2021 新高考数学押题卷（8）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．复数 z 满足 ( 2 ) (1 ) 2(z i i i 为虚数单位），则| | (z )
A．1 B．2 C． 2 D． 5
2．已知集合 { | ( 1)( 2) 0}A x x x ， { | ( 1) 1}B x ln x
，则 ( )
A． A B B B． A B B
C． ( ) [ 1RA B ð ， 1)e D． ( )R A B Rð
3．已知平面 ， ， ，直线 m ， n ，则下列命题中正确的是 ( )
A．若 / /m ， n ，则 / /m n B．若 ， m ， n ，则 m n
C．若 l ， / /m ， / /m ，则 / /m l D．若 l ，m ，m l ，则 m
4．若正项等比数列{ }na 的公比为 (e e 是自然对数的底数），则数列 2 1{ }nlna 是 ( )
A．公比为 2e 的等比数列 B．公比为 2 的等比数列
C．公差为 2e 的等差数列 D．公差为 2 的等差数列
5．已知第一象限的点 ( , )a b 在直线 3 4 1 0x y 上，则 1 3
a b
的最小值是 ( )
A．5 2 3 B．8 C． 7
4 D．27
6．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的一个焦点为 F ，过 F 作双曲线 C 的一条渐近线
的垂线，垂足为 A ．若 (OFA O 为坐标原点）的面积等于 21 (4 c c 为双曲线 C 的半焦距），则
双曲线 C 的离心率为 ( )
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
7．2021 年是中国共产党百年华诞，3 月 24 日，中宣部发布中国共产党成立 100 周年庆祝活
动标识（图1) ，标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和 56 根光芒线组成，生动展
现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程．其中“100”
的两个“0”设计为两个半径为 R 的相交大圆，分别内含一个半径为 r 的同心小圆，且同心
小圆均与另一个大圆外切（图 2) ．已知 ( 2 1)R r ，则在两个大圆的区域内随机取一点，
则该点取自两大圆公共部分的概率为 ( )
A． 1
2 1
B． 2
3 2
C． 3
4 3
D． 4
5 4
8．已知锐角 ABC 的角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 sin (sin sin )a A b B C ，
则 1 cos2( )
cos
A B
B
的取值范围为 ( )
A． (0,1) B． (1, 2) C． ( 2, 3) D．[1， 3]
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的对 2 分，有选错的得 0 分。
9． 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标．如图是某地 9 月 1 日到 10 日的 2.5PM 日均值（单
位： 3/ )g m 的折线图，则下列说法正确的是 ( )
A．这 10 天中 2.5PM 日均值的众数为 33
B．这 10 天中 2.5PM 日均值的中位数是 32
C．这 10 天中 2.5PM 日均值的中位数大于平均数
D．这 10 天中 2.5PM 日均值前 4 天的方差大于后 4 天的方差
10．已知非零实数 a ， b 满足 3 2a b ，则下列不等关系中正确的是 ( )
A． a b B．若 0a ，则 0b a
C． | | | |
1 | | 1 | |
a b
a b
D．若 30 log 2a ，则 b aa b
11．已知直线 1 : 4 0l x y 与圆心为 (0,1)M 且半径为 3 的圆相交于 A ， B 两点，直线
2 : 2 2 3 5 0l mx y m 与圆 M 交于 C ，D 两点，则四边形 ACBD 的面积的值可以是 ( )
A．9 3 B．9 2 C． 6 2 D．9( 2 1)
12．如图，四棱锥 P ABCD 的底面为矩形， PD 底面 ABCD ， 1AD ， 2PD AB ，
点 E 是 PB 的中点，过 A ， D ， E 三点的平面 与平面 PBC 的交线为 l ，则 ( )
A． / /l 平面 PAD
B． / /AE 平面 PCD
C．直线 PA 与l 所成角的余弦值为 5
5
D．平面 截 P ABCD 四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为 3
5
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． 2 5
3
1(3 )x x
的展开式中的常数项为 ．
14．设单位向量 a ，b
的夹角为 ，| 2 | 3a b ，则 ．
15．函数 ( ) sin( )( 0)3f x x 向右平移
3
单位后，在[ 2
， ] 上仅有一个零点，则 的
取值范围是 ．
16．已知抛物线 2: 4C y x 与椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yD a ba b
有一个公共焦点 F ，则点 F 的坐
标是 ；若抛物线的准线与椭圆交于 A ， B 两点， O 是坐标原点，且 AOB 是直角三角
形，则椭圆 D 的离心率 e ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知公差不为 0 的等差数列{ }na 满足 1 1a ，且 1a ， 2a ， 5a 成等比数列．
（Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式；
（Ⅱ）若 12n
nb ，求数列{ }n na b 的前 n 项和 nT ．
18．在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 2 2 2 3( )sin 2a b c C ab ．
（1）求角 C 的大小；
（2）若
4C ， 5c ， ABC 的周长为 12，求 ABC 的面积．
19．2020 年 8 月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传
教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，
大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一
63 人，高二 42 人，高三 21 人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，
从已报名的志愿者中抽取 12 名志愿者，参加为期 20 天的第一期志愿活动．
（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取 4 人去粘贴宣传标语，设这 4 人中
含有高二学生 X 人，求随机变量 X 的分布列；
（3）食堂每天约有 400 人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的
重量（单位：公斤），以 10 天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志
愿者记录的数据如下：
前 10 天剩菜剩饭的重量为：24.1 25.2 24.5 23.6 23.4 24.2 23.8 21.5 23.5 21.2
后 10 天剩菜剩饭的重量为：23.2 21.5 20.8 21.3 20.4 19.4 20.2 19.3 20.6 18.3
借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行
说明即可）．
20．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面四边形 ABCD 是矩形， 2AB AP BC ，平面 PAB
平面 ABCD ，二面角 P BC A 的大小为 45．
（1）求证： PA 平面 ABCD ；
（2）求直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值．
21．已知抛物线： 2: 2 ( 0)x py p 的焦点为 F ，准线为l ，O 为坐标原点， A 为抛物线
上位于第一象限内一点，直线 AO 与l 交于点 D ，直线 AF 与抛物线的另一个交点为 B ．
（1）试判定直线 BD 与 y 轴的位置关系，并说明理由；
（2）过点 B 作抛物线的切线交 y 轴于点 E ，与直线 AO 交于点 G ，连接 DE ．记 ABG ，
DEG 的面积分别为 1S ， 2S ，当 1 22S S 时，若点 A 的横坐标为 2 2 1 ，求抛物线 的
方程．
22．已知函数 2( ) ( 1)f x ln x ax x ， a R ．
（1）讨论函数 ( )f x 的单调区间；
（2）若函数 ( )f x 对 m ， [0n ，1]( )m n 都有 ( 1) ( 1) 1f m f n
m n
恒成立，求 a 的取值
范围．
2021 新高考数学押题卷（8）答案
1．解：由 ( 2 ) (1 ) 2z i i 得 22 11z i ii
，
1z i ，
故 2 2| | 1 1 2z ．
故选： C ．
2．解：由 ( 1)( 2) 0x x ，解得 1 2x ，
{ | 1 2}A x x ，
由 ( 1) 1ln x
得 1x e
，
{ | 1}B x x e
，
{ | 1}R B x x e ð ， { | 2R A x x ð 或 1}x ，
{ | 1 2}A B x e x ， { | 2}A B x x ，
( ) [ 1RA B ð ， 1)e ，
( ) { | 2R A B x x ð 或 1}x e ．
故选： C ．
3．解：平面 ， ， ，直线 m ， n ，
对于 A ，若 / /m ， n ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误；
对于 B ，若 ， m ， n ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 B 错误；
对于 C ，若 l ， / /m ， / /m ，则由线面平行的性质得 / /m l ，故 C 正确；
对于 D ，若 l ， m ， m l ，则 m 与 不一定垂直，故 D 错误．
故选： C ．
4．解：正项等比数列{ }na 的公比为 (e e 是自然对数的底数），
2 2
2 1 1
n
na a e
，
2 2
2 1 1 1 1( ) 2 2 2 ( 2)n
nlna ln a e lna n n lna
，
数列 2 1{ }nlna 是公差为 2 的等差数列．
故选： D ．
5．解：由题意得3 4 1a b ， 0a ， 0b ，
则 1 3 1 3 4 9 4 9( )(4 3 ) 15 15 2 27b a b ab aa b a b a b a b
，
当且仅当 4 9b a
a b
且 3 4 1a b ，即 1
9a ， 1
6b 时取等号，此时 1 3
a b
的最小值 27．
故选： D ．
6．解：设双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的右焦点 ( ,0)F c ，
双曲线 C 的一条渐近线方程设为 0bx ay ，
可得 2 2
| | bcAF b
a b
， 2 2| |OA c b a ，
OAF 的面积为 21
4 c ，即有 21 1
2 4ab c ，
化为 2 2 2 44 ( )a c a c ， 4 24 4 0e e ，
则 2e ，
故选： C ．
7．解：如图，设 D 为线段 AB 的中点， 2 2
2OD r ， ( 2 1)R r ，
在 AOD 中， 2cos 2
ODAOD OA
，
4AOD ，
2AOB ，
两大圆公共部分的面积为： 2 2 212( ) ( 1)4 2 2R R R ，
则该点取自两大圆公共部分的概率为
2
2 2
( 1) 22
3 22 ( 1)2
R
R R
．
故选： B ．
8．解：因为 sin (sin sin )a A b B C ，
由正弦定理可得 2 2a b bc ，显然 a b ， A B ，
可得
2 2 2 2
cos 02 2 2
b c a c bc c bA bc bc b
，
由 cos 2
c bA b
，可得 2 cosb A c b ，可得 2sin cos sin sin sin( ) sinB A C B A B B ，
所以 sin( ) sinA B B ，
由 A ， B ， C 为锐角，
所以 A B B ， 2A B ， 3C A B B ，
所以 0 2 2B ， 0 3 2B ，可得
6 4B ，可得 2cos ( 2B ， 3)2
，
所以 1 cos2( ) 1 cos2 2cos ( 2cos cos
A B B BB B
， 3) ．
故选： C ．
9．解：由图可知，众数为 33，中位数为 32，故 AB 正确，
因为受极端值 128 的影响，平均数应大于中位数，故 C 错误，
前四天图象比后四天图象波动大，故 D 正确；
故选： ABD ．
10．解：对于 A ，由指数函数的图象可知，0 a b 或 0b a ，故选项 A 错误，选项 B 正
确；
对于 C ，函数 111 1
xy x x
在 ( 1, ) 上单调递增，而| | | |a b ，故选项 C 正确；
对于 D ， 30 log 2a ，则有 0 1a b ，所以 b a aa a b ，故选项 D 正确．
故选： BCD ．
11．解：根据题意，圆 M 的圆心为 (0,1)M 且半径为 3，则圆 M 的方程为 2 2( 1) 9x y ，
即 2 2 2 8 0x y y ，
直线 1 : 4 0l x y 与圆 M 相交于 A ， B 两点，
则有
2 2 2 8 0
4 0
x y y
x y
，解可得： 3
1
x
y
或 0
4
x
y
，即 A 、 B 的坐标为 (3,1) ， (0,4) ，
则| | 9 9 3 2AB ，且 AB 的中点为 3(2
， 5)2
，
直线 2 : 2 2 3 5 0l mx y m ，变形可得 (2 3) 2 5 0m x y ，直线 2l 恒过定点 3(2
， 5)2
，
设 3(2N ， 5)2
，
当 CD 与 AB 垂直时，四边形 ACBD 的面积最大，
此时 CD 的方程为 5 3
2 2y x ，变形可得 1y x ，经过点 (0,1)M ，
则此时| | 6CD ，
故 ACBDS四边形 的最大值 1 6 3 2 9 22ACB ADBS S ，
故 9 2ACBDS四边形 ，
分析选项： BC 符合题意，
故选： BC ．
12．解：对于 A ，取 PC 中点 F ，连接 DF 、 EF ，
点 E 是 PB 的中点， / /EF AD ，
过 A ， D ， E 三点的平面 与平面 PBC 的交线为l ，
l 与 EF 重合， / /l AD ，
AD 平面 PAD ， l 平面 PAD ， / /l 平面 PAD ，故 A 正确；
对于 B ，由 A 知 / /EF AD ，且 1
2EF AD ，
AE 与 DF 相交， AE 与平面 PCD 相交，故 B 错误；
对于 C ，由 A 知 / /l AD ， PAD 是直线 PA 与 l 所成角（或所成角的补角），
四棱锥 P ABCD 的底面为矩形， PD 底面 ABCD ， 1AD ， 2PD AB ，
2 21 2 5PA ，
直线 PA 与 l 所成角的余弦值为： 5cos 5
ADPAD PA
，故 C 正确；
对于 D ，由 A 知截面 就是平面 AEFD ，下半部分分为四棱锥 E ABCD 和三棱锥
E DFC ．
所以下部分体积为： 5
6
，所以上部分 4 5 3
3 6 6
，上下之比就是 3:5 ．故 D 正确．
故选： ACD ．
13．解：二项式 2 5
3
1(3 )x x
的通项公式为 2 5 5 10 5
1 5 53
1(3 ) ( ) 3r r r r r r
rT C x C xx
，
令10 5 0r ，解得 2r ，
所以二项式 2 5
3
1(3 )x x
的展开式中的常数项为： 2 3
5 3 270C ．
故答案为：270．
14．解：单位向量 a ， b
的夹角为 ，| 2 | 3a b ，
可得 2 24 4 3a a b b ，
所以 4| || | cos 2a b ，
所以 1cos 2
，因为 [0 ， ] ，
所以 2
3
．
故答案为： 2
3
．
15．解：函数 ( ) sin( )( 0)3f x x 向右平移
3
单位后，可得 sin( )3 3y x 的图
象，
由于所得图象对应的函数在[ 2
， ] 上仅有一个零点，
而 [3 3 3 6x ， 2 ]3 3
，
3 6
，且 2
3 3
， 1 4 ，
则 的取值范围是[1， 4]，
故答案为：[1， 4]．
16．解：抛物线 2: 4C y x 与椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yD a ba b
有一个公共焦点 F ，则点 F 的坐
标是 (1,0) ，
抛物线的准线与椭圆交于 A ， B 两点， O 是坐标原点，且 AOB 是直角三角形，
所以 ( 1.1)A ， ( 1, 1)B ，
所以 2 2
1 1 1a b
， 2 2 1a b ， 2 1 5
2b ， 2 3 5
2a ，
所以，离心率为：
1 2 5 1
23 5 1 5
2
e
．
故答案为： 5 1
2
．
17．解：（Ⅰ）设数列{ }na 的公差为 ( 0)d d ，
由题设可得： 2
2 1 5a a a ，即 2(1 ) 1 4d d ，解得： 2d ，
1 2( 1) 2 1na n n ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得： 1(2 1) 2n
n na b n ，
0 1 2 11 2 3 2 5 2 (2 1) 2n
nT n ，
又 1 2 12 1 2 3 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n
nT n n ，
两式相减得：
2 1
2 3 2 (1 2 )1 2 2 2 (2 1) 2 1 (2 1) 21 2
n
n n n
nT n n
，
整理得： (2 3) 2 3n
nT n ．
18．解：（1）由余弦定理知， 2 2 2 2 cosa b c ab C ，
因为 2 2 2 3( )sin 2a b c C ab ，
所以 32 cos sin 2ab C C ab ，即 3sin 2 2C ．
又 0 C ，
所以 2 3C 或 2
3
，
所以
6C 或
3
．
（2）由（1）及
4C ，得
3C ，
因为 12a b c ，且 5c ，
所以 7a b ，
由余弦定理知， 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cos 3c a b ab C a b ab ab ，即 25 49 3ab ，
所以 8ab ，
所以 ABC 的面积 1 1sin 8 sin 2 32 2 3S ab C ．
19．解：（1）报名的学生共有 126 人，抽取比例为 12 2
126 21
，
所以高一抽取 263 621
人，高二抽取 242 421
人，高三抽取 221 221
人．
（2）随机变量 X 的所有可能取值为 2，3，4，
2 2
4 2
4
6
2( 2) 5
C CP X C
，
3 1
4 2
4
6
8( 3) 15
C CP X C
，
4 0
4 2
4
6
1( 4) 15
C CP X C
，
所以随机变量 X 的分布列为：
P 2 3 4
X 2
5
8
15
1
15
（3）法一：（数字特征）前 10 天的平均值为 23.5，后 10 天的平均值为 20.5，
因为 20.5 23.5 ，
所以宣传节约粮食活动的效果很好．
法二：（茎叶图）
因为前 10 天的重量集中在 23、24 附近，
后 10 天的重量集中在 20 附近，
所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好．
20．（1）证明：底面四边形 ABCD 是矩形， BC AB ，
又平面 PAB 平面 ABCD ，平面 PAB 平面 ABCD AB ， BC 平面 ABCD ，
BC 平面 PAB ，
AB 平面 PAB ， PB 平面 PAB ， PA 平面 PAB
BC AB ， BC PB ， BC PA ，
PBA 为二面角 P BC A 的平面角，
又二面角 P BC A 的大小为 45， 45PBA ，
在 PAB 中 AB AP ， 45PBA BPA ，
90PAB ，即 AB AP ，
又 BC PA ， AB BC B ，
PA 平面 ABCD ；
（2）解：如右图所示，在底面 ABCD 内，过点 B 作 BH AC ，垂足为 H ，连接 PH ，
由（1）知 PA 平面 ABCD ， BH 平面 ABCD ， BH PA ，
又 PA AC A ， BH 平面 PAC ，
BPH 为直线 PB 与平面 PAC 所成的角，其中 2
5
AB BCBH BCAC
，
2 2 2BP PA BC ，
直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值为
2
105
102 2
BCBH
BP BC
．
21．解：（1）由题意可得 (0, )2
pF ，准线 : 2
pl y ，
设 1(A x ，
2
1 )2
x
p
， 2(B x ，
2
2 )2
x
p
，则直线 AO 的方程为 1
2
xy xp
，故 D 的横坐标为
2
1
D
px x
，
设直线 AB 的方程为
2
py kx ，代入 2 2x py ，
可得 2 22 0x pkx p ，
所以 2
1 2x x p ，则
2
2
1
px x
，
所以 2 Dx x ，
所以直线 BD 与 y 轴平行；
（2）由题意可得 1 1 2 2 1
1 1 1| | ( ) | | ( ) | | ( )2 2 2G GS BD x x BD x x BD x x ．
2 2 2
1 1 1| | ( ) | | ( ) | | ( )2 2 2G GS BD x BD x x BD x ．
因为 1 22S S ，所以 1 2G Gx x x ，即 1Gx x ，
又 G 在直线 AO 上，所以
2
1 1
1 1( )2 2G
x xy x yp p
，即 1(G x ， 1)y ，
抛物线在 B 处的切线的方程为
2
2 2
2
x xy xp p
，
所以
2 2 22
2 2 2 2
1 1 2 2 2
x x x xpy x pp p p p p
，
将
2
1
1 2
xy p
，
2
2
1
px x
，代入上式可得 4 2 2 4
1 12 0x x p p ，
解得 2 2
1 (1 2) 0x p ，或 2 2 2
1 ( 2 1) (2 2 1) 4( 2 1)x p ，可得 2p ，
故抛物线的方程为 2 4x y ．
22．解：（1）依题意有定义域为 ( 1, ) ，
1 (2 2 1)( ) 2 11 1
x ax af x axx x
，
当 0a
时， 2 ( 1) 0a x ， 2 2 1 0ax a ，
当 ( 1,0)x 时 ( ) 0f x ， ( )f x 为增函数，
当 [0x ， ) 时， ( ) 0f x ， ( )f x 为减函数；
当 0a 时，令 ( ) 0f x ，得 1 0x ， 2
11 2x a
( )i 当 2 1x x ， 11 02a
，即当 1
2a 时， 11 12a
，
则 1( 1, 1 ) (0, )2x a
时， ( ) 0f x ，
( )f x 在 1( 1, 1 )2a
， (0, ) 上均为增函数，在 1( 1 ,0)2a
上为减函数；
( )ii 当 2 1x x ， 11 02a
，即 1
2a 时，
2
( ) 01
xf x x
， ( )f x 在 ( 1, ) 上为增函数；
( )iii 当 2 1x x ， 11 02a
，即 1 02 a 时，
则 1( 1,0) ( 1 , )2x a
时， ( ) 0f x ，
( )f x 在 ( 1,0) ， 1( 1 , )2a
上均为增函数；在 1(0, 1 )2a
上为减函数；
综上：当 1
2a 时， ( )f x 增区间为 1( 1, 1 )2a
， (0, ) ，减区间为 1( 1 ,0)2a
；
当 1
2a 时， ( )f x 增区间为 ( 1, ) ；
当 1 02 a 时， ( )f x 增区间为 ( 1,0) 和 1( 1 , )2a
，减区间为 1(0, 1 )2a
；
当 0a
时， ( )f x 增区间为 ( 1,0) ，减区间为[0 ， ) ．
（2）不妨令 m n ，则 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f m f n m n m n ，
即 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f m m f n n ，
令 ( ) ( )g x f x x ，则 ( )g x 在[1， 2]上为减函数，
22 2 2 1( ) ( ) 1 0, [1,2]1
ax ax xg x f x xx
，
即 2
2 12 xa x x
对1 2x 恒成立，
令 2
2 1( ) xu x x x
，
2 2
2 2 2 2
2 2 (2 1)(2 1) 2 2 1( ) 0( ) ( )
x x x x x xu x x x x x
，
当1 2x 时， 5 3( )6 2u x ，所以当1 2x 时， 2
3 2 1 5
2 6
x
x x
，
5
12a
，
故 a 的取值范围为 5[ , )12
．
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