第5练 平面向量（提升练）-决胜2021年全国高考数学考前保温练习（江苏等八省市新高考地区专用）（解析版）

决胜 2021 年全国高考数学考前保温练习 第 5 练 平面向量（提升练） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1.已知点  0,1A ，  3,2B ，向量  4, 3AC    ，则向量 BC  等于（ ） A． 7, 4  B． 7,4 C．  1,4 D． 1,4 【答案】A 【解析】因为  0,1A ，  3,2B 所以  3,1AB  uuur ，  4, 3AC    ，      4, 3 3,1 7, 4           BC AC AB . 故选：A 2. 在 ABC 中，  2,3AC  ，  2,3BA BC    ，则 AB  （ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】  2,3AC   ，  2, 3BA BC CA        ，   2,3BA BC    ，      2 2, 3 2,3 4,0BA        ,  2,0BA   ，即  2,0AB  uuur ， 2 22 +0 2AB   . 故选：A. 3.已知单位向量 a  ，b  ， c  满足 0a b c     ，则向量 a  与向量b  的夹角为（ ） A. 6  B. 3  C. 2 3  D. 5 6  【答案】C 【解析】由题设，知： a b c     ，又 a  ，b  ， c  为单位向量， ∴ | | | 1| a b c      ，即 2 22( ) 2 1a b a a b b           ， ∴ 1cos , 2a b    ，而 , [0, ]a b    ， ∴ 2, 3a b    . 故选：C. 4.已知向量 ab  a ， b 满足| | 5a  ，| | 6b  ， 6a b   ，则 cos , =a a b   （ ） A． 31 35  B． 19 35  C． 17 35 D． 19 35 【答案】D 【解析】 5a   ， 6b  ， 6a b    ，   2 25 6 19a a b a a b              .  2 2 2 2 25 2 6 36 7a b a b a a b b                   ， 因此，   19 19cos , 5 7 35 a a b a a b a a b                  . 故选：D. 5.已知正 ABC 的边长为 2 ， P 是 AB 边上一点，且 2BP PA  ，则 ( )CP CA CB     （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】  1 1 2 1 3 3 3 3CP CA PA CA BA CA CA CB CA CB                  ， 所以   2 22 1 2 1( ) 3 3 3 3CP CA CB CA CB CA CB CB CA CA CB                        因为 cos , 2 2 cos60 2CB CA CB CA CB CA            ， 2 2 4CB CA   ， 所以 8 4( ) 2 63 3CP CA CB        故选:D. 6.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行 车的平面结构示意图，已知图中的圆 A（前轮），圆 D（后轮）的半径均为 3 ， ABE△ ， BEC△ ， ECD 均是边长为 4 的等边三角形.设点 P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车 的过程中， AC BP  的最大值为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】骑行过程中， ABCDE 相对不动，只有 P 点绕 D 点作圆周运动． 如图，以 AD 为 x 轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意 ( 4,0)A  ， ( 2,2 3)B  ， (2,2 3)C ， 圆 D 方程为 2 2( 4) 3x y   ，设 (4 3 cos , 3sin )P   ， 则 (6,2 3)AC  ， (6 3 cos , 3sin 2 3)BP     ， 6(6 3 cos ) 2 3( 3sin 2 3)AC BP        1 36 3 cos 6sin 24 12 sin cos 24 12sin( ) 242 2 3                  ， 易知当sin( ) 13    时， AC BP  取得最大值 36．故选：C． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 7.已知向量 (1,3), ( 2,1), (3, 5),a b c      则（ ） A． ( 2 ) / /a b c   B． ( 2 )a b c   C．| | 10 34a c    D．| | 2| |a c b    【答案】AD 【解析】由题意可得 2 3 5 4 2a b a c       （ ,）, （ , ）.因为 2a b c    ，所以 2 //a b c  （ ） ，则 A 正确，B 错误；对于 C，D，因为 2 24 2 2 5, 2 1 5a c b          2（ ） （ ） ，所以 2a c b    ，则 C 错误，D 正确。 故选：AD. 8.设点 A，B 的坐标分别为  0,1 ， 1,0 ，P，Q 分别是曲线 xy e 和 lny x 上的动点，记 1 2,I AQ AB I BP BA       ，则下列命题不正确的是（ ） A. 若 1 2I I ，则 ( )PQ AB R    B. 若 1 2I I ，则 AP BQ  C. 若 ( )PQ AB R    ，则 1 2I I D. 若 AP BQ  ，则 1 2I I 【答案】ABD 【解析】 根据题意，在直线 AB 上取点 ,P Q  ，且满足| | | |AP BQ  ，过 ,P Q  分别作直线 AB 的垂 线，交曲线 xy e 于 1P ， 2P ，交曲线 lny x 于 1 2,Q Q ，在曲线 xy e 上取点 3P ，使 1 3| | | |AP AP ，如图所示： 1 | | | | cosI AQ AB AQ AB QAB        ，令| | cos | |AQ QAB AQ   ，则 1 | | | |I AQ AB   ， 2 | | | | cosI BP BA BP BA PBA        ，令| | cos | |BP PBA BP   ，则 2 | | | |I BP BA   ， 若| | | |AP BQ   ，则| | | |AQ BP   ， 若 1 2I I ，则| | | |AQ BP   即可，此时 P 可以与 1P 重合，Q 与 2Q 重合，满足题意， 但是 ( )PQ AB R    不成立，且| | | |AP BQ  ，所以 A、B 不正确； 对于选项 C，若 PQ AB   ，此时 P 与 1P 重合，且 Q 与 1Q 重合，或 P 与 2P 重合，且Q 与 2Q 重合，所以满足 1 2I I ，所以 C 正确； 对于 D，当 P 与 3P 重合时，满足 1 3| | | |AP AP ，但此时 3P 在直线 AB 上的投影不在 P 处， 因而不满足| | | |AQ BP   ，即 1 2I I ，所以 D 不正确. 故选：ABD 9.将平面向量→a ＝(x1，x2)称为二维向量，由此可推广至 n 维向量→a ＝(x1，x2，…，xn)．对 于 n 维向量→a ，→b ，其运算与平面向量类似，如数量积→a →b ＝|→a ||→b |cosθ＝ 1 n i i i x y   (θ 为向量→a ，→b 的夹角)，其向量→a 的模|→a |＝ 2 1 n i i x   ，则下列说法正确的有（ ） A．不等式( 2 1 n i i x   )( 2 1 n i i y   )≤( 1 n i i i x y   )2 可能成立 B．不等式( 2 1 n i i x   )( 2 1 n i i y   )≥( 1 n i i i x y   )2 一定成立 C．不等式 n 2 1 n i i x   ＜( 1 n i i x   )2 可能成立 D．若xi＞0(i＝1，2，…，n)，则不等式 1 1 1n n i i ii xx    ≥n2 一定成立 【答案】ABD 【解析】由题意，可设→a ＝(x1，x2，…，xn)，→b ＝(y1，y2，…，yn)，所以( 2 1 n i i x   )( 2 1 n i i y   ) ＝|→a |2|→b |2，( 1 n i i i x y   )2＝(|→a ||→b |)2＝|→a |2|→b |2cos2，由 cos2≤1， 可得( 2 1 n i i x   )( 2 1 n i i y   )≥( 1 n i i i x y   )2，当且仅当＝0 或π时取等号，若 xi＞0，则 1 1 1n n i i ii xx    ≥ 1 1n i i i xx  ＝n2，所以选项 A、B、D 正确；设→c ＝(1，1，…，1)(n 个 1)，则 n 2 1 n i i x   ＝n|→a |2，( 1 n i i x   )2＝(→a →c )2＝|→a |2|→c |2cos2＝n|→a |2cos2，由 cos2≤1，可得 n 2 1 n i i x   ≥( 1 n i i x   )2，当且仅当＝0 或π时取等号，所以选项 C 错误； 故选：ABD． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分． 10.已知向量  ,2a m ，  1, 1b   ， a b a b     ，则实数 m  ______. 【答案】 2 【解析】因为  ,2a m ，  1, 1b   ， 所以  1,3a b m   ， 又 a b a b     ， 所以  2 21 9 4 1 1m m      ， 则 2 2 22 10 4 2 2 2 8m m m m       ， 所以 22 2 8m m    ，整理得 2 4 4 0m m   ， 解得 2m   . 故答案为： 2 . 11. 已知矩形 ABCD 中， 2AB  ， 1AD  ，设 AC 与 BD 交于点O ，则 AO BO   _____． 【答案】 3 4  【解析】 1 1 1 ( ) ( )2 2 4AO BO AC BD AB AD AD AB              2 21 ( )4 AD AB   2 21 3(1 2 )4 4     ， 故答案为： 3 4  ． 12.在直角梯形 ABCD 中， AB DC  （ 0  ）， 60B   ， 3AD  ， E 为 CD 中 点，若 1AC BE    ，则 DC  的值为______，  的值为______． 【答案】 (1). 2 (2). 3 2 ． 【解析】根据题意作出图形如图所示： 因为 60B   ， 3AD  ，所以 2BC  ， 设 DC x ，则    AC BE AD DC BC CE          AD BC AD CE DC BC DC CE                3 13 2 3 0 2 12 2 2 2 x xx x                             213 12x x     ， 解得 2x  ，即 2DC  ， 所以 3 2   ． 故答案为：2； 3 2 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 在 ABC 中，D 是 BC 的中点， 2, 4, 3AB AC AD   ． （1）求 ABC 的面积； （2）若 E 为 BC 上一点，且 AB ACAE AB AC             ，求  的值． 【答案】（1） 2 3 ；（2） 4 3   ． 【解析】（1）由 1 ( )2AD AB AC    可得： 2 2 221 1 1 1( )4 4 2 4AD AB AC AB AB AC AC            ， 2 21 1 13 2 44 2 4AB AC       ， 4    AB AC ， 1cos 2| | | | AB ACBAC AB AC          所以 1 sin1202120 , 2 3ABCB ABA ACC S      （2）因为 AB ACAE AB AC            ，所以 AE 是 BAC 的平分线， | | AB c AB     ， AC b AC     ， 1b c  r r ，则 2 22( ) 2 1 2 1 1 cos120 1 1b c b c b b c c                      ， 由 ABC ABE ACES S S △ △ △ 可得 1 1 1 2sin sin sin2 3 2 3 2 3AB AE AC AE AB AC          从而 4 3AE  ，由 | | | | AB ACAE AB AC            ，所以 4 3   ． 14.在 ABC 中，底边 BC 上的中线 4AD ，若动点 P 满足  2 2sin cosBP BA BD R         . （1）求 PB PC AP    的最大值； （2）若 ABC 为等腰三角形，且 5AB  ，点 P 满足（1）的情况下，求 PB PC  的值. 【答案】（1）8；（2）-5. 【解析】（1） 2 2sin cosBP BA BD        且 2 2sin cos 1   , ,A P D 三点共线，又    2 2sin 0,1 ,cos 0,1   P 在线段 AD 上, DQ 为 BC 的中点，设 PD x ，则 4AP x  ，  0,4x ，      222 8 24 82 2 2PB PC AP PD AP x xx x x                  当 2x  时，  PB PC AP    取最大值8 （2） ABC 为等腰三角形，且 AD 为底边的中线 以 D 为坐标原点， DC ， DA 所在直线分别为 x ， y 轴建立平面直角坐标系 由（1）可得  0,2P ，又 2 2 25 4 9BD     3,0B  ，  3,0C 则    3, 2 3, 2 9 4 5PB PC           