专题04：数列求和-2021年高考数列专题终极突破（全国通用）（解析版）

专题 04：数列求和-2021 年高考数列专题终极突破（全国通用） 一、单选题 1．（2021·山西高三三模（理））某程序框图如图所示，若 2021N  ，则输出的 S （ ） A． 2019 2020 B． 2020 2021 C． 2021 2022 D． 2022 2023 【答案】C 【分析】按照程序框图执行算法，可知输出的S为 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2021 2022S         ，结合裂项求 和法可求得结果. 【详解】根据算法框图执行程序如下： 第1次循环， 1 2021k   不成立， 1 1 2S   ， 1 1 2k    ； 第 2 次循环， 2 2021k   不成立， 1 1 1 2 2 3S    ， 2 1 3k    ； 第3 次循环， 3 2021k   不成立， 1 1 1 1 2 2 3 3 4S      ， 3 1 4k    ； 以此类推，执行最后一次循环， 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2021 2022S         ， 2021 1 2022k    ； 2022 2021k   成立，跳出循环体，输出 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2021 2022S         1 1 1 1 1 1 1 20211 2 2 3 3 4 2021 2022 2022           . 故选：C. 【点评】常见的裂项公式： （1）   1 1 1 1 n n k k n n k       ； （2）    1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n         ； （3）         1 1 1 1 1 2 2 1 1 2n n n n n n n           ； （4）  1 1 n n kkn n k       . 2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列{ }na 满足 1 2( 1) ( 1) 5 1n n n na a n      ，若 1 2 1a a  ，则数列 { }na 的前 20 项和为（ ） A． 210 B． 205 C． 205 D． 210 【答案】B 【分析】对项数 n 分奇偶进行讨论，分别找出奇数项、偶数项的规律，分别求和，再相加即可. 【详解】因为 1 2( 1) ( 1) 5 1n n n na a n      ， 所以当 *2 1( )n m m N   时， 2 5 1n na a n    ，所以 2 1 2 1 5(2 1) 1 10 4m ma a m m       ， 所以 2 1 3 1 5 3 7 5 2 1 2 3 2 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m m ma a a a a a a a a a a a                210 ( 1)10(1 2 3 ) 4 1 4 1 5 12 m mm m m m m             ， 所以 2 2 2 1 3 5 19 5 (1 2 9 ) (1 2 3 9) 10a a a a                 ； 当 *2 ( )n m m N  时， 2 1)5(n na a n    ，所以 2 2 2 (10 1)m ma ma    ， 所以 2 2 4 2 6 4 8 6 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m m ma a a a a a a a a a a a              210 ( 1)10(1 2 3 ) 1 1 5 6 12 m mm m m m m                ， 所以 2 2 2 2 4 6 20 5 (1 2 9 ) 6 (1 2 3 9) 10a a a a                   ， 所以数列{ }na 的前 20 项和为 1 3 5 19 2 4 6 20a a a a a a a a          2 2 2 2 2 25 (1 2 9 ) (1 2 3 9) 10 5 (1 2 9 ) 6 (1 2 3 9) 10                          10 5 (1 2 3 9) 10 205          . 故选：B. 【点评】（1）数列求和常用方法： ①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法；⑤分组求和法； （2）需要对项数分就进行讨论的数列求和，通常采用分组求和法. 3．（2021·四川凉山彝族自治州·高三二模（文））已知函数 31( ) 12f x x      ，则 1 2 2019 2020 2021 2021 2021 2021f f f f                      的值为（ ） A．1 B．2 C．2020 D．2021 【答案】C 【分析】设 1m n  ，得到 ( ) ( ) 2f m f n  ，再利用倒序相加求和得解. 【详解】函数 31( ) 12f x x      ，设 1m n  ，则有 1 1 2 2m n       ， 所以 3 31 1( ) ( ) 1 1 22 2f m f n m n                 ， 所以当 1m n  时， ( ) ( ) 2f m f n  ， 令 1 2 2019 2020 2021 2021 2021 2021S f f f f                       ， 所以 1 2020 2020 12 2 20202021 2021 2021 2021S f f f f                                  ， 故 1 2 2019 2020 20202021 2021 2021 2021S f f f f                        ． 故选：C 【点评】数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5） 倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 4．（2021·湖南高三三模）设随机变量 的分布列如下：  1 2 3 ··· 2020 2021 P 1a 2a 3a ··· 2020a 2021a 则下列说法错误．．的是（ ） A．当 na 为等差数列时， 2 2020 2 2021a a  B．数列 na 的通项公式可能为 2022 2021 ( 1)na n n   C．当数列 na 满足 1 2n na  （ 1,2, ,2020n   ）时， 2021 2021 1 2a  D．当数列 na 满足 2( ) kP k k a   （ 1,2, ,2021k   ）时， 1 1011 2021a  【答案】C 【分析】由等差数列的求和公式判断 A；由裂项相消求和法结合概率之和等于 1 判断 B；根据等比数列的求 和公式结合概率之和等于 1 得出 2021 2020 1 2a  ，进而判断 C；令 2( )k kS P k k a   ，利用前 n 项和与通 项的关系结合累乘法得出 1 1 12 1na a n n         ，再由裂项相消求和法判断 D. 【详解】对于 A，  na 为等差数列，  1 2021 2021 2021 12 a aS    ，则 2 2020 2 2021a a  ，故 A 正确； 对于 B，若数列 na 的通项公式为 2022 2022 1 1 2021 ( 1) 2021 1na n n n n        ， 2021 2022 1 1 1 1 1 2022 1 2022 20211 1 12021 2 2 3 2021 2022 2021 2022 2021 2022S                       ，故 B 正确； 对于 C， 1 2n na  ， 202 2 0 021 2021 20212020 1 11 12 2 1 11 21 2 S a a            ，则 2021 2020 1 2a  ，故 C 错误； 对于 D，令 2( )k kS P k k a   ，则 2 2 1 1 1( 1)k k k k ka S S k a k a       ，即 1 2 k k a k a k    ， 2 1 1 1 1 2 1 3 1 2 3 3 2 1 2 3 4 5 1 1 ( 1) n n n a aa n n na a a aa a a n n n n n                     ，即 1 1 12 1na a n n         ， 1 2 2021 1 12021 1 12 12 2022S a a a a a             ，解得 1 1011 2021a  ，故 D 正确； 故选：C 【点评】求数列的前 n 项和的方法 （1）公式法：①等差数列的前 n 项和公式，  1 1 ( 1) 2 2 n n n a a n nS na d     ②等比数列的前 n 项和公式   1 1 , 1 1 , 11 n n na q S a q qq      ； （2）分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. （4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. （5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列 的前 n 项和用错位相减法求解. 5．（2021·河南新乡市·高三一模（理））已知数列 na 满足 2 2 1 3 1n n na a    ，  2 1 2 3 5n n na a n     N ，则数列 na 的前 40 项和 40S  （ ） A． 213 197 2  B． 203 197 2  C． 109 98 D． 209 98 【答案】A 【分析】将递推公式变形，可得数列相邻奇数项和相邻偶数项的和的通项公式，再求前 40 项的和. 【详解】由题意可得， 2 2 1 2 1 2 3 1 3 5 n n n n n n a a a a           ，两式相减得： 2 1 2 1 6n na a   ， 2 2 2 1 2 1 2 3 3 1 3 5 n n n n n n a a a a             ， 两式相加得： 2 2 2 4 3 4n n na a     ，故  40 1 3 37 39S a a a a       2 4 38 40a a a a       1 3 196 10 4 10 4 3 3 3           10 213 9 1 3 197100 4 8 2      . 故选：A 【点评】将两式相减得相邻奇数项的和，将第一个式子中的 n 换成 1n  ，再与第二个式子相加，得相邻偶 数项的和，最后再计算前 40 项的和. 6．（2021·宁夏吴忠市·高二期末（理））已知数列 na 满足 1 1a  ， +1 2 1 n n n aa a   ，则数列 1n na a  的前 n 项和 nT  （ ） A． 2 1 n n  B． 2 1 n n  C． 2 2 1 n n  D． 4 2 n n  【答案】B 【分析】利用倒数法求出数列 na 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得 nT . 【详解】已知数列 na 满足 1 1a  ， +1 2 1 n n n aa a   ， 在等式 +1 2 1 n n n aa a   两边同时取倒数得 1 1 21 1 2n n n n a a a a    ， 1 1 1 2 n na a    ， 所以，数列 1 na       是等差数列，且首项为 1 1 1a = ，公差为 2 ，则  1 1 2 1 2 1 n n na      ， 1 2 1na n    ，   1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n na a n n n n           ， 因此， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 1 2 2 1nT n n n                                         2 1 n n   . 故选：B. 【点评】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的 项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 7．（2021·全国高三专题练习）已知数列 na 满足 0 2 1 2 2 11, , ( 0)n n n n na a a a a a n       ，则 1 2 128a a a    （ ） A．1024 B．1101 C．1103 D．1128 【答案】B 【分析】由数列的递推关系得出 2ka 之间的关系，然后计 12 1 2 2 2( ) k k kS k a a a      ，可归纳出 ( 1)S k  与 ( )S k 的关系得 ( )S k 的表达式，从而可计算 1 2 128a a a   ． 【详解】因为数列 na 满足 0 2 1 2 2 11, , ( 0)n n n n na a a a a a n       ， 所以 1 3 7 2 1 1na a a a      ， *n N ， 12 2 1 2 21k k k ka a a a     ， 12 1 2k ka a   ， 1 12 2 2 2 1k k ka a a    ， 12 3 2 1k ka a   ，…， 12 2 1 2k k ka a a   ， 设 12 1 2 2 2( ) k k kS k a a a      ， 所以 ( )S k  1 1 1 12 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 23( ) 2 2 ( 1) 2k k k k k k k ka a a a a a a a S k                   ， 又 0 1a  ，所以 1 1a  ， 2 2a  ， 3 1a  ， 4 3a  ， 3 4(1) 4S a a   ， 所以 ( ) 1 3[ ( ) 1]S k S k   ， (1) 1 3S   ， ( ) 1 3kS k   ，即 ( ) 3 1kS k   ， 所以 2 6 1 2 128 1 2 (1) (6) 3 (3 1) (3 1) (3 1) 1101a a a S S                   ． 故选：B． 【点评】本题考查由递推公式求数列的和，解题时需寻找规律，解题关键是记 12 1 2 2 2( ) k k kS k a a a      ，然后通过项的关系得 ( )S k 的关系，从而得出 ( )S k 的表达式，然后可求数 列的某些和． 8．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，记 1 2 4 8n nb S S S n      ，若数列 nb 也为等比数列，则 2a  （ ） A．12 B．32 C． 16 D． 8 【答案】D 【分析】设等比数列 na 的公比为 q，对 q 分 1q  和 1q  两种情况进行讨论即可. 【详解】设等比数列 na 的公比为 q， ①当 1q  时， 1 1 1 1 ( 1), , (1 2 3 ) 4 8 4 82n n n a n na a S na b a n n n            ，不可能为等比 数列； ②当 1q  时， 1 1 n na a q  ，  1 1 11 1 1 1 n n n a q a aS qq q q       ，   1 1 1 1 1 1 2 2 1 4 8 4 81 1 1 1 (1 ) (1 ) n n n q qa n a a a q a qb n nq q q q q q                          ， 若数列 nb 为等比数列，必有 1 1 2 4 01 8 0(1 ) a q a q q         ，解得 12, 4q a   ，有 2 8a   ． 故选：D. 【点评】本题解题的关键是（1）要分 1q  和 1q  两种情况进行讨论； （2）当 1q  时，利用等比数列前 n 项和公式及分组求和法求出 nb ，然后结合等比数列通项公式即可求解. 9．（2021·青海西宁市·高三一模（理））若 1x  是函数    4 3 1 2 1n n nf x a x a x a x n N        的极值点， 数列 na 满足 1 1a  ， 2 3a  ，设 3 1logn nb a  ，记 x 表示不超过 x 的最大整数．设 1 2 2 3 1 2020 2020 2020 n n n S b b b b b b         ，若不等式 nS t ，对 n N   恒成立，则实数t 的最大值为（ ） A． 2020 B． 2019 C．1010 D．1009 【答案】C 【分析】利用极值点与导数的关系可得   1 21 4 3 0n n nf a a a      ，可推导证得 1n na a  为等比数列， 求得 1n na a  ，利用累加法可求得 na 的通项公式，进而确定 nb ；采用裂项相消法可求得 1 2 2 3 1 2020 2020 2020 2020 1n n n b b b b b b n      ，采用分离常数的方法可求得 nS 的最小值，由恒成立的思想可确定  minnt S ，由此得到t 的最大值. 【详解】由题意得：   3 2 1 24 3n n nf x a x a x a     ， 1x  是  f x 的极值点，   1 21 4 3 0n n nf a a a      ，  2 1 13n n n na a a a      ，又 2 1 3 1 2a a    ， 数列 1n na a  是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列， 1 1 2 3n n na a      ， 又 2 1 2 3n n na a     ， 3 1 2 2 3n n na a      ，…， 1 3 2 2 3a a   ， 0 2 1 2 3a a   ，   1 0 1 2 1 1 1 32 3 3 3 2 3 11 3 n n n na a             ， 13n na   ； 3 1 3log log 3n n nb a n    ，  1 1 1 1 1 1 1n nb b n n n n      ， 1 2 2 3 1 2020 2020 2020 1 1 1 1 1 20202020 1 2 2 3 1 1n n n b b b b b b n n n                ， 2020 202020201 1n nS n n               ， 1 1 1 2n  ， 2020 10101n   ， 20202020 10101n    ，  min 1010nS  ， nS t 对 n N   恒成立，  min 1010nt S   ，则实数t 的最大值为1010. 故选：C. 【点评】本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、累加法求得数列的通 项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得 nS 的形式. 10．（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列 na 满足  1 2 32 3 2 1 3 n na a a na n       ．设 4 n n nb a  ， nS 为数列 nb 的前 n 项和．若 nS  （常数）， *n N ，则  的最小值是 A． 3 2 B． 9 4 C． 31 12 D． 31 18 【答案】C 【分析】当 2n  时，类比写出     1 1 2 3 12 3 1 2 3 3 n na a a n a n          ，两式相减整理得 14 3n na   ，当 1n  时，求得 1=3 4a  ，从而求得数列 na 和 nb 的通项公式.；再运用错位相减法求出 nS ，结合 nS 的性质，确定  的最小值. 【详解】  1 2 32 3 2 1 3 n na a a na n        ① 当 2n  时，类比写出     1 1 2 3 12 3 1 2 3 3 n na a a n a n          ② 由①-②得 14 3n nna n   ，即 14 3n na   . 当 1n  时， 1 3 4a   ， 1 3 1 4 3 2n n na n      ， 1 4 13 23 n n n b n n      2 1 0 2 1 4 2 3 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3n n n n nS              ③ 2 3 1 1 1 1 2 3 -1 +3 9 3 3 3 3 3n n n n nS       ④ ③-④得， 0 2 3 1 2 2 1 1 1 1 1+ -3 9 3 3 3 3 3 3n n n nS       11-2 3 -19 31- 3 n n n  31 6 9 31-12 4 3 12n n nS     nS  （常数）， *n N ，   的最小值是 31 12 故选 C. 【点评】本题考查数列通项公式的求法和数列前 n 项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意 公式的合理选用. 1、已知数列 na 的前 n 项和 nS 与 na 的关系式，求数列的通项公式的方法如下： （1）当 2n  时，用 1n  替换 nS 中的 n 得到一个新的关系，利用 1n nS S  ( 2)n  便可求出当 2n  时 na 的表达式； （2）当 1n  时， 1 1a S 求出 1a ； （3）对 1n  时的结果进行检验，看是否符合 2n  时 na 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式 合写；如果不符合，则应该分 1n  与 2n  两段来写． 2、错位相减法：若 n n nc a b  ，其中 na 是等差数列， nb 是公比为 1q  的等比数列，那么这个数列的 前 n 项和即可用此法来求． 数列前 n 项和 1 1 2 2 -1 -1n n n n nS a b a b a b a b     ，则 1 2 2 3 1n n nqS a b a b a b    1n na b  ，两式错 位相减并整理即得. 二、多选题 11．（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列 1 2 n n n a a        的前 n 项和为 Tn，n∈N*，则下列选项正确的为（ ） A．数列{an＋1}是等差数列 B．数列{an＋1}是等比数列 C．数列{an}的通项公式为 an＝2n－1 D．Tn