第1练 函数性质(基础练)-决胜2021年全国高考数学考前保温练习(江苏等八省市新高考地区专用)(解析版)
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资料简介
决胜 2021 年全国高考数学考前保温练习 第 1 练 函数性质(基础练) 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知函数 2log , 0( ) 3 , 0,x x xf x x    则 1[ ( )]4f f =( ) A. 1 9 B.9 C. 1- 9 D. 9 【答案】A 【解析】 2 1 1( ) log 24 4f    , 所以 21 1[ ( )] ( 2) 34 9f f f     ,故选:A. 2. 设 sin 5a  , 2log 3b  , 2 31 4c      ,则( ) A. a c b  B.b a c  C. c a b  D. c b a  【答案】C 【解析】由对数函数 2logy x 在 0,  单调递增的性质得: 2 2log 3 log 2 1b    , 由指数函数 1 2 x y      在 R 单调递减的性质得: 2 4 13 31 1 1 4 2 2 1 2c                     , 由三角函数 siny x 在 0, 2      上单调递增的性质得 1sin sin5 6 2a     . 所以 c a b  ,故选:C。 3.已知定义在 R 上的函数   2 xf x x  ,  3log 5a f , 3 1log 2b f       ,  ln3c f , 则 a ,b , c 的大小关系为( ) A. c b a  B. b c a  C. a b c  D. c a b  【答案】D 【解析】由题意,定义在 R 上的函数   2 xf x x  的定义域为 R ,关于原点对称, 且    2 2x xf x x x f x        ,所以函数   2 xf x x  为奇函数, 所以 3 3 3 1 1(log ) ( log ) (log 2)2 2b f f f     又由当 0x  时,结合初等函数的性质,可得函数   2xf x x  为单调递增函数, 又由对数的运算性质可得 3 3log 2 log 5 ln3  , 所以 3 3(log 2) (log 5) (ln3)f f f  ,即 c a b  . 故选:D. 4.函数   22 1xf x e x   的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】      2 22 1 2 1x xf x e x e x f x         ,则  f x 是偶函数,图象关于 y 轴对称,排除 C, 当 0x  且 x   ,  f x   ,排除 A, 当 0x  时,   22 1xf x e x   ,则   4xf x e x   , ∵  0 1 0f    ,  1 4 0f e    ,  10 0f   ,则   0f x  有两个不同的零点, 即当 0x  时,函数至少有三个单调区间,排除 B,故选:D. 5.已知函数   2 4 1, 0 12 , 02 x x x x f x x             ,若关于 x 的方程      1 0f x f x m   恰有 5 个不同的实数根,则实数 m 的取值范围是( ) A. (1,2) B. (1,5) C. (2,3) D. (2,5) 【答案】A 【解析】由      1 0f x f x m   ,得   1f x  或  f x m , 作出  y f x 的图象,如图所示,由图可知,方程   1f x  有 2 个实根, 故方程  f x m 有 3 个实根,故 m 的取值范围为 1,2 . 故选:A 6.已知函数 2( ) ln( 1) 2 2x xf x x     ,则使不等式 ( 1) (2 )f x f x  成立的 x 的 取值范围是( ) A. ( 1) (1, )   , B. (1,+ ) C. 1( , ) (1,+ )3     D. ( , 2) (1, )   【答案】D 【解析】由 2 1 0x   得 1x   或 1x  ,故函数的定义域为  | 1x x   或 1x  ,且    f x f x  , 所 以 函 数  f x 为 偶 函 数 , 且 当 1x  时 , 令 2 2x xy   , ' 1 4 12 ln 2 ln 2 02 2 x x x xy         ,所以 2 2x xy   在 1x  时递增,根据复合函数单调 性可知  2ln 1y x  在 1x  时递增,所以函数  f x 在 1x  时递增,故在 1x   时递减. 由 ( 1) (2 )f x f x  可知 1 2 1 1 2 1 x x x x         ,解得 ( , 2) (1, )x    .故选:D. 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分. 7.已知函数 2 1, 0( ) cos , 0 x xf x x x      , 则下列结论正确的是( ) A. ( )f x 是偶函数 B. 3( ( )) 12f f   C. ( )f x 是增函数 D. ( )f x 的值域为[﹣1, ) 【答案】BD 【解析】很明显 ( )f x 既不是偶函数,也不是增函数,故选:BD. 8.关于函数     2 1lg 0xf x xx   ,则下列说法正确的是( ) A.其图象关于 y 轴对称 B.当 0x  时,  f x 是增函数;当 0x  时,  f x 是减函数 C.  f x 的最小值是 lg 2 D.  f x 无最大值,也无最小值 【答案】AC 【解析】函数     2 1lg 0xf x xx   定义域为   0 0 , ,+ ,又满足    f x f x  , 所以函数  y f x 的图象关于 y 轴对称,A 正确; 函数     2 1lg 0xf x xx   ,当 0x  时,令 1t x x   ,原函数变为 lgy t , 1t x x   在  01, 上是减函数,在[1, ) 上是增函数,所以  f x 在  01, 上是减函数,在[1, ) 上 是增函数, 1 2t x x    ,又是偶函数,所以函数  f x 的最小值是 lg 2 ,故 BD 不正确,C 正确;故选 AC. 9.高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,近代数学奠基者之一.高 斯被认为是历史上最重要的数学家之一,并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他 名字命名的:设 xR ,用 x 表示不超过 x 的最大整数,则  ( )f x x 称为高斯函数,又 称为取整函数.如: (2.3) 2f  , ( 3.3) 4f    .则下列正确的是( ) A.函数 ( )f x 是 R 上单调递增函数 B.对于任意实数 a b, ,都有 ( ) ( ) ( )f a f b f a b   C.函数 ( ) ( )g x f x ax  ( 0x  )有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是 3 4 4 3 4 5 3 2          , , D.对于任意实数 x,y,则 ( ) ( )f x f y 是 1x y  成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【解析】对于 A 选项,    1 1.2 1f f  ,故 A 错误; 对于 B 选项,令  a a r  ,   ( ,b b q r  q 分别为 a,b 的小数部分 ) , 可知  0 1r a a  „ ,  0 1q b b  „ ,  0r q  , 则                    f a b a b r q a b r q a b f a f b              … ,故 B 错误; 对于 C 选项,可知当 1k x k   , k Z 时,则    f x x k  , 可得  f x 的图象,如图所示:  函数      0g x f x ax x   有 3 个零点, 函数  f x 的图象和直线 y ax 有 3 个交点,且  0,0 为  f x 和直线 y ax 必过的点, 由图可知,实数 a 的取值范围是  3 4 4 3, ,4 5 3 2     ,故 C 正确; 对于 D 选项,当    f x f y 时,即 r,q 分别为 x,y 的小数部分,可得 0 1r  ,0 1q  ,     1 0 1x y x r y q r q          ; 当 1x y  时,取 0.9x   , 0.09y  ,可得  1x   ,  0y  ,此时不满足    f x f y , 故    f x f y 是 1x y  成立的充分不必要条件,故 D 正确;故选:BCD. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,多空题,第一空 2 分,第二空 3 分,共 20 分. 10.已知函数 2 2 3, 1( ) lg( 1), 1 x xf x x x x         ,则 ( )f x 的最小值是______________. 【答案】 2 2 3 【解析】当 1x 时, 2 2( ) 3 2 3 2 2 3f x x xx x         ,当且仅当 2x  时,等号 成立, 当 1x  时, 2 1 [1,2)x   ,所以      2lg 1 0,lg 2f x x   , 因为 2 2 3 0  ,所以 ( )f x 的最小值是 2 2 3 . 故答案为: 2 2 3 11.若函数   2 1 1 xf x e x    ,若实数 x 满足    1 3 1f x f x   ,则实数 x 的取值范围 为______________. 【答案】 0 1x  【解析】因为 | | | | 2 2 1 1( ) ( )1 ( ) 1 x xf x e e f xx x         , 所以 ( )f x 为偶函数,所以 ( ) (| |)f x f x , 当 0x  时, 2 1( ) 1 xf x e x    为增函数, 所以    1 3 1f x f x   (| 1|) (| 3 1|)f x f x    , 所以| 1| | 3 1|x x   ,所以 2 2( 1) (3 1)x x   ,即 2 0x x  ,得 0 1x  . 故答案为: 0 1x  12.已知函数    2 2 1 , 0 log , 0 x xf x x x      ,若方程  f x a 有四个不同的解 1 2 3 4, , , ,x x x x 且 1 2 3 4x x x x< < < ,则  3 1 2 2 3 4 1x x x x x     的取值范围是____________ 【答案】   3 1 2 2 3 4 1 1,1x x x x x      【解析】 2 1log 1 2x x    .先作  f x 图象, 由图象可得 1 2 3 4 3 12 1 ,1 .2x x x x x         , , 因此  3 1 2 32 3 4 3 1 12x x x xx x x       为 1 ,12     单调递减函数 , 1 1 12 1, 2 1 112 1 2          ,从而    3 1 2 2 3 4 1 1,1x x x x x      .故答案为:   3 1 2 2 3 4 1 1,1x x x x x      四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. 已知函数   1 3 x bf x a a    ( 0a  且 1a  )是奇函数,且 (1) 2f  . (1)求 ,a b 的值及  f x 的定义域; (2)设函数 ( ) ( ) 2g x kf x  有零点,求常数 k 的取值范围; (3)若 2( 2) ( 3 ) 0f t f t    ,求 t 的取值范围. 【答案】(1) 3a  , 6b   , ( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, )  ;(2)( 2,0) (0,2)  ; (3) ( 2, 1) (1,2)   . 【解析】(1)由 (1) 2f  得 12 b a   ……① 又 ( )f x 是奇函数, ( 1) (1) 2f f      即 2 33 ab a  ……② 联立①、②并注意到 0a  解得 3a  , 6b   2( ) 1 3 1xf x    由3 1 0x   得 0x   ( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, )  (2) 3, 6a b   , 3 1( ) ( ) 2 23 1 x xg x kf x k     ( )g x 有零点,即关于 x 的方程 3 1 2 03 1 x xk    有实数解  2(3 1) 3 1 x xk   ( 0)x  有实数解 2(3 1) 423 1 3 1 x x x     , 3 1 1x   且 3 1 2x    2(3 1)2 23 1 x x    且 2(3 1) 03 1 x x    k 的取值范围是 ( 2,0) (0,2)  (3)先证明函数 2( ) 1 3 1xf x    在 (0, ) 上单调递减 设 0m n  ,则 3 3 1m n  3 1 3 1 0m n     2 2 3 1 3 1m n   , 2 21 13 1 3 1m n    即 ( ) ( )f m f n 函数 2( ) 1 3 1xf x    在 (0, ) 上单调递减 由 2( 2) ( 3| |) 0f t f t    得 2( 2) ( 3| |)f t f t    又 ( )f x 是奇函数 2( 2) (3| |)f t f t   2 2 3| |t t    1 | | 2t  所以t 的取值范围是 ( 2, 1) (1,2)   14.已知函数  y f x 的图象与    log 0, 1ag x x a a   的图象关于 x 轴对称,且  g x 的图象过点 4,2 . (1)若    3 1 5f x f x    成立,求 x 的取值范围; (2)若对于任意  1,4x ,不等式  2 04 xf x g m      恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1) 1 3,3 2      ;(2) 9 4m  . 【解析】  4 log 4 2ag   , 2 4a  , 2a  ,   2logg x x  ; 由已知得   1 2 logf x x ,即   2logf x x  . (1)   1 2 logf x x 在 0,  上单调递减, 3 1 0 5 0 3 1 5 x x x x            , 解得 1 3,3 2x     , x\ 的取值范围为 1 3,3 2      . (2)  2 04 xf x g m       ,  2 4 xm f x g       对于任意  1,4x 恒成立等价于   max 2 4 xm f x g        ,    2 22 log 2 log4 4y f xxxx g              ,     2 2 2 2 21 log log 2 log log 2x x x x        , 令 2logu x ,1 4x  , 则  0,2u  , 2 2 1 92 2 4y u u u             , 当 1 2u  ,即 2 1log 2x  ,即 2x  时 max 9 4y  , 9 4m  .

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