决胜 2021 年全国高考数学考前保温练习
第 4 练 三角函数及解三角形（提升练）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.已知 3sin 5
， 3,2 2
，则 tan 2 （ ）
A. 24
7
B. 24
25
C. 24
25 D. 24
7
【答案】A
【解析】因为 3sin 5
且 3
2 2
，
所以
2
2 3cos 1 sin 1 5
4
5
，
所以 sin 3tan cos 4
，
故 2
3 22tan 244tan2 91 tan 71 16
， 故选：A.
2.在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2cos 2 2
A c b
c
，则 ABC 的形状为
（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由已知可得 2 cos 1 1cos ,2 2 2 2 2
A c b A b
c c
，
即 cos , cosbA b c Ac
．
由余弦定理得
2 2 2
cos 2
b c aA bc
，则
2 2 2
2
b c ab c bc
，
所以 2 2 2c a b ，由此知 ABC 为直角三角形．故选：B.
3.函数 2sin 0, 2 2f x x
的部分图象如图中实线所示，图中圆C
与 f x 的图象交于 M ， N 两点，且 M 在Y 轴上，下列说法：①函数 f x 的最小正周
期是 2 ；②函数 f x 的图象关于点 5 ,03
成中心对称；③点 M 的坐标是 0, 3 ，其
中正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】①中，根据函数 2sinf x x 的图象以及圆 C 的对称性，
可得 M ， N 两点关于圆心 ,0C c 对称，所以
3c ，
于是
2 6 2
T c ，所以
2
，解得 2 ，函数的周期为T ，所以①错误；
②中，由函数图象关于点 ,03C
对称，及周期T 知，
函数图象的对称中心为 ,03 2
k
k Z ，而 5
3 2 3
k 不存在 k Z 的解，所以②
错误；
③中，由 2 及
6x 的相位为 0，得 03 3
，
所以 2sin 2 3f x x
， 0 3f = ，从而 0, 3M ，所以③正确. 故选：B.
4.若 3cos( )4 5
，则 sin 2 （ ）
A． 7
25 B． 1
5 C． 1
5
D． 7
25
【答案】D
【解析】
2
2 3 7cos 2 2cos 1 2 14 4 5 25
，
且 cos 2 cos 2 sin 24 2
，故选：D.
5.已知函数 22cos 3sin 2 1f x x x （ 0 ）的最小正周期为 ，则下列说法
正确的是（ ）
A. 2
B. 函数 f x 的最大值为 1
C. 函数 f x 在 0 6,
上单调递增
D. 将函数 f x 的图象向右平移
6
个单位长度，可得到函数 ( ) 2sin 2g x x= 的图象
【答案】C
【解析】 22cos 3sin 2 1 cos2 3sin 2 2cos 2 3f x x x x x x
的
最小正周期为 ，所以 2
2
，解得 1 ，故 A 错误；
由于 2cos 2 3f x x
，可得 f x 的最大值为 2，故 B 错误；
在 0 6,
上， 2 ,03 3x
，故 2cos 2 3f x x
单调递增，故 C 正确；
将函数 f x 的图象向右平移
6
个单位长度，
可得到函数 22cos 2 2cos 26 3 3g x x x
，故 D 错误． 故选：C．
6.克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下
定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互
补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O 的直径为 2， A 为直径延长线上的一
点， 2OA ， B 为半圆上一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC ，则当线段 OC 的长取
最大值时， AOC （ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】C
【解析】因为OB AC OA BC OC AB ，且 ABC 为等边三角形， 1, 2OB OA ，
所 以 OB OA OC ， 所 以 3OC ， 所 以 OC 的 最 大 值 为 3 ， 取 等 号 时
180OBC OAC ，所以 cos cos 0OBC OAC ，不妨设 AB x ，
所以
2 21 9 4 9 02 4
x x
x x
，所以解得 7x ，
所以 9 4 7 1cos 2 2 3 2AOC
，所以 60AOC ，故选：C．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
7.函数 ( ) sin( )( 0f x A x A ， 0 ，| | )2
的部分图象如图所示，则下列结论正确
的是 ( )
A. ( )f x 的最小正周期为 2
B. 把 ( )y f x 图象上所有点向右平移
12
个单位长度后得到函数 ( ) 2cos2g x x 的图象
C. ( )f x 在区间[ 2
， 11 ]12
上单调递减
D. ,06
是 ( )y f x 图象的一个对称中心
【答案】CD
【解析】由函数 ( ) sin( )f x A x 的部分图象知，
2A ， 3 5 3( )4 12 3 4T ，
解得T ，所以 2 2T
，选项 A 错误；
由 5 5( ) 2sin(2 ) 212 12f ，得 5sin( ) 16
，
所以 5 26 2 k ， k Z ，| | 2
，
所以
3
，函数 ( ) sin( )f x x 2 2 3 ．
( )y f x 图象上所有点向右平移
12
个单位长度，
得 ( ) 2sin(2 ) 2cos212 2y f x x x 的图象，
所以 ( ) 2cos2g x x ，选项 B 错误；
[ 2x ， 11 ]12
时， 22 [3 3x ， 3 ]2
，
所以函数 ( ) sin( )f x x 2 2 3 单调递减，选项 C 正确；
因为 ( ) 2sin(2 ) 06 6 3f ，
所以 ,06
是 ( )y f x 图象的一个对称中心，选项 D 正确．故选： CD ．
8.将函数 ( ) sinf x x 的图象向右平移
6
个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的
1 0 ，得到函数 g x 的图象.若 g x 在 0, 上的值域为 1 ,12
，则（ ）
A. g x 在 0, 上有两个零点
B. g x 在 0, 上有两个极值点
C. g x 在区间 0, 2
上单调递增
D. 的取值范围为 2 4,3 3
【答案】CD
【 解 析 】 将 函 数 ( ) sinf x x 的 图 象 向 右 平 移
6
个 单 位 长 度 后 ， 函 数 的 解 析 式 为
sin 6y x
，
再将曲线上各点的横坐标变为原来的 1 0 ，得到函数 sin 6g x x
，
又 0,x ，所以
6 6 6x ，又 g x 在 0, 上的值域为 1 ,12
，
所以 7
2 6 6
，解得 2 4
3 3
，故 D 正确；
当 2
3
时，则
6 6 2x ，此时 g x 在 0, 上只有一个零点，故 A 不正确；
并且
6 6 2x
， 时， g x 单调递增，故 B 不正确；
0, 2x
，
6 6 2 6x ，当 2 4
3 3
时，
6 6 6x ，
所以函数 g x 在区间 0, 2
上单调递增，故 C 正确. 故选：CD．
9.若
△
ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 b﹣2a＋4asin2 A B
2
＝0，则
下列结论正确的是（ ）
A. 角 C 一定为锐角 B. a2＋2b2﹣c2＝0
C. 3tanA＋tanC＝0 D. tanB 的最小值为 3
3
【答案】BC
【解析】∵b﹣2a＋4asin2 A B
2
＝0，
∴ 2 C2 4 sin ( ) 02 2b a a ，
∴ 2 C2 4 cos 02b a a ，
∴ 1 cosC2 4 02b a a ，
∴ 2 cos C 0b a ，故 cosC＜0，∴角 C 一定为钝角，A 错误；
∴
2 2 2
2 2 22 cosC 0 2 0 2 02
a b cb a b a a b cab
，B 正确；
∴ 2 cos C 0 sin B 2sin A cos C 0 3sin A cos C cos A sin C 0b a
3tan A tan C 0 ，C 正确；
2
tan A tan C 2tan A 2 3tan B tan 1tan A tan C 1 3tan A 1 33tan A tan A
A C ，经检验“＝”取得
到，D 错误．故选：BC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分．
10.若 3sin 12 2
，则 2sin 2 3
________________．
【答案】 1
2
【解析】令
12
则 3,sin12 2
，代入 2sin 2 3
得
2
22 2 3 1sin 2 sin 2 sin 2 cos2 2sin 1 2 13 12 3 2 2 2
．
故答案为： 1
2
．
11.已知函数 2 1 1(sin ) sin 2 0,2 2f x x x R ，若 f x 在区间 ,2 内
没有极值点，则 的取值范围是___________.
【答案】 3 3 70, ,16 8 16
【解析】 2 1 1 1 1 2(sin ) sin 2 sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 2 2 4f x x x x x x ，
∴ ,2x 上 2 (2 ,4 )4 4 4x ， ( )f x 没有极值点，
∴ 2 2 4 22 4 4 2k k 或
32 2 4 22 4 4 2k k ，
∴
1
8
3
2 16
k
k
或
3
8
7
2 16
k
k
，而 4 (2 ) 24 4x x 且 0 得：
10 2
≤ ，
∴ 0k ， 30 16
或 3 7
8 16
. 故答案为： 3 3 70, ,16 8 16
12.如图，在平面四边形 ABCD 中， 1AD ， 2 6
3BD ， AB AC ， 2AC AB ，
则 CD 的最小值为_______.
【答案】 3
3
【 解 析 】 设 ADB ， 在 ABD△ 中 ， 由 正 弦 定 理 得
sin sin
AB BD
BAD
， 即
2 6
3
sin sin
AB
BAD
，整理得 2 6sin sin3AB BAD .
由余弦定理得 2 2 2 11 4 62 cos cos3 3AB AD BD AD BD ，
因为 AB AC ，所以
2BAD DAC .
在 ACD△ 中，由余弦定理得
2 2 2 22 cos 1 2 2 2 sinCD AD AC AD AC DAC AB AB BAD
25 8 6 8 3 25cos sin 8sin( )3 3 3 3
（其中 tan 2 ），
所以当sin( ) 1 时， min
3
3CD . 故答案为： 3
3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
2 sin (2 )sin ( 2 )sina A b c B b c C .
（1）求角 A 的大小；
（2）若 2 3a ，求 ABC 面积的最大值.
【答案】（1） 2
3
；（2） 3
【解析】（1）因为 2 sin (2 )sin ( 2 )sina A b c B b c C
由正弦定理可得 22 (2 ) ( 2 )a b c b b c c ，即 2 2 2a b c bc ，又
2 2 2 2 cosa b c bc A ，所以 1cos 2A ，因为 0,A ，所以 2
3A
（2）因为 2 2 2a b c bc ， 2 3a ，所以 2 2 12b c bc ，又 2 2 2b c bc ，所以
12 2bc bc ，即 4bc ，当且仅当b c 时取等号；
所以 1 1 3sin 32 2 2ABCS bc A bc
，故三角形 ABC 面积的最大值 3
14.已知函数 2 3 sin sin sin4 2 4 2
x xf x x
，若函数 g x 的图像与函
数 f x 的图像关于 y 轴对称；
（1）求函数 g x 的解析式；
（2）若存在 0, 2x
，使等式 2
0g x g x m 成立，求实数 m 的取值范围．
【答案】(1) 2sin 3g x x
；(2) 12, 4m
【解析】
(1) 2 3sin sin sin 2 3cos sin sin4 2 4 2 4 2 4 2
x x x xf x x x
3sin sin 3 cos sin 2sin2 3x x x x x
函数 g x 的图像与函数 f x 的图像关于 y 轴对称，
则 2sin 2sin3 3g x x x
(2) 0, 2x
，则 3 1, ,sin ,3 3 6 3 2 2x x
，即 1, 3g x
令 1, 3g x t ，所以方程 2 0t t m 在 1, 3 有解，
故方程
2
2 1 1
2 4m t t t
在 1, 3 有解，
所以直线 y m 与函数
21 1
2 4y t
， 1, 3t 的图象有公共点，
而函数
21 1
2 4y t
， 1, 3t 的值域为 12, 4
，
故 12, 4m .
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