专题06：数列不等式-2021年高考数列专题终极突破（全国通用）（解析版）

专题 06：数列不等式-2021 年高考数列专题终极突破（全国通用） 一、单选题 1．（2021·全国高三专题练习）设 是无穷数列，若存在正整数 ，使得对任意 ，均有 n k na a  ， 则称 是间隔递增数列，是 的间隔数.若 是间隔递增数列，且最小间隔数是 3， 则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意得到 ， 成立，则 2 (2 ) 0k t k   ，对于 成立， 且 2 (2 ) 0k t k  „ 对于 2k„ 成立，即可求出参数的取值范围； 【详解】若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则 2 2 2( ) ( ) 2020 ( 2020) 2 0n k na a n k t n k n tn kn k tk              ， 成立， 则 2 (2 ) 0k t k   ，对于 成立，且 2 (2 ) 0k t k  „ 对于 2k„ 成立， 即 (2 ) 0k t   ，对于 成立，且 (2 ) 0k t  „ ，对于 2k„ 成立， 所以 ，且 2 2t  … ， 解得 4 5t „ ， 故选：A． 2．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列 满足 ，设 ， 为数列 的前 n 项和.若 对任意 恒成立，则实数 t 的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出 的通项，再利用裂项相消法可求 ，结合不等式的性质可求实数 t 的最小值. 【详解】 时， 1 2a  ， 因为 ， 所以 时， ， 两式相减得到 ，故 时不适合此式， 所以 ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 ；所以 t 的最小值 ； 故选：C. 【点评】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果 通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用 裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 3．（2021·江西萍乡市·高三二模（理））已知数列 的前 项和为 ，对任意 ，有 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 1n n na S S   求得数列 的奇数项递减，偶数项递增，求得奇数项的最大值，偶数项的最小 值，根据不等式恒成立可得结论． 【详解】因为 ，所以 时， ， 两式相减得 ， 当 为偶数时， ， ， 所以 为奇数时， ，这是一个递减数列， ，所以 ， 当 为奇数时， ， ， 所以 为偶数时， ，这是一个递增数列， ， ， 恒成立，所以 （ 为奇数时）或 （ 为偶数时）， 所以 ，所以 ． 故选：D． 【点评】本题考查数列不等式恒成立问题，解题关键是利用 1n n na S S   得出数列的递推关系，按 的奇偶 分类讨论得数列奇数项递减，偶数项递增，求出奇数项的最大值，偶数项的最小值，由不等式恒成立得出 参数范围． 4．（2021·新疆高三其他模拟（理））若 是函数 的极值点， 数列 满足 ， ，设 ，记 表示不超过 的最大整数.设 1 2 2 3 1 2020 2020 2020 n n n S b b b b b b           ，若不等式 对 恒成立，则实数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列 是等比数列，求得 ，由 累加法求得 ，计算出 ，然后求和 ，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出 的最小值，再由不等式恒成立可得 的最大值． 【详解】 ，∴ ，即有 ， ∴ 是以 2 为首项 3 为公比的等比数列，∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 为增函数，当 时， ， ，若 恒成立，则 的最大值为 1010. 故选：D． 【点评】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数 新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目 提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项 公式后用累加法求得 ，由对数的概念求得 ，用裂项相消法求和新数列的前 项和，并利用函数单调性得 出最小值，然后由新定义得 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论． 5．（2021·全国高三专题练习（文））已知数列 满足 （ ），且 ，其前 项之和为 ，则满足不等式 的最小整数 是（ ） A．9 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】将等式 变形得到 ，然后根据数列 为等比数列，求出 代入 绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对 （ ）变形得： 即： ， 故数列 是首项为 8 公比为 的等比数列. ∴ ，从而 ， . 由 ，解得最小的正整数 ， 故选：D. 【点评】本题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与 数列的综合性问题，解答本题的关键是将条件变形为 ，判断出数列 为等比数列，属于中 档题. 6．（2021·全国高二课时练习）已知数列 中，其前 项和为 ，且满足 ，数列 的前 项和 为 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 利用 ，得到数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列，进 而得到 是以 1 为首项， 为公比的等比数列，利用等比数列前 n 项和公式得到 ， ，将 恒 成立，转化为 63 2 1n    ，从而得出答案. 【详解】当 时， ，得 ； 当 时，由 ，得 ，两式相减得 ， 所以数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列． 因为 ，所以 ．又 ，所以 是以 1 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ， ， 由 ，得 ，所以 ， 所以 63 3 2 12 1λ      ， 所以 ．综上，实数 的取值范围是 ． 故选: D 【点评】数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； 三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 7．（2021·全国高三专题练习）已知数列 满足 ，若数列 是单调递减数列，则实 数λ的取值范围是（ ） A． B． C．(-1，1) D． 1 ,12     【答案】A 【分析】由题 在 恒成立，即 ，讨论 为奇数和偶数时，再利用数列单调 性即可求出. 【详解】 数列 是单调递减数列， 在 恒成立， 即 恒成立， 即 ， 当 为奇数时，则 恒成立， 单调递减， 时， 取得最大值为 ， ，解得 ； 当 为偶数时，则 恒成立，  单调递增， 时， 取得最小值为 20， ，解得 ， 综上， . 故选：A. 【点评】本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出 恒成立，需要 讨论 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 8．（2021·全国高三专题练习）若数列 的前 项和为 ， ，则称数列 是数列 的“均值数列”. 已知数列 是数列 的“均值数列”且通项公式为 ，设数列 的前 项和为 ，若 对一切 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得 ，进而求得数列的通项公式为 ，结合裂项法求得数列的前 和 ， 得出不等式 ，即可求得实数 的取值范围. 【详解】由题意，数列 的前 项和为 ，由“均值数列”的定义可得 nS nn  ，所以 ， 当 时， ； 当 时， ， 也满足 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 对一切 恒成立， 所以 ，整理得 ，解得 或 . 即实数 的取值范围为 . 故选：D. 【点评】数列与函数、不等式综合问题的求解策略： 1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前 项和公式，求和方法 等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题 时要注意这一特殊性； 2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 9．（2021·全国高三专题练习）设 ，若数列 是无穷数列，且满足对任意实数 不等式 恒成立，则下列选项正确的是（ ） A．存在数列 为单调递增的等差数列 B．存在数列 为单调递增的等比数列 C． 恒成立 D． 【答案】D 【分析】求出 ，根据数列的性质可判断 A、B，举例可判断 C，利用数学归纳法判断 D. 【详解】因为 ， ， 当 时， ，解得 。 当 时，因为 ，所以 ，解得 。 因为无穷数列 ，对任意实数 不等式 恒成立， 所以 。 对选项 A，若 为单调递增的等差数列，设 ， 则 ，故 A 错误； 对选项 B，若 为单调递增的等比数列，设 ， 则 ，故 B 错误； 对选项 C，因为 ，设 ，取 ，则 ， ，显然 不成立；故 C 错误； 对于选项 D：当 时，由 ，显然 恒成立， 假设当 时， 成立，则当 时， 故 恒成立，故 D 正确. 故选：D 【点评】本题主要考查了数列的性质以及数学归纳法证明数列问题，综合性比较强，属于难题. 10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，若不等式 对任意的正整数 恒成立，则 整数 的最大值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由 知 ，两式相减可得 ，数列 是 等差数列，求出通项公式代入 ，转化为 对任意的正整数恒成立， 利用数列的单调性，求得当 时， 取得最大值 ，即可求解. 【详解】由题意，数列满足 ，则当 时， ， 两式相减可得 ， 所以 ，又由 ，所以 ， 即 ，所以数列 表示首项 ，公差为 2 的等差数列， 所以 ， 因为 ，所以 ， 即 ， 则 对任意的正整数恒成立， 又 ，所以 对任意的正整数恒成立， 设 ，则 ， 所以 ，当 时， 最大,此时最大值为 ， 所以 ，即 ，所以 的最大整数为 4，故选 B. 故选：B 【点评】本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解，属于较难 题. 二、填空题 11．（2021·全国高二课时练习）以 为首项､以 为公比的等比数列 满足 ， 1 2q   ，设数列 的 前 项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用等比数列的前 项和公式求出 从而可得 ，进而可得 ，解不 等式即可. 【详解】由题意得 ， 可得 ，所以 ， 所以 ，即 . 故答案为： 12．（2021·全国高三专题练习（理））数列 的前项和记为 ，若 ， ， ，2…， 若 恒成立，则 的最小值是________. 【答案】 【分析】先由递推公式， 得到 1 1 ( 2)2n na a n   ，结合题中条件，得到 从第二项起为等比数列，公比 为 ，由此求出 的最大值，即可得出结果. 【详解】由 得 12 0n na S   ， 两式相减得： 1 12 ( 202 )n n n na S Sa n     ，则 1 1 ( 2)2n na a n   ， 由 ， ，解得 ，所以 2 1 1 2a a  不满足上式， 故数列 从第二项起为等比数列，公比为 ， 所以当 时， ； 即数列 从第二项起都是负数， 因此 的最大值为 ， 所以为使 恒成立，只需 ， 即 的最小值是 . 故答案为： . 【点评】求解本题的关键在于求出 的最大值，求解时，先根据递推公式，判定数列 从第二项起都是负 数，即可得出 的最大值. 13．（2021·全国高三专题练习（理））在数列 中， ，记 ，若对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由递推关系可得 ，由 可得 ，不等式恒成立等价于 恒成立，讨论 的奇偶即可求出. 【详解】 ， ，即 ， ， ，即 ， ， 又对任意的 恒成立，即 ， 即 恒成立， 当 为奇数时， 恒成立，此时 的最小值为 1，则 ， 当 为偶数时， 恒成立，此时 的最大值为 ，即 3 2    ， 综上， . 故答案为： . 【点评】本题考查数列不等式的恒成立问题，解题的关键是得出 ，将不等式恒成立化为 恒成立，再利用数列的单调性求出最值. 14．（2021·全国高三专题练习）已知在数列 中， ，若对任意数列 满足 且 （ ），不等式 均成立， 则实数 的取值范围是______. 【答案】 【分析】构造满足题意的数列 ： ， （ ），计算出 ， 得出 的最小值．可得 的取值范围． 【详解】由已知显然 ， ，则 ， ∴ ， 又令 ， （ ），则 ， 0nb  （ ），满足题意， 此时 ， ∴ 最小值为 0， ∴ ． 【点评】本题考查数列不等式恒成立问题，解题关键是问题的转化，转化为求和式 的 最小值，本题比较特殊，用构造法直接得出最小值．首先由数列的定义得 ，然后 构造一个数列 ，求出 ，使得 ，从而得最小值，也即得参数 的范围． 15．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列 的前 n 项和为 ， ， ，且 ．若 对 都成立，则实数 的最小值为 ____________． 【答案】 【分析】利用 可由已知等式得出 ，然后用累加法求得 ，从而得 ，不等 式可变形为 ．令 ，作差 得数列 的单调性，得其最大项，从而可得 的范围． 【详解】∵ ， ∴ ，即 ， 又 ，∴ ， 依据叠加法（累加法）可得 ， 也适合， ∴ ， ． 代入 ，得 ． 令 ， ， ∴ 时 ，即 ， 时， ， 当 4n  ，且 时，数列 单调递增， 当 ，且 时，数列 单调递减； 又∵ ， ，故 大值为 ， 故实数 的最小值为 ． 【点评】本题考查数列不等式恒成立问题，考查由数列的前 项和 与项 的关系求数列的通项公式，考查 累加法求通项公式，分组求和法，数列的单调性，考查知识点较多，对学生的能力要求较高，属于中档题． 三、解答题 16．（2021·江苏高三二模）已知数列 ，其前 项和为 ，且满足 1 2a  ， 1 12n nS a  ． （1）求 ； （2）求满足 的最小整数 ． 【答案】（1） *( )2n nS n N  ；（2）最小整数 . 【分析】（1）由 可得 ，结合已知求 通项(注意判断 是否可以合并)，进 而求 . （2）由题设有 有 成立，理解指数函数与幂函数的增长差异，应用枚举的方法写出最小整数 ． 【详解】（1）由题设， 1 12n nS a  ，则 ，即 2 2a  ， ∴ ，即 ， ∴ ，故 ， ∴ *( )2n nS n N  . （2） 有 ， ∴ ，故满足 的最小整数 ． 17．（2021·湖南常德市·高三一模）已知数列 的首项为 ， 是 的前 项和. （1）若 .求数列 的通项； （2）若 ，证明： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据 ，即可求出数列 的通项； （2）根据 不断迭代放缩可得， ， 2n… ，于是 ，再根据等比数列的前 项和公式即可证 出. 【详解】（1）由 得，当 2n… 时， ，∴ ，即 ，∴ 2n… 时， 1 3n n a a   ，又∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴当 2n… 时， ，∴数列 的通项公式 . （2）若 得： ， ∴ ，……， ， ， 各式相加得， ， 又∵ ， ∴ . 【点评】本题主要考查 与 的关系 和等比数列的前 项和公式的应用． 易错点：对 的讨论容易忽视，没有检验等比数列的定义，从 1 3n n a a   错误判断出该数列为等比数列． 18．（2021·山东高三专题练习）已知各项均为正数的数列 ，其前 n 项和为 ，数列 为等差数列，满 足 ， .再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （I）求数列 的通项公式 和它的前 n 项和 ； （II）若对任意 不等式 恒成立，求 k 的取值范围. 条件① 条件② ，当 ， 2 2a  ， 注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）选①， ； 2 2n n nS  ；选②， ， （II）选①， ；选②， 【分析】（I）选①，根据 与 的关系求出通项公式，再利用等差数列的前 项和公式即可求解； 选②， 利用等差数列的通项公式以及前 项和公式即可求解. （II）选①，分离参数可得 ，求出 12 1n  最大值即可；选②，分离参数可得 ， 利用基本不等式求出 的最小值即可. 【详解】（I）选①，由 ， 则 ， ，两式相减可得 ， 又 ，所以 ，即 ， 所以数列 为等差数列， 当 时， ， 所以 ， 所以 ； 选②， ，当 ， 2 2a  ， ， ，所以当 时，数列 为等差数列， 所以 时， ， 所以 ， （II）数列 为等差数列， ， ， 则公差 ， 所以 . 若对任意 不等式 恒成立， 若 2 2n n nS  ，则 恒成立， ， 所以 ， 若 ，则 恒成立， ， 因为 ，所以 ， 当且仅当 时取等号，所以 . 19．（2021·陕西西安市·高三一模（理））已知等差数列 中，公差 ， ，且 ， ， 成 等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） 1na n  ；（2） ． 【分析】（1）由题中条件，列出方程组求解，得出首项和公差，即可得出通项公式； （2）根据裂项相消的方法，先求出 ，得出 ，求出 的最大值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意可得 即 又因为 ，所以 所以 1na n  ． （2）∵ ， ∴   1 1 2 2 2 2 n n n    ． ∵存在 ，使得 成立． ∴存在 ，使得 成立． 即存在 ，使得 成立． ∵ （当且仅当 时取等号）． ∴ ，即实数 的取值范围是 ． 【点评】裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型 ，其中 是公差为  0d d  的等差数列； （2）无理型 ； （3）指数型 ； （4）对数型 . 20．（2021·河北唐山市·高三二模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ． （1）求 ； （2）记数列 1 nS       的前 项和为 ，证明： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【分析】（1）由已知等差数列的前 n 项和求基本量，写出 即可； （2）利用裂项求和法求 ，应用放缩法证明不等式. 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ， ∴由题意，有 ，得 ， ． ∴ ． （2） ， ∴ ， 1 1 1 1 1 112 3 2 4 3 5                       ． 21．（2021·浙江嘉兴市·高三二模）已知数列 和 的前 项和分别是 ， ，其中 ， ， ． （Ⅰ）求 与 的值； （Ⅱ）若 ，对任意的 ，均有 ，求实数 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） . 【分析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式可求出 ；根据 可求出 ； （Ⅱ）利用裂项求和法求出 ，再将不等式 化为 ，然后构造函数 ，判断其单调性，根据单调性求出其最小 值，即可得解. 【详解】（Ⅰ）∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， 当 时， ， ∴ ， ∴ ， 又 适合上式，所以 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 所以 ， ∴ ， ∴ 1 2 nc c c    ， 所以由题意知 ， 记 ， 则 ， 所以 ，即 单调递增， 故 ，所以 ． 【点评】本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点； (2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问 题； (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 22．（2021·湖南衡阳市·高三二模）已知数列 满足 （1）可否从数列 中抽取四项，使之成等比数列或等差数列？若能，请举例说明，若不能，请说明理由； （2）证明： ． 【答案】（1）能，举例： ，成公比为 的等比数列； 成公差为 的等差数列；（2）证明见 解析． 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的定义举出例子. （1）利用放缩法、裂项求和法证得不等式成立. 【详解】（1）能，举例： ，成公比为 的等比数列， 成公差为 的等差数列. （2）∵ ， ∴ ， ∴ . 【点评】本题第二问中，证明不等式的方法是：证明不等式的左边小于 ，右边大于 ，由此证得不等式成 立. 23．（2021·安徽高三二模（理））已知数列 的各项均为正，其前 项和为 ，且满足： . （1）求数列 的通项公式； （2）设 n n nab a c  ，若对任意的 ，都有 3nb b≥ ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）当 时，可求得 ；当 时，利用 1n n na S S   可证得数列 为等差数列，由等差 数列通项公式可求得 ； （2）由 3nb b≥ 可得 ，分别在 、 和 三种情况下，利用恒成立的思想求得结果， 综合可得结果. 【详解】（1）当 时， ，又 ， ； 当 时， 2 1 1 12 n n nS a a    ， ， 整理可得： ，又 ， ， 即 ， 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， ； 经检验：当 时，满足 ； 综上所述： ； （2）由（1）得： ，由 3nb b≥ 得： ， ； ①当 时， ， ， ，即 恒成立， ； ②当 时， ， 恒成立， ； ③当 时， ， ， ，即 恒成立， ； 综上所述：实数 的取值范围为 . 【点评】在利用 与 关系求解数列通项公式时，需注意验证首项是否满足 时所求解的通项公式，若 不满足，则通项公式为分段数列的形式，即 . 24．（2021·全国高二课时练习）已知正项数列{an}的首项 a1＝1，其前 n项和为 Sn，且 an与 an+1等比中项是 ， 数列{bn}满足： ． （Ⅰ）求 a2，a3，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记 ，n∈N*，证明： 1 2 12(1 ) 1nc c c n       ． 【答案】（Ⅰ）a2＝2，a3＝3，an＝n；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据等比中项可得 2Sn＝anan+1，令 n＝1，2，即可求得 a2，a3，令 n=n+1 可得 2Sn+1＝an+1an+2， 两式相减，可得 an+2﹣an＝2，结合条件，即可求得数列{an}的通项公式. （2）由（1）可得： ，令 n=n-1，可得 ，两式相减， 即可求得 ，进而可得 nc ，利用放缩法结合不等式的性质，可得 ，各项相加，即可得证. 【详解】（Ⅰ）由 an 与 an+1 等比中项是 ，得 2Sn＝anan+1，① 分别取 n＝1，2，得 2a1＝a1a2，2（a1+a2）＝a2a3，解得 a2＝2，a3＝3． 于是有 2Sn+1＝an+1an+2，② 联立①②可得 an+2﹣an＝2． ∴{an}的奇数项是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，偶数项是以 2 为首项，2 为公差的等差数列， 又 a1＝1，a2＝2， ， ∴{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， ∴an＝n； （Ⅱ）证明：依题意， ， 当 n≥2 时， ， 两式相减得 ． 又 也符合上式， ∴ 1 ( 1)( 2)nb n n    ， 则 ． ∴ ． 【点评】解得的关键是熟练掌握等差、等比数列的公式及性质，并灵活应用，难点在于需利用放缩法进行 合理变形，结合裂项相消求和法，进行化简和证明，属中档题. 25．（2021·全国高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，满足 ， ． （1）求 的通项公式； （2）记 ，数列 的前 项和为 ，求证： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【分析】（1）将等式 ， 作差可求得等比数列 的公比，再由 可求得 ，由此可求得等比数列 的通项公式； （2）求得 ，利用放缩公式 可证得 . 【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，由题意得 ， 上述两个等式作差可得 ，可得 ， ， 由 可得 ，即 ，解得 ， 因此， ； （2） ， 则 ，则数列 为等差数列， ， 当 时， . 当 时，则有 ； 当 时，则有 . 由上可知，对任意的 ， . 【点评】常用放缩公式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 26．（2021·全国高三专题练习）在数列 中， ， ，且对任意的 N*，都有 . （Ⅰ）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 N*都有 ，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）证明见解析， ；（Ⅱ） . 【分析】（Ⅰ）由条件 变形为 ，从而证明数列 是 等比数列，然后由此结论结合累加法可得答案. （Ⅱ）由 ，由裂项相消法求其前 项和，再根据不等式恒成立分离参数可得答案. 【详解】（Ⅰ）由 可得 ． 又 ， ，所以 ，故 . 所以 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.所以 . 所以 . （Ⅱ）因为 . 所以 . 又因为对任意的 都有 ，所以 恒成立， 即 ，即当 时， . 【点评】本题考查证明数列为等比数列和利用累加法求数列通项以及裂项相消法求和，解答本题的关键是 将 裂成两项的差，利用裂项相消法求和，以及利用分离参数的方法得到 ，从而利用最值处理，属于中档题. 27．（2021·贵州贵阳市·高三二模（文））已知函数 . （1）求 的单调区间和最值； （2）证明：对大于 1 的任意自然数 n，都有 . 【答案】（1） 在 0,1 为减函数，在 为增函数， ， 无最大值；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出 ，讨论其符号后可得函数的单调区间及最值. （2）根据（1）的结果可得不等式 ，利用该不等式可证明 成立. 【详解】（1） ，则 ， 当 时， ；当 时， ， 故 在 0,1 为减函数，在 为增函数， 故 ， 无最大值. （2）由（1）可得对任意的 ， ，当且仅当 时等号成立， 故 （当且仅当 时等号成立）. 所以 1 1 1ln 1n n n n n     对任意的 恒成立， 所以 对任意的 恒成立， 故 ， 其中 . 【点评】导数背景下数列不等式的证明，关键是利用已知函数的性质构建新的不等式，并利用该不等式结 合放缩法去证明数列不等式. 28．（2021·浙江高三二模）在等比数列 中， 为其前 项和， ，数列 是等差数列． （1）求 ； （2）若 ，证明：          *31 2 1 1 2 2 3 3 31 2 3 n n n a aa a n NS a S a S a S a n          ． 【答案】（1） 或 ；（2）证明见解析． 【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据已知条件得出 ，可得出关于 的等式，求 出 的值，即可得出数列 的通项公式； （2）分析得出 ，然后利用放缩法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）设等比数列 的公比为 ， 因为数列 是等差数列， ， 即 ，整理得 2 3 2 0  q q ，解得 或 . 当 时， ；当 时， 1 1 2n n na a q   ； （2） ，则 ， ， 令 ，则 ， 所以，数列 单调递增，则 ，故对任意的 ， . 当 时， , 即 . 当 时， ； 当 时，     1 2 1 1 2 2 1 41 31 2 3 3 a a S a S a       ； 当 时， . 综上所述，对任意的 ， . 【点评】几种常见的数列放缩方法： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） . 29．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{an}与{bn}满足： * 1 2 3 2 ( )n na a a a b n N      ，若{an} 是各项为正数的等比数列，且 a1＝2，b3＝b2＋4. （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）若数列{cn}满足 cn＝ 1 n n n a b b  (n∈N*)，Tn 为数列{cn}的前 n 项和，证明：Tn＜1. 【答案】（1） ，bn＝2n－1(n∈N*)；（2）证明见解析. 【分析】（1）由{an}与{bn}的关系得 an＝2(bn－bn－1)，根据已知条件求{an}的通项公式，进而应用等比数列 求和公式，写出{bn}的通项公式； （2）利用裂项求和法求 Tn，由 即可证结论. 【详解】（1）由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2bn，① 当 n≥2 时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2bn－1，② ①－②可得 an＝2(bn－bn－1)，结合已知得：a3＝2(b3－b2)＝2×4＝8， ∵a1＝2，an＞0，设{an}的公比为 q， ∴a1q2＝8，得 q＝2， ∴ . ∴ ， ∴bn＝2n－1(n∈N*). （2）由已知： ， ∴ ， 当 n∈N*时, ，有 ， ∴ ，故 Tn＜1，得证. 【点评】（1）根据数列间的关系，结合 与 关系确定 、 的关系式，由等比数列的性质、前 n 项和公 式，求通项； （2）应用裂项法求前 n 项和，进而证明不等式关系. 30．（2021·江苏高三专题练习）定义 为 有限实数列{an}的波动强度． （1）求数列 1，4，2，3 的波动强度； （2）若数列 a，b，c，d 满足(a﹣b)(b﹣c)＞0，判断 f(a,b,c,d)≤f(a,c,b,d)是否正确，如果正确请证明，如果错 误请举出反例； （3）设数列 a1，a2，…，an 是数列 1+21，2+22，3+23，…，n+2n 的一个排列，求 f(a1,a2,…,an)的最大值，并 说明理由． 【答案】（1）6；（2）正确，证明见解析；（3） ，理由见解析． 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）解法一：直接按定义求解，利用绝对值几何含义即可证明；解法二：假设 a＞b＞c，分 d 与 a，b，c 的大小，讨论四种情况依次去绝对值符号，即可得出结论； （3）设 ，{bn}是单调递增数列．分 n 是奇、偶数情况讨论，依次求其最大值即可． 【详解】（1） ； （2） 是正确的； ， 解法一：∵由题意， 或 ， ∴ ， ， ∴ ，即 ，并且当 b＞c 时，d≥b 可取等号，当 c＞b 时， 若 d≤b 可取等号，所以等号可以取到； 解法二：不妨设 a＞b＞c，分 4 种情况讨论 若 d≥a，则 ， ∴ ； 若 a＞d≥b，则 ， ∴ ； 若 b＞d≥c，则 ， ∴ ； 若 c＞d，则 ， ∴ ； 综上有： . （3）设 ，{bn}是单调递增数列，分 n 是奇、偶数情况讨论， ，其中 ， ，并且 ．经过上述调整后的数列，系数 不可能为 0． 当 n 为偶数时，系数中有 个 2 和 个 2 ，1 个 1 和 1 个 ． 当 n 为奇数时，有两种情况：系数中有 个 2 和 个 2 ，2 个 ；系数中有 个 2 和 个 2，2 个 1． 当 n 是偶数，n＝2k，k≥2，k∈N*， . 当 n 是奇数，n＝2k+1，k∈N*， ∵ ， ∴ ， 可知 . 综上， ． 【点评】第二问，有已知条件知 或 ，应用绝对值的几何含义即可证明，或讨论 的 大小关系，证明不等式；第三问，构造 ，讨论 n 的奇偶性，进而确 定系数分布及其对应个数，应用等差、等比数列性质求最大值.