专练 13 立体几何解答题 （30 题）（山东、海南专用）
1．（2020·山东泰安市·高二期末）如图所示， AE ⊥ 平面 ABCD，四边形 AEFB 为矩形， / /BC AD ， BA AD ，
2 2 4AE AD AB BC ．
（1）求证： //CF 平面 ADE；
（2）求平面 CDF 与平面 AEFB 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2） 2
3
【详解】
（1）∵四边形 ABEF 为矩形
/ /BF AE
又 BF 平面 ADE，AE 平面 ADE
/ /BF 平面 ADE
又 / /BC AD ，
同理可得： / /BC 平面 ADE
又 BF BC B ，BF，BC 平面 BCF
∴平面 / /BCF 平面 ADE
又 CF 平面 BCF
/ /CF 平面 ADE
（2）如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 A xyz ，则
(2,2,0)C ， (0,4,0)D ， 2,0,4F
(0,4,0)AD
, ( 2,2,0)CD
, (0, 2,4)CF
设 ( , , )x y zn 是平面 CDF 的一个法向量，则
0
0
n CD
n CF
即 0
2 0
x y
y z
令 2y ，解得 2
1
x
z
(2,2,1)n
又 AD
是平面 AEFB 的一个法向量，
2cos , 3| |
n ADn AD
n AD
∴平面 CDF 与平面 AEFB 所成锐二面角的余弦值为 2
3 .
2．（2019·山东潍坊市·）四边形 ABCD 是圆柱 1OO 的轴截面，E 为底面圆周上的一点， 2 5AE ， 4BE ， 5AD .
（1）求证： BE 平面 ADE ；
（2）求圆柱的表面积.
【答案】（1）见证明；（2） 48
【解析】（1）证明：∵平面 ABCD 是圆柱 1OO 的轴截面，
∴ AD 平面 ABE ，∵ BE 平面 ABE ，∴ AD BE ，
又 E 为底面圆周上一点， AB 为直径，∴ AE BE ，
又 AD AE A ，∴ BE 平面 ADE
（2）在 ABE 中
∵ 2 5AE ， 4BE ，∴ 2 2 6AB AE BE ，
∴底面圆的半径 3r ，又∵ 5AD
∴圆柱侧面积为 2 3 5 30 ，
上下两底面面积为 23 2 18 ，
∴圆柱的表面积为30 18 48 .
3．（2021·山东淄博市·高三一模）已知在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 4AB BC BB ， 120ABC ，侧棱与
底面垂直，点 M ， N 分别是棱 1CC ， 1 1A B 的中点.
（1）求三棱柱 1 1 1ABC A B C 外接球的表面积；
（2）设平面 ABC 截三棱柱 1 1 1ABC A B C 的外接球面所得小圆的圆心为 O ，求直线 1OB 与平面 BMN 所成角的正
弦值.
【答案】（1）80 ；（2） 7
8 .
【详解】
（1）据已知条件，取 AC 的中点 H ，以CA 所在的直线为 x 轴，以 BH 所在的直线为 y 轴，以过点 H 且和 1AA 平
行的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：
由已知可得 2 3,0,0A ， 0, 2,0B ， 2 3,0,0C ， 1 2 3,0,4A ， 1 2 3,0,4C ， 1 0, 2,4B ，
设球心G 的坐标为 , ,a b c ，则 1GA GC GB ，且 2c
所以
2 22 2
2 22 2
2 3 4 2 3 4
2 3 4 2 4
a b a b
a b a b
，
解得： 0a ， 2b ，所以 0,2,2G ，
所以 2 220 2 2 2 4 2 5r ，
所以外接球的表面积 224 2 80S r r .
（2）由（1）可知：所以 2 3,2,0BC ， 1 0,0,4CC ，
因为 1
1
2CM CC
uuur uuur
，所以 1
1 2 3,2,22BM BC CM BC CC
uuur uuur uuur uuur uuur
，
同理 1 1 1 1 1
1 3,1,42BN BB B N BB B A
uuur uuur uuur uuur uuuur
，
设平面 BMN 的法向量 , ,m x y z
，
则 0
0
m BM
m BN
，
即 3 0
3 4 0
x y z
x y z
，取 3x ，则 2z ， 5y ，
所以 3,5, 2m
ur
，
由（1）可知，截面圆的圆心 O 在 BH 的延长线上，且 2HO ，
所以 1 0, 4,4OB
uuur ，
设直线 1OB 与平面 BMN 所成的角大小为 ，
所以 1
1
20 8 7sin 832 32
m OB
m OB
ur uuur
ur uuur ，
所以直线 1OB 与平面 BMN 所成角的正弦值为 7
8 .
4．（2016·山东济宁市·高三三模（文））如图，在直角梯形 ABCD 中， / /AB CD ， 090BCD ，
2, 4BC CD AB ， / /EC FD , FD 底面 ABCD ， M 是 AB 的中点.
（1）求证：平面CFM 平面 BDF ；
（2）若点 N 为线段CE 的中点， 2, 3EC FD ，求证： / /MN 平面 BEF .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）证明：∵ FD 底面 ABCD ，∴ FD MC ，
连接 DM ,
∵ / /AB CD ， 0, 90DC BM BC BCD ，∴四边形 BCDM 是正方形，
∴ BD CM ，
∵ DF CM ，∴CM 平面 BDF ，
∵CM 平面CFM ，∴平面CFM 平面 BDF .
（2）解：过 N 作 //NO EF 交 DF 于O ，连接 MO ,
∵ / /EC FD ,∴四连形 EFON 是平行四边形，
∵ 2, 3, 1EC FD EN ,∴ 1OF ，则 2OD ,
连接OE ，则 // //OE DC MB ，且OE DC MB ,
∴四边形 BMOE 是平行四边形，则 / /OM BE ，从而 / /OM 平面 BEF ,
同理 / /ON 平面 BEF ，又OM ON O ,
∴平面 //OMN 平面 BEF ，
∵ MN 平面OMN ，∴ / /MN 平面 BEF .
5．（2015·山东高三一模（文））如图在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD 底
面 ABCD ，且 2
2PA PD AD ，设 E ， F 分别为 PC ， BD 的中点．
（1）求证： / /EF 平面 PAD ；
（2）求证：面 PAB 平面 PDC ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】
（1） ABCD 为平行四边形，连结 AC ，则 AC BD F ，
∵ F 为 AC 中点， E 为 PC 中点，
∴在 CPA 中， / /EF PA ，且 PA 平面 PAD ， EF 平面 PAD ，
∴ / /EF 平面 PAD ；
（2）∵平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 面 ABCD AD ，四边形 ABCD 为正方形，CD AD ，CD
平面 ABCD ，
∴CD 平面 PAD ，
∴CD PA ，
又∵ 2
2PA PD AD
∴ 2 2 2+PA PD AD
∴ PAD△ 是等腰直角三角形，且 PA PD
∵ PD CD D
∴ PA 面 PDC ，
又∵ PA 面 PAB ，
∴平面 PAB 平面 PDC ．
6．（2020·山东潍坊市·高三三模）如图，点C 是以 AB 为直径的圆上的动点（异于 A ，B ），已知 2AB ， 7AE ，
EB 平面 ABC ，四边形 BEDC 为平行四边形.
（1）求证： BC ⊥平面 ACD ；
（2）当三棱锥 A BCE 的体积最大时，求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 10
5
.
【详解】
（1）因为四边形 BEDC 为平行四边形，所以 //CD BE .
因为 EB 平面 ABC ，所以CD 平面 ABC ，所以CD BC .
因为 ACB 是以 AB 为直径的圆上的圆周角，所以 BC AC ，
因为 AC DC C ， ,AC DC 平面 ACD ，
所以 BC ⊥平面 ACD .
（2） ABC 中，设 AC x ， 24 0 2BC x x ，
所以 21 1 42 2ABCS AC BC x x △ ，
因为 7AE ， 2AB ，所以 3BE ，
所以 1
3A BCE E ABC ABCV V S BE △
2 2
2 2 23 3 3 4 34 46 6 6 2 3
x xx x x x ，
当且仅当 2 24x x ，即 2x 时，三棱锥 A BCE 体积的最大值为 3
3
.
法一：以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CD 为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系.
则 0,0,0C ， 2,0,0A ， 0,0, 3D ， 0, 2, 3E ，
所以 2,0, 3AD ， 0, 2,0DE ，平面 ABC 的法向量 1 0,0, 3n ，
设平面 ADE 的法向量 2 , ,n x y z ， 2
2
0
0
n AD
n DE
，
所以 2 3 0
2 0
x z
y
，即 2 3,0, 2n ，
所以 1 2
1 2
1 2
6 10cos , 53 5
n nn n
n n
.
法二：因为 //DE BC ， BC 平面 ABC ， DE 平面 ABC ，
所以 //DE 平面 ABC ，
设平面 ADE 平面 ABC l ，则 //l DE ，
又 //BC DE ，所以 //l BC ，
又点 A 是平面 ADE 与平面 ABC 公共点，所以 l 过点 A ，
过点 A 在圆内作 // BCAF 交圆于点 F ，则直线 AF 与 l 重合，
所以 AF 为平面 ADE 与平面 ABC 的交线，
因为 / /AF BC ， AC BC ，所以 AC AF ，
又因为 BC ⊥平面 ACD ，所以 BC AD ，所以 AD AF ，
所以 DAC 为两个平面所成的锐二面角的平面角，
在 Rt ACD△ 中，
2 2= 2 3, 2 3 5AC DC BE AD AC CD ，
所以 2 10cos 55
ACDAC AD
，
所以平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 10
5
.
7．（2019·济南市·高三其他模拟（理））如图，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 60BAD ，
DE 平面 ABCD， / /CF DE ， 2DE CF ，BE 与平面 ABCD 所成的角为 45.
（1）求证：平面 BEF 平面 BDE；
（2）求二面角 B-EF-D 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 6
4
【详解】
（1）∵ DE 平面 ABCD， AC 平面 ABCD.
∴ DE AC .
又∵底面 ABCD 是菱形，∴ AC BD .
∵ BD DE D ，∴ AC 平面 BDE，
设 AC，BD 交于 O，取 BE 的中点 G，连 FG，OG，
/ /OG CF ，OG CF ，四边形 OCFG 是平行四边形
//FG AC ， AC 平面 BDE
∴ FG 平面 BDE，
又因 FG 平面 BEF，
∴平面 BEF 平面 BDE.
（2）以 O 为坐标原点，OA，OB，OG 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图空间直角坐标系
∵BE 与平面 ABCD 所成的角为 45， 60BAD
2DE BD AB ， 3OA
0, 1,0D ， 0,1,0B ， ( 3,0,0)C ， 0, 1,2E ， ( 3,0,1)F .
(0, 2,2)BE ， ( 3, 1,1)BF
设平面 BEF 的法向量为 ( , , )n x y z ，
2 2 0
3 0
y z
x y z
， (0,1,1)n
( 3,1,0)DC ， (0,0,2)DE
设平面CDEF 的法向量 ( , , )m x y z
3 0 (1, 3,0)
0
x y m
z
设二面角 B EF D 的大小为 .
3 6cos |cos , | 42 2
n m .
8．（2020·山东高三专题练习）如图所示的几何体中， 1 1 1ABC A B C 为三棱柱，且 1AA 平面 ABC， 1AA AC ，
四边形 ABCD 为平行四边形， 2AD CD ， 60ADC .
（1）求证： AB 平面 1 1ACC A ；
（2）若 2CD ，求四棱锥 1 1 1C A B CD 的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）8
【详解】
（1）证明: 四边形 ABCD 为平行四边形, 2AD CD , 60ADC .
90ACD BAC ,
AB AC ,
几何体中, 1 1 1ABC A B C 为三棱柱,且 1AA 平面 ABC,
1AB AA ,
1AC AA A ,
AB 平面 1 1ACC A .
（2）连结 1AC ,
AB Q 平面 1 1ACC A , / /CD AB ,
CD\ ^平面 1 1CC A ,
四棱锥 1 1 1C A B CD 的体积:
1 1 1 1 1D CC A C A B CV V V
1 1 1 1 11
1 1
3 3A C C A B CCD S CC S
1 1 1 12 2 3 2 3 2 3 2 2 33 2 3 2
8 .
9．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，AB//CD， AB AD ，
AB=AD=2CD=2，△ADP 为等边三角形．
(1)当 PB 长为多少时，平面 PAD 平面 ABCD?并说明理由；
(2)若二面角 P AD B 大小为 150°，求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．
【答案】（1）当 2 2PB 时，平面 PAD 平面 ABCD ，详见解析（2） 2 53
53
【详解】
解：（1）当 2 2PB 时，平面 PAD 平面 ABCD ，
证明如下：在 PAB 中，因为 2, 2 2AB PA PB ，所以 AB PA ，
又 AB AD ， AD PA A ，所以 AB 平面 PAD ，
又 AB Ì平面 ABCD ，所以平面 PAD 平面 ABCD ；
（2）分别取线段 ,AD BC 的中点 ,O E ，连接 ,PO OE ，因为 ADP 为等边三角形，O 为 AD 的中点，所以
PO AD ， ,O E 为 ,AD BC 的中点，所以 / /OE AB ,
又 AB AD ，所以 OE AD ，故 POE 为二面角 P AD B 的平面角，所以 150POE ，
如图，分别以 ,OA OE 的方向以及垂直于平面 ABCD 向上的方向作为 , ,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系
O xyz ，
因为 3OP ， 150POE ，所以 3 3(0, , )2 2P ， (1,0,0)A ， (1,2,0)B ， ( 1,1,0)C .
可得 (0,2,0)AB ， 7 3 5 3(1, ), ( 1, , )2 2 2 2PB PC , ，
设 ( , , )n x y z 为平面 PBC 的一个法向量，则有 0, 0PB n PC n ，
即
7 3 02 2
5 3 02 2
x y z
x y z
，令 1x ，
可得 (1, 2, 4 3)n ，
设 AB 与平面 PBC 所成角为 ，则有 | |sin
| || |
AB n
AB n
2 2 2
4
2 1 ( 2) ( 4 3)
2
53
所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2 53
53
.
10．（2021·海南海口市·高三其他模拟）如图，在五面体 ABCDEF 中，底面四边形 ABCD 为正方形，面 ABFE
面CDEF EF ， ,AD ED CD EA ．
（1）求证： / /AB EF ；
（2）若 1, 3EF ED CD ，求平面 ADE 与平面 BCF 所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 5
5
．
【详解】
（1）在正方形 ABCD 中， / /AB CD ，因为CD 平面 ,CDEF AB 平面 ABFE ，所以 / /AB 平面CDEF ．
因为 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面CDEF EF ，
所以 / /AB EF ．
（2）因为四边形 ABCD 是正方形，所以CD AD ．因为 ,CD AE AD AE A ， ,AD AE 面 ADE ，所以
CD 平面 ADE ．因为 DE 平面 ADE ，所以CD DE ．
由 AD DE ，所以可以如图以点 D 为坐标原点建立空间直角坐标系．
由已知， (3,3,0), (0,3,0), (0,1,1)B C F ．易知平面 ADE 的法向量为 (0,1,0)m ．
设平面 BCF 的法向量为 ( , , )n x y z ，所以：
n BC
n FC
，则 0,
0,
n BC
n FC
所以： 3 0,
2 0,
x
y z
令 1y ，解得： 2, 0z x ，所以平面 BCF 的法向量：
(0,1,2)n ．
设平面 ADE 与平面 BCF 所成锐二面角为 ，则 | | 1 5cos 5| | | | 5
m n
m n
．
所以平面 ADE 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值为 5
5
．
11．（2021·海南高三其他模拟）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 底面 ABC ，AB BC ， 1AB ， 2BC ，
1 3AA ．
（1）求直线 1AC 与 1AB 所成角的余弦值；
（2）设 M 为 AC 的中点，在平面 1BCC 内找一点 N ，使得 MN 平面 1A BC ，求点 N 到平面 ABC 和平面 1ABB 的
距离．
【答案】（1） 2
4
；（2）到平面 ABC 的距离为 3
6
，到平面 1ABB 的距离为 1．
【详解】
解：（1）根据题设可知 AB ，BC ， 1BB 两两垂直，以 B 为坐标原点，分别以 BA ， BC ， 1BB 所在直线为 x ， y ，
z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 0,0,0B ， 1,0,0A ， 1 0,0, 3B ， 1 1,0, 3A ， 0,2,0C ，
所以 1 1,0, 3AB
uuur
， 1 1,2, 3CA
uuur
，
所以 1
1
1
1 1
1
1 3 2cos , 42 8
AB ACAB AC
AB AC
uuur uuuruuur uuur
uuur uuur ，
所以直线 1AC 与 1AB 所成角的余弦值为 2
4
．
（2）由条件知 1 ,1,02M
．因为点 N 在平面 1BCC 内，可设其坐标为 0, ,N a b ，则 1 , 1,2MN a b
uuur
．
因为 MN 平面 1A BC ，所以 MN BC ， 1MN BA ，
由坐标系可得 0,2,0BC
uuur ， 1 1,0, 3BA
uuur
，
所以
1
2 1 0,
1 3 0,2
MN BC a
MN BA b
解得 1a ， 3
6b ，
所以点 30,1, 6N
，其到平面 ABC 的距离为 3
6
，到平面 1ABB 的距离为 1．
12．（2021·海南高三二模）如图所示，四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点 E ，F 分别
在棱 1AA ， 1CC 上，且满足 1
1
3AE AA ， 1
1
3CF CC ，平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l .
（1）证明：直线l 平面 1BDD ；
（2）已知 2EF ， 1 4BD ，设 BF 与平面 1BDD 所成的角为 ，求sin 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2） 5 3,5 5
.
【详解】
（1）如图，连接 AC ，与 BD 交于点O .
由条件可知 //AE CF ，且 AE CF ，所以 //AC EF ，
因为 EF 平面 BEF ，所以 //AC 平面 BEF .
因为平面 BEF I 平面 ABC l ，所以 //AC l .
因为四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，
所以 AC BD ， 1AC BB ，
又 1BD BB B ，所以 AC 平面 1BDD ，
所以l 平面 1BDD .
（2）如图所示，以 O 为坐标原点，分别以OB
，OC
的方向为 x ， y 轴的正方向建立空间直角坐标系.
设 2BD a ，因为 1BD BD ，所以 0 2a .
则OB a ， 2 2 2
1 1 2 4DD BD BD a .
所以 ( ,0,0)B a ， (0,1,0)C ， 220,1, 43F a .
由（1）可知 (0,1,0)OC 是平面 1BDD 的一个法向量，
而 22,1, 43BF a a
，
所以sin cos ,
OC BF
OC BF
OC BF
2
2 2
1 3
4 25 51 49
aa a
，
当 0 2a 时，
2
5 3 3
5 525 5a
，
即 5 3sin ,5 5
.
13．（2020·海南高三一模）如图，三棱锥 S ABC 的底面 ABC 和侧面 SBC 都是等边三角形，且平面 SBC 平
面 ABC .
（1）若 P 点是线段 SA的中点，求证： SA 平面 PBC ；
（2）点Q 在线段出上且满足 1
3AQ AS ，求 BQ 与平面 SAC 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 3 10
10
.
【详解】
（1）因为 ABC 和 SBC 都为等边三角形，且有公共边 BC ，
所以 AB SB BC AC SC .
因为 P 为 SA的中点，所以 SA BP ， SA CP ，
又因为 BP CP P ，所以 SA 平面 PBC .
（2）取 BC 的中点O ，连接 OA ，OS ，由条件可得 OA ， BC ，OS 两两垂直.
以O 为坐标原点， OA
，OB
，OS
的方向分别为 x ， y ， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.
设 2AB ，则 3AO OS ，
则点 3,0,0A ， 0,1,0B ， 0, 1,0C ， 0,0, 3S ， 2 3 3,0,3 3Q
，
所以 3,1,0CA ， 3,0, 3SA ， 2 3 3, 1,3 3BQ
.
设平面 SAC 的一个法向量为 , ,n x y z
，
则 3 0,
3 3 0,
n CA x y
n SA x z
，令 1x ，可得 1, 3,1n
.
设 BQ 与平面 SAC 所成角为 ，
则
2 3 33 3 103 3sin cos , 104 11 1 3 13 3
BQ n
BQ n
BQ n
.
14．（2020·海南）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， BC ⊥平面 1 1ABB A ，四边形 1 1ABB A 为菱形．
（Ⅰ）证明： 1AB 平面 1A BC ；
（Ⅱ）若 1 60ABB ， 4AB ，二面角 1 1C A B A 的余弦值为 21
7
，求三棱锥 1C ABB 的体积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）16 3
3
.
【详解】（Ⅰ）因为四边形 1 1ABB A 为菱形，所以 1 1AB A B ．
因为 BC ⊥平面 1 1ABB A ， 1AB 平面 1 1ABB A ，所以 1AB BC ．
又因为 1A B BC BI ， 1A B 平面 1A BC ， BC 平面 1A BC ，
所以 1AB 平面 1A BC ．
（Ⅱ）以 B 为坐标原点，分别以 1BB ，BC 所在的直线为 x 轴和 z 轴，
以过 B 点垂直平面 1 1BBC C 的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系如图所示．
设 0BC h h ，则 0,0,0B ， 1 4,0,0B ， 1 6,2 3,0A ，
0,0,C h ．所以 1 4,0,B C h ， 1 1 2,2 3,0B A ．
设平面 1 1CA B 的法向量为 , ,n x y z ，则 1
1 1
0,
0,
n B C
n B A
即
4 0,
2 2 3 0,
x hz
x y
令 1x ，得 3 41, ,3n h
．
由条件知 0,0,BC h 为平面 1 1AA B 的一个法向量．
设二面角 1 1C A B A 的平面角为 ，易知 为锐角．
则
2
4 21cos 71 161 3h
h
，解得 4h ．
所以
11
1 1 14 4 4 sin 603 3
16 3
2 3C A BBB ABV BC S
．
15．（2019·海口市·高三一模（理））如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， //AD BC ，
90ADC ，平面 PAD 底面 ABCD ，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点， 2PA PD ， 1 12BC AD ，
3CD .
（1）若 M 为 PC 的中点，求证： //PA 面 MQB ；
（2）若二面角 M BQ C 为 30°，设 PM tMC ，试确定t 的值.
【答案】(1)证明见解析 （2） 3t
【详解】
（1）证明：连接 AC ，交 BQ 于O ，连接 MO ．
∵ //AD BC 且 1
2BC AD ，
四边形 BCQA为平行四边形，且O 为O 中点，
又∵点 M 是棱 PC 的中点，所以 //OM PA ．
∵OM 平面 MQB ， PA 平面 MQB .
∴ //PA 面 MQB .
(2) 2PA PD ，Q 为 AD 的中点，∴ PQ AD ．
∵平面 PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD AD ，
∴ PQ 平面 ABCD ．
∵ //AD BC ， 1
2BC AD
Q 为 AD 的中点，∴四边形 BCQA为平行四边形，∴ //CD BQ ．
∵ 90ADC ,∴ 90AQB 即 BQ AD
以Q 为原点, , ,QA QB QP 分别为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系.
则 0,0, 3 , 0, 3,0 , 1, 3,0 ,P B C
则平面 BCQ 的法向量为 0,0,1n
设 1, 3, 3 , 3 , 3PM mPC m m m m 0 1m
0, 3,0QB
0,0, 3 , 3 , 3 , 3 , 3 3QM QP PM m m m m m m
设平面 BQM 的法向量为 , ,m x y z
则 0
0
m QB
m QM
即
3 0
3 3 3 0
y
mx my m z
可取 3 3 ,0,m m m
由二面角 M BQ C 为30°
所以
22
3cos30 cos , 23 3
mn mn m
n m m m
化简得： 28 18 9 0m m ，解得： 3
4m 或 3
2m （舍）
所以 3
4PM PC ，则 3PM MC
所以 3t .
16．（2015·海南（理））如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直． / /AB CD ，AB BC ，
2 2AB CD BC ， EA EB .
(1) 求证： AB DE ；
(2) 求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值；
(3) 线段 EA 上是否存在点 F ，使 / /EC 平面 FBD ? 若存在，求出 EF
EA
；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） 3
3
；（3）线段 EA 上存在点 F ，使得 / /EC 平面 FBD ，且 1
3
EF
EA
.
【详解】
（1）证明：取 AB 中点 O，连接 EO，DO．
因为 EB=EA，所以 EO⊥AB．
因为四边形 ABCD 为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四边形 OBCD 为正方形，所以 AB⊥OD
因为 EO∩OD=O
所以 AB⊥平面 EOD
因为 ED⊂平面 EOD
所以 AB⊥ED．
（2）解：因为平面 ABE⊥平面 ABCD，且 EO⊥AB，平面 ABE∩平面 ABCD=AB
所以 EO⊥平面 ABCD，
因为 OD⊂平面 ABCD，所以 EO⊥OD．
由 OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz．
因为△EAB 为等腰直角三角形，所以 OA=OB=OD=OE，设 OB=1，所以 O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，
0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．
所以 11 1EC ，， ，平面 ABE 的一个法向量为 01 0OD ，， ．
设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为θ，
所以 3
3
EC OD
sin cos EC OD
EC OD
， ＞ ，
即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 3
3
．
（3）解：存在点 F，且 1
3
EF
EA
时，有 EC∥平面 FBD．证明如下：由 1 1 103 3 3EF EA
，， ， 1 203 3F
，， ，
所以 4 203 3FB
，， ．
设平面 FBD 的法向量为 v =（a，b，c），则有 0
0
v BD
v FB
所以
0
4 2 03 3
a b
a c
取 a=1，得 v =（1，1，2）．
因为 EC v =（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，且 EC⊄ 平面 FBD，所以 EC∥平面 FBD．
即点 F 满足 1
3
EF
EA
时，有 EC∥平面 FBD．
17．（2016·海南海口市·高三一模（理））如图，四棱锥 P ABCD ， / /AD BC ， 2 4AD BC ， 2 3AB ，
90BAD ，M，O 分别为 CD 和 AC 的中点， PO 平面 ABCD．
I 求证：平面 PBM 平面 PAC；
( Ⅱ ) 是否存在线段 PM 上一点 N，使得 / /ON 平面 PAB，若存在，求 PN
PM
的值，如果不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析（2）当 N 为 PM 靠近 P 点的三等分点时， / /ON 平面 PAB．
【详解】
解： I 连结 MO 并延长交 AB 于 E，设 AC，BM 的交点为 F．
M ，O 是 CD，AC 的中点， / / / /MO AD BC ， 1 22MO AD ，
E 是 AB 的中点， 1 32BE AB ．
1 32ME AD BC ．
2 2 2 3BM BE ME ．
/ /MO BC ， MO BC ，
BCF ≌ MOF ，
1 32BF BM ， 1 1
2 4CF OC AC ．
2 2 4AC AB BC ， 1CF ．
2 2 2BF CF BC ， BF CF ，即 BM AC ．
PO 平面 ABCD， BM 平面 ABCD，
PO BM ，又 PO 平面 PAC， AC 平面 PAC， PO AC O ，
BM 平面 PAC，又 BM 平面 PBM，
平面 PBM PAC ．
II 当 N 为 PM 靠近 P 点的三等分点时， / /ON 平面 PAB．
证明：连结 PE，由 I 可知 2MO ， 3EM ，
2
3
MO MN
ME PM
，
/ /ON PE ，又 ON 平面 PAB， PE 平面 PAB，
/ /ON 平面 PAB．
18．（2018·海南高三一模（文））如图（1）所示，长方形 ABCD 中， 2AB AD ，M 是 DC 的中点，将 ADM
沿 AM 折起，使得 AD BM ，如图（2）所示，在图（2）中，
（1）求证： BM 平面 ADM ；
（2）若 1AD ，求三棱锥 B MCD 的体积.
【答案】（1）见解析；（2） 2
12
【解析】（1）在长方形 ABCD 中，因为 2AB AD ， M 是 DC 的中点，
所以 2AM BM AD ，从而 2 2 2AM BM AB ，所以 AM BM .
又因为 AD BM ， AD AM A ，所以 BM 平面 ADM .
（2）因为 1AD ，所以 2 2AB AD ，
因为 M 是 DC 的中点，所以 1BC CM ， 2AM BM .
设点 D 到平面 ABCM 的距离为 h ，
由（1）知 BM 平面 ADM ，因为 D AMB B ADMV V ，
所以 1 1
3 3AMB ADMS h S BM ，所以 2
2h ，
所以 1
3B MCD D MBC MBCV V S h 1 1 2 21 13 2 2 12
.
19．（2020·海口市第二中学高三月考）（2018 海南高三阶段性测试（二模））如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，
90BAC ， 2AB AC ，点 M 为 1 1AC 的中点，点 N 为 1AB 上一动点．
（I）是否存在一点 N ，使得线段 / /MN 平面 1 1BBC C ？若存在，指出点 N 的位置，若不存在，请说明理由．
（II）若点 N 为 1AB 的中点且CM MN ，求二面角 M CN A 的正弦值．
【答案】（I）见解析（II） 2
3
【解析】（1）存在点 N ，且 N 为 1AB 的中点．证明如下：
如图，连接 1A B ， 1BC ，点 M ， N 分别为 1 1AC ， 1A B 的中点，
所以 MN 为 1 1A BC 的一条中位线， MN BC ，
又 MN 平面 1 1BB C C ， 1BC 平面 1 1BB C C ，所以 MN 平面 1 1BB C C ．
（2）设 1AA a ，则 2 2 1CM a ， 2MN 2 2
1 1A M A B
2 41 4
a
2 8
4
a ，
2 2
2 2054 4
a aCN ，
由CM MN ，得 2 2 2CM MN CN ，解得 2a ．
由题意以点 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴， 1AA 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得 0,0,0A ，
0,2,0C ， 21,0, 2N
， 0,1, 2M ，
故 21,0, 2AN
， 0,2,0AC ， 21, 2, 2CN
， 0, 1, 2CM
．
设 , ,m x y z 为平面 ANC 的一个法向量，则
0,
0,
m AC
m AN
得
2 0,
2 0,2
y
x z
令 1x ，得平面 ANC 的一个法向量 1,0, 2m ，
同理可得平面 MNC 的一个法向量为 3,2, 2n ，
故二面角 M CN A 的余弦值为 3 0 2,
3 15
cos m n
5
15
．
故二面角 M CN A 的正弦值为
2
5 2 551 15 15
．
20．（2016·海南高三一模（理））如图，在直角梯形 BBAA 11 中， 22,90 111111 BAAAABABBAABA ，∥ .
直角梯形 CCAA 11 通过直角梯形 BBAA 11 以直线 1AA 为轴旋转得到，且使得平面 CCAA 11 ⊥平面 BBAA 11 . M 为线段
BC 的中点， P 为线段 1BB 上的动点.
（Ⅰ）求证： APCA 11 ；
（Ⅱ）当点 P 是线段 1BB 中点时，求二面角 BAMP 的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点 P ，使得直线 ∥CA1 平面 AMP ？请说明理由.
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）
17
173 ；（Ⅲ）在线段 1BB 上存在点 P ，且 2
1
PB
BP 时，使得直线 ∥CA1 平面 AMP .
【解析】（Ⅰ）由已知 9011 ACAABA ，且平面 CCAA 11 ⊥平面 BBAA 11 ，
所以 90BAC ，即 AC⊥AB.又因为 1AAAC 且 AAAAB 1 ，所以 AC 平面 BBAA 11 .
由已知 ACCA ∥11 ，所以 11CA 平面 BBAA 11 .
因为 AP 平面 BBAA 11 ，所以 APCA 11 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 1,, AAABAC 两两垂直，分别以 1,, AAABAC 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所
示.由已知 222 11111 CABAAAACAB ，
所以 )2,0,0(),2,1,0(),0,0,2(),0,2,0(),0,0,0( 11 ABCBA ，
因为 M 为线段 BC 的中点，P 为线段 1BB 的中点，所以 )1,2
3,0(),0,1,1( PM .
易知平面 ABM 的一个法向量 (0,0,1)m ，
设平面 APM 的一个法向量为 ( , , )n x y z ，
由 0,
0
n AM
n AP
得
,02
3
,0
zy
yx
取 2y ，得 )3,2,2( n .
由图可知，二面角 BAMP 的大小为锐角，
所以 3 3 17cos , 1717
m n
m n
m n
.
所以二面角 BAMP 的余弦值为
17
173 .
（Ⅲ）存在点 P，使得直线 1AC∥平面 AMP .设 1 1 1( , , )P x y z ，且 1, [0,1]BP BB ，
则 1 1 1( , 2, ) (0, 1,2)x y z ，所以 1 1 10, 2 , 2x y z ，所以 (0,2 ,2 )AP
.
设平面 AMP 的一个法向量为 0 0 0 0( , , )n x y z ，
由 0
0
0,
0
n AM
n AP
得 0 0
0 0
0,
(2 ) 2 0,
x y
y z
取 0 1y ，得 0
2( 1,1, )2n
（显然 0 不符合题意）
又 1 (2,0, 2)AC ，若 1AC∥平面 AMP ，则 1 0AC n ，所以 1 0
22 0AC n
，所以 2
3
.
所以在线段 1BB 上存在点 P ，且
1
2BP
PB
时，使得直线 1AC∥平面 AMP .
21．（2016·海南高三一模（文））如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， , ,D M N 分别是 1 1, ,AB AA BC 的中点.
（1）求证： / /MN 平面 ABC ；
（2）若 1, 2AC BC BB AB ，试在 1BB 上找一点 F ，使 1A B 平面CDF ，并证明你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2）点 F 为 1B B 的中点.
【解析】（1）证明：如图，连结 1A H （ H 为 1 1B C 的中点），由 ,M N 分别为 1 1,AA BC 的中点，可得 1/ /MN A H ，
又因为 1A H 平面 1 1 1A B C ，MN 平面 1 1 1A B C ，所以 / /MN 平面 1 1 1A B C ，所以由 1 1 1ABC A B C 是直三棱柱，从
而有 / /MN 平面 ABC .
（2）解：作 1DE A B 交 1A B 于 E ，延长 DE 交 1BB 于 F ，连接CF ，则 1A B 平面CDF ，点 F 即为所求.因为
CD 平面 1 1AA B B ，又 1A B 平面 1 1AA B B ，所以 1CD A B .又 1A B DF ， DF CD D ,所以 1A B 平面
CDF .此时点 F 为 1B B 的中点.
22．（2016·海南高三一模（理））（题文）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，
且 .
（1）求棱 与 所成的角的大小；
（2）在棱 上确定一点 ，使二面角 的平面角的余弦值为 .
【答案】（1） ；（2） 为棱 中点.
【解析】（1）如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
， ，
∴ ，故 与棱 所成的角是 .
（2） 为棱 上一点，设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，则 ，
而平面 的法向量是 ，
∴ ，解得 ，
其坐标为 ，即 为棱 中点.
23．（2015·海南高三其他模拟（理））（本题满分 12 分）如图，三棱柱 中， ⊥面 ，
， ， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱 上是否存在点 ，使得 ？请证明你的结论．
【答案】见解析.
【解析】（I）证明：连接 B1C，与 BC1 相交于 O，连接 OD．
∵BCC1B1 是矩形，∴O 是 B1C 的中点．
又 D 是 AC 的中点，∴OD//AB1．
∵AB1 面 BDC1，OD 面 BDC1，∴AB1//面 BDC1．
（II）解：如图，建立空间直角坐标系，
则 C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），
A（2，3，0），D（1，3，0）， ， ，
设 是面 BDC1 的一个法向量，则
即 ，取 ．
易知 是面 ABC 的一个法向量．
．
∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为 ．
（III）假设侧棱 AA1 上存在一点 P 使得 CP⊥面 BDC1．
设 P（2，y，0）（0≤y≤3），则 ，
则 ，即 ．
解之 ∴方程组无解．
∴侧棱 AA1 上不存在点 P，使 CP⊥面 BDC1．
24．（2019·海南高三三模（文））如图，在四棱锥 S ABCD 中， SA 平面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形，
AD CD ， //AD BC ，且 2 4 4BC AD CD .点 E 是线段 BC 上一点，且 1
8CE BC .
（1）求证：平面 SAC 平面 SED .
（2）若 2 2SD ，在线段 BS 上是否存在一点 F ，使得 F 到平面 SAC 的距离为 5
6
？若存在，求 SF 的值；若
不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 5
8
【详解】
（1）方法一：因为 2AD CD ， 1
2EC CD ，
所以 1tan tan 2CAD EDC ，
所以 CAD EDC .
因为 AD CD ，所以 90CAD ACD ，所以 90EDC ACD ，
所以 AC DE .
因为 SA 平面 ABCD ， DE 平面 ABCD ，所以 SA DE .
又 SA AC A ，所以 DE 平面 SAC .
而 DE 平面 SED ，所以平面 SAC 平面 SED .
方法二：在 CAD 与 EDC 中， EC CD
CD DA
， 90ECD ADC ，
所以 CAD EDC .
所以 CAD EDC .（以下证明同方法一）
（2）存在这样的点.
由 2 2SD ， 2AD ，得 2SA .
又易知 5AB ， 5AC ， 3SB .
设点 B 到平面 SAC 的距离为 d ，因为 B SAC S ABCV V ，
所以 1 1 1 12 5 4 1 23 2 3 2d .
解得 4 5
5d .
由相似性可得
5
6
3 4 5
5
SF ，解得 5
8SF .
所以存在这样的点，使得 F 到平面 SAC 的距离为 5
6
.此时 5
8SF .
25．（2021·山东高三二模）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和 1
4
个圆柱拼接而成，点G 为弧 CD 的中点，
且C 、 E 、 D 、G 四点共面.
（1）证明：平面 BFD 平面 BCG ；
（2）若平面 BDF 与平面 ABG 所成锐二面角的余弦值为 15
5
，求直线 DF 与平面 ABF 所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2） 45
【详解】
（1）如图，连接CE ，
因为几何体是由等高的半个圆柱和 1
4
个圆柱拼接而成，
所以 45ECD DCG ， 90ECG ，CE CG ，
因为 //BC EF ， BC EF ，
所以四边形 BCEF 为平行四边形， //BF EC ， BF CG ，
因为 BC ⊥平面 ABF ， BF 平面 ABF ，所以 BC BF ，
因为 BC CG C ，所以 BF 平面 BCG ，
因为因为 BF 平面 BFD ，所以平面 BFD 平面 BCG .
（2）如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 2AF ， AD t ，
则 0,0,0A 、 0,2,0B 、 2,0,0F 、 ( )0,0,D t 、 ( )1,1,G t- ，
0,2,0AB ， 1,1,AG t
， 2,2,0FB ， 2,0,FD t
，
设平面 BDF 的一个法向量为 , ,n x y z
，
则 0
0
n FB
n FD
，整理得 2 2 0
2 0
x y
x tz
，令 2z ，则 ( ), ,2n t t= ，
设平面 ABG的一个法向量为 , ,m x y z ，
则 0
0
m AB
m AG
，整理得 0
0
y
x y tz
，令 1z ，则 ( ),0,1m t= ，
2
2 2
2cos ,
2 4 1
m n tm n
m n t t
，
因为平面 BDF 与平面 ABG 所成锐二面角的余弦值为 15
5
，
所以
2
2 2
2 15
52 4 1
t
t t
，解得 2t ，即 2AD ，
因为 DA 平面 ABF ，所以 DFA 即直线 DF 与平面 ABF 所成的角，
在 ADF 中，因为 90DAF o ， 2AD AF ，所以 45DFA ，
故直线 DF 与平面 ABF 所成的角为 45 .
26．（2021·山东德州市·高三二模）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形且 4AB ， 3BC ，点 P
在底面上的射影为线段 DC 上一点 E ，PE EC ，且 1DE ，M 为 AP 上的一点且 : 1:3AM MP ，过 E 、M
做平面交 PB 于点 N ， PC 于点 F 且 F 为 PC 的中点．
（1）证明： //ME 平面 PBC ；
（2）求平面 PAD 与平面 EMNF 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 6 55
55
．
【详解】
（1）证明：解法一：取 AB 的四等分点G ，使 1AG ，连接 MG ， EG ，
则 1
3
AM AG
MP GB
，所以 //MG PB ，
因为 MG 平面 PBC ， PB 平面 PBC ，所以 //MG 平面 PBC ，
又因为 //EC BG ，所以 //GE BC ，
因为GE 平面 PBC ， BC 平面 PBC ，所以 //GE 平面 PBC ，
又因为GE MG G ，GE Ì 平面 MGE ， MG 平面 MGE ，
所以平面 //MGE 平面 PBC ，
因为 ME 平面 MGE ，所以 //ME 平面 PBC .
解法二：取 PB 的四等分点 H ，使 1
3
BH
HP
，连接 MH ，CH ，
则 1
3
AM BH
MP HP
，所以 3// 4MH AB ，
又因为 3// 4EC AB ，所以 //MH EC ，
所以四边形 MHCE 为平行四边形，所以 //ME CH ．
又因为 ME 平面 PBC ，CH 平面 PBC ，
所以 //ME 平面 PBC ．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
则 3, 1,0A ， 0, 1,0D ， 0,0,3P ， 0,0,0E ， 0,3,0C ，
9 3 3, ,4 4 4M
， 3 30, ,2 2F
，
所以 3,0,0AD ， 0,1,3DP ，
9 3 3, ,4 4 4EM
， 3 30, ,2 2EF
，
设平面 PAD 的法向量为 1 1 1, ,m x y z ，则 1
1 1
3 0
3 0
AD m x
DP m y z
，
令 1 0x ， 1 1z ，得平面 PAD 的一个法向量为 0,3, 1m ，
设平面 EMNF 的法向量为 2 2 2, ,n x y z ，
则
2 2 2
2 2
9 3 3 04 4 4
3 3 02 2
EM n x y z
EF n y z
，
令 2 1z ，得平面 EMNF 的一个法向量为 2 ,1, 13n
，
所以
3 1 6 55cos , 552210 9
m n
，
所以平面 PAD 与平面 EMNF 所成角的余弦值为 6 55
55
．
27．（2021·山东潍坊市·高三一模）如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，
/ /AD BC ， AB AD ， 2 4AB BC ， E 是棱 PD 上的动点（除端点外）， F ， M 分别为 AB ，CE 的中点．
（1）求证： / /FM 平面 PAD ；
（2）若直线 EF 与平面 PAD 所成的最大角为 30°，求平面CEF 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 93
31
．
【详解】
（1）证明：取 CD 的中点 N ，连结 FN ， MN ，
因为 F ， N 分别为 AB ， CD 的中点，
所以 / /FN AD ，
又因为 FN 平面 PAD ， AD 平面 PAD ，
所以 / /FN 平面 PAD ，
同理， / /MN 平面 PAD ，
又因为 FN MN N ，
所以平面 / /MFN 平面 PAD ，
又因为 FM 平面 MFN ，
所以 / /FM 平面 PAD ．
（2）因为平面 PAD 平面 ABCD ， AB AD ，
所以 AB 平面 PAD ，
所以 AEF 即为直线 EF 与平面 PAD 所成的角，
且 2tan AFAEF AE AE
，
当 AE 最小，即 E 为 PD 中点时， AE PD ，
此时 AEF 最大为 30°，
又因为 2AF ，
所以 2 3AE ，所以 4AD ．
取 AD 的中点O ，连结 PO ，OC ，
易知 PO 平面 ABCD ，
因为 / /AO BC 且 AO BC ，
所以四边形 ABCO 为平行四边形，
所以 AO OC ，
以O 为坐标原点， OC
的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ．
则 (0,0,0)O ， (4,0,0)C ， (0,2,0)D ， (0,0,2 3)P ， (0,1, 3)E ， (2, 2,0)F ， ( 4,1, 3)CE ， (2,2,0)FC ，
设 1 ( , , )n x y z 为平面CEF 的法向量，
则 1
1
0
0C
FC
n E
n
，
即
2 2 0,
4 3 0,
x y
x y z
可取 1 ( 3, 3,5)n ．
设平面 PAD 的法向量为 2 1,0,0n ，
所以 1 2
1 2
1 2
3 93cos , 3131
n nn n n n
，
所以平面CEF 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为 93
31
．
28．（2020·山东高三专题练习）试在① PC BD ，② PC AB ，③ PA PC 三个条件中选两个条件补充在下
面的横线处，使得 PO 面 ABCD 成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：
如图，在四棱锥 P ABCD 中， AC BD O ，底 ABCD 为菱形，若__________，且 60ABC ，异面直线
PB 与 CD 所成的角为 60，求二面角 A PB C 的余弦值.
【答案】详见解析；余弦值为 1
3
【详解】
若选②：由 PO 平面 ABCD 知，又 PC AB ，
所以 AB 面 PAC，所以 AB AC ，
所以 90BAC ， BC BA ，
这与底面 ABCD 为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③.
下面证明： PO 平面 ABCD，
因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD .
因为 PC BD ， PC AC C ，
所以 BD 平面 APC.
又因为 PO 平面 APC，所以 BD PO .
因为 PA PC ，O 为 AC 中点，所以 PO AC .
又 AC BD O ，所以 PO 平面 ABCD，
因为 PO 面 ABCD，以 O 为坐标原点，以OB
，OC
，OP
的方向分别作为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图
空间直角坐标系O xyz ，
因为 / /AB CD ，所以 PBA 为异面直线 PB 与 CD 所成的角，
所以 60PBA .
在菱形 ABCD 中，设 2AB ，
因为 60ABC ，所以 1OA ， 3OB ，
设 PO a ，则 2 1PA a ， 2 3PB a .
在 PBA△ 中，由余弦定理得：
2 2 2+ 2 cosPA BA BP BA BP PBA ，
所以 2 2 2 11 4 3 2 2 3 2a a a ，解得 6a ，
所以 0, 1,0A ， 3,0,0B ， 0,1,0C ， 0,0, 6P .
设 1 1 1 1, ,n x y z 为平面 ABP 的法向量，
3,0AB ， 0,1, 6AP ，
由 1
1
0
0
n AB
n AP
可得： 1 1
1 1
3 0
6 0
x y
y z
，
令 1 1z 得 1 2, 6,1n
.
设 2 2 2 2, ,n x y z
uur
为平面 CBP 的法向量，
3, 1,0CB ， 0, 1, 6CP ，
由 2
2
0
0
n CB
n CP
可得： 2 2
2 2
3 0
6 0
x y
y z
，
令 2 1z 得： 2 2, 6,1n
.
设二面角 A PB C 的平面角为 ，
所以 1 2
1 2
1cos 3
n n
n n
，所以二面角 A PB C 的余弦值为 1
3 .
29．（2019·山东枣庄市·高考模拟（理））设 D 是直角△ABC 斜边 AC 的中点，AB=2 3 ，BC=2．将△CBD 沿着
BD 翻折，使得点 C 到达 P 点位置，且 PA= 10 ．
（Ⅰ）求证：平面 PBD⊥平面 ABD；
（Ⅱ）求二面角 A-PB-D 的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 3 13
13
【解析】（Ⅰ）证明：在 Rt△ABC 中，由 AB=2 3 ，BC=2，得 AC=4，
∵D 为 AC 的中点，∴DC=2，
取 BD 中点 O，连接 CO，则 CO⊥BD，即 PO⊥BD，
在等边三角形 BCD 中，求得 CO= 3 ，则 PO= 3 ，
在△ADO 中，由 AD=2，OD=1，∠ADO=120°，
得 AO2=22+122×2×1×cos120°= 15 4 72
．
又 PA= 10 ，∴AO2+PO2=PA2，即 PO⊥AO，
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面 ABD，
而 PO⊂平面 PBD，则平面 PBD⊥平面 ABD；
（Ⅱ）解：以 O 为坐标原点，分别以 OD，OC，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
则 m 010 ，， 为平面 PBD 的一个法向量．
A（2， 3 ，0），B（1，0，0），P（0，0， 3 ），
PA 2 3 3 ， ， ， PB 1 0 3
，， ，
设平面 PAB 的一个法向量为 n x y z ， ， ，
由 n PA 2 3 3 0
n PB 3 0
x y z
x z
，取 z=1，得 n 3 31 ， ， ．
∴cos＜ m n ， ＞=
m n
m n
= 3 3 13
131 13
．
由图可知，二面角 APBD 为锐二面角，
∴二面角 APBD 的余弦值为 3 13
13
．
30．（2019·山东聊城市·高考模拟（理））如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， E 为 CD 的中点，以 AE 为
折痕把 ADE 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且 60PAB .
（1）求证：平面 PEC 平面 PAB ；
（2）求二面角 P AE B 的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2） 1
4
【详解】
（1）因为四边形 ABCD 是正方形，所以折起后 PE PA ，且 PA AB ，
因为 60PAB ，所以 PAB 是正三角形，所以 PB PA .
又因为正方形 ABCD 中， E 为CD 的中点，所以 EA EB ，所以 PAE PBE ，
所以 EPB EPA ，所以 PE PB ，又因为 PA PB P ，所以 PE 平面 PAB .
又 PE 平面 PEC ，所以平面 PEC 平面 PAB .
（2）取 AB 中点 F ，连结 PF ， EF ，则 AB PF ， AB EF ，
又 PF EF F ，则 AB 平面 PEF .又 AB 平面 ABCE ，所以平面 PEF 平面 ABCE .
在平面 PEF 内作 PO EF 于O 点，则 PO 平面 ABE .
以O 点为原点，OF 为 x 轴，OP 为 z 轴，如图建立空间直角坐标系.
在 PEF 中， 3PF ， 1PE ， 2EF .
∴ 1 3 3
2 2PO ， 1
2EO ，故 30,0, 2P
， 1 ,0,02E
， 3 , 1,02A
，
∴ 3 3, 1,2 2PA
， 2,1,0AE
.
设平面 PAE 的一个法向量为 1 , ,n x y z ，则由 1
1
0
0
n PA
n AE
，得
3 3 02 2
2 0
x y z
x y
，令 1x ，得 2y ， 3
3z ，
∴ 1
31,2, 3n
.
因为平面 ABE 的法向量为 2 0,0,1n ，
则 1 2
3
13cos , 4 41
3
n n
，
又二面角 P AE B 为锐二面角，∴二面角 P AE B 的余弦值为 1
4 .
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