考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（15）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 { || 1| 2}A x x ， 1| ( ) 12
xB x
，则 (A B )
A． (0,3) B． ( 1,0) C． ( ,3) D． ( 1,1)
2．设复数 z 满足 (1 3 ) 2(1 3 )i z i ，则 (z )
A．1 3i B． 1 3i C．1 3i D． 1 3i
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘
缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：
“996 斤棉花，分别赠送给 8 个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多 17 斤，使孝
顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第 3 个子女分得棉花 ( )
A．65 斤 B．82 斤 C．99 斤 D．106 斤
4．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的右焦点为 2F ，左顶点为 1A ，若 E 上的点 P 满足
2PF x 轴， 1 2
3sin 5PF F ，则 E 的离心率为 ( )
A． 1
2 B． 2
5 C． 1
4 D． 1
5
5．定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 (2 ) ( )f x f x ，当 (0x ，1] ， 2( ) logf x x x ，则
2021( ) (2f )
A． 3
2 B． 1
2 C． 1
2
D． 3
2
6．在直角 ABC 中，a ，b ，c 分别是 ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边，点 G 是 ABC 的
重心，若 AG BG ，则 cos (C )
A． 5
3
B． 6
3
C． 3
5 D． 4
5
7．已知三棱锥 S ABC 外接球的球心 O 在线段 SA上，若 ABC 与 SBC 均为面积是 4 3 的
等边三角形，则三棱锥 S ABC 外接球的体积为 ( )
A． 8 2
3
B．16 2
3
C． 32 2
3
D． 64 2
3
8．已知关于 x 的不等式 ( 1) 0xe mx lnx ln m
在 (0, ) 恒成立，则 m 的取值范围是 (
)
A． ( 1 ， 1]e B． ( 1 ，1] C． ( 1e ，1] D． (1 ， ]e
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的对 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有 50 名学生，在一次数学模拟考试中，三个班的学
生成绩的各分数段累计人数折线图如图所示根据图中的成绩信息，下列结论中正确的是 (
)
A．三个班的成绩的中位数，乙班最高，丙班最低
B．三个班的平均成绩，丙班最低
C．三个班中成绩在 60 分以下的人数，丙班最多；80 分以上的人数，乙班最多
D．模拟考试的最高分出现在乙班
10．已知 1 1 0a b
，则下列结论一定正确的是 ( )
A． 2 2a b B． 2b a
a b
C． 2lga lgab D．| | | |a ba a
11．已知 ( ) sin( )( 0)f x x ，直线 5
12x ， 11
12x 是 ( )f x 的图象的相邻两条对称轴，
则下列说法正确的是 ( )
A．函数 5( )12y f x 为偶函数
B． ( )f x 的图象的一个对称中心为 ( 6
， 0)
C． ( )f x 在区间[0 ， 5 ]6
上有 2 个零点
D． ( )f x 在区间[ 6
， ]6
上为单调函数
12．在平面直角坐标 xOy 中，已知圆 O 过点 (3,4)A 、 B 、 C 、且 BC OA ，则 ( )
A．直线 BC 的斜率为 3
4 B． 60AOC
C． ABC 的面积 25 3
2
D．点 B 、 C 在同一象限内
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．在 2 4
2
1( 2)x x
的展开式中，所有项的系数和为 ，常数项为 ．
14．已知 1x ，则 122 3 1x x
的最小值为 ，此时 x 为 ．
15．已知 (6,6)P ， Q 是抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 上两点， (PO O 为坐标原点）的延长线与
抛物线 C 的准线交于点 M ，且 / /MQ x 轴，则抛物线 C 的焦点坐标为 ，直线 PQ 的斜率
为 ．
16．已知数列{ }na 满足 1 2 32 3 2na a a na n ，若 1
2
n n
n
a ab ，设数列{ }nb 的前 n 项和
为 nT ，则 2021T ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 ABC 中，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 2 2 23 3 3 2b c a bc ．
（1）求 sin A 的值；
（2）若 sin 2sinB C ，求 tanC 的值．
18．已知数列{ }na 是公差不为 0 的等差数列，前 n 项和为 nS ， 9 144S ， 3a 是 1a 与 8a 的等
比中项．
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）数列{ }nb 满足 2
1 log 03
n
n
a b ，若 n n nc a b ，求数列{ }nc 前 n 项和为 nT ．
19．某电影制片厂从 2011 年至 2020 年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：
分钟）如图所示．
（Ⅰ）从 2011 年至 2020 年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；
（Ⅱ）从 2011 年至 2020 年中任选两年，设 X 为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片
时长的年数，求 X 的分布列和数学期望 ( )E X ；
（Ⅲ）将 2011 年至 2020 年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为 2
1s ，
2
2s ， 2
3s ，试比较 2
1s ， 2
2s ， 2
3s 的大小．（只需写出结论）
20．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PB 平面 ABCD ， AB AD ， / /AB CD ，且 1AB ，
2AD CD ， E 在线段 PD 上．
（Ⅰ）若 E 是 PD 的中点，试证明： / /AE 平面 PBC ；
（Ⅱ）若异面直线 BC 与 PD 所成的角为 60 ，求四棱锥 P ABCD 的侧视图的面积．
21．已知点 0( 2, )P y 为抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，抛物线 C 在
点 P 处的切线与 y 轴相交于点 Q ，且 FPQ 面积为 2．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）设直线l 经过 (2,5) 交抛物线 C 于 M ， N 两点（异于点 )P ，求证： MPN 的大小为定
值．
22．已知函数 ( )f x x alnx ， 2( ) xg x x e ， a R ．
（1）求函数 ( )f x 的单调区间；
（2）当 2a 时，方程 ( ) ( )g x mf x 有两个实根，求实数 m 的取值范围．
考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（15）答案
1．解：集合 { || 1| 2} { | 1 3}A x x x x ，
1| ( ) 1 { | 0}2
xB x x x
，
{ | 1 0} ( 1,0)A B x x ．
故选： B ．
2．解：由 (1 3 ) 2(1 3 )i z i ，
得 2(1 3 ) 1 3
1 3
iz i
i
，
故选： D ．
3．解：设该等差数列为{ }na ，由题意可得： 1 2 7 8 996a a a a ， 17d ；
则 1
8 78 17 9962a ，解得 1 65a ；
所以 3 65 2 17 99a ，
即第 3 个子女分得棉花 99 斤．
故选： C ．
4．解： 2PF x 轴，且 1 2
3sin 5PF F ，不妨设 1| | 5PF ， 2| | 3PF ，
可得 1 2| | 4 2F F c ，解得 2c ．
5 3 2a ，解得 4a ，
2 1
4 2
ce a
．
故选： A ．
5．解：根据题意，定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 (2 ) ( )f x f x ，
则 ( ) (2 ) ( 2)f x f x f x ，
变形可得 ( 4) ( 2) ( )f x f x f x ，即 ( )f x 的周期为 4，
故 2021 5 5 1( ) ( 4 252) ( ) ( )2 2 2 2f f f f ，
而 2
1 1 1 3( ) log2 2 2 2f ，
则 2021 1 3( ) ( )2 2 2f f ，
故选： D ．
6．解：建立平面直角坐标系，如图所示，
设 BC m ， BA n ，且 0m ， 0n ，
由 G 是 Rt ABC 的重心，得 ( 3
mG ， )3
n ；
所以 ( 3
mBG ， )3
n ， ( 3
mAG ， 2 )3
n ，
因为 AG BG ，所以
2 22 09 9
m nAG BG ，
解得 2m n ，
又 ( , )AC m n ，
所以
2 2 2 2
2 2 6cos 332
m nACB
m n n n
．
故选： B ．
7．解：如图，依题意， O 为三棱锥 S ABC 外接球的球心，则 OA OS OB OC ，
ABC 与 SBC 均为正三角形，且有公共边 BC ，
AC SC ，
ACS 为等腰三角形，
OC AS ，
又 OC OA OS ，
Rt ACS 为等腰直角三角形，
设 ABC 边长为 a ，则其面积 23
4S a ，故 23 4 34 a ，解得 4a ，
4AC ， 4 2AS ，
1 2 22OA AS ，即外接球半径为 2 2 ，体积为 34 64 2(2 2)3 3V ．
故选： D ．
8 ． 解 ： 由 ( 1) 0xe mx lnx ln m
得 [( 1) ]xe mx ln m x
， 即
[( 1) ][( 1) ] ( 1) [( 1) ]x ln m xe x ln m x m x e ln m x
，
构造函数 ( ) xf x e x ，则 ( ) ( [( 1) ])f x f ln m x
，
又函数 ( )f x 为增函数，
[( 1) ]x ln m x
，即 ( 1)xe m x
，
1
xem x
对任意 (0, )x 都成立，
令 ( ) 1, 0
xeg x xx
，则 2
( 1)( )
xe xg x x
，
当 (0,1)x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 单减，当 (1, )x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 单增，
( )g x g
（1） 1e ，
1m e ，
又 1 0m ，
1 1m e ．
故选： A ．
9．解：对于 A ，由折线图得乙班成绩的中位数最大，丙班成绩的中位数最低，故 A 正确；
对于 B ，由折线图得丙班的平均成绩最低，故 B 正确；
在 C 中，由折线图得，80 分以上的人数甲班最多，故 C 错误；
在 D 中，由折线图得最高分出现在甲班，故 D 错误．
故选： AB ．
10 解：因为 1 1 0a b
，则有 0b a ，
对于 A ，因为 0b a ，所以 2 2a b ，故选项 A 正确；
对于 B ，因为 0b a ，所以 0, 0b a
a b
且 b a
a b
，故 2 2b a b a
a b a b
，故选项 B 正确；
对于 C ，因为 0b a ，所以 2a ab ，故 2 ( )lga lg ab ，故选项 C 错误；
对于 D ，因为| |a 与 1 的大小关系不确定，故函数 | |xy a 的单调性不确定，故| |aa 与| |ba 的
大小不确定，故选项 D 错误．
故选： AB ．
11．解： ( ) sin( )( 0)f x x ，直线 5
12x ， 11
12x 是 ( )f x 的图象的相邻两条对称
轴，
则 1 2 11 5
2 12 12
， 2 ．
再结合 52 12 2k ， k Z ，求得
3k ，
可取
3
， ( ) sin(2 )3f x x ．
函数 5( ) sin(2 ) cos212 2y f x x x 为偶函数，故 A 正确；
令
6x ，求得 ( ) 0f x ，故 ( )f x 的图象的一个对称中心为 ( 6
， 0) ，故 B 正确；
在区间[0 ，5 ]6
上，2 [3 3x ，4 ]3
，函数 ( )f x 只有 2 个零点，2 03x 和 2 3x ，
故 C 正确；
在区间[ 6
， ]6
上， 22 [3 3x ， 0] ，函数 ( )f x 没有单调性，故 D 错误，
故选： ABC ．
12．解：如图，
(3,4)A ， 4(3,4) 3(1, )3OA ，而 BC OA ，
直线 BC 的斜率为 4
3
，故 A 错误；
由题意可知，| | | | 5OA OB ，
又 BC OA ，四边形 OBCA 为菱形，
又| | 5OC ， 60AOC ，故 B 正确；
1 1 3 25 35 5 sin120 5 52 2 2 4ABCS ，故 C 错误；
设 BC 所在直线方程为 4
3y x b ，即 4 3 3 0x y b ．
| | 5BC ， O 到 BC 的距离为 5 3
2
，即 2 2
| 3 | | 3 | 5 3
5 24 ( 3)
b b
，
解得 25 3
6b ．
当 25 3
6b 时，由 4 25 3
3 6y x ，取 0y ，可得 25 3 58x ，则 B 、 C 均在第二象
限；
当 25 3
6b 时，由 4 25 3
3 6y x ，取 0y ，可得 25 3 58x ，则 B 、C 均在第四象限．
点 B 、 C 在同一象限内，故 D 正确．
故选： BD ．
13．解：二项式 2 4 8
2
1 1( 2) ( )x xx x
，
令 1x 可得： 8(1 1) 0 ，
展开式的通项公式为 8 8 2
1 8 8
1( ) ( 1)r r r r r r
rT C x C xx
，
令8 2 0r ，解得 4r ，则展开式的常数项为 4 4
8 ( 1) 70C ，
故答案为：0；70．
14．解： 1 0x ， 12 12 122 3 3( 1) 1 2 3( 1) 1 111 1 1x x xx x x
，当且仅当
123( 1) 1x x
，即 1x 时原式取最小值．
故答案为：11；1．
15．解： (6,6)P 在抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 上，可得 36 12p ，可得 3p ，
所以 2 6y x ，焦点坐标 3(2
， 0) ，准线方程为： 3
2x ，所以 3
2
y x
y
可得 3( 2M ， 3)2
，
则 3(8Q ， 3)2
，
所以直线 PQ 的斜率为：
36 42
3 36 8
．
故答案为： 3(2
， 0) ， 4
3
．
16．解：由 1 2 32 3 2na a a na n ，可得 1n 时， 1 2a ，
2n
时， 1 2 3 12 3 ( 1) 2( 1)na a a n a n ，
又 1 2 32 3 2na a a na n ，
两式相减可得 2nna ，即有 2
na n
，对 1n 也成立．
可得 1 2 1 12( )2 ( 1) 1
n n
n
a ab n n n n
，
则 2021
1 1 1 1 1 1 1 1 20212(1 ... ) 2(1 )2 2 3 3 4 2021 2022 2022 1011T ．
故答案为： 2021
1011
．
17．解：（1） ABC 中， 2 2 23 3 3 2b c a bc ，所以 2 2 2 2
3b c a bc ，
利用余弦定理知， 2 2 2
2
13cos 2 2 3
bcb c aA bc bc
，
因为 (0, )A ，所以 2 1 2 2sin 1 cos 1 9 3A A ；
（2） ABC 中， ( )B A C ，
所以 sin sin( ) 2sinB A C C ，
即 sin cos cos sin 2sinA C A C C ，
所以 2 2 1cos sin 2sin3 3C C C ，
解得 2 2sin cos5C C ，
又 cos 0C ，所以 sin 2 2tan cos 5
CC C
．
18．解：（1）设等差数列{ }na 的公差为 d ， 0d ，
由 9 144S ，可得 1
9 89 1442a d ，即为 1 4 16a d ，
由 3a 是 1a 与 8a 的等比中项，可得 2
3 1 8a a a ，
即为 2
1 1 1( 2 ) ( 7 )a d a a d ，即 14 3a d ，
解得 1 4a ， 3d ，
所以 4 3( 1) 3 1na n n ；
（2） 2
1 log 03
n
n
a b ，即为 2log 0nn b ，
解得 1( )2
n
nb ，
所以 1(3 1) ( )2
n
n n nc a b n ，
则 2 31 1 1 14 7 ( ) 11 ( ) ... (3 1) ( )2 2 2 2
n
nT n ，
2 3 4 11 1 1 1 14 ( ) 7 ( ) 11 ( ) ... (3 1) ( )2 2 2 2 2
n
nT n ，
两 式 相 减 可 得
12 3 1 1
1 1(1 )1 1 1 1 1 14 22 3[( ) ( ) ... ( ) ] (3 1) ( ) 2 3 (3 1) ( )12 2 2 2 2 21 2
nn n n
nT n n
，
化简可得 17 (3 7) ( )2
n
nT n ．
19．解：（Ⅰ）从 2011 年至 2020 年，共 10 年，其中动画影片时长大于纪录影片时长的年
份有：
2011 年，2015 年，2017 年，2018 年，2019 年，2020 年，共 6 年，
故所求概率 6 3
10 5P ．
（Ⅱ） X 的所有可能取值为 0，1，2，
则
2
4
2
10
2( 0) 15
CP X C
，
1 1
4 6
2
10
8( 1) 15
C CP X C
，
2
6
2
10
1( 2) 3
CP X C
，
所以随机变量 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 2
15
8
15
1
3
数学期望 2 8 1 6( ) 0 1 215 15 3 5E X ．
（Ⅲ）结合图象可知科教影片时长的波动最大，方差最大，
将动画影片、记录影片时长从小到大排列，
动画影片：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430，
记录影片：100，130，150，190，210，240，270，300，330，380，
记录
2 2 2
2 3 1s s s ．
20．（Ⅰ）证法一：在四棱锥 P ABCD 中，取 PC 的中点 F ，连接 EF 、 FB ，
因为 E 是 PD 的中点，所以 1/ / / /2EF CD AB ，（2 分）
所以四边形 AEFB 是平行四边形，（3 分）
则 / /AE FB ，
而 AE 平面 PBC ， FB 平面 PBC ，（5 分）
/ /AE 平面 PBC ． （6 分）
证法二：如图，以 B 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴，垂直于 AB 的直线为 y 轴，BP 所在
直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设 PB t ，则 (0P ，0， )t ， ( 1D ，2， 0) ， (1C ，2， 0) ， ( 1A ，0， 0) ，
所以 1( 2E ，1， )2
t ， 1( ,1, )2 2
tAE ，（2 分）
设平面 PBC 的法向量为 (a x ， y ， )z ，则 0
0
a BC
a BP
，所以 2 0
0
x y
tz
，即 2
0.
x y
z
取 1y ，得到平面 PBC 的法向量为 (2a ， 1 ， 0) ．
所以 0AE a ，而 AE 平面 PBC ，则 / /AE 平面 PBC ．（6 分）
（Ⅱ）解：同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，
设 ( 0)PB t t ，则 (0P ，0， )t ， ( 1D ，2， 0) ， (1C ，2， 0) ，
所以 ( 1PD ，2， )t ， (1BC ，2， 0) ，
则 2| | 5PD t ，| | 5BC ，（9 分）
由已知异面直线 BC 与 PD 成 60角，所以 2 1| | | | cos60 5 5 2PD BC PD BC t
，
又 1 1 2 2 ( ) 0 3PD BC t
，
所以 2 15 5 32t ，解得 55
5t ，即 55
5PB ，
所以侧视图的面积为 1 55 5522 5 5S ．（13 分）
21．解：（1）因为 FPQ 面积为 2．
所以 1 | | 2 22 FQ ，即| | 2FQ ，
2 2x py 即
2
2
xy p
的导数为 xy p
，可得 P 处的切线的斜率为 2
p
，
切线的方程为 0
2 ( 2)y y xp
，令 0x ，可得 0
4 2 4 2y y p p p p
，
所以 2 22
p
p
，解得 2p ，
所以抛物线的方程为 2 4x y ；
（2）证明：设 1(M x ，
2
1 )4
x ， 2(N x ，
2
2 )4
x ，
设直线 l 的方程为 ( 2) 5y k x ，
由 2
( 2) 5
4
y k x
x y
可得 2 4 8 20 0x kx k ，
所以 1 2 4x x k ， 1 2 8 20x x k ，
因为 ( 2,1)P ， 1( 2PM x ，
2
1 1)4
x ， 2( 2PN x ，
2
2 1)4
x ，
所以
2 2
1 2
1 2( 2)( 2) ( 1)( 1)4 4
x xPM PN x x
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) 22( ) 4 116 4
x x x x x xx x x x
2 2(8 20) 16 16 408 20 8 5 016 4
k k kk k ，
所以 PM PN ，
所以 PMN 的大小为定值 90 ．
22．解：（1）由题意知函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ，
因为 ( )f x x alnx ， a R ，所以 ( ) 1 a x af x x x
，
①当 0a
时， ( ) 0f x 在区间 (0, ) 上恒成立，
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0, ) ，无单调递减区间；
②当 0a 时，令 ( ) 0f x ，得 x a ，令 ( ) 0f x ，得 0 x a ，
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( , )a ，单调递减区间为 (0, )a ；
综上：当 0a
时，函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0, ) ，无单调递减区间；
当 0a 时，函数 ( )f x 的单调递增区间为 ( , )a ，单调递减区间为 (0, )a ；
（2）方程 ( ) ( )g x mf x 有两个实根，
即关于 x 的方程 2 ( 2 ) 0xx e m x lnx 有两个实根，
即函数 2( ) ( 2 )xh x x e m x lnx 有两个零点，
又 2 2( ) ( 2 ) ( 2 )x x lnxh x x e m x lnx e m x lnx ，
令 2t x lnx ，由（1）得 t 是关于 x 的单调递增函数，且 t R ，
所以只需函数 ( ) tu t e mt 有两个零点，
令 ( ) 0u t ，得 1
t
t
m e
，令 ( ) t
tt e
，则 1( ) t
tt e
，
易知当 ( ,1)t 时， ( )t 单调递增，
当 (1, )t 时， ( )t 单调递减，
所以当 1t 时， ( )t 取得最大值 1(1) e
，
又因为当 0t 时， ( ) 0t ，当 0t 时， ( ) 0t ， (0) 0 ，
则函数 ( ) t
tt e
的图象如图所示：
所以当 1 1(0, )m e
，即 ( , )m e 时，函数 ( )h x 有两个零点，
所以实数 m 的取值范围为 ( , )e ．
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