考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（28）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 { | 3 5}A x Z x ， { | 1 0}B y y ，则 A B 的元素个数为 ( )
A．0 B．3 C．4 D．5
2．设 i 为虚数单位， a R ，已知
1
a i
i
是纯虚数，则 (a )
A．1 B． 1 C． 2 D． 2
3．随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这 5 种颜色供选择，则
“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为 ( )
A．
3
3
4
5 B．
4
3
4
5 C．
3
4
4
5 D．
4
4
4
5
4．函数
2
,0 1( ) 1
log ( 1), 1
x xf x x
x x
，不等式 (1 ) (2 ) 0f x f x 的解集为 ( )
A． 1(0, )3 B． 1( , )3
C． 1( ,1]3 D． 1 1( , )3 2
5．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
经过点 (3,1) ，当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最
小时，其标准方程为 ( )
A．
2 2
112 4
x y B．
2 26 115 15
x y
C．
2 27 116 16
x y D．
2 2
118 2
x y
6．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约 5100
年．至新石器中晚期，玉琼在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出
现，尤以良渚文化的玉璨最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，
通高 9.8cm ，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径5.9cm ，
外径19.6cm ，试估计该仿古玉琮的体积约为 ( ) （单位： 3 )cm
A．3300 B．3700 C．3900 D．4500
7．已知函数 3 2( ) xf x e xlnx x ax 满足 ( ) 0f x
恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( )
A． ( ， ]e B． ( ， 2] C．[2 ， ]e D．[ 2 ， 2]
8．在 ABC 中，内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若 sin sin ( )sinc C a A b a B ，
角 C 的角平分线交 AB 于点 D ，且 3CD ， 3a b ，则 c 的值为 ( )
A． 7
2 B． 4 7
3
C．3 D． 2 3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的对 2 分，有选错的得 0 分。
9．某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了 50 名会员，每位会员对俱乐部
提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算 2K 的观测值
5.059k ，则可推断出 ( )
满意 不满意 总计
男生 18 9 27
女生 8 15 23
总计 26 24 50
附：
2
0( )P K k 0.025 0.010 0.005
0k 5.024 6.635 7.879
A．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为 2
3
B．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意
C．有 97.5% 的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异
D．有 99% 的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异
10．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点 F 到准线的距离为 2，过点 F 的直线与抛物线交
于 P ， Q 两点， M 为线段 PQ 的中点， O 为坐标原点，则 ( )
A． C 的准线方程为 1y B．线段 PQ 长度的最小值为 4
C． M 的坐标可能为 (3,2) D． 3OP OQ
11．已知 P 为 ABC 所在平面内一点，则下列正确的是 ( )
A．若 3 2 0PA PB PC ，则点 P 在 ABC 的中位线上
B．若 0PA PB PC ，则 P 为 ABC 的重心
C．若 0AB AC ，则 ABC 为锐角三角形
D．若 1 2
3 3AP AB AC ，则 ABC 与 ABP 的面积比为 3: 2
12．矩形 ABCD 中， 4AB ， 3BC ，将 ABD 沿 BD 折起，使 A 到 A 的位置， A 在平面
BCD 的射影 E 恰落在 CD 上，则 ( )
A．三棱锥 A BCD 的外接球直径为 5
B．平面 A BD 平面 A BC
C．平面 A BD 平面 A CD
D． A D 与 BC 所成角为 60
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知随机变量 X 服从正态分布 2(10, )N ，若 ( 8) 0.23P X ，则 ( 12)P X ．
14． 5( 2 )( )x y x y 展开式中，含 3 3x y 项的系数为 ．
15．已知函数 ( ) 3sin( )( 0f x x ，| | ) ， f （4） f （2） 6 ，且 ( )f x 在[2 ，4]
上单调．设函数 ( ) ( ) 1g x f x ，且 ( )g x 的定义域为[ 5 ，8] ，则函数 ( )g x 的所有零点之和
等于 ．
16．已知等差数列{ }na 的公差 0d ，且 1a ， 3 1a ， 6a 成等比数列，若 1 5a ， nS 为数列{ }na
的前 n 项和，则 2
n
n
na n
S
的最小值为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 2 2 2b a c ac ．
（1）求角 B 的大小；
（2）求 sin sin sinA B C 的取值范围．
18．在① 1 2 1n nS S ，② 2 2a ，③ 1 1n nS a 这三个条件中选择两个，补充在下面的问
题中，给出解答．
已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，满足 _____，_____，又知递增等差数列{ }nb 满足 1 2b ，
且 1b ， 2b ， 5b 成等比数列．
（1）求{ }na 和{ }nb 的通项公式；
（2）设 n n nc a b ，求数列{ }nc 的前 n 项和 nT ．
19．如图，四边形 ABCD 是菱形， 120ADC ，AF 平面 ABCD ， / /AF CE ， 2AF CE ．
（Ⅰ） AF 上是否存在一点G ，使得 / /EF 平面 BDG ？
（Ⅱ）若 2AF AD ，求几何体 ABCDEF 的表面积．
20．某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了 3000 名学生，统计了他们的周末
运动时间，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）按照分层抽样，从[40 ， 50) 和[80 ， 90) 中随机抽取了 9 名学生．现从已抽取的 9 名
学生中随机推荐 3 名学生参加体能测试．记推荐的 3 名学生来自[40 ，50) 的人数为 X ，求
X 的分布列和数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间 t 服从正态分布 2( , )N ，其中， 为周末
运动时间的平均数 t ， 近似为样本的标准差 s ，并已求得 14.6s ．可以用该样本的频率
估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取 12 名学生，记周末运动时间在 (43.9 ，
87.7] 之外的人数为Y ，求 ( 3)P Y （精确到 0.001) ．
参 考 数 据 1 ： 当 2~ (( , )t N 时 ， ( ) 0.6826P t ，
( 2 2 ) 0.9544P t ， ( 3 3 ) 0.9974P t ；
参考数据 92:0.8185 0.1649 ； 30.1815 0.0060 ．
21．已知坐标原点为 O ，双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的焦点到其渐近线的距离为 2 ，离
心率为 3 ．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过双曲线上动点 0(P x ， 0 )y 的直线 0
0 12
y yx x 分别交双曲线的两条渐近线于 A ，B
两点，求 AOB 的外心 M 的轨迹方程．
22．已知函数 2( )f x alnx x x ．
（1）讨论函数 ( )f x 的单调性；
（ 2 ） 若 1a ， 函 数 ( ) ( ) 1F x f x x ， 且 m ， (0, )n ， m n ，
| ( ) ( ) | | |mF n nF m mn m n ，求实数 的取值范围．
考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（28）答案
1．解：集合 { | 3 5} { 2A x Z x ， 1 ，0，1，2，3， 4}，
{ | 1 0} { | 1}B y y y y ，
{0A B ，1，2，3， 4}，
A B 的元素个数为 5．
故选： D ．
2．解： ( )(1 ) 1 1
1 (1 )(1 ) 2 2
a i a i i a a ii i i
是纯虚数，
1 02
a ， 1 02
a ，
解得 1a ．
故选： B ．
3．解：随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这 5 种颜色供选择，
基本事件总数 54n ，
有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有 5 种方法，
其他的三个三角形在剩下的 4 色中任意涂色均可，方法为 35 4 ，
所求概率为
3 3
4 3
5 4 4
5 5P ．
故选： A ．
4．解： 0 1x 时， 1( ) 1 1f x x
是增函数； 1x
时， 2( ) log ( 1)f x x 是增函数，
又 2
1(1 1) 1 1log ，
( )f x 在[0 ， ) 上单调递增，
由不等式 (1 ) (2 ) 0f x f x 得， (1 ) (2 )f x f x ，
1 0
2 0
1 2
x
x
x x
，解得 1 13 x ，
原不等式的解集为： 1( ,1]3
．
故选： C ．
5．解：由题意椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
经过点 (3,1) ，可得： 2 2
9 1 1( 0)a ba b
，
该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长 2 24l a b ．
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
9 1 9( )( ) 10 b aa b a b a b a b
2 2
2 2
910 2 16b a
a b
，当且仅当 2 29a b 时，即 2b ， 3 2a 取等号．
周长l 的最小值： 4 4 16 ．
椭圆方程：
2 2
118 2
x y ．
故选： D ．
6．解：由题意，该仿古玉琮的体积为底面边长为19.6cm ，高为 9.8cm 的长方体的体积减去
底面直径为 5.9cm ，高为 9.8cm 的圆柱的体积．
则 2 35.919.6 19.6 9.8 ( ) 9.8 34972V cm ．
结合该仿古玉琮外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为
33300cm ．
故选： A ．
7．解：由 ( ) 0f x
，得 3 2xax e xlnx x ，得
3xea lnx xx
恒成立，
设
3
( )
xeg x lnx xx
，则 3( ) ( 3 1) 2x lnxg x e lnx x x lnx lnx x
，
当且仅当 3 0x lnx ，即 3x lnx 时取“ ”号，
故 2a ， a 的取值范围是 ( ， 2] ，
故选： B ．
8．解：因为 sin sin ( )sinc C a A b a B ，
所以由正弦定理可得 2 2 2c a b ab ，
可得
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
，
因为 (0, )C ，
所以
3C ，
所以
6ACD BCD ，由 3CD ， 3a b ，
所以 1
3
CA AD
CB DB
，
在 ACD ， BCD 中，由余弦定理得： 2 2 23 2 3 cos30 3 3AD b b b b ，
2 2 2(3 ) 3 2 3 3cos30 9 9 3DB b b b b ，
故 2 29 9 3 9( 3 3)b b b b ，解得： 4
3b ，故 4a ，
在 ABC 中，由余弦定理得： 2 2 2 2 cosc a b ab C ，即 2 16 4 1 11216 2 49 3 2 9c ，
故 4 7
3c ．
故选： B ．
9．解：对于选项 A ，该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为 18 2
27 3
，故 A
正确；
对 于 选 项 B ， 该 俱 乐 部 的 女 性 会 员 对 运 动 场 所 满 意 的 概 率 的 估 计 值 为 8
23
， 而
2 69 8 24
3 46 23 69
，
故该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意， B 正确；
对于选项 C 、 D ，经计算 2K 的观测值 5.059 5.024k ，
则可推断出有 97.5% 的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异，故 C 正确；
C 正确则 D 选项错误，故 D 错误．
故选： ABC ．
10．解：由抛物线定义可得： 2p ，则抛物线方程为： 2 4y x ，
所以抛物线的准线方程为： 1x ， A 错误，
抛物线的通径为 2 4p ，所以线段 PQ 的长度的最小值为 4， B 正确，
设过焦点 F 的直线方程为： 1x my 与抛物线方程联立可得：
2 4 4 0y my ，设 1(P x ， 1)y ， 2(Q x ， 2 )y ，
若 M 的坐标为 (3,2) ，则 1 2 6x x ， 1 2 4y y ，
而 1 2
2
1 2
4
4 2
y y m
x x m
，解得 1m 满足题意，所以 C 正确，
又 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( 1) ( ) 1OP OQ x x y y my my y y m y y m y y
2 24( 1) 4 1 3m m ，所以 D 正确，
故选： BCD ．
11．解：设 AB 中点 D ， BC 中点 E ，
若 3 2 0PA PB PC ，则 2( ) 0PA PB PB PC ，
所以 2 4 0PD PE ，即 2PD PE ，
所以 P 为 DE 的三分点， A 正确；
若 0PA PB PC ，
则 2 0PD PC ，
所以 P 在中线CD 上且 2CP PD ，即 P 为三角形重心， B 正确；
若 0AB AC ，则 A 为锐角，但不能确定 B ，C ，故 ABC 不一定为锐角三角形，C 错误；
若 1 2
3 3AP AB AC ，则 1 2( ) ( ) 03 3AB AP AC AP ，
即 2 0PB PC ，
所以 P 为 BC 上靠近 C 的三等分点，
所以 2BP PC ，
故 ABC 与 ABP 的面积比为 3: 2 ， D 正确．
故选： ABD ．
12．解：对于 A ，取 BD 中点 E ，连接 A E ， CE ，
则
2 24 3 5
2 2A E BE DE CE ．
三棱锥 A BCD 的外接球直径为 5，故 A 正确；
对于 B ， DA BA ， BC CD ， A F 平面 BCD ， BC A F ，
又 A F CD F ， A F 、 CD 平面 A CD ， BC 平面 A CD ，
A D 平面 A CD ， DA BC ，
BC BA B ， DA 平面 A BC ，
DA 平面 A BD ，平面 A BD 平面 A BC ，故 B 正确；
对于 C ， BC A C ， A B 与 A C 不垂直，
平面 A BD 与平面 A CD 不垂直，故 C 错误；
对于 D ， / /DA BC ， ADA 是 A D 与 BC 所成角（或所成角的补角），
16 9 7A C ， 3 7
4A F ， 23 7 99 ( )4 4DF ，
29 159 ( )4 4AF ， 2 215 3 7( ) ( ) 3 24 4AA ，
9 9 18cos 02 3 3ADA ， 90ADA ，
A D 与 BC 所成角为 90 ，故 D 错误．
故选： AB ．
13．解：随机变量 X 服从正态分布 2(10, )N ， ( 8) 0.23P X ，
( 12) 0.23P X ，
( 12) 1 0.23 0.77P X ．
故答案为：0.77．
14 ． 解 ：
5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5( 2 )( ) ( 2 )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )x y x y x y C x C x y C x y C x y C x y C y
，
故展开式中，含 3 3x y 项的系数为 3 2
5 52( ) 10 20 30C C ，
故答案为：30
15．解：由于函数 ( ) 3sin( )( 0f x x ，| | ) ，满足 f （4） f （2） 6 ，
所以 f （2） f （4） 6 ，且 ( )f x 在[2 ， 4]上单调．
所以 f （2） 3 ， f （4） 3 ，
所以 4T ，
故
2
，
由于 f （2） 3 ，
所以 2 ( )2k k Z ，
解得
2
，
所以 ( ) 3sin( ) 3cos2 2 2f x x x ，
故 ( ) 3cos 12g x x ，
令 ( ) 0g x ，解得 1cos 2 3x ，
由于函数 cos 2 x 关于 2x ， 2 ，6 对称，
所以零点的和为 4 4 12 12 ．
故答案为：12．
解：由 1a ， 3 1a ， 6a 成等比数列，得 2
3 1 6( 1)a a a ，
2(5 2 1) 5(5 5 )d d ，又 0d ，解得 3d ．
5 3( 1) 3 2na n n ，
2( 1) 3 75 32 2n
n n n nS n ，
2 2 2
2 2 2 2
3 2 3 3 7 6 612 3 7 3 7 3 7 3 7
n
n
na n n n n n n n n n n
S n n n n n n n n
61 3 7n
，
当 1n 时， 2
n
n
na n
S
取最小值为 6 21 3 1 7 5
．
故答案为： 2
5
．
17．解：（1）因为 2 2 2b a c ac ，
由余弦定理可得
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
，
由于 (0, )B ，
所以
3B ．
（ 2 ）
2 3 3 3 3sin sin sin sin sin sin( ) sin cos 3sin( )3 3 2 2 2 6 2A B C A A A A A
，
因为 2(0, )3A ，可得 (6 6A ， 5 )6
，可得 1 sin( ) 12 6A ，
所以 3 3 33 3sin( )6 2 2A ，可得 sin sin sinA B C 的范围是 ( 3 ， 3 3]2
．
18．解：方案一：选择条件①②
（1）由题意，当 1n 时， 2 12 1S S ，
即 1 2 12 1a a a ，
化简，得 2 1 1a a ，
2 2a ， 1 1a ，
当 2n
时，由 1 2 1n nS S ，
可得 12 1n nS S ，
两式相减，可得 1 2n na a ，
2 12a a 也满足上式，
数列{ }na 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
1 11 2 2n n
na ， *n N ，
设等差数列{ }nb 的公差为 ( 0)d d ，
则 2 2b d ， 5 2 4b d ，
1b ， 2b ， 5b 成等比数列，
2
2 1 5b b b ，即 2(2 ) 2(2 4 )d d ，
化简整理，得 2 4 0d d ，
解得 0d （舍去），或 4d ，
2 4( 1) 4 2nb n n ， *n N ．
（2）由（1）知， 1(4 2) 2 (2 1) 2n n
n n nc a b n n ，
则 1 2 3
1 2 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2n
n nT c c c n ，
2 3 12 1 2 3 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n
nT n n ，
两式相减，
可得 1 2 3 11 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2n n
nT n
2 3 12 2 (2 2 2 ) (2 1) 2n nn
2 1
12 22 2 (2 1) 21 2
n
nn
1(2 3) 2 6nn ，
1(2 3) 2 6n
nT n ．
方案二：选择条件①③
（1）由题意，当 1n 时， 2 12 1S S ，
即 1 2 12 1a a a ，
化简，得 2 1 1a a ，
将 1n 代入 1 1n nS a ，可得 1 2 1a a ，
此时选择条件①③并不能计算出 1a 或 2a 的值，
无法计算出数列{ }na 的通项公式，
故方案二不成立．
方案三：选择条件②③
（1）由题意，当 1n 时， 1 1 2 1 2 1 1a S a ，
当 2n
时，由 1 1n nS a ，
可得 1 1n nS a ，
两式相减，可得 1 2n na a ，
2 12a a 也满足上式，
数列{ }na 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
1 11 2 2n n
na ， *n N ，
设等差数列{ }nb 的公差为 ( 0)d d ，
则 2 2b d ， 5 2 4b d ，
1b ， 2b ， 5b 成等比数列，
2
2 1 5b b b ，即 2(2 ) 2(2 4 )d d ，
化简整理，得 2 4 0d d ，
解得 0d （舍去），或 4d ，
2 4( 1) 4 2nb n n ， *n N ．
（2）由（1）知， 1(4 2) 2 (2 1) 2n n
n n nc a b n n ，
则 1 2 3
1 2 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2n
n nT c c c n ，
2 3 12 1 2 3 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n
nT n n ，
两式相减，
可得 1 2 3 11 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2n n
nT n
2 3 12 2 (2 2 2 ) (2 1) 2n nn
2 1
12 22 2 (2 1) 21 2
n
nn
1(2 3) 2 6nn ，
1(2 3) 2 6n
nT n ．
19．解：（Ⅰ） AF 上存在一点G ，使得 / /EF 平面 BDG ，
取 AF 的中点 H ， AH 的中点G ，
如图，连接 CH ， AC ， AC BD O ，连接 OG ，
四边形 ABCD 是菱形，
AO OC ，
又点G 是 AH 的中点，
/ /OG CH ，
/ /AF CE ， 2AF CE ，
四边形 FHCE 是平行四边形，
/ /EF CH ，
/ /EF OG ，
又 OG 平面 BDG ， EF Ú平面 BDG ，
/ /EF 平面 BDG ，
AF 上存在一点 G ，满足当 1
4AG AF 时， / /EF 平面 BDG ．
（Ⅱ） AF 平面 ABCD ， AB ， AD Ü平面 ABCD ，
AF AD ， AF AB ，
/ /AF CE ，同理得 CE CD ， CE CB ，
又四边形 ABCD 是菱形， 120ADC ， 2AF AD ，
2 3AC ， 2DB ， 1AH ， 13EF CH ， 2 2DF BF ， 5BE DE ，
2 2 2DF DE EF ， 2 2 2BF BE EF ，
DF DE ， BF BE ，
几何体 ABCDEF 的表面积：
1 1 1 12 2 2 2 1 2 5 2 2 2 2 3 2 6 2 10 2 32 2 2 2S ，
几何体 ABCDEF 的表面积为 6 2 10 2 3 ．
20．解：（1）根据分层抽样，从[40 ， 50) 中抽取 6 人，在[80 ， 90) 中抽取 3 人，
随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，
0 3
6 3
3
9
1( 0) 84
C CP X C
，
1 2
6 3
3
9
3( 1) 14
C CP X C
，
2 1
6 3
3
9
15( 2) 28
C CP X C
，
3 0
6 3
3
9
5( 3) 21
C CP X C
，
则 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 1
84
3
14
15
28
5
21
1 3 15 5( ) 0 1 2 3 284 14 28 21E X ．
（ 2 ）
35 0.01 10 45 0.02 10 55 0.03 10 65 0.015 10 75 0.015 10 85 0.01 10 58.5t
，
又因为 43.9 58.5 14.6 ，87.7 58.5 2 14.6 2 ，
所以 0.6826 0.9544(43.9 87.7) ( 2 ) 0.81852P t P t ，
所以 ( 43.9P t 或 87.7) 1 0.8185 0.1815t ，
则 ~ (12,0.1815)Y B ，
所以 3 3 9
12( 3) 0.1815 0.8185 220 0.0060 0.1649 0.218P Y C ．
21．解：（Ⅰ）双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的渐近线为 by xa
，即 0bx ay ，
又焦点为 ( ,0)c ， ( ,0)c ，
根据题意可得
2 2
2 2 2
3
| | 2
ce a
bc
a b
c a b
，
解得 2 1a ， 2 2b ， 2 3c ，
所以双曲线的方程为
2
2 12
yx ．
（Ⅱ）双曲线的渐近线方程为 2y x ，
分别与 0
0 12
y yx x 联立，
解得
0 0
1(
2
2
A
x y ，
0 0
2 )
2
2x y
，
0 0
1(
2
2
B
x y ，
0 0
2 )
2
2x y
，
设 C ， D 分别为OA ， OB 的中点，
所以
0 0
1
2(
2
2
C
x y
，
0 0
2
2 )
2
2x y
，
因为 2OAk ， 1OA MCk k ，
所以 2
2MCk ，
所以直线 MC 的方程为
0 0 0 0
2 1
22 2( )22 2
2 2
y x
x y x y
，①
同理直线 MD 的方程为
0 0 0 0
2 1
22 2( )22 2
2 2
y x
x y x y
，②
联立①②得 2 2
2 2
0 0
9
1 8
12
2
y x
x y
，
又因为 0(P x ， 0 )y 在双曲线上，
所以 2 2
0 0
1 12x y ，
所以 2 21 9
2 8y x ，
所以
2 2
19 9
4 8
x y ，即
2 24 8 19 9
x y ，
所以点 M 的轨迹方程为
2 24 8 19 9
x y ．
22．解：（1）依题意， (0, )x ，
22( ) 2 1a x x af x xx x
，则△ 1 8a ，
若△ 1 8 0a ，即 1
8a 时， ( ) 0f x ，若△ 1 8 0a ，即 1
8a 时，
令 ( ) 0f x ，即 22 0x x a ，故 1 1 8 1 1 8(4 4
a ax x 舍去），
当 1 1 8 04
a 时，即 1 08 a 时， ( ) 0f x ， ( )f x 在 (0, ) 单调递减，
当 1 1 8 04
a 时，即 0a 时，
当 1 1 8(0, )4
ax 时， ( ) 0f x ，当 1 1 8( 4
ax ， ) 时， ( ) 0f x ，
故函数 ( )f x 在 1 1 8(0, )4
a 上单调递增，在 1 1 8( 4
a ， ) 上单调递减；
综上所述，当 0a 时， ( )f x 在 (0, ) 上单调递减，
当 0a 时， ( )f x 在 1 1 8(0, )4
a 上单调递增，在 1 1 8( 4
a ， ) 上单调递减；
（2）依题意， 2( ) 1F x lnx x
不妨设 0 m n ，则| ( ) ( ) | | |mF n nF m mn m n 等价于 ( ) ( )| | | |F n F m m nn m
，
考察函数 ( )( ) F xg x x
，得
2
2
2( ) lnx xg x x
，令
2
2
2( ) lnx xh x x
， 3
5 2( ) lnxh x x
，
则 5
2(0, )x e 时， ( ) 0h x ， 5
2( , )x e 时， ( ) 0h x ，
所以 ( )h x 在区间 5
2(0, )e 上是单调递增函数，在区间 5
2( , )e 上是单调递减函数，
故
5
2
5
1( ) ( ) 1 02g x g e e
，所以 ( )g x 在 (0, ) 上单调递减，
从而 ( ) ( )g m g n ，即 ( ) ( )F n F m
n m
，故 ( ) ( ) ( )F m F n n mm n
，
所以 ( ) ( )F m F nm nm n
，即 ( ) ( )g m m g n n 恒成立，
设 ( ) ( )x g x x ，则 ( )x 在 (0, ) 上恒为单调递减函数，
从而 ( ) ( ) 0x g x 恒成立，故 5
1( ) ( ) 1 02x g x e
，
故 5
11 2e
，即实数 的取值范围为 5
1( ,1 )2e
．
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