第3练 不等式（基础练）-决胜2021年全国高考数学考前保温练习（江苏等八省市新高考地区专用）（解析版）

决胜 2021 年全国高考数学考前保温练习 第 3 练 不等式（基础练） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1.已知 a，b R ，且 0a b  ，则下列结论正确的是（ ） A. 1 1 a b  B. 2 2a b C. 2 2a b D. 2 2ln lnb a 【答案】D 【解析】对于选项 A， 0a b Q ， 0ab  ， a b ab ab   ，即 1 1 b a  ，故 A 错误； 对于选项 B， 0a b Q ， 0a b    ， 2 2a b  ，故 B 错误； 对于选项 C， a b ，指数函数 2xy  是增函数，∴ 2 2a b ，故 C 错误； 对于选项 D，由 2 2 0a b  ，对数函数 lny x 为增函数，∴ 2 2ln lna b ，故 D 正确． 故选：D． 2.已知 a， b R ，且 0c  ，则“ a b ”是“ c c a b  ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当 1, 1a b   时满足 a b ，但不满足 c c a b  ，故由 a b 推不出 c c a b  当 1, 1a b   时满足 c c a b  ，但不满足 a b ，故由 c c a b  推不出 a b 所以“ a b ”是“ c c a b  ” 既不充分也不必要条件 故选：D 3.若关于 x 的不等式 2 2 0x ax   在区间 1,5 上有解，则实数 a 的取值范围为（ ） A． 23,5      B． 23,15     C． 1, D． 23, 5      【答案】A 【解析】关于 x 的不等式 2 2 0x ax   在区间[1，5] 上有解， 22ax x   在 [1x ，5] 上有解， 即 2a xx   在 [1x ，5] 上成立； 设函数 2( )f x xx   ， [1x ，5] ， ( )f x 在 [1x ，5]上是单调减函数，又  1 2 1 1f    ，   2 235 55 5f     所以 ( )f x 的值域为 23[ 5  ，1]， 要 2a xx   在 [1x ，5] 上有解，则 23 5a   ， 即实数 a 的取值范围为 23,5      ． 故选： A ． 4.数学里有一种证明方法叫做 Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象 语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认 为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形 ABC 中，点O 为 斜边 AB 的中点，点 D 为斜边 AB 上异于顶点的一个动点，设 AD a ， BD b ，则该图 形可以完成的无字证明为（ ） A. ( 0, 0)2 a b ab a b    B. 2 2 ( 0, 0)2 2 a b a b a b    C. 2 ( 0, 0)ab ab a ba b    D. 2 2 2 ( 0, 0)a b ab a b    【答案】B 【解析】由图可知， 1 2 2 a bOC AB   ， 2 2 a b a bOD OB BD b      ， 在 Rt OCD△ 中， 2 2 2 2 2 a bCD OC OD    ，显然OC CD ， 即 2 2 2 2 a b a b  . 故选：B 5.我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系，声音的强度常用 I（单位： 瓦/米 2 ，即 2W / m ）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 L （单位：分贝）表示， 它们满足换算公式： 0 10lg IL I  （ 0L  ，其中 12 2 0 1 10 W/m I 是人平均能听到的声 音的最小强度），国家《城市区域噪声标准》中规定白天公共场所不超过 60 分贝，则要求 声音的强度不超过（ ） A． 6 210 W / m B． 6 210 W / m C． 12 26 10 W / m D． 12 21 10 W / m6  【答案】B 【解析】令 0 10lg 60IL I   ，可得 6 0 10I I  ，  6 6 12 6 2 010 10 10 10 /I I W m      . 故选：B. 6.若不等式 2 0ax bx c   的解集为 | 1 2x x   ，则不等式    2 1 1 2a x b x c ax     的解集为（ ） A． | 2 1x x   B． | 2 1x x x  或 C． 0| 3x x x 或 D． | 0 3x x  【答案】C 【解析】不等式 2 0ax bx c   的解集为 | 1 2x x   ，则 1x  与 2x  是方程 2 0ax bx c   的两根，且 0a  ，由韦达定理知 1 2 1b a      ， 1 2 2c a      ，即  b a ， 2c a  ， 则不等式    2 1 1 2a x b x c ax     可化简为    2 1 1 2 2a x a x a ax     ， 整理得： 2 3 0ax ax  ，即 ( 3) 0ax x   ，由 0a  得 0x  或 3x  ，故选：C. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 7.已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若 a b ，则 1 1 a b  B．若 a b ， c d ，则 a c b d   C．若 a b ，则 2 2ac bc D．若 a b ，则| |a b 【答案】D 【解析】当 1, 1a b   时，则 1 1 a b  ，故 A 错误；当 1, 2a b   ， 3, 1c d  时，则 a c b d   ，故 B 错误；当 , 0a b c  时，则 2 2ac bc ，故 C 错误；当 a b 时，若 0a  ， 则| |a b ，若 0a  ，则 0b  ，则| |a b ，故 D 正确；故选：D 8.已知 0a  ， 0b  ， 2 1a b  ，则（ ） A. 2 2 1 5a b  B. 1 1 3 2 2a b    C. 2 2a b  D. 2 2log log 3a b   【答案】ABD 【解析】对于选项 A， 0a  ， 0b  ， 2 1a b  ， 1 2 0a b    ，解得： 10 2b  ，  22 2 2 21 2 5 4 1a b b b b b        ， 当 2 5b  时， 2 min 4 8 15 4 1 15 5 5b b      ， 2 2 1 5a b   ，故 A 正确； 对于选项 B，  1 1 1 1 2 22 3 3 2 3 2 2b a b aa ba b a b a b a b                当且仅当 2b a a b  ，即 2a b 时取等号，故 B 正确； 对于选项 C， 0b  ， 2 1a b  ， 1 1a b b     ， 2 2a b  ，故 C 错误； 对于选项 D， 2 1 2 2a b ab   （当且仅当 2a b 时取等号）， 1 8ab  ， 2 2 2 2 1log log log log 38a b ab      ，故 D 正确. 故选：ABD. 9.下列命题正确的有（ ） A. 若 a b c  ， 0ac  ，则   0bc a c  B. 若 0x  ， 0y  ， 2x y  ，则 2 2x y 的最大值为 4 C. 若 0x  ， 0y  ， x y xy  ，则 2x y xy  的最小值为5 2 6 D. 若实数 2a  ，则 1 2log ( 2) 1a aa a    【答案】ACD 【解析】对于选项 A，若 0ac  ，则 ac 同号，又 a b c  ， , ,a b c 同号， 0bc  ，又 0a c  ，   0bc a c   ，故 A 正确； 对于选项 B，2 2 2 2 2 2 2 4x y x y x y     （当且仅当 2 2x y ，即 1x y  时取等号）， 2 2x y  的最小值为 4 ，故 B 错误； 对于选项 C， x y xy  ， 1 1 1x y    ，   1 1 2 32 2 2 3 2 3 5 x yx y xy x y x y x y x y x y y x                   2 35 2 5 2 6x y y x      （当且仅当 2 3x y y x  时取等号）， 2x y xy   的最小值为5 2 6 ，故 C 正确； 对于选项 D，令    ln 3xf x xx   ，则   2 1 ln 0  xf x x ，  f x 在 3, 上单调 递减， 当 2a  时， 2 1 3a a    ，    2 1f a f a    ， 即    ln 2 ln 1 2 1 a a a a    ，      1 ln 2 2log 2 ln 1 1a a aa a a       ，故 D 正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分． 10.若关于 x 的不等式 2( 1) ( 1) 2 0m x m x     的解集为 R，则实数 m 的取值范围是 ___________． 【答案】 1,9 【解析】当 1 0m  ，即 1m  时原不等式可化为 2 0 恒成立，满足不等式解集为 R ， 当 1 0m   ，即 1m  时，若不等式 2( 1) ( 1) 2 0m x m x     的解集是 R ， 则 2 1 0 ( 1) 8( 1) 0 m m m        ，解得：1 9m  ；综上可得  1,9m 故答案为： 1,9 ． 11.设实数 a，b 满足 0a  ， 1a b  ，则 2 22 1 2 a b a b   的最大值是________. 【答案】 6 2 7 【解析】 1a b Q , 0a  2 ( 1)b a     , 1b a  , 2 2 2 2 22 2(1 ) 4 2 7( 1 6) (2 7 6) 6 2 71 2 1 1 1 1 a b a a a a aa b a a a a                        当且仅当 71 1a a    ，即 7 1a   时等号成立， 故答案为： 6 2 7 12.实数 x ， y 满足  4 24 2x ye x y e   ，则 22x yx y x   的最小值为___________ 【答案】4 【解析】由题意，实数 ,x y 满足  4 24 2x ye x y e   ，化简得  4 24 2 x ye x y e   ，  1 0xy x e    ，故 xy xe 在 0,  单调递增，故 2 4x y  ， 所以  2 22 4 42 4x x yx y y x y x yx y x y x y x y x          ， 当且仅当 4x y y x  时，即 1, 2x y  时，等号成立，所以 22x yx y x   的最小值为 4 . 故答案为： 4 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 设函数 2( ) ( 2) 3f x ax b x    ， a ，b R . （1）若  2 0f  ，且 0a  ， 0b  ，求 1 2 a b  取得最小值时，实数 a ，b 的值； （2）若当 0a  时，不等式   2f x  的解集为 1 ,1a      ，求当 0a  时，不等式   2f x  的 解集. 【答案】（1） 1 ,8 1 4 a b     ；（2）答案见解析. 【解析】（1）因为  2 0f  ，所以  4 2 2 3 0a b    ，即 4 2 1a b  ， 因为 0a  ， 0b  ，所以  1 2 1 2 2 8 2 84 2 8 8 2 16b a b aa ba b a b a b a b               ， 当且仅当 2 8 4 2 1 b a a b a b      即 1 8 1 4 a b     时， 1 2 a b  取得最小值16 . （2）因为当 0a  时，不等式   2f x  的解集为 1 ,1a      ， 所以方程   2f x  ，即  2 2 1 0ax b x    的两个为 1 a 和 1， 所以 1 21 b a a    ，即 1b a  ， 所以    22 1 1 0f x ax a x        1 1 0ax x    ， ①当 1a  时，不等式的解为 1x  或 1x a  ； ②当 0 1a  时，不等式的解为 1x a  或 1x  . 综上，当 1a  时，不等式   2f x  的解集为  1, 1,a       ； 当 0 1a  时，不等式   2f x  的解集为  1,1 ,a      . 14.已知定义域为 R 的函数 ( ) 2 2 x x b nf x b    是奇函数，且指数函数 xy b 的图象过点 (2,4) ． （Ⅰ）求 ( )f x 的表达式； （Ⅱ）若方程  2 3 ( ) 0f x x f a x     ， ( 4, )x    恰有 2 个互异的实数根，求实数 a 的取值集合； （Ⅲ）若对任意的 [ 1,1]t   ，不等式  2 2 ( 1) 0f t a f at    恒成立，求实数 a 的取值 范围． 【答案】（Ⅰ） 1 2 1( ) 2 2 x xf x     ；（Ⅱ） 4 0a a   ；（Ⅲ） 0a a  . 【解析】（Ⅰ）由指数函数 xy b 的图象过点 (2,4) ，得 2b  ，所以 2( ) 2 2 2 x x nf x     ， 又  f x 为 R 上的奇函数，所以  0 0f  ，得 1n   ， 经检验，当 1n   时，符合    f x f x   ，所以 1 2 1( ) 2 2 x xf x     ； （Ⅱ） 1 2 1 1 1( ) 2 2 2 2 1 x x xf x        ， 因为 2 1xy   在定义域内单调递增，则 1 2 1xy   在定义域内单调递减， 所以  f x 在定义域内单调递增减， 由于  f x 为 R 上的奇函数，所以由  2 3 ( ) 0f x x f a x     ， 可得    2 3 ( )f x x f a x f a x       ， 则 2 3x x a x   在 ( 4, )x    恰有 2 个互异的实数根， 即   2 4f x x x a   在 ( 4, )x    恰与 x 轴有两个交点， 则     4 0 0 0 4 4 0 2 0 4 f a a a f a                     ，所以实数 a 的取值集合为 4 0a a   . （Ⅲ）由（Ⅱ）知函数  f x 为 R 上的减函数且为奇函数， 由  2 2 ( 1) 0f t a f at    ，得    2 2 1f t a f at   ， 所以 2 2 1t a at   ，即 2 2 1 0t at a    对任意的 [ 1,1]t   恒成立， 令   2 2 1g t t at a    ， 由题意     1 0 1 0 g g     ，得 0a  ， 所以实数 a 的取值范围为： 0a a  .