决胜 2021 年全国高考数学考前保温练习
第 2 练 函数与导数（提升练）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.若曲线 xy e m 的一条切线为 1y x ne
（e 为自然对数的底数），其中 m，n 为正实
数，则 m n 的值是（ ）
A． e B． 1
e C． 2
e D．
2
e
【答案】C
【解析】 exy ，设切点坐标为 0 0,x y ，∴ 0
0
1, 1xe xe
，∴ 1 1m ne e
，
∴ 2m n e
，故选：C．
2. 函数 2
e ex x
f x x
的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 20, ( ) ( ) ( )
x xe ex f x f x f xx
为奇函数，舍去 A,
1(1) 0f e e 舍去 D;
2
4 3
2 2 2 , 2, 0
x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f xx x
，
所以舍去 C；故选：B.
3.若函数 x xf x e e x ，则满足 2
1 2ln 1 02
xf a f x
恒成立的实
数 a 的取值范围是（ ）
A． 1ln 2 ,4
B． 76ln2 ,2
C． 1 ln2,2
D． 1 2ln2,2
【答案】D
【解析】∵ x xf x e e x ，∴ x x xf x e e x f ，即 f x 为奇函数；
又 , ( ) 1 2 1 1 0x x x xf x e e x f x e e ，即 f x 为增函数；
由 2
1 2ln 1 02
xf a f x
恒成立，
可得 2
1 2ln 1 = 1+2ln 12
xf a f x f x
恒成立，
∴
2
1 2ln(| | 1)2
xa x 恒成立，即
2
1 2ln(| | 1) 2
xa x 恒成立，
设
2
( ) 2ln(| | 1) 2
xg x x ，易知 ( )g x 为偶函数，只需求 ( )g x 在[0, ) 上的最大值即可.
当 0x 时，
2
( ) 2ln( 1) 2
xg x x ，
22 2 ( 1)( 2)( ) .1 1 1
x x x xg x xx x x
[0,1)x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 为增函数； (1, )x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 为减函数；
∴ ( )g x 的最大值为 1(1) 2ln 2 2g ；
∴ 11 2ln 2 2a ，即 12ln 2 2a ；故选：D.
4. 已知 a ，b 为任意实数，且 2 2( 2) ( 3) 1a b ，则对任意正实数 x ，
2 2( ) (ln )x a x b 的最小值为（ ）
A. 3 2 B. 18 C. 3 2 1 D. 19 6 2
【答案】D
【解析】 2 2( ) (ln )x a x b ，其意义为曲线 lny x 上的点与以 ( 2,3)C 为圆心，以 1
为半径的圆上的点的距离的平方，可以先求曲线 lny x 上的点与圆心 ( 2,3)C 的距离，
在曲线 lny x 上取一点 ( ,ln ),( 0)M m m m ，
则 1k y x
，曲线 lny x 在点 M 处的切线的斜率为 1k m
，
由几何意义可知有 1CMk k ，即 ln 3 1 12
m
m m
，整理得 2ln 2 3 0m m m ，
令 2ln 2 3g m m m m ，
则
2
2
1 122 2 1 2 2 0
mm mg m m m
，
所以 2ln 2 3g m m m m 在 0m 内单调递增，
而 1 ln1 1 2 3 0g ，
所以 1m ，即切点为 1,0M 满足条件，
则 M 到圆心 ( 2,3)C 的距离为 2 2( 2 1) (3 0) 3 2d ，
故由圆外一点到圆上距离的最小值求法可得 2(3 2 1) 19 6 2 ．故选：D．
5.已知函数 f x 满足 1 12 , 2 2 2
xe f x f x x f
e
，若对满足 32ab e 的任
意正数 ,a b 都有 1 1(2 )xf a b
，则 x 的取值范围是（ ）
A. 1 ， B. 1， C. 0,1 D. 1,
【答案】B
【解析】设 2xg x e f x ，则 2 2x xg x e f x f x e x ，
2x
g xf x e
，则
2 2
2 2x
x x
g x g x e x g xf x e e
，
设 2xh x e x g x ，则 1 22
2
x
x x eh x e x g x
x
，
当 10, 2x
时， 0h x ， h x 单调递增；当 1 ,2x
时， 0h x ， h x 单调
递减，
1
21 1 1 2 1 2 12 2 2 02 2 2 2 2 2 2 2
e eh x h e g ef e
e
，
0f x ， f x 在 0, 单调递减，
1 1 1 1 12 2 32 2 2a b ab e e
，当且仅当 a b 时等号成立，
又对任意正数 ,a b 都有 1 1(2 )xf a b
，则 1 1(2 ) 22 2
xf f
e
，
则 12 2
x ，解得 1x ，故 x 的取值范围是 1， .故选：B
6.已知函数 2( ) 3 1f x x x ， eg 2
x exx ex
，实数 m ， n 满足 0m n ，若
1 ,x m n ， 2 0,x ，使得 1 2f x g x 成立，则 n m 的最大值为（ ）
A．1 B． 3 C． 2 3 D． 5
【答案】A
【解析】
'
2 2 2 2 2
2 2 2 2 1
4 2 22
x x x x x x
xe e ex e ex e ex e e e x e e xg x ee x ex exex
，
所以当 0 1x 时， ' 0,g x g x 递减；当 1x 时， ' 0,g x g x 递增.所以在区间
0, 上， g x 的最小值为 1 12
e eg e
.
23 5
2 4f x x
，故 f x 在
3
2x 时取得最大值 5
4
.画出 0f x x 和 0g x x 图象如下图所示，令 1f x ，
解得 2x 或 1x .依题意，实数 m ，n 满足 0m n ，若 1 ,x m n ， 2 0,x ，
使得 1 2f x g x 成立，由图可知， n m 的最大值为 1 2 1 .
故选：A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
7.已经知道函数 3 2( ) 2f x x x 在[ 1,3] 上，则下列说法正确．．的是( )
A．最大值为 9 B．最小值为 3
C．函数 ( )f x 在区间[1,3]上单调递增 D． 0x 是它的极大值点
【答案】ABD
【解析】 2( ) 3 4f x x x ，令 2( ) 3 4 0f x x x ，解得 0x 或 4
3x ，
所以当 [ 1,0)x ， 4( ,3]3
时， ( ) 0f x ，函数 ( )f x 单调递增，
当 4(0, )3x 时， ( ) 0f x ，函数 ( )f x 单调递减，故 C 错误；
所以 0x 是它的极大值点，故 D 正确；
因为 (0) 0, (3) 27 2 9 9f f ，所以函数 ( )f x 的最大值为 9，故 A 正确；
因为 4 64 16 32( 1) 1 2 3, ( ) 23 27 9 27f f ，所以函数 ( )f x 的最小值为 3 ，故 B
正确. 故选：ABD
8.已知函数 f x 的定义域 1, 5 ，部分对应值如表， f x 的导函数 y f x 的图象如
图所示，下列关于函数 f x 的结论正确的是（ ）
x 1 0 4 5
f x 1 2 2 1
A. 函数 f x 的极大值点有 2 个
B. 函数 f x 在 0, 2 上是减函数
C. 若 1,x t 时， f x 的最大值是 2，那么t 的最大值为 4
D. 当1 2a＜ ＜ 时，函数 y f x a 有 4 个零点
【答案】AB
【解析】由 f x 的图象，
当 1 0x ＜ 或 2 4x＜ ＜ ， 0f x ＞ ，
函数 f x 为增函数，
当 0 2x＜ ＜ 或 4 4x ＜ ， 0f x ＜ ，
函数 f x 为减函数，
即当 0x 时，函数 f x 取得极大值，当 4x 时，函数 f x 取得极大值，
即函数 f x 有两个极大值点，故 A 正确，
函数 f x 在 0, 2 上是减函数，故 B 正确，
作出 f x 的图象如图:
若 1,x t 时， f x 的最大值是 2，
则t 满足 0 5t ，即t 的最大值是 5，故 C 错误，
由 0y f x a 得 f x a ，
若 2 1f ，当1 2a＜ ＜ 时， f x a 有四个根，
若 1 2f a＜ ＜ ，当1 2a＜ ＜ 时， f x a 不一定有四个根，有可能是 2 个，
故函数 y f x a 有 4 个零点不一定正确，故 D 错误，故选：AB
9.设函数 ( ) lnf x x x ， 2( )g x x ，给定下列命题，其中正确的是（ ）
A．若方程 ( )f x k 有两个不同的实数根，则 1 ,0ek
（ e 为自然对数的底数）
B．若方程 ( ) ( )kf x g x 恰好只有一个实数根，则 0k
C．若 1 2 0x x ，总有 1 2 1 2m g x g x f x f x 恒成立，则 1
2m
D．若函数 ( ) ( ) ( )F x f x ag x 有两个极值点，则实数 10, 2a
【答案】ACD
【解析】对于选项 A， ( )f x 的定义域 (0, ) ， ( ) ln 1f x x ，令 ( ) 0f x ，有 ln 1x ，
即 1x e
，可知 ( )f x 在 10, e
单调递减，在 1,+e
单调递增，所以极小值等于最小值，
min
1 1( ) ( )f x f e e
，且当 0x 时 ( ) 0f x ，又 (1) 0f ，从而要使得方程 ( )f x k
有两个不同的实根，即 ( )y f x 与 y k 有两个不同的交点，所以 1( ,0)k e
，故 A 正确；
对于选项 B，易知 1x 不是该方程的根，当 1x 时， ( ) 0f x ，方程 2( )kf x x 有且只有
一个实数根，等价于 y k 和
ln
xy x
只有一个交点， 2
ln 1
(ln )
xy x ，又 0x 且 1x ，令
0y ，即 ln 1x ，有 x e ，知
ln
xy x
在( )0,1 和 1,e 单减，在 ,+e 上单增， 1x
是一条渐近线，极小值为 e ,由
ln
xy x
大致图像可知 0k 或 =k e，故 B 错误；
。
对于选项 C，当 1 2 0x x 时， 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )m g x g x f x f x 恒成立，等价于
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )mg x f x mg x f x 恒成立，即函数 ( ) ( )y mg x f x 在 (0, ) 上为增函数，
即 ( ) ( ) 2 ln 1 0y mg x f x mx x 恒成立，即 ln 1
2
xm x
在 (0, ) 上恒成立，令
ln 1( ) 2
xr x x
，则 2
ln( ) 2
xr x x
，令 ( ) 0r x 得 ln 0x ，有 0 1x ，从而 ( )r x 在 (0,1)
上单调递增，在 (1, ) 上单调递减，则 max
1( ) (1) 2r x r ，于是 1
2m ，1 故 C 正确；
对于选项 D， 2( ) ln ( 0)F x x x ax x 有两个不同极值点，等价于
( ) ln 1 2 0F x x ax 有两个不同的正根，即方程 ln 1
2
xa x
有两个不同的正根，由 C
可知， 10 2a ，则 D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分．
10.已知曲线 ln 1x
xy a x ae
R 在 0,0 处切线的斜率为1，则 a ______．
【答案】 0
【解析】对函数 ln 1x
xy a x ae
R 求导得 1
1x
x ay e x
，
由已知条件可得 0
1 1 11x x
x ay ae x
，解得 0a . 故答案为： 0 .
11.若对于任意的 1 20 x x a ，都有 2 1 1 2
1 2
ln ln 2x x x x
x x
，则 a 的最大值为
____________
【答案】 1
e
【解析】 1 20 x x a ， 1 2 0x x ，
2 1 1 2 1 22( )x lnx x lnx x x ，
1 2
1 2 2 1
2 2lnx lnx
x x x x
，
1 2
1 2
2 2lnx lnx
x x
，
函数 2( ) lnxf x x
在定义域 (0, )a 上单调递增，
2 2
1 ( 2) 1( ) 0lnx lnxf x
x x
在 (0, )a 上恒成立，
由 1 0lnx ，解得 10 x e
，故 a 的最大值是 1
e
， 故答案为： 1
e
．
12.设函数 2ln
xef x t x xx x
恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是______.
【答案】 1 , ,2 3 3
e e
【解析】由题意，函数 2ln
xef x t x xx x
， 0,x ，
可得
2 2 2
1 1 21 21
xx x e x t x xe x ef x tx x x x
2
1 2xx e t x
x
，
因为函数 2ln
xef x t x xx x
恰有两个极值点，
所以方程 0f x 恰有两个正根，显然 1x 时方程 0f x 的一个正根，
所以方程 2 0xe t x 有唯一正根，即方程
2
xe tx
有唯一正根，
等价于函数 2
x
g x e
x
与函数 y t 在 0, 上只有一个交点，且交点横坐标不等于 1，
因为
2 2
2 2 0
2 2
x x xe x e e xg x
x x
，
所以函数 g x 在 0, 上单调递增，
又由 10 2g ， 1 3
eg ，
函数 g x 的图象如图所示，可得 1
2t 且
3
et .
故答案为： 1 , ,2 3 3
e e
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13. 已知 e 为自然对数的底数，函数 ( ) e ln( 1)xf x a x .
（1）设 1x 是 ( )f x 的极值点，求 a 的值和函数 ( )f x 的单调区间；
（2）当 [0, ]x 时， ( ) sin e 2xf x x 恒成立，求 a 的取值范围.
【答案】（1） 2a e ，函数 ( )f x 在 ( 1,1) 单调递减，在 (1, ) 单调递增；（2）[ 1, ) .
【解析】（1）因为 ( ) 1
x af x e x
，由 ( ) 01f ，得 2a e ，
所以 ( 1) 2( ) 1
2
1
x
x e x ef x e x x
e
，
当 ( 1,1)x 时， ( ) 0f x ；当 (1, )x 时， ( ) 0f x .
所以函数 ( )f x 在 ( 1,1) 单调递减，在 (1, ) 单调递增.
（2）令 ( ) ( ) sin 2 2 ln( 1) 2 sinx xg x f x x e e a x x ， [0, ]x
当 [0, ]x 时， sin 2xx xf e 恒成立等价于 0 0g x g 恒成立.
由于 cos 2 cos1
x x ag x f x x e e xx
， [0, ]x ，
所以（i）当 0a 时， ( ) 2 1 0xg x e ，函数 ( )y g x 在[0, ] 单调递增，
所以 ( ) (0) 0g x g ，在区间[0, ] 恒成立，符合题意.
（ii）当 0a 时， ( ) 2 cos1
x ag x e xx
在[0, ] 单调递增， (0) 2 1 1g a a .
①当1 0a 时，即 1 0a 时， ( ) (0) 1 0g x g a ，
函数 ( )y g x 在[0, ] 单调递增，所以 ( ) (0) 0g x g 在[0, ] 恒成立，符合题意
②当1 0 a 即 1a 时， (0) 1 0g a ， ( ) 2 11
ag e
，
若 ( ) 0g ，即 ( 1) 2 1a e 时， ( )g x 在 (0, ) 恒小于 0
则 ( )g x 在 (0, ) 单调递减， ( ) (0) 0g x g ，不符合题意
若 ( ) 0g ，即 ( 1) 2 1 1e a 时，存在 0 (0, )x 使得 0 0g x .
所以当 00,x x 时， ( ) 0g x ，则 ( )g x 在 00, x 单调递减，
( ) (0) 0g x g ，不符合题意.
综上所述， a 的取值范围是[ 1, ) .
14.设函数 ( ) ln exf x x a ， ( ) e xg x ax ( 10 ea ).
（1）若 ( )y f x 在 1x 处的切线平行于直线 2y x ，求实数 a 的值；
（2）设函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x ，判断 ( )y h x 的零点的个数；
（3）设 1x 是 ( )h x 的极值点， 2x 是 ( )h x 的一个零点，且 1 2x x ，求证： 1 23 2x x .
【答案】（1） 1
e
；（2）2；（3）证明见解析.
【解析】（1）由题可知， 0( ) ln xf xx x ae ，
则 1( ) xf x aex
，得切线的斜率为 1 1k f ae ，
因为 ( )y f x 在 1x 处的切线平行于直线 2y x ，
1 2k ae ，解得： 1a e
，
实数 a 的值为 1
e .
（2）令 ( ) ( ) ( ) x xh x f x g x lnx ae axe ，可知 ( )h x 的定义域为 (0, ) ，
且
21 1( ) (1 )
x
x x ax eh x ae a x ex x
，
令 2( ) 1 xm x ax e ，得 2( ) (2 )x xm x a xe x e ，
而 10 a e
， 0x 得 ( ) 0m x ，可知 ( )m x 在 (0, ) 内单调递减，
又 1 1 0m ae ，且 2 21 1 1 1( ) 1 ( ) 1 ( ) 0m ln a ln lna a a a
，
故 ( ) 0m x 在 (0, ) 内有唯一解，
从而 ( ) 0h x 在 (0, ) 内有唯一解，不妨设为 0x ，
则 0
11 x ln a
，当 0(0, )x x 时， 0( )( )( ) 0m xm xh x x x
，
( )h x 在 0(0, )x 内单调递增；
当 0(x x ， ) 时， 0( )( )( ) 0m xm xh x x x
，
( )h x 在 0(x ， ) 内单调递减， 0x 是 ( )h x 的唯一极值点，
令 ( ) 1x lnx x ，
则当 1x 时， 1( ) 1 0x x
，故 ( ) x 在 (1, ) 内单调递减，
当 1x 时， ( )x （1） 0 ，即 1lnx x ，
从而
11 1 1 1 1 1( ) (1 ) 1 ( ) 0
ln ah ln lnln a ln e lnln ln lna a a a a a
，
又 0( ) 1 0h x h ， ( )h x 在 0(x ， ) 内有唯一零点，
又 ( )h x 在 0(0, )x 内有唯一零点 1，从而 ( )h x 在 (0, ) 内恰有两个零点.
( )y h x 的零点的个数为 2.
（3）已知 1x 是 ( )h x 的极值点， 2x 是 ( )h x 的一个零点，且 1 2x x ，
由（2）及题意， 1
2
( ) 0
( ) 0
h x
h x
，即
1
2
2
1
2 2
1
( 1)
x
x
ax e
lnx a x e
，
2 12
2
1
2
1 x xxlnx ex
， 2 1
2
1 2
2 1
x x x lnxe x
，
由（2）知当 1x 时， 1lnx x ，又 2 1 1x x ，
故 2 1 21 2
2
1
2
( 1)
1
x x x xe xx
，两边取对数，得 2 1 2
1
x xlne lnx ，
于是 2 1 1 12 2( 1)x x lnx x ，整理得 1 23 2x x ，命题得证．
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