决胜 2021 年全国高考数学考前保温练习
第 5 练 平面向量（基础练）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB （ ）
A． 3 1
4 4AB AC B． 1 3
4 4AB AC
C． 3 1
4 4
AB AC D． 1 3
4 4
AB AC
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC
1 1 1 3 1
2 4 4 4 4BA BA AC BA AC ，
所以 3 1
4 4EB AB AC ，故选:A.
2. 已知 0, 2a ， 1,1b ， ,c x y ，若 0a b c ，则 2b c （ ）
A． 2 2 B． 7 C．2 D． 10
【答案】D
【解析】∵ 0a b c ，
∴ 0, 2 1,1 1, 1c a b ，
则 2 1,1 2 1, 1 3, 1b c ，
∴ 2 10b c ， 故选：D.
3.向量 a ，b ， c 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，若 e 为与 c 同方向的单位
向量，则 a b e （ ）
A. 1.5 B. 2 C. -4.5 D. -3
【答案】D
【解析】如图，建立平面直角坐标系，由图可知 1,1a ， 2, 1b ， 1,0e ，
则 3,0a b ，所以 3a b e .
故选：D
4.已知平面向量 a ，b 满足 (cos ,sin )a ， 2b ，且 2a a b ，则向量 a 与 b 夹
角的余弦值为（ ）
A. 3
2
B. 3
2
C. 1
2
D. 1
2
【答案】C
【解析】因为 (cos ,sin )a ，所以 2 2 2cos sin 1 a ，
由 2a a b 得 2
2
a a b ，所以 2 1 1
a b ，
又 2b
，所以向量 a
与b
夹角的余弦值为
1 1cos , 1 2 2
a ba b
a b
. 故选：C
5.在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 AB，AD 上的点，连接 AC，MN 交于点 P.已知 1
3AP AC
且 3
4AM AB ，若 AN AD ，则实数 的值为（ ）
A. 1
2
B. 3
5
C. 2
3
D. 3
4
【答案】B
【解析】 3
4AM AB ，则 4
3AB AM
AN AD ，则 1AD AN
1 1 4 1( )3 3 9 3AP AC AB AD AM AN
∵P，M，N 共线，∴ 4 1 19 3 ，∴ 3
5
, 故选：B.
6.如图，B 是 AC 的中点， 2BE OB ，P 是平行四边形 BCDE 内（含边界）的一点，且
,OP xOA yOB x y R ，则下列结论不正确的为（ ）
A．当 0x 时， 2,3y
B．当 P 是线段CE 的中点时， 1
2x ， 5
2y
C．若 x y 为定值 1，则在平面直角坐标系中，点 P 的轨迹是一条线段
D． x y 的最大值为 1
【答案】A
【解析】当 0x 时，OP yOB
，则 P 在线段 BE 上，故1 3y ，故 A 错
当 P 是线段CE 的中点时， 13 ( )2OP OE EP OB EB BC
1 1 53 ( 2 )2 2 2OB OB AB OA OB ，故 B 对
x y 为定值 1 时， A ， B ， P 三点共线，又 P 是平行四边形 BCDE 内（含边界）的一点，
故 P 的轨迹是线段，故 C 对
如图，过 P 作 / /PM AO ，交 OE 于 M ，作 / /PN OE ，交 AO 的延长线于 N ，则：
OP ON OM ；
又OP xOA yOB
uuur uur uuur ； 0x ， 1y
；
由图形看出，当 P 与 B 重合时： 0 1OP OA OB
uuur uur uuur ；
此时 x 取最大值 0， y 取最小值 1；所以 x y 取最大值 1 ，故 D 正确, 故选：A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
7.已知向量 1,0m ， 1 1,2 2n
，则（ ）
A．| | 2 | |m n B． ( ) / / m n n
C． ( )m n n D． m
与 n
的夹角为
4
【答案】ACD
【解析】∵ (1,0)m ， 1 1,2 2n
，
∴| | 1m ，
2 21 1 2| | 2 2 2n
，
∴| | 2 | |m n ，故 A 正确；
∵ 1 1,2 2m n
，
∴ m n 与 n
不平行，故 B 错误；
又 ( ) 0m n n ，C 正确；
∵ 2cos , 2| || |
m nm n
m n
，又 , [0, ]m n ，
∴ m
与 n
的夹角为
4
， D 正确. 故选：ACD
8.已知点 ( 2,0)A ，圆 2 2:( 4) 16C x y ，点 P 在圆C 上运动，给出下列命题，其中正确
的有（ ）
A． PA PC 的取值范围是[8，25]
B．在 x 轴上存在定点 (4,0)B ，使| |:| |PA PB 为定值
C．设线段 PA 的中点为Q ，则点Q 到直线 3 0x y 的距离的取值范围
3 2 1,3 2 1
D．过直线 4 0x y 上一点T 引圆C 的两条切线，切点分别为 M ， N ，则CM CN 的
取值范围是(-16，0]
【答案】BD
【解析】对于 A，设 (4cos 4,4sin )P ，∵ ( 2,0)A ， ( 4,0)C ，
则
2 2
=(2 4cos 4sin ) ( 4cos , 4sin )
16cos 8cos 16sin
16 8cos 8,24
PA PC
，
故 A 错误；
对于 B，设 (4cos 4,4sin )P ，则
2 2
2 2
4cos 2 4sin 20 16cos 1: = = = 280 64cos4cos 8 4sin
PA PB
（ ） （ ）
（ ） （ ）
，
故 B 正确；
对于 C，设 (4cos 4,4sin )P ，则点Q 到直线 3 0x y 的距离
| 2 2 sin( ) 6|| 2cos 2sin 6| 4 3 2 2,3 2 2
2 2
d
，
故 C 错误；
对于 D，
如图示： min
| 4 0 4 | 4 2
2
CT ，又：CM TM CN TN⊥ , ⊥ ，
∴ 4 2cos ,cos 02 2 24 2
MCN CM MCN
CT
∠ ∠
∴ ° ° ° °45 ,90 90 ,1802
MCN MCN
∠ ，∴∠ ，
∴ =| || |cos MCN 16,0CM CN CM CN ∠ 故 D 正确．故选：BD．
9.已知向量 1e ， 2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点 P，当OP
＝x 1e +y 2e 时，则称有序实数对（x，y）为点 P 的广义坐标．若点 A、B 的广义坐标分别为
（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题正确的是：
A. 线段 A、B 的中点的广义坐标为（ 1 2 1 2,2 2
x x y y ）；
B. A、B 两点间的距离为 2 2
1 2 1 2x x y y ；
C. 向量 OA 平行于向量 OB 的充要条件是 x1y2＝x2y1；
D. 向量 OA 垂直于 OB 的充要条件是 x1y2+x2y1＝0
【答案】AC
【解析】根据题意得，由中点坐标公式知 A 正确；
只有平面直角坐标系中两点间的距离公式 B 才正确，未必是平面直角坐标系因此 B 错误；
由向量平行的充要条件得 C 正确；
OA
与 OB
垂直的充要条件为 x1x2+y1y2＝0，因此 D 不正确； 故选：AC．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分．
10.如图所示的 ABC 中，点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 是线段 AB 的中点，
则 DE
uuur __________
【答案】 1 1
6 3BA BC
【解析】依题意，
1 1 1 1 1 1 1
3 2 3 3 2 6 3DE DA AE AC BA BC BA BA BA BC ，
故答案为： 1 1
6 3BA BC
11.在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 : 2l y x 上在第一象限内的点， 5,0B ，以 AB
为直径的圆C 与直线l 交于另一点 D ．若 0AB CD ，则点 A 的横坐标为________．
【答案】3
【解析】设 ,2 ( 0)A a a a ，则由圆心 C 为 AB 中点得 5 , ,2
aC a
易得
: 5 2 0C x x a y y a ，与 2y x 联立解得点 D 的横坐标 1,Dx 所以
1,2D .所以 55 , 2 , 1 ,22
aAB a a CD a
，
由 0AB CD 得 255 1 2 2 0, 2 3 0, 32
aa a a a a a
或 1a ，
因为 0a ，所以 3.a 故答案为：3
12.已知圆 O 的半径为 2，A，B 是圆 O 上两点，且 60AOB ， CD 是圆 O 的一条直径，
若动点 P 满足OP OA OB ( ， R )，且 1 ，则 PC PD 的最小值为
____________.
【答案】-3
【解析】 2( ) ( ) ( ) ( )PC PD PO OC PO OD PO PO OD OC OC OD ，
因为 CD 是圆 O的一条直径，
所以 0, cos 4OD OC OD OC OD OC
，
所以所求
22( ) ( ) 4PC PD PO PO OD OC OC OD PO = 2
4OA OB
2 2 22 2( 1) 4 ( 1) 2( 1) 4OA OB OA OB OA OB
因为 A，B 是圆 O 上两点，且 60AOB ，
所以 12, cos60 2 2 22OA OB OA OB OA OB ，
所以所求
2 22 2 2 2( 1) 2( 1) 4 4( 1) 4 4( 1) 4PC PD OA OB OA OB
= 212( ) ，
因为 R ，
所以当 1
2
时， 212( )PC PD 有最小值，且为-3，
故答案为：-3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13. 在平行四边形 ABCD 中， AB a
uuur ， AD b
uuur
（1）若 E 为 DC 上一点，且 2DE EC
，用基底 ,a b
表示 AE
；
（2）若 1,2a
， 3,2b
，且 2k a b
与 2 4a b
平行，求实数 k 的值.
【答案】（1） 2
3AE a b
uuur r r
；（2） 1k ．
【解析】（1） 2 2 2
3 3 3AE AD DE AD DC b a a b
uuur uuur uuur uuur uuur r r r r
（2）因为 1,2a
r ， 3,2b
r 所以 2 ,2 6,4 6,2 4ka b k k k k
r r
2 4 2,4 12,8 14, 4a b
r r
由于 2 // 2 4ka b a b
则 -4 6 14 2 4k k ,所以 1k .
14.在 ABC 中，底边 BC 上的中线 4AD ，若动点 P 满足
2 2sin cosBP BA BD R .
（1）求 PB PC AP 的最大值；
（2）若 ABC 为等腰三角形，且 5AB ，点 P 满足（1）的情况下，求 PB PC 的值.
【答案】（1）8；（2）-5.
【解析】（1） 2 2sin cosBP BA BD
且 2 2sin cos 1
, ,A P D 三点共线，又 2 2sin 0,1 ,cos 0,1
P 在线段 AD 上, DQ 为 BC 的中点，设 PD x ，则 4AP x ， 0,4x ，
222 8 24 82 2 2PB PC AP PD AP x xx x x
当 2x 时， PB PC AP
取最大值8
（2） ABC 为等腰三角形，且 AD 为底边的中线
以 D 为坐标原点， DC ， DA 所在直线分别为 x ， y 轴建立平面直角坐标系
由（1）可得 0,2P ，又 2 2 25 4 9BD
3,0B ， 3,0C
则 3, 2 3, 2 9 4 5PB PC
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