列 ( 0)na 仍是公比为 q 的等比数列；
数列 1{ }
na 是公比为 1
q
的等比数列；
数列 | |na 是公比为| |q 的等比数列；
若数列 nb 是公比为 q' 的等比数列，则数列 n na b 是公比为 qq' 的等比数列．
（4） 2 3, , , ,k k m k m k ma a a a L 成等比数列，公比为 mq ．
（5）连续相邻 k 项的和（或积）构成公比为 (kq 或 2
)kq 的等比数列．
（6）当 1q 时， n
m
S n
S m
；当 1q 时， 1
1
n
n
m
m
S q
S q
．
（7） m n
n m m n n mS S q S S q S ．
（8）若项数为 2n ，则
S qS
偶
奇
，若项数为 2 1n ，则 1S a qS
奇
偶
．
（9）当 1q 时，连续 m 项的和（如 2 3 2, , ,m m m m mS S S S S L）仍组成等比数列（公
比为 mq ， 2m ）．注意：这里连续 m 项的和均非零．
四、应试技巧
1.数列的概念及表示
(1)数列可以看作特殊的函数，数列的每一项叫做数列的项，排在第一位的数是数列的第一
项，也叫首项.数列的一般形式可以写为 1 2: , , , ,n na a a a . na ：数列的第 n 项，也叫
通项公式.
38
数列的表示方法：
①通项公式： *( ),na f n n N ；
②递推公式：如 1n 时， 1n na pa q 型.
(2)求数列通项公式的方法
①观察法：已知数列的前几项，可观察数列这几项的各部分与 n 的关系，最后用不完全
归纳得到通项公式.
②前 n 项和 nS 与通项 na 之间的关系： 1
1
, 1,
, 1,n
n n
S na S S n
能够利用前 n 项和 nS 的关系
式求得 na ，此时要注意 1n ；也能够利用 na 表示前 n 项和 nS .
③利用递推公式：形如 1 ( )n na a f n 型的可采用累加法；形如 1 ( )n na a f n 型的可
采 用 累 乘 法 ； 形 如 1n na pa q 型 ， 当 1, 0,1p q 时 ， 通 常 可 以 构 造
1( ) ( )n na x p a x 的形式，利用等比数列的通项公式得到 na x 的通项公式，然后求
解 na .
2.等差数列的概念与证明
(1)熟练掌握等差数列的定义与定义式： 1n ， 1n na a d .要注意，数列要从第二项开始，
然后是每一项与前一项的差是同一个常数，这个常数就是公差.由此要明确，一个数列能
够构成等差数列，至少需要三项.
(2)若三个数 , ,a b c 构成等差数列，则称b 为 ,a c 的等差中项，记作
2
a cb 或 2b a c .
(3)等差数列的证明，通常根据题中所给的递推关系式，利用定义进行证明，若 1n 时，推
理得到 1n na a 的差为常数，并能够确定这个常数，则可判定数列为等差数列.
3.等差数列的通项公式及性质
(1)等差数列的通项公式： 1 1( 1) ( ) ( )n ma a n d a n m d dn p p a d .知道等差数列
的通项公式的推理方法是根据定义式叠加而得，了解等差数列与一次函数之间的联系与区
别.
(2)等差数列的性质：若 m n p q ，则 m n p qa a a a .等差数列的性质反映了项与项
39
数之间对称的等量关系，由此得到等差数列前 n 项和的推导方法——倒序相加法.
4.等差数列的前 n 项和
(1)等差数列的前 n 项和： 21
1 1
( )( 1) ( )2 2 2 2
n
n
n a an n d dS na d n kn k a .能够利用首
项与公差表示等差数列的前 n 项和，了解二次函数与等差数列前 n 项和的关系.
(2)掌握等差数列前 n 项和的性质： 2 3 2, , ,n n n n nS S S S S 成等差数列， nS
n
也是等差
数列.
5.等比数列的概念与证明
(1)熟练掌握等比数列的定义与定义式： 1n ，
1
( 0)n
n
a q qa
.要注意，数列要从第二项开
始，然后是每一项与前一项的比值是同一个常数，这个常数就是公比.由此要明确，一个
数列能够构成等比数列，至少需要三项.
(2)若三个数 , ,a b c 构成等比数列，则称b 为 ,a c 的等比中项，记作b ac 或 2b ac .
(3)等比数列的证明，通常根据题中所给的递推关系式，利用定义进行证明，若 1n 时，推
理得到
1
n
n
a
a
的比值为常数，并能够确定这个常数，则可判定数列为等比数列.
6.等比数列的通项公式及其性质
(1)等比数列的通项公式： 1 1
1 ( )n n m n
n m
aa a q a q a q a q
.知道等比数列通项公式
的推理方法是根据定义式叠乘而得，了解等比数列与指数函数之间的联系与区别.
(2)等比数列的性质：若 m n p q ，则 m n p qa a a a .
7.等比数列的前 n 项和
(1)等比数列的前 n 项和：
1
11
, 1,
(1 ) , 1.1 1
n
n n
na q
S a a qa q qq q
能够利用首项与公比表示等
比数列的前 n 项和，了解指数函数与等比数列前 n 项和公式之间的关系.掌握等比数列前 n
项和公式的推导方法——错位相减法.
(2)掌握等比数列前 n 项和的性质： n m
m n n m m nS S q S S q S ；当 1q 或 1q 且 k
40
为奇数时， 2 3 2, , ,k k k k kS S S S S 成等比数列.
8.等差数列、等比数列的混合计算
(1)等差数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等比数列，由此计算得到等
差数列的首项与公差，并求通项与前 n 项和.
(2)等比数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等差数列，由此计算得到等
比数列的首项与公比，并求通项与前 n 项和.
(3)注意在数列计算中基本量 1, , ,a d q n 的应用.
9.等差数列前 n 项和的最大（小）项
利用等差数列的前 n 项和公式，结合二次函数的求最值的特点及相应的图象，利用函数
的单调性判断最值.
10.数列求和
(1)等差数列、等比数列的前 n 项和 nS
①等差数列的前 n 项和 21
1 1
( )( 1) ( )2 2 2 2
n
n
n a an n d dS na d n kn k a ；
②等比数列的前 n 项和
1
11
, 1,
(1 ) , 1.1 1
n
n n
na q
S a a qa q qq q
(2)分组求和法求数列的前 n 项和
分组求和法可以解决形如 n n nc a b 类数列的求和问题，其基本步骤是首先确定通项公
式，然后对通项公式进行拆分，拆成几个可以直接求和的数列（最好是等差数列或等比
数列），再分别求和后相加即可得到原数列的和.
(3)裂项相消法求数列的前 n 项和
裂项相消法的基本思想是把数列的通项 na 拆分成 1n n na b b 等的形式，从而在求和时
起到逐项相消的目的.比较常见的类型有：
① 1 1 1 1( )( )n n k k n n k
，② 1 1 ( )n k nkn k n
，
③ 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n
等.
采用裂项相消法求数列的前 n 项和时，要注意系数的问题以及求和逐项相消后前后剩余
41
的项的问题.
(4)错位相减法求数列的前 n 项和
错位相减法主要应用于求解由等差数列 na 与等比数列 nb 的对应项之积组成的数列
nc 的求和问题，即求 n n nc a b 的和.其一般步骤为先识别数列的通项公式是否为等差
数列与等比数列对应项之积构成的数列，并确定等比数列的公比，然后写出前 n 项和 nS 的
表达式，并在等式两边同时乘以公比或公比的倒数，得到另一个式子，再对两式作差，
最后根据差式中间的 1n 项构成的等比数列求和，合并同类项即得所求的前 n 项和.
错位相减法的计算过程较为复杂，对计算的能力要求比较高，同时考查的力度也相对较高，
应注意加强训练.
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真题回顾
1．（2020 全国Ⅱ理 4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中
心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依
次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知
每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） （ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402 块 D．3339
块
【答案】C
【思路导引】第 n 环天石心块数为 na ，第一层共有 n环，则{ }na 是以 9 为首项，9 为公差
的等差数列，
设 nS 为{ }na 的前 n项和，由题意可得 3 2 2 729n n n nS S S S ，解方程即可得到 n，进一
步得到 3nS ．
【解析】设第 n 环天石心块数为 na ，第一层共有 n环，则{ }na 是以 9 为首项，9 为公差的
等差数列， 9 ( 1) 9 9na n n ，设 nS 为{ }na 的前 n项和，则第一层、第二层、第三
层的块数分别为 2 3 2, ,n n n n nS S S S S ，因为下层比中层多 729 块，所以
42
3 2 2 729n n n nS S S S ，即
3 (9 27 ) 2 (9 18 ) 2 (9 18 ) (9 9 ) 7292 2 2 2
n n n n n n n n ，即 29 729n ，解得 9n ，
所以 3 27
27(9 9 27) 34022nS S ，故选 C．
2 ． （ 2020 浙 江 7 ） 已 知 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 nS ， 公 差 1 10 , ad d
． 记
1 2 1 2 2, ,n n nb S b S S n
N ，下列等式不可能成立的是 （ ）
A． 4 2 62a a a B． 4 2 62b b b C． 2
4 2 8a a a D． 2
4 2 8b b b
【答案】B
【解析】A．由等差数列的性质可知 4 2 62a a a ，成立；
B． 4 5 6 6b S S a ， 2 3 2 3b S S a ， 6 7 10 8 9 10 93b S S a a a a ，
若 4 2 62b b b ，则 6 3 9 9 6 3 92 3 2a a a a a a a ，
即 6 6 0d d d ，这与已知矛盾，故 B 不成立；
C． 22
4 2 8 1 1 13 7a a a a d a d a d ，整理为： 1a d ，故 C 成立；
D ． 8 9 14 10 11 12 13 14 125b S S a a a a a a ， 当 2
4 2 8b b b 时 ， 即
2
6 3 125a a a ， 整 理 为 2
1 1 15 5 2 11a d a d a d ， 即
2 2
1 12 25 45 0a a d d ， 0 ，方程有解，故 D 成立．综上可知，等式不可能成立的
是 B，故选 B．
3.（2020 北京 8）在等差数列{ na }中， 1 9a ， 5 1a ，记 1 2 ( 1,2, )n nT a a a n ，
则数列{ nT } （ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】设公差为 d，a5-a1=4d，即 d=2，an=2n-11，1≤n≤5 使，an＜0，n≥6 时，an＞0，
所以 n=4 时，Tn＞0，并且取最大值；n=5 时，Tn＜0；n≥6 时，Tn＜0，并且当 n 越来越大
时，Tn 越来越小，所以 Tn 无最小项．故选 A．
43
4 ． （ 2020 上 海 7 ） 已 知 等 差 数 列 { }na 的 首 项 1 0a ， 且 满 足 1 10 9a a a ， 则
1 2 9
10
a a a
a
．
【答案】 27
8
【 解 析 】 由 条 件 可 知 1 1 12 9 8a d a d a d ，
11 2 9 5
10 10 1
9 4... 9 27 27
9 8 8
a da a a a d
a a a d d
．
故答案为： 27
8
．
5.（2020 江苏 11）设{ }na 是公差为 d 的等差数列，{ }nb 是公比为 q 的等比数列，已知
{ }n na b 的前 n项和 2 *2 1( )n
nS n n n N ，则 d q 的值是________．
【答案】 4
【解析】由等差数列和等比数列的前 n 项和的公式特征，可得：等差数列
na 的前 n 项和 2
nH n n ，等比数列 nb 的前 n 项和 2 1n
nT ,
则 为 2， q 为 2,，所以 4d q
6．（2020 全国Ⅱ文 14）记
nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若
1 2 62 , 2a a a ，则
10S ．
【答案】 25
【思路导引】∵ na 是等差数列，根据已知条件 2 6 2a a ，求出公差，根据等差数列前 n
项和，即可求得答案．
【解析】 na 是等差数列，且 1 2 62 , 2a a a ． 设 na 等差数列的公差 d ，根据
等差数列通项公式： 1 1na a n d ，可得 1 1 5 2a d a d ，即：
2 2 5 2d d ，整理可得： 6 6d ，解得： 1d ．
根据等差数列前 n 项和公式： *
1
1 ,2n
n n dS na n
N ，可得：
d
44
10
10 10 110 2 20 45 252S
， 10 25S ．故答案为： 25 ．
7.（2020 浙江 11）已知数列 na 满足 1= 2na n n ，则 3S ．
【答案】10
【思路导引】根据通项公式可求出数列 na 的前三项，即可求出．
【解析】由题意可知 1
1 2 12a ， 2
2 3 32a ， 3
3 4 62a ， 3 1 3 6 10S ，
故答案为：10．
8.（2020 山东 14）将数列 2 1n 与 3 2n 的公共项从小到大排列得到数列 na ，则 na
的前 n 项和为 ．
【答案】 23 2n n
【思路导引】首先判断出数列 2 1n 与 3 2n 项的特征，从而判断出两个数列公共项所
构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．
【解析】因为数列 2 1n 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，数列 3 2n 是以 1 首
项，以 3 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列 na 是以 1 为首项，
以 6 为公差的等差数列，所以 na 的前 n 项和为 2( 1)1 6 3 22
n nn n n ，故答案为：
23 2n n ．
9.（2020 山东 18）已知公比大于1的等比数列 na 满足 2 4 20a a ， 3 8a ．
（1）求 na 的通项公式；
（2）记 mb 为 na 在区间 0,m m N 中的项的个数，求数列 mb 的前100 项和 100S ．
【答案】（1） 2n
na ；（2） 100 480S ．
【思路导引】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为 1,a q 的形式，求解出 1,a q ，由此
求得数列 na 的通项公式；（2）通过分析数列 mb 的规律，由此求得数列 mb 的前100项
和 100S ．
【解析】（1）由于数列 na 是公比大于1的等比数列，设首项为 1a ，公比为 q，依题意有
45
3
1 1
2
1
20
8
a q a q
a q
，解得 1 2, 2a q ，所以 2n
na ，所以数列 na 的通项公式为 2n
na ．
（2）由于 1 2 3 4 5 6 72 2,2 4,2 8,2 16,2 32,2 64,2 128 ，所以
1b 对应的区间为： 0,1 ，则 1 0b ；
2 3,b b 对应的区间分别为： 0,2 , 0,3 ，则 2 3 1b b ，即有 2 个1；
4 5 6 7, , ,b b b b 对应的区间分别为： 0,4 , 0,5 , 0,6 , 0,7 ，则 4 5 6 7 2b b b b ，即有
22 个 2 ；
8 9 15, , ,b b b 对应的区间分别为： 0,8 , 0,9 , , 0,15 ，则 8 9 15 3b b b ，即有 32
个3；
16 17 31, , ,b b b 对应的区间分别为： 0,16 , 0,17 , , 0,31 ，则 16 17 31 4b b b ，
即有 42 个 4 ；
32 33 63, , ,b b b 对应的区间分别为： 0,32 , 0,33 , , 0,63 ，则 32 33 63 5b b b ，
即有 52 个5；
64 65 100, , ,b b b 对应的区间分别为： 0,64 , 0,65 , , 0,100 ，则 64 65 100 6b b b ，
即有37 个 6．
所以 2 3 4 5
100 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 37 480S ．
名校预测
1．（2020·河南新乡·月考（理））已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS 且公差 0d ，若 7 43S a ，
则（ ）
A． 3 4S S B． 3 5S S C． 4 5S S D． 4 6S S ，
2．（2020·期中）中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今
有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现
有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，
重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺
的重量为（ ）
A．3 斤 B．6 斤 C．9 斤 D．12 斤
46
3．（2020·全国专题练习）著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用
的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音
乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律
法是精确规定八度的比例，把八度分成 13 个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，
如下表所示，其中 1 2 13, , ,a a a 表示这些半音的频率，它们满足
12
1
2log 1 1,2, ,12i
i
a ia
.若某一半音与 #D 的频率之比为 3 2 ，则该半音为（ ）
频率 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a
半音 C #C D #D E F #F G #G A #A B C（八度）
A． #F B．G C． #G D．A
4．（2020·河北邢台·其他模拟（理））已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 10 62a a ，
若 32 8 24mS S S ，则 m （ ）
A． 7
15 B． 1
2 C． 8
15 D． 7
16
5．（2020·重庆期末）在各项均为正数的等比数列 na 中，公比 0,1q ，若 3 5 5a a ，
2 6· 4a a ， 2logn nb a ，数列 nb 的前 n 项和为 nS ，则 1 2
1 2
nSS S
n
L 取最大值时，n
的值为（ ）
A．8 B．9 C．17 D．8 或9
专家押题
1．已知数列 na 的通项公式 *1
1na n
n n
N ，数列 na 的前 n 项和 nS 满足
*9nS n N ，则 n 的最小值为
A．98 B．99
C．100 D．101
2．已知数列 na 是等差数列，数列 nb 是等比数列，且满足： 1000 1018 2πa a ， 6 2012 2b b ，
47
则 2 2016
3 2015
tan 1
a a
b b
__________．
3．在等比数列{ }na 中， 14a ， 42a ， 7a 成等差数列，则 3 5
11 9
a a
a a
_______.
4．已知函数 2( ) cos( π)f n n n ，且 ( ) ( 1)na f n f n ，则 1 2 20a a a __________．
5．设 nS 为数列 na 的前 n 项和，已知 3 7a ， 1 22 2 2n na a a n .
（1）证明： 1na 为等比数列；
（2）求 na 的通项公式，并判断 n ， na ， nS 是否成等差数列？
6．已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，公比 0q ， 2 22 2S a ， 3 4 2S a ．
（1）求等比数列 na 的通项公式；
（2）设 2logn nb a ，求
1
1{ }
n nb b
的前 n 项和 nT ．
7．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，点 *, nn S nN 在函数 2( ) 2f x x x 的图象上.
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）设 12 na
n nb a ，求数列 nb 的前 n 项和 nT .
答案
48
名校预测
1．【答案】A
【详解】
由题意可知， 1 7
7 4 4
7 7 32
a aS a a
，所以 4 0a
所以 3 3 3 4 4+0 +S S S a S .
故选：A.
2.【答案】C
【详解】
由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为 1a ，粗的一端的重量为 5a ，
可知 1 2a ， 5 4a ，
根据等差数列的性质可知 1 5 3 32 6 3a a a a ，
中间三尺为 2 3 4 33 9a a a a .
故选：C
3.【答案】B
【详解】
依题意可知 0 1,2, ,13na n .
由于 1 2 13, , ,a a a 满足
12
1
2log 1 1,2, ,12i
i
a ia
，则
12 1
1 1 122, 2i i
i i
a a
a a
，
所以数列 1 2 13, , ,a a a 为等比数列，公比 1
122q ， #D 对应的频率为 4a ，题目所求半音与 #D
的频率之比为
41 1
3 3 122 2 2
，
所以所求半音对应的频率为 41
12
4 82a a
，即对应的半音为G .
故选：B.
4.【答案】C
49
【详解】
因为 10 62a a ，所以 4 2q .由 32 8 24mS S S ，得 32 8 241 1 1m q q q ，即
(1 16) 1 2 1 8m ，解得 8
15m .
故选：C.
【点睛】
5.【答案】D
【详解】
由题意可知 3 5a a ，由等比数列的性质可得
3 5
2 6 3 5
3 5
5
4
a a
a a a a
a a
，解得 3
5
4
1
a
a
，
所以
2
1
4
1
4
1
0 1
a q
a q
q
，解得
1 16
1
2
a
q
，
1
1 5
1
116 22
n
n n
na a q
， 2log 5n n nb a ，
则数列 nb 为等差数列， 24 5 9
2 2n
n n n nS
，
9
2
nS n
n
， 2
1 2
94 17 1 17 2892
1 2 2 4 4 2 16
n
nn n nSS S nn
L ，
因此，当 8n 或9时， 1 2
1 2
nSS S
n
L 取最大值，故选 D.
专家押题
1．【答案】C
【解析】化简 na ，得到通项公式为： 1na n n ，根据递推式，列出如下式子：
1na n n ，
1 1na n n ，
1 2 1a ，
则有 1 1nS n ，由于 1 10n 99n ，则 n 的最小值为 100.
故选 C.
50
【名师点睛】本题考查累加法求和，属于基础题.对于本题，化简 na ，利用累加法直接求
nS 得值即可.
2．【答案】 3
【解析】∵数列 na 是等差数列，数列 nb 是等比数列，∴ 1000 1018 10092 2πa a a ，
即 1009 πa ； 2
6 2012 1009 2b b b .∴ 2 2016 1009
2
3 2015 1009
2 2πtan tan tan 31 1 3
a a a
b b b
.
故答案为 3 .
3．【答案】 1
4
【解析】 14a ， 42a ， 7a 成等差数列， 1 7 44 4a a a ，即 6 3
1 1 14 4a a q a q ，解得：
3 2q ，
2 4
3 5 1 1
10 8 6
11 9 1 1
1 1
4
a a a q a q
a a a q a q q
.
本题正确结果： 1
4 .
【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数
列的基本量，属于基础题.求解时，根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比
q满足 3 2q ，将所求式子化为 1a 和 q的形式，化简可得结果.
4．【答案】 20
【解析】当 n 为奇数时， 1na f n f n
2 22 2cos π 1 cos 1 π 1 2 1n n n n n n n .
当 n 为偶数时， 1na f n f n
2 22 2cos π 1 cos 1 π 1 2 1n n n n n n n .
2 1,
2 1n
n na n n
为奇数
， 为偶数
.
所以 1 2 20 3 5 7 9 11 13 39 41a a a
51
3 5 7 9 11 13 39 41 2 10 20 .
【名师点睛】本题主要考查了分类思想及分组求和方法，考查计算能力，属于中档题.
求解时，对 n 的取值分奇数、偶数求得 na ，再利用分组求和法求和即可.
5．【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】∵ 3 7a ， 3 23 2a a ，
∴ 2 3a ，
∴ 12 1n na a ，
∴ 1 1a ， 1
1 1
1 2 2 2 21 1
n n
n n
a a na a
，
∴ 1na 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列.
（2）由（1）知， 1 2n
na ，
∴ 2 1n
na ，
∴
1
12 2 2 21 2
n
n
nS n n
，
∴ 12 2 2 2 2 1 0n n
n nn S a n n ，
∴ 2n nn S a ，即 n ， na ， nS 成等差数列.
【思路点拨】（1）根据条件构造等比数列： 11 2 1n na a （ ），再根据等比数列的定
义给予证明；
（2）先根据等比数列通项公式求得 1 2n
na ，即得 na 的通项公式，再根据分组求
和法得 nS ，最后判断 2n nn S a 是否成立.
6．【答案】（1） 2n
na ；（2）
1n
nT n
.
【解析】（1）等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，公比 0q ， 2 22 2S a ①， 3 4 2S a
②．
②﹣①，得 3 4 22a a a ，则 2 2 0q q ，
52
又 0q ，所以 2q = ，
因为 2 22 2S a ，
所以 1 2 22 2a a a ，
所以 1 2a ，
所以 2n
na .
（2）由（1）得 2 2log log 2n
n nb a n ，
所以
1
1 1 1 1
( 1) 1n nb b n n n n
，
所以
1
1{ }
n nb b
的前 n 项和 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1n
nT n n n n
．
【名师点睛】裂项相消法适用于形如
1n n
c
a a
(其中 na 是各项均不为零的等差数列，
c 为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的
裂项求和，如 1
( 1)( 3)n n 或 1
( 2)n n .
7．【答案】（1） 2 1na n *nN ；（2） 16 1 449 9
n
n
nT .
【解析】（1）把点 *, nn S nN 代入 2( ) 2f x x x 得 2 2nS n n ， *nN ，
则 1n 时， 1 3a ，
2n 时， 2 2
1 2 ( 1) 2( 1) 2 1n n na S S n n n n n ，
经验证， 1n 也满足 2 1na n *nN ，
所以 2 1na n *nN .
（2）由（1）得 2 1na n ，
所以 12 (2 1)4na n
n nb a n ，
则 1 2 3 43 4 5 4 7 4 9 4 (2 1)4n
nT n ，①
53
2 3 4 14 3 4 5 4 7 4 (2 1)4 (2 1)4n n
nT n n ，②
① ②得 1 2 3 4 13 3 4 2 4 2 4 2 4 2 4 (2 1)4n n
nT n
12 4 1 4
4 (2 1)41 4
n
nn
故 16 1 449 9
n
n
nT .
54
时间：5 月 24 日 今日心情：
核心考点解读——不等式
一、考纲解读
1.二元一次不等式（组）表示的平面区域（II）
2.简单的线性规划问题（II）
3.利用基本不等式求最大（小）值问题（II）
4.利用基本不等式求恒成立问题（II）
二、高考预测
1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式出现，
一般考查二元一次不等式（组）表示的平面区域问题以及简单的线性规划问题，利用基本
不等式求解最小（大）值问题，以及基本不等式的实际应用等.
2.从考查内容来看，线性规划重点考查不等式（组）表示的可行域的确定，目标函数的最大
（小）值的计算等，重点体现数形结合的特点.基本不等式则根据其模型计算最值问题，注
意取到最值时的条件是否成立.
3.从考查热点来看，求最值是高考命题的热点，通过线性规划求最值体现了数形结合思想以
及特殊位置求最值的思想；通过基本不等式求最值，则在于模型化求最值方法的应用.
三、知识回顾
一、不等关系
1．不等式的概念
（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本
数量关系．
（2）用数学符号“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含
有这些不等号的式子，叫做不等式．
2．两个实数大小的比较
（1）作差法：设 a，bR，则 0a b a b ，a0，则 a>b
⇔
1a
b
，ab
⇔
0a b ；
② 0a b a b ；
③ab，b>c
⇒
a c ；(单向性)
③可加性：a>b
⇔
a＋c>b＋c；(双向性)
④a>b，c>d
⇒
a c b d ；(单向性)
⑤可乘性： , 0a b c ac bc ；(单向性) a>b，c0，c>d>0
⇒
ac bd ；(单向性)
⑦乘方法则： ( )0 , 1n na b a b n n N ；(单向性)
⑧开方法则：a>b>0
⇒
n na b (nN，n≥2)．(单向性)
注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无
法传递.
（2）可乘性中，要特别注意“乘数 c”的符号.
4．必记结论
（1）a>b，ab>0
⇒
1 1
a b
.
（2）a0,0
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