考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（14）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 { | 2 4}A x x ， { | 0 10}B x Z x ，则 A B 的子集个数为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．9
2．已知复数 2 2cos sin3 3z i ，其中 i 是虚数单位，则下列结论正确的是 ( )
A． 2z 的共轭复数为 z B． 2z 的实部为 1
C． 2 1z z D． 2| | 2z
3．已知等差数列{ }na 中， 2 14 18a a ， 2 3a ，则 10 (a )
A．10 B．11 C．12 D．13
4．已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的离心率为 2 ，则其渐近线方程为 ( )
A． y x B． 2y x C． 3y x D． 2y x
5．设 0x ， 0y ，则“ 1x y ”是“ 1
4xy ”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果．哥德巴赫猜想如下：
每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和，如 20 7 13 ．在不超过 20 的素数中，随
机选取 2 个不同的数，则这 2 个数的和是奇数的概率是 ( )
A． 3
14 B． 1
4 C． 3
8 D． 5
14
7．已知锐角 ABC 的角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 sin (sin sin )a A b B C ，
则 c
b
的取值范围为 ( )
A． (1,2) B． (1,3) C． (2,3) D．[1， 2]
8．已知三角形 ABC 的三个顶点在球 O 的球面上， ABC 的外接圆圆心为 M ，外接圆面积
为 4 ，且 2AB BC AC MO ，则球 O 的表面积为 ( )
A． 48 B．36 C．32 D． 28
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的对 2 分，有选错的得 0 分。
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你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小吴根
据 Keep 记录的 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理
并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是 ( )
A．月跑步里程逐月增加
B．月跑步里程最大值出现在 10 月
C．月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数
D．1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小
10．已知点 (4,0)Q ，过圆 2 2( 4) 16x y 上的一动点 P 作圆 2 2( 4) 4x y 的两条切线
PA 、 PB ，切点分别为 A 、 B ，两个切点 A 、 B 之间的线段 AB 称为切点弦．则下列结论
正确的是 ( )
A． PQ AB B．| | 2 3PA
C．| | 3AB D．四边形 APBQ 的面积为 4 3
11．如图，矩形 BDEF 所在平面与正方形 ABCD 所在平面互相垂直， 2AD DE ，G 为线
段 AE 上的动点，则 ( )
A． AE CF
B．多面体 ABCDEF 的体积为 8
3
C．若 G 为线段 AE 的中点，则 / /GB 平面 CEF
D． 2 2BG CG 的最小值为 11
12．直线 : ( )( 0)2
pl y k x p 与抛物线 2: 2C y px 有公共点 M ， (N M ，N 可以重合），F
是抛物线 C 的焦点，直线 l 与 x 轴交于点 P ．下列结论成立的是 ( )
A． 2| | 1 || | | ||MN k FM FN
B．若| | 4FM ，| | 2FN ，则抛物线 C 的方程是 2 16
3y x
C．当 M ， N 重合时， PMF 内切圆的面积为 2p
D．点 F 到直线l 的最大距离为 2
2 p
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．在 32( )x x
的展开式中，常数项是 ．
14．已知 5cos( )2 13
，且 ( , )2 2
，则 tan( 9 ) 的值是 ．
15．圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为 500
3
的球面上，圆柱底面直径为 8，则该圆柱
的表面积为 ．
16．已知定义在 R 上的函数 ( )f x ，其导函数为 ( )f x ，满足 ( ) 2f x ， f （2） 4 ，则不
等式 2( 1) 2 2xf x x x 的解集为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设等比数列{ }na 的公比为 ( 1)q q ，前 n 项和为 nS ．
（1）若 1 1a ， 6 3
9
8S S ，求 3a 的值；
（2）若 1q ， 2 1
5
2m m ma a a ，且 2 9m mS S ， *m N ，求 m 的值．
18．在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 1cos 2b A a c ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 AC 边上的中线 BM 的长为 3 ，求 ABC 面积的最大值．
19．第 24 届冬季奥运会将于 2022 年 2 月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某
校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了 20 名学生作为样
本，得到他们的分数统计如表：
分数段 [30 ， 40) [40 ， 50) [50 ， 60) [60 ， 70) [70 ，80) [80 ，90) [90 ，100]
人数 1 2 2 8 3 3 1
我们规定 60 分以下为不及格；60 分及以上至 70 分以下为及格；70 分及以上至 80 分以下为
良好；80 分及以上为优秀．
（Ⅰ）从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好 2 名学生都是优秀的概率是多少？
（Ⅱ）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取 2 人，以 X 表示这 2 人
中优秀人数，求 X 的分布列与期望．
20．如图， AB 平面 ADE ， / /AB CD ， 1 1 32 2AD CD AB AE ， 120DAE ，四
边形 ABCD 的对角线交于点 M ， N 为棱 DE 上一点，且 / /MN 平面 ABE ．
（1）求 DN
DE
的值；
（2）求二面角 B AC N 的余弦值．
21．在平面直角坐标系 xOy 中，原点为 O ，抛物线 C 的方程为 2 4x y ，线段 AB 是抛物线 C
的一条动弦．
（1）求抛物线 C 的准线方程；
（2）求 4OA OB ，求证：直线 AB 恒过定点；
（3）过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线 1l 、 2l ， 1l 与抛物线交于 P 、 Q 两点， 2l 与
抛物线交于 C 、 D 两点， M 、 N 分别是线段 PQ 、 CD 的中点，求 FMN 面积的最小值．
22．已知函数 sin( ) cos
x xf x x
，且方程 ( ) 0f x a 在 2[ 3
， 3 ]4
上有解．
（Ⅰ）求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）设函数 ( ) ( 1)sin cos ( [ 2g x a x x x x ， ]) 的最大值为 G （a），求函数 G （a）的
最小值．
考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（14）答案
1．解：集合 { | 2 4}A x x ， { | 0 10} {1B x Z x ，2，3，4，5，6，7，8，9} ，
{1A B ，2， 3}，
A B 的子集个数为 32 8 ．
故选： C ．
2．解：复数 2 2 1 3cos sin3 3 2 2z i i ，
2 2 21 3 1 3 3 1 3( )2 2 4 2 4 2 2z i i i i ，
2z 的共轭复数为 z ，故 A 正确；
2z 的实部为 1
2
，故 B 错误；
2 1 3 1 3 12 2 2 2z z i i ，故 C 错误；
2 2 21 3| | ( ) ( ) 12 2z ，故 D 错误．
故选： A ．
3．解：在等差数列{ }na 中，由 2 14 18a a ，得 8 2 142 18a a a ，则 8 9a ，
又 2 3a ， 8 2 9 3 18 2 6
a ad ，
10 8 2 9 2 1 11a a d ．
故选： B ．
4．解：双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的离心率为 2，
可得 2ce a
，即有 2c a ，
由 2 2 2c a b ，可得 2 2b a ，
即 b a ，
则渐近线方程为 y x ，
故选： A ．
5．解：①当 1x y 时， 0x ， 0y ， 2x y xy
， 1
4xy ，
当且仅当 x y 时取等号， 1
4xy ，充分性成立，
②当 1
4xy 时，比如 1x ， 1
5y 时， 1
4xy 成立，但 1x y 不成立，
必要性不成立，
1x y 是 1
4xy 的充分不必要条件．
故选： A ．
6．解：不超过 20 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，共 8 个，
在不超过 20 的素数中，随机选取 2 个不同的数，
基本事件总数 2
8 28n C ，
这 2 个数的和是奇数时，必选 2，包含的基本事件个数 1 1
1 7 7m C C ，
这 2 个数的和是奇数的概率是 7 1
28 4
mP n
．
故选： B ．
7．解：因为 sin (sin sin )a A b B C ，
由正弦定理可得 2 2a b bc ，
显然 a b ，可得 A B ，
可得
2 2 2 2
cos 02 2 2
b c a c bc c bA bc bc b
，即 10 12 2
c
b
，
所以1 3c
b
，
又同理
2 2 2 2 22cos 02 2
a b c b bc cC ab ab
， 2 22b bc c ，可得 1 2c
b
，
综上，可得1 2c
b
，即 c
b
的取值范围为 (1,2) ．
故选： A ．
8．解：设 ABC 的外接圆半径为 r ，由 ABC 的外接圆面积为 4 ，可得 2 4r ，解得 2r ，
又 2AB BC AC MO ，故 ABC 为正三角形，则 2 2
3
2
AB ，解得 2 3AB ，
3MO ，
如 图 ， 设 球 O 与 外 接 圆 M 的 其 中 一 个 交 点 为 N ， 则 2 2 2ON OM MN ， 即
3 4 7ON ，
球 O 的半径为 7 ，
其表面积为 24 ( 7) 28 ．
故选： D ．
9．解：由所给折线图可知，月跑步里程并不是逐递增，故 A 错误；
月跑步里程最大值出现在 10 月，故 B 正确；
月跑步里程中位数为 5 月份对应的里程数，故 C 正确；
1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，故 D 正确．
故选： BCD ．
10．解：因为 (4,0)Q 为两已知圆的圆心，由几何性质可知| | | |PA PB ，| | | |QA QB ，
所以 PQ AB ，故 A 正确；
因为| | 4PQ ，| | | | 2AQ BQ ，所以 2 2| | | | | | | | 2 3PB PA QP QA ，故 B 正确；
因为 | | 1sin | | 2
AQAPQ PQ
，又 APQ 为锐角，所以 30APQ ，同理可得 30BPQ ，
所以 60APB ，则 APB 为等边三角形，所以| | 2 3AB ，
2 | | | | 4 3APBQ APQS S PA AQ ，故 C 错误， D 正确，
故选： ABD ．
11．解：如图所示，将几何体 ABCDEF 补全成棱长为 2 的正方体，
在正方体中，因为 / /CF DM ， DM AE ，所以 AE CF ，故 A 正确，
因为 4 162 8 2 3 3ABCDEF F AMEV V V 正方体 ，所以 B 错误，
当 G 为线段 AE 的中点时，因为平面 / /GBD PM CEF ，所以 / /GB PM CEF ，故 C 正确，
过 G 作 AD 的垂线，垂足为 H ，连接 HB ， HC ，
则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 28 8 2BG CG AB AG CD DG AG DG AH DH GH ，
因 为 AH GH ， 所 以
22 2 2 2 2 2 2 218 3 8 (2 ) 3 4 4 12 4( ) 112BG CG DH AH AH AH AH AH AH ，
当 1
2AH 时， 2 2BG CG 取得最小值为 11，故 D 正确，
故选： ACD ．
12 解：对于 A ，设 1(M x ， 1)y ， 2(N x ， 2 )y ，则 1 2 1 2|| | | || | ( ) ( ) | | |2 2
p pFM FN x x x x ，
2 2
1 2| | 1 | | 1 || | | ||MN k x x k FM FN ，故 A 正确；
对于 B ，由 A 知， 1 24 , 22 2
p px x ，
1 4y k ， 2 2y k ，
2 2(4 ) 2 (4 ),(2 ) 2 (2 )2 2
p pk p k p ，解得 8
3p ，
抛物线 C 的方程是 2 16
3y x ，故 B 正确；
对于 C ，当 M ，N 重合时，直线l 和抛物线 C 相切于点 ( , )2
pM p 或 ( , )2
pM p ， PMF 是腰
为 p 的等腰直角三角形，
它的内切圆半径为 2(1 )2 p ，内切圆面积不等于 2p ，故 C 不正确；
对 于 D ， 由 C 知 2k 最 大 值 为 1 ， 点 ( ,0)2
pF 到 直 线 : ( )2
pl y k x 的 距 离
2
2
| |
11 1
p k pd
k
k
，当 2 1k 时， d 取得最大值 2
2 p ，故 D 正确．
故选： ABD ．
13．解：展开式的通项公式为
3 3
3 2
1 7 3
2( ) ( ) ( 2)
r
r r r r r
rT C x C xx
，
令 3 3 02
r ，解得 1r ，
所以常数项为 1 1
3 ( 2) 6C ，
故答案为： 6 ．
14．解： 5cos( ) sin2 13
， 5sin 13
，结合 ( , )2 2
，
可得 ( 2
， 0) ， 2 12cos 1 sin 13
sin 5tan cos 12
．
则 5tan( 9 ) tan 12
，
故答案为： 5
12
．
15．解：由题意球的体积为： 500
3
，所以球的半径为 R ，
34 500
3 3R ，解得 5R ，
所以圆柱底面直径为 8，圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为 500
3
的球面上，
所以圆柱的高为： 2 210 8 6 ．
可得圆柱的表面积： 28 6 2 4 80 ．
故答案为：80 ．
16．解： 2( 1) 2 2xf x x x ，
0x 时， ( 1) 2( 1)f x x ，
令 1t x ，则 1t ， ( ) 2f t t ，
令 ( ) ( ) 2g t f t t ，则 ( ) ( ) 2 0g t f t ， ( )g t 递增，
而 g （2） f （2） 4 0 ，故 ( ) ( ) 2 0g t f t t g （2），
故 2t 即 1 2x ，解得： 3x ，
0x 时，不等式 2( 1) 2 2xf x x x 显然无解，
0x 时， ( ) 2( 1)f x x ，
令 1t x ，则 1t ， ( ) 2f t t ，
令 ( ) ( ) 2g t f t t ，则 ( ) ( ) 2 0g t f t ， ( )g t 递增，
而 g （2） f （2） 4 0 ，故 ( ) ( ) 2 0g t f t t g （2），
故 2t 即 1 2x ，解得： 3x ，故 0x ，
故不等式 2( 1) 2 2xf x x x 的解集为 ( ， 0) (3 ， ) ，
故答案为： ( ， 0) (3 ， ) ．
17．解：（1）等比数列{ }na 的公比为 ( 1)q q ，前 n 项和为 nS ．
1 1a ， 6 3
9
8S S ，
3 3
6 3 3 3 3
9(1 ) 8S S q S S q S ，
解得 1
2q ，
2
3 1
1
4a a q ．
（2） 1q ， 2 1
5
2m m ma a a ，且 2 9m mS S ， *m N ，
2 5
2m m ma a q a q ， 2 5 1 02q q ，
由 1q ，解得 2q ，
2 9m mS S ，
2
1 1(1 2 ) (1 2 )91 2 1 2
m ma a
，
1 0a ， 21 2 9(1 2 )m m ，
解得 3m ．
18．解：（1）因为 1cos 2b A a c ，
由正弦定理可得 1sin cos sin sin2B A A C ，
又 sin sin( ) sin cos sin cosC A B A B B A ，
所以 1 sin sin cos2 A A B ，
又 A 为三角形内角， sin 0A ，所以 1cos 2B ，
因为 (0, )B ，所以
3B ．
（2）延长线段 AM 至 D ，满足 BM MD ，连接 AD ，
在 ABD 中， 2 2 3BD AM ， AD a ， AB c ， 2
3BAD B ，
由余弦定理，有 2 2 2 1(2 3) 2 ( )2a c ac ，
可得 2 212 2 3a c ac ac ac ac
，解得 4ac ，当且仅当 2a c 时取等号，
所以 1 1 3sin 4 32 2 2ABCS ac B ，当且仅当 2a c 时等号成立，
即 ABC 的面积的最大值为 3 ．
19．解：（Ⅰ）设恰好 2 名学生都是优秀这一事件为 A ， （1 分）
2
4
2
20
3( ) 95
CP A C
． （2 分）
（Ⅱ）设每名同学为优秀这一事件为 B ，由题意可得 4 1( ) 20 5P B ，（2 分）
X 可取 0，1，2， （1 分）
0 2
2
1 16( 0) (1 )5 25P X C ，
1
2
1 1 8( 1) (1 )5 5 25P X C ，
2 2
2
1 1( 2) ( )5 25P X C ，（3 分）
X 0 1 2
P 16
25
8
25
1
25
（1 分）
16 8 1 2( ) 0 1 225 25 25 5E X ． （2 分）
20．解：（1）因为 / /AB DC ，所以 3 1
6 2
DM DC
MB AB
，所以 1
3
DM
DB
，
因为 / /MN 平面 ABE ，平面 BED 平面 ABE BE ， MN 平面 BED ，
所以 / /MN BE ，所以 1
3
DN DM
DE DB
．
（2）过 N 作 NF AD 于 F ，过 F 作 FP AC 于 P ，连接 PN ，
因为 AB 平面 ADE ， AB 平面 ABCD ，所以平面 ADE 平面 ABCD ，
平面 ADE 平面 ABCD AD ，所以 NF 平面 ABCD ，
FP 为 NP 在平面 ABCD 内的投影，所以 AC PN ，
所以 NPF 为二面角 N AC D 的平面角，
由余弦定理得 2 2 2 cos 3 7DE AE AD AE AD DAE ， 7DN ，
由正弦定理得 sin sinADE DAE
AE DE
， 3sin
7
ADE ， 2cos
7
ADE ，
sin 3NF DN ADE ， cos 2DF DN ADE ， 1AF AD DF ，
因为 AD DC ， DC AD ，所以 45CAD ，
2sin 2PF AF CAD ，
3tan 6
2
2
NFNPF PF
，
2
1 7cos 71
NPF
tan
，
因为二面角 B AC N 与二面角 N AC D 互补，
所以二面角 B AC N 的余弦值为 7
7
．
21．解：（1）抛物线 2: 4C x y 的准线方程为 1y ；
（2）证明：设直线 AB 方程为 y kx b ， 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ，
由 2 4
y kx b
x y
，可得 2 4 4 0x kx b ，
所以 1 2 4x x k ， 1 2 4x x b ，
2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
( ) 164 416 16
x x bOA OB x x y y x x b ，解得 2b ，
则直线 2y kx 过定点 (0,2) ；
（3）由 (0,1)F ，由题意，直线 1l ， 2l 的斜率都存在且不为 0，
设直线 1l 的方向向量为 (1 ， )( 0)k k ，则 (1, )k 是直线 2l 的一个法向量，
故直线 1l 的方程为 0 1
1
x y
k
，即 1y kx ，
直线 2l 的方程为 ( 1) 0x k y ，即 1 1y xk
，
由
2 4
1
x y
y kx
，可得 2 4 4 0x kx ，
设 1(P x ， 1)y ， 2(Q x ， 2 )y ，可得 1 2 4x x k ，
则 2(2 ,2 1)M k k ；
同理可得 2(N k
， 2
21 )k
．
所以 2 2 2 2 2
2
1 1 2 2 1| | | | (2 ) (2 ) ( ) ( ) 2( ) 42 2FMNS FM FN k k kk k k
，
当且仅当 1k 时， FMN 的面积取最小值 4．
22．解：（Ⅰ） sin( ) cos
x xf x x
， 2[ 3x ， 3 ]4
，
2 2 2
(sin cos )cos ( sin )( sin ) sin cos sin 2 2( ) cos cos 2cos
x x x x x x x x x x x xf x x x x
，
sin2 2 1 2 0x x x
， ( ) 0f x ， ( )f x 单调递减，
即 2
3x 时， sin 2 3
cos 3
x x
x
， 3
4x 时， sin 3
cos 4
x x
x
，
即 a 的取值范围是 3[ 4
， 2 3 ]3
；
（Ⅱ） ( ) ( 1)cos (cos sin ) cos sing x a x x x x a x x x ，
( ) sin sin cos cos ( 1)sing x a x x x x x x a x ，
当 [ 2x ， ] 时， ( ) 0g x ， ( )g x 单调递减，
又 ( ) 02 2g ， ( ) 0g a ，由零点存在性定理必存在唯一 0 ( 2x ， ) ，满足
0( ) 0g x ，
当 ( 2x ， 0 )x 时， ( ) 0g x 即 ( )g x 单调递增，当 0(x x ， ) 时， ( ) 0g x 即 ( )g x 单调递
减，
由 0 0 0cos sin 0a x x x ，得 0 0
0
x sinxa cosx
， 0 ( 2x ， ) ，
得 G （ a ）
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
( ) ( ) ( 1)sin cos (1 )sin cos sinmax
x sinx xg x g x a x x x x x x xcosx cosx
，
由（Ⅰ）问知函数 ( )f x 在 ( 2
， ) 单调递减，
即当 3[ 4a ， 2 3 ]3
时， 0
2[ 3x ， 3 ]4
，
设 ( ) sin cos
xH x x x
， 2[ 3x ， 3 ]4
，
2
2 2 2
cos ( sin ) cos ( sin ) sin sin (sin2 2 )( ) cos 0cos cos 2cos
x x x x x x x x x xH x x x x x
，
故 ( )H x 单调递减， 3 2 3 2( ) ( )4 2 4minH x H ，
综上，函数 ( )g x 的最大值 G （a）的最小值是： 2 3 2
2 4
．
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