决胜 2021 年全国高考数学考前保温练习
第 1 练 函数性质(基础练)
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.已知函数 2log , 0( ) 3 , 0,x
x xf x x
则 1[ ( )]4f f =( )
A. 1
9 B.9
C. 1- 9 D. 9
【答案】A
【解析】 2
1 1( ) log 24 4f ,
所以 21 1[ ( )] ( 2) 34 9f f f ,故选:A.
2. 设 sin 5a , 2log 3b ,
2
31
4c
,则( )
A. a c b B.b a c C. c a b D. c b a
【答案】C
【解析】由对数函数 2logy x 在 0, 单调递增的性质得:
2 2log 3 log 2 1b ,
由指数函数 1
2
x
y
在 R 单调递减的性质得:
2 4 13 31 1 1
4 2 2
1
2c
,
由三角函数 siny x 在 0, 2
上单调递增的性质得 1sin sin5 6 2a .
所以 c a b ,故选:C。
3.已知定义在 R 上的函数 2 xf x x , 3log 5a f , 3
1log 2b f
, ln3c f ,
则 a ,b , c 的大小关系为( )
A. c b a B. b c a C. a b c D. c a b
【答案】D
【解析】由题意,定义在 R 上的函数 2 xf x x 的定义域为 R ,关于原点对称,
且 2 2x xf x x x f x ,所以函数 2 xf x x 为奇函数,
所以 3 3 3
1 1(log ) ( log ) (log 2)2 2b f f f
又由当 0x 时,结合初等函数的性质,可得函数 2xf x x 为单调递增函数,
又由对数的运算性质可得 3 3log 2 log 5 ln3 ,
所以 3 3(log 2) (log 5) (ln3)f f f ,即 c a b . 故选:D.
4.函数 22 1xf x e x 的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 2 22 1 2 1x xf x e x e x f x ,则 f x 是偶函数,图象关于
y 轴对称,排除 C,
当 0x 且 x , f x ,排除 A,
当 0x 时, 22 1xf x e x ,则 4xf x e x ,
∵ 0 1 0f , 1 4 0f e , 10 0f ,则 0f x 有两个不同的零点,
即当 0x 时,函数至少有三个单调区间,排除 B,故选:D.
5.已知函数
2 4 1, 0
12 , 02
x
x x x
f x
x
,若关于 x 的方程 1 0f x f x m 恰有
5 个不同的实数根,则实数 m 的取值范围是( )
A. (1,2) B. (1,5) C. (2,3) D. (2,5)
【答案】A
【解析】由 1 0f x f x m ,得 1f x 或 f x m ,
作出 y f x 的图象,如图所示,由图可知,方程 1f x 有 2 个实根,
故方程 f x m 有 3 个实根,故 m 的取值范围为 1,2 .
故选:A
6.已知函数 2( ) ln( 1) 2 2x xf x x ,则使不等式 ( 1) (2 )f x f x 成立的 x 的
取值范围是( )
A. ( 1) (1, ) , B. (1,+ )
C. 1( , ) (1,+ )3
D. ( , 2) (1, )
【答案】D
【解析】由 2 1 0x 得 1x 或 1x ,故函数的定义域为 | 1x x 或 1x ,且
f x f x , 所 以 函 数 f x 为 偶 函 数 , 且 当 1x 时 , 令 2 2x xy ,
' 1 4 12 ln 2 ln 2 02 2
x
x
x xy
,所以 2 2x xy 在 1x 时递增,根据复合函数单调
性可知 2ln 1y x 在 1x 时递增,所以函数 f x 在 1x 时递增,故在 1x 时递减.
由 ( 1) (2 )f x f x 可知
1 2
1 1
2 1
x x
x
x
,解得 ( , 2) (1, )x .故选:D.
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.
7.已知函数
2 1, 0( )
cos , 0
x xf x
x x
, 则下列结论正确的是( )
A. ( )f x 是偶函数 B. 3( ( )) 12f f
C. ( )f x 是增函数 D. ( )f x 的值域为[﹣1, )
【答案】BD
【解析】很明显 ( )f x 既不是偶函数,也不是增函数,故选:BD.
8.关于函数
2 1lg 0xf x xx
,则下列说法正确的是( )
A.其图象关于 y 轴对称
B.当 0x 时, f x 是增函数;当 0x 时, f x 是减函数
C. f x 的最小值是 lg 2
D. f x 无最大值,也无最小值
【答案】AC
【解析】函数
2 1lg 0xf x xx
定义域为 0 0 , ,+ ,又满足 f x f x ,
所以函数 y f x 的图象关于 y 轴对称,A 正确;
函数
2 1lg 0xf x xx
,当 0x 时,令 1t x x
,原函数变为 lgy t , 1t x x
在 01, 上是减函数,在[1, ) 上是增函数,所以 f x 在 01, 上是减函数,在[1, ) 上
是增函数, 1 2t x x
,又是偶函数,所以函数 f x 的最小值是 lg 2 ,故 BD 不正确,C
正确;故选 AC.
9.高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,近代数学奠基者之一.高
斯被认为是历史上最重要的数学家之一,并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他
名字命名的:设 xR ,用 x 表示不超过 x 的最大整数,则 ( )f x x 称为高斯函数,又
称为取整函数.如: (2.3) 2f , ( 3.3) 4f .则下列正确的是( )
A.函数 ( )f x 是 R 上单调递增函数
B.对于任意实数 a b, ,都有 ( ) ( ) ( )f a f b f a b
C.函数 ( ) ( )g x f x ax ( 0x )有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是 3 4 4 3
4 5 3 2
, ,
D.对于任意实数 x,y,则 ( ) ( )f x f y 是 1x y 成立的充分不必要条件
【答案】BCD
【解析】对于 A 选项, 1 1.2 1f f ,故 A 错误;
对于 B 选项,令 a a r , ( ,b b q r q 分别为 a,b 的小数部分 ) ,
可知 0 1r a a , 0 1q b b , 0r q ,
则 f a b a b r q a b r q a b f a f b
,故 B 错误;
对于 C 选项,可知当 1k x k , k Z 时,则 f x x k ,
可得 f x 的图象,如图所示:
函数 0g x f x ax x 有 3 个零点,
函数 f x 的图象和直线 y ax 有 3 个交点,且 0,0 为 f x 和直线 y ax 必过的点,
由图可知,实数 a 的取值范围是 3 4 4 3, ,4 5 3 2
,故 C 正确;
对于 D 选项,当 f x f y 时,即 r,q 分别为 x,y 的小数部分,可得 0 1r ,0 1q ,
1 0 1x y x r y q r q ;
当 1x y 时,取 0.9x , 0.09y ,可得 1x , 0y ,此时不满足 f x f y ,
故 f x f y 是 1x y 成立的充分不必要条件,故 D 正确;故选:BCD.
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,多空题,第一空 2 分,第二空 3 分,共 20 分.
10.已知函数
2
2 3, 1( )
lg( 1), 1
x xf x x
x x
,则 ( )f x 的最小值是______________.
【答案】 2 2 3
【解析】当 1x 时, 2 2( ) 3 2 3 2 2 3f x x xx x
,当且仅当 2x 时,等号
成立,
当 1x 时, 2 1 [1,2)x ,所以 2lg 1 0,lg 2f x x ,
因为 2 2 3 0 ,所以 ( )f x 的最小值是 2 2 3 .
故答案为: 2 2 3
11.若函数 2
1
1
xf x e x
,若实数 x 满足 1 3 1f x f x ,则实数 x 的取值范围
为______________.
【答案】 0 1x
【解析】因为 | | | |
2 2
1 1( ) ( )1 ( ) 1
x xf x e e f xx x
,
所以 ( )f x 为偶函数,所以 ( ) (| |)f x f x ,
当 0x 时, 2
1( ) 1
xf x e x
为增函数,
所以 1 3 1f x f x (| 1|) (| 3 1|)f x f x ,
所以| 1| | 3 1|x x ,所以 2 2( 1) (3 1)x x ,即 2 0x x ,得 0 1x .
故答案为: 0 1x
12.已知函数 2
2
1 , 0
log , 0
x xf x
x x
,若方程 f x a 有四个不同的解 1 2 3 4, , , ,x x x x 且
1 2 3 4x x x x< < < ,则 3 1 2 2
3 4
1x x x x x
的取值范围是____________
【答案】 3 1 2 2
3 4
1 1,1x x x x x
【解析】 2
1log 1 2x x .先作 f x 图象,
由图象可得 1 2 3 4 3
12 1 ,1 .2x x x x x
, ,
因此 3 1 2 32
3 4 3
1 12x x x xx x x
为 1 ,12
单调递减函数 ,
1 1 12 1, 2 1 112 1
2
,从而 3 1 2 2
3 4
1 1,1x x x x x
.故答案为: 3 1 2 2
3 4
1 1,1x x x x x
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13. 已知函数 1 3 x
bf x a a
( 0a 且 1a )是奇函数,且 (1) 2f .
(1)求 ,a b 的值及 f x 的定义域;
(2)设函数 ( ) ( ) 2g x kf x 有零点,求常数 k 的取值范围;
(3)若 2( 2) ( 3 ) 0f t f t ,求 t 的取值范围.
【答案】(1) 3a , 6b , ( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, ) ;(2)( 2,0) (0,2) ;
(3) ( 2, 1) (1,2) .
【解析】(1)由 (1) 2f 得 12
b
a
……①
又 ( )f x 是奇函数,
( 1) (1) 2f f 即 2 33
ab
a
……②
联立①、②并注意到 0a 解得 3a , 6b
2( ) 1 3 1xf x
由3 1 0x 得 0x
( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, )
(2) 3, 6a b , 3 1( ) ( ) 2 23 1
x
xg x kf x k
( )g x 有零点,即关于 x 的方程 3 1 2 03 1
x
xk
有实数解
2(3 1)
3 1
x
xk
( 0)x 有实数解
2(3 1) 423 1 3 1
x
x x
, 3 1 1x 且 3 1 2x
2(3 1)2 23 1
x
x
且 2(3 1) 03 1
x
x
k 的取值范围是 ( 2,0) (0,2)
(3)先证明函数 2( ) 1 3 1xf x
在 (0, ) 上单调递减
设 0m n ,则 3 3 1m n
3 1 3 1 0m n
2 2
3 1 3 1m n
, 2 21 13 1 3 1m n
即 ( ) ( )f m f n
函数 2( ) 1 3 1xf x
在 (0, ) 上单调递减
由 2( 2) ( 3| |) 0f t f t
得 2( 2) ( 3| |)f t f t 又 ( )f x 是奇函数
2( 2) (3| |)f t f t
2 2 3| |t t 1 | | 2t
所以t 的取值范围是 ( 2, 1) (1,2)
14.已知函数 y f x 的图象与 log 0, 1ag x x a a 的图象关于 x 轴对称,且 g x
的图象过点 4,2 .
(1)若 3 1 5f x f x 成立,求 x 的取值范围;
(2)若对于任意 1,4x ,不等式 2 04
xf x g m
恒成立,求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) 1 3,3 2
;(2) 9
4m .
【解析】 4 log 4 2ag ,
2 4a , 2a , 2logg x x ;
由已知得 1
2
logf x x ,即 2logf x x .
(1) 1
2
logf x x 在 0, 上单调递减,
3 1 0
5 0
3 1 5
x
x
x x
,
解得 1 3,3 2x
,
x\ 的取值范围为 1 3,3 2
.
(2) 2 04
xf x g m
,
2 4
xm f x g
对于任意 1,4x 恒成立等价于
max
2 4
xm f x g
,
2 22 log 2 log4 4y f xxxx g
,
2
2 2 2 21 log log 2 log log 2x x x x ,
令 2logu x ,1 4x ,
则 0,2u ,
2
2 1 92 2 4y u u u
,
当 1
2u ,即 2
1log 2x ,即 2x 时 max
9
4y , 9
4m .