决胜 2021 年全国高考数学考前保温练习
第 4 练 三角函数及解三角形（基础练）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.已知 sin 2cos 0 ，则 sin 2 （ ）
A. 4
5
B. 3
5- C. 3
4
D. 2
3
【答案】A
【解析】∵sin 2cos 0 ，即sin 2cos ，
∴ tan 2 =- ，
则sin 2 2sin cos
2 2
2sin cos
sin cos
2
2tan
tan 1
2 2
4 1
4
5
故选：A．
2.已知 ABC 中，sin 2sin cos 0A B C ， 3b c ，则 tan A 的值是( )
A． 3
3
B． 2 3
3
C． 3 D． 4 3
3
【答案】A
【解析】∵ sin 2sin cos sin 2sin cosA B C B C B C
sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C ，
∴ cos sin 3sin cosB C B C ，
∴ cos 3 cosc B b C ，可得：
2 2 2 2 2 2
32 2
a c b a b cc bac ab
，
整理可得： 2 2 22a b c ，
又∵ 3b c ，∴ 2 2 2 22 3a b c b ，解得 a b ，可得 A 为锐角，
∴
2 2 2 2 2 23 3
2 22 3
b c a b b bcosA bc b b
，可得： 1sin 2A ， 3tan 3A ，故选：A．
3.己知函数 ( ) sin( )f x x ( 0 ，
2
)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
，
且函数 ( ) 12g x f x
是偶函数.关于函数 ( )f x 给出下列命题：
①函数 ( )f x 的图象关于直线 5
12x 轴对称；
②函数 ( )f x 的图象关于点 ,06
中心对称；
③函数 ( )f x 在 7,3 12
上单调递减；
④把函数 siny x 的图象上所有点的横坐标变为原来的 1
2
，然后再将所得的图象向左平移
3
个单位长度，即可得到函数 ( )y f x 的图象.
其中真命题共有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 0 D. 4
【答案】B
【解析】因为函数 ( ) sin( )f x x ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
，
所以
2 2
T ，解得T ，
因为 2
T
，所以 2 ，则 sin 2f x x ，
sin 2 sin 212 12 6f x x x
，
因为函数 ( ) 12g x f x
是偶函数，
所以
6 2k ， k Z ，
因为
2
，所以
3
，所以函数 sin 2 3f x x
，
令 2 3 2x k ， k Z ，所以
12 2
kx ， k Z ，故①错误；
因为 2 3x k ， k Z ，
可知函数图象的对称点为 02 6
k
， ， k Z ，当 0k 时，对称点为 ,06
，故②正
确；
令 32 2 , 23 2 2x k k
，， k Z ，解得 7
12 12x k k
， ， k Z ，
当 0k 时， 7
12 12x
， ，所以函数 ( )f x 在 7,3 12
上单调递减，故③正确；
把函数 siny x 的图象上所有点的横坐标变为原来的 1
2
，解析式变为 sin 2y x ，
然后再将图象向左平移
3
个单位长度后，解析式变为 2sin 2 sin 23 3y x x
，
得不到函数 ( )y f x 的图象，故④错误. 故选：B.
4.赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介
绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼
成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为 25，小正方形的面积为 1，若
直角三角形较小的锐角为 ，则 tan 2 的值为（ ）
A. 3
4
B. 24
25
C. 12
7
D. 24
7
【答案】D
【解析】设三角形较短的直角边为 x ，则较长的直角边为 1x ，
所以 22 1 25x x ，解得 3x 或 4x （舍去）.
所以 3tan 4
， 2
2tan 24tan 2 1 tan 7
. 故选：D
5.若 cos cos24
，则 sin 2 （）
A．-1 B． 1
2 C．-1 或 1
2 D． 1
2
或 1
4
【答案】C
【解析】由 cos cos24
得： 2 2 2cos cos 2 1 sin 24
即 2
1 cos 2 1 sin 22 1 sin 22 2
，解得： sin 2 1 或 1
2
故选：C
6.在 ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若
3A ， 4b ， ABC 的面积
为3 3 ，则sin B （ ）
A． 2 39
13
B． 39
13
C． 5 2
13
D． 3 13
13
【答案】A
【解析】 1 sin 3 3 32
S bc A c ，所以 3c ，
由余弦定理可得： 2 2 2 2 cos 13,a b c bc A 得 13a
又由正弦定理可得：
sin sin
a b
A B
，所以 sin 2 39sin 13
b AB a
， 故选：A.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
7.设函数 sin cos
sin cos
x xf x x x
，则（ ）
A. ( )f x f x B. f x 在 ,4 4
上单调递增
C. f x 在 3,4 4
π π
上有最大值 2
4
D.
4x 是 f x 的一条对称轴
【答案】BCD
【解析】
对于选项 A，∵
sin cos sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos
x x x x x xf x x x x x x x
，
故 A 错误．
对于选项 B，设 sin cos 2 sin( )4t x x x ，∴
2 1sin cos 2
tx x ，
∴
21 1 1 1
2 2
tf x g t tt t
，
当 , , 0,4 4 4 2x x
，∴ 0, 2t ，
∵ 1y t y t
， 在 0, 2t 上递增，
∴ g t 在 0, 2t 递增，即 f x 在 0, 2t 递增，故 B 正确．
对于选项 C，当 3, , 0,4 4 4x x
，∴ 0, 2t ，
∵ 1y t y t
， 在 0, 2t 上递增，
∴ g t 在 0, 2t 递增，即 f x 在 0, 2t 递增，
∴ 2t 时， f x 取得最大值为 1 1 222 42
，故 C 正确．
对于选项 D：∵
sin cos cos sin2 2
2 cos sinsin cos2 2
x x x xf x f xx xx x
，故 D 正
确． 故选：BCD．
8.已知函数 πcos 2 06f x x
的最小正周期为 π
2
，将 f x 的图象向左平移 π
6
个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 g x 的图象，
则下列结论正确的是（ ）
A. 0 0g B. g x 的图象关于点 π ,02
对称
C. g x 的图象关于 π
4x 对称 D. g x 在 π π,12 3
上的最大值是 1
【答案】ABC
【解析】 f x 因为最小正周期为 π
2
， 2
2 2
，解得 2 ，
πcos 4 6f x x
，
将 f x 的图象向左平移 π
6
个单位长度得
πcos 4 cos 4 sin 46 6 2y x x x
，
再将各点的横坐标伸长到原来的 2 倍得 sin2y x ，即 sin 2g x x ，
则 0 sin 0 0g ，故 A 正确；
sin 02g ， g x 的图象关于点 π ,02
对称，故 B 正确；
sin 14 2g ， g x 的图象关于 π
4x 对称，故 C 正确；
当 π π,12 3x
时， π 2π2 ,6 3x
，则 1sin 2 ,12x
，即 1sin 2 1, 2x
，故 g x
在 π π,12 3
上的最大值为 1
2
，故 D 错误. 故选：ABC.
9.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分
为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三
斜求积”中提出了已知三角形三边 a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等
价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，
余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
22 2 2
2 21
4 2
c a bS c a
.现有 ABC 满足sin :sin :sin 2:3: 7A B C ，且
ABC 的面积 6 3ABCS ，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ）
A． ABC 周长为10 2 7 B． ABC 三个内角 A ，C ， B 成等差数列
C． ABC 外接圆直径为 4 21
3
D． ABC 中线 CD 的长为3 2
【答案】ABC
【解析】由正弦定理可得： : : 2:3: 7a b c 设 2a m ， 3b m ， 7c m 0m
22 2 2
2 2 21 7 4 9 3 37 4 6 34 2 2
m m mS m m m
，解得： 2m
ABC∴ 的周长为 4 6 2 7 10 2 7a b c ， A 正确；
由余弦定理得：
2 2 2 16 36 28 1cos 2 2 4 6 2
a b cC ab
3C
A B C 2
3A B ，即 2C A B , ,A C B 成等差数列， B 正确；
由正弦定理知外接圆直径为
2 7 4 212 sin 3sin 3
cR C ，C 正确；
由中线定理得： 2 2 2 21 22a b c CD ，即 2 1 116 36 28 192 2CD
19CD ， D 错误. 故选： ABC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分．
10.已知 为第二象限角，且 3 10sin 2 4 10
，则 tan ___________.
【答案】 4
3
【解析】 为第二象限角， 2 22k k k Z ，
3
2 2 4 4k k k Z ，
又 3 10sin 02 4 10
， 32 22 2 4 4k k k Z ，
cos 02 4
， 2 10cos 1 sin2 4 2 4 10
，
32sin cos sin cos2 4 2 4 2 5
，又 为第二象限角，
2 4sin 1 cos 5
， sin 4tan cos 3
.
故答案为： 4
3
.
11. 在 ABC 中， 4BC ， 135B ，点 D 在线段 AC 上，满足 BD BC ，且 2BD ，
则 cos A ________．
【答案】 3 10
10
【解析】如图，
△
CBD 中，∠CBD=90º，BD=2，BC=4，则 2 2 2 5CD BD BC ，
2 1sin ,cos
5 5
BC BDCDB CDBCD CD
，而 135ABC ，则
45A CBD ，
所以 45co ) cos45 sin ss cos( cos in 45CBD CBD CBA D
2 2 1 2 3 10
2 2 105 5
. 故答案为： 3 10
10
.
12.几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中顶角为 36o 的等腰三角
形被称为“黄金三角形”．如图，已知五角星是由 5 个“黄金三角形”与 1 个正五边形组成，
且 5 1
2
BC
AC
．记阴影部分的面积为 1S ，正五边形的面积为 2S ，则 1
2
S
S
_______．
【答案】 5
【解析】设 BC x ， AC y ，则五边形的内角为 3 180 1085
，则 72ABC ，
则三角形
21 sin36sin2 2
yS AB AC A ， sin sin36 5 1
sin sin72 2
BC A
AC ABC
，
2 2sin108 sin 721 sin =2 2 2DHE
x y x yS DH EH DHE
△
，
则 2
2
2
sin 722 sin362DHE
x yS S S y
△
，
2
1
5 sin365 2
yS S ，
从而
2
2 2
2
2
1
sin 72 sin36 1 sin 72 22 15 sin36 5 sin36 5
2
x y yS x
yS y
，因为
5 1
2
BC x
AC y
，
所以
22
2
1
5 1 2 5 5 11 5 1 2 2 2 515 2 5 5 55 1 10 5 1 10 5 1
S
S
，
则 1
2
5S
S
故答案为: 5 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13.已知函数 sin 0, 0, 2f x A x A
的部分图象如图所示.
（1）直接写出 的值；
（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数 f x 在区间 ,12 4
上的最小
值.条件①：直线 7
12x 为函数 y f x 的图象的一条对称轴；条件②： ,03
为函数
y f x 的图象的一个对称中心
【答案】（1） 2 ；（2）条件选择见解析， f x 在区间
12 4
， 上的最小值为1.
【解析】（1）由图象可知，函数 f x 的最小正周期T 满足
2 2
T ， T ，则 2 2T
；
（2）选择条件①：因为直线 7
12x 为函数 y f x 的图象的一条对称轴，
所以， 7 32 212 2 k k Z ，即 23 k k Z ，
2 2
，
3
，则 30 sin 33 2f A A ， 2A ，
2sin 2 3f x x
，
当 ,12 4x
时， 526 3 6x ，
所以当 2 3 6x 或 5
6
时，即当
12x 或
4
时，函数 f x 取得最小值，即 min 1f x ；
选择条件②：因为 ,03
是函数 y f x 图象的一个对称中心，
则 2 23 k k Z ，解得 23 k k Z ，
2 2
，
3
，则 30 sin 33 2f A A ， 2A ，
2sin 2 3f x x
，
当 ,12 4x
时， 526 3 6x ，
所以当 2 3 6x 或 5
6
时，即当
12x 或
4
时，函数 f x 取得最小值，即 min 1f x .
14.在① cos cos 2 cosa B b A c C ；② 22sin 2 3sin cos 3C A B C ；
③ sin sin sinC A B A 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题：
在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且______．
（1）求 C；
（2）若 2c ，求 2 2a b 的取值范围．
【答案】任选三个条件之一，都有（1）
3C ；（2） 2 2 4,8a b ．
【解析】若选①，
（1）因为 cos cos 2 cosa B b A c C ，
所以sin cos sin cos 2sin cosA B B A C C ，即sin 2sin cosC C C ，
因为 ( )0, sin 0C C ， ，故 1cos 2C ，所以
3C ．
（2）由余弦定理可得： 2 2 2 2 cosc a b ab C ，
所以
2 2
2 2 2 24 2
a ba b ab a b ，
所以 2 2 8a b ，当且仅当 a b 时取等号．
又 2 2 4a b ，所以 2 2 4,8a b ．
若选②，
（1）因为 22sin 2 3sin cos 3C A B C ，可得1 cos2 2 3sin cos 3C C C ，
所以 cos2 3sin 2 2C C ，可得sin(2 ) 16C ，
因为 11( ), ,6 60 2 6C C
， ，
所以 2 6 2C ，可得
3C ．
（2）由余弦定理可得： 2 2 2 2 cosc a b ab C ，
所以
2 2
2 2 2 24 2
a ba b ab a b ，
所以 2 2 8a b ，当且仅当 a b 时取等号．
又 2 2 4a b ，所以 2 2 4,8a b ．
若选③，
（1）因为 sin sin sinC A B A ，
又 sin sin sin cos cos sinB A C A C A C ，
所以 2sin cos sinA C A ，
因为sin 0A ，可得 1cos 2C ，
因为 (0, )C ，所以
3C ．
（2）由余弦定理可得： 2 2 2 2 cosc a b ab C ，
所以
2 2
2 2 2 24 2
a ba b ab a b ，
所以 2 2 8a b ，当且仅当 a b 时取等号．
又 2 2 4a b ，
所以 2 2 4,8a b ．
微信/支付宝扫码支付