湘豫联考2021届高三5月联考文数试题 含答案详解

2021 年普通高等学校全国统一招生考试 湘豫名校联考 数学（文科） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集U  R ，集合  1 4A x x   ，  2 8xB x  ，则  UA B ð （ ） A. (1,3) B. (1,3] C. (2,3] D. (3,4) 2.已知i 为虚数单位，复数 z 满足 1 i( 1)z z   ，则 z 的模为（ ） A.1 B. 2 C.2 D. 3 3.函数 2 3( ) cos xf x x x   的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4.若 0, 2      ，且 2 7cos cos 22 10        ，则 tan 2  （ ） A.3 B. 3 5 C.2 D. 3 4  5.随着我国经济水平的提升，旅游收入持续增长，且国内旅游的旅游量最大、潜力最深、基础性最强，下图 为连续 9 年我国国内旅游总收入统计图： 假设每年国内旅游总收入 y （单位：万亿元）与年份代号 x 线性相关，且满足  1.21y bx  ，则估计第 10 年国内旅游总收入约为（ ） A.5.97 万亿元 B.6.07 万亿元 C.6.17 万亿元 D.6.37 万亿元 6.将函数 ( ) cos 2f x x  的图象沿 x 轴向右平移 8  个单位长度后得到函数 ( )g x 的图象，则 ( )g x 的一个极 值点可能为（ ） A. 4x  B. 3 8x  C. x  D. 5 8x  7.已知直角梯形 ABCD 中， 1 4DC AB  ， 2BE EC  ， 60BAD   ， 4AB  ，则 AE AC   （ ） A.16 B.32 C.34 D.40 8.已知 ( )f x 为二次函数，且 2( ) ( ) 1f x x f x   ，则 ( )f x  （ ） A. 2 2 1x x  B. 2 2 1x x  C. 22 2 1x x  D. 22 2 1x x  9.如图，直线 :l y kx 与双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     交于 P ，Q 两点，点 M 为双曲线C 上异于 P ， Q ，且不与 P ，Q 关于坐标轴对称的任意一点，若直线 PM ，QM 的斜率之积为 3 4 ，则 k 的取值范围是 （ ） A. 1 1,2 2     B. 30, 2       C. 3 3,2 2      D. 3 3, ,2 2                 10.如图，已知六个直角边长均为 1 和 3 的直角三角形围成两个正六边形，若向该图形内随机投掷一个点， 则该点落在小正六边形内部的概率为（ ） A. 1 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3 4 11.执行下面的程序框图，则输出的 S  （ ） A.41 B.48 C.60 D.71 12.定义在 R 上的连续函数 ( )f x 的导函数为 ( )f x ，且 cos ( ) (cos sin ) ( )xf x x x f x   成立，则下列各式 一定成立的是（ ） A. (0) 0f  B. (0) 0f  C. ( ) 0f   D. 02f      第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知函数 ( ) exf x  ，则曲线 ( )f x 在点 (0,1) 处的切线在 x 轴上的截距为______. 14.若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日 圆.若椭圆  2 2 2 2: 1 44 x yC aa    的蒙日圆的半径为 2 3 ，则椭圆C 的离心率为______. 15.莱昂 哈德 ·欧拉 是近 代著 名的数 学家 ，欧 拉对 数学的 研究 非常 广泛 . 复变 函数 中的 欧拉公 式 （ i cos isine     ，其中 i 是虚数单位）可以实现指数式和复数式的互化，那么把1 i 化成指数式为 ______. 16.一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意 旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为3 2 ，则此正方体外 接球的表面积为______. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.已知数列 nb 的前 n 项和为 nS ， 2 nS n n  ， *nN ，等比数列 na 中， 1 1a b ， 4 8a b . （1）求数列 na 的通项公式； （2）设  cosn n nc a  ，求数列 nc 的前 2021 项的乘积 2021T . 18.已知在四棱锥 P ABCD 中， 90BAD   ， //AB CD ， 2 2PA AD CD AB    ， E 为 PD 的中 点，若正视图方向与向量 BA  的方向相同时，四棱锥 P ABCD 的正视图为三角形 PAD . （1）证明： PD  平面 ABE ； （2）若三角形 PAD 为直角三角形，求三棱锥 E PBC 的体积. 19.近几年，随着大众鲜花消费习惯的转变，中国进入一个鲜花消费的增长期.根据以往统计，某地一鲜花店 销售某种 B 级玫瑰花，在连续统计的 320 天的玫瑰花售卖中，每天的玫瑰花的销售量（单位：支）与特殊 节日的天数如下表： 非特殊节日的天数 特殊节日的天数 总计 销售量在[120,160]内的 天数 160 销售量在 (160,200]内的 天数 10 40 总计 170 320 （1）填写上表，判断是否有 99%的把握认为“每天的玫瑰花的销售量与特殊节日有关”? （2）若按分层抽样的方式，从上述表格的特殊节日中抽取 5 天作为一个样本，再从这个样本中抽取 2 天加 以分析研究，求这两天玫瑰花的销售量在[120,160]内的概率. 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    .  2P K k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20.直线l 交椭圆 2 2 : 14 2 x yC   于 A ， B 两点，满足OA OB ，其中O 为坐标原点. （1）证明：直线l 恒与一个定圆相切； （2）设椭圆C 在 A ， B 两点处的切线交于点 P ，求点 P 的轨迹方程. 21.已知函数 ( ) (ln 1)f x x x  ， ( )f x 的反函数为 ( )h x （其中 ( )f x 为 ( )f x 的导函数， ln 2 0.69 ）. （1）判断函数 2( )( ) 3 2f xg x x x    在 (0, ) 上零点的个数； （2）当 (0,1)x  ，求证： 3( ) 1( ) f x x xh x    . （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 已知曲线 1C 的参数方程为   2 2 2 41 ,1 2 1 1 kx k k y k         （ k 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立 极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 sin 4 a      . （1）将曲线 1C 的参数方程化为普通方程； （2）设曲线 1C 与曲线 2C 交于两点 A ， B ， 14AB  ，求实数 a 的值. 23.[选修 4-5：不等式选讲] 设 a 、b ， c 为正数， a b c M   ， 2 2 2 2 2 2a b b c c a     的最小值为 2 . （1）求 M 的值； （2）求不等式 3 | | | 2 | 4x M x M    的解集. 2021 年普通高等学校全国统招生考试 湘豫名校联考 数学（文科）答案 第Ⅰ卷 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A A D C D C B C A B C 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.【答案】B 【解析】    2 8 3xB x x x     3U B x x  ð ， 又  1 4A x x   ，则   (1,3]UA B ð ，故选 B. 2.【答案】A 【解析】由已知可得 i 1 1 iz    ，于是 | i 1|| | 1|1 i |z    ，故选 A. 3.【答案】A 【解析】因为 2 3( ) ( )cos xf x f xx x      ， 所以 ( )f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除 B，D； 因为 2 3( ) 01f    ，所以排除 C，故选 A. 4.【答案】D 【解析】 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 1 2tan 7cos cos 2 cos sin 22 sin cos tan 1 10                        ， tan 3  或 1tan 7    （舍）. 2 2tan 3tan 2 1 tan 4      .故选 D. 5.【答案】C 【解析】计算可得 5x  ， 3.69y  ，将点 (5,3.69) 代入  1.21y bx  ， 可得 0.496b  ，所以  0.496 1.21y x  ， 将 10x  代入，可得  6.17y  万亿元，故选 C. 6.【答案】D 【解析】根据题意，得 ( ) cos2 cos 28 4g x x x                ， 所以 2 4x k   ， k Z ， 所以 2 8 kx    ， k Z ，令 1k  ，可得 5 8x  ，故选 D. 7.【答案】C 【解析】法一：由题意可得 6AD  ， 2 2 ( )3 3AE AB BE AB BC AB BA AD DC                1 2 1 2 1 1 2( )3 3 3 3 4 2 3AB AD DC AB AD AB AB AD                   ， 1 4AC AD DC AD AB        ， 则 2 1 1 3 2 4AE AC AD AB AD AB                    2 2 2 22 1 2 2 1 26 4 cos60 4 6 343 8 3 3 8 3AD AB AB AD                 . 法二： 画出图形，由题意可得  4,3 3C ，  4,2 3E ， 则 4 4 2 3 3 3 34AE AC       ，故选 C. 8.【答案】B 【解析】由题意设 2( )f x x bx c   ， ( ) 2f x x b   ， 即 2 2 2 1x bx c x x b      ，解得 2b  ， 1c  ， 所以 2 ( ) 2 1f x x x   ，故选 B. 9.【答案】C 【解析】设 ( , )M x y ，  0 0,P x y ，则  0 0,Q x y  ，则 0 0 PM y yk x x   ， 0 0 QM y yk x x   ， 由题意知 22 2 2 0 2 22 2 2 0 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 4PM QM xxb ba ay y bk k x x x x a                 ， 所以双曲线C 的渐近线方程为 3 2y x  ， 所以 3 3 2 2k   .故选 C. 10.【答案】A 【解析】由题意可得，外面的正六边形的面积为  23 9 36 34 2    ， 内部的小正六边形的面积为 23 3 36 14 2    ， 所以所求概率为 3 3 12 39 3 2  .故选 A. 11.【答案】B 【解析】执行程序框图， 1k  ， 0S  ，满足 5k  ， 11 2 9m    ，满足 11k  ， 9S  ； 2k  ，满足 5k  ， 11 4 7m    ，满足 11k  ， 16S  ； 3k  ，满足 5k  ， 11 6 5m    ，满足 11k  ， 21S  ； 4k  ，满足 5k  ， 11 8 3m    ，满足 11k  ， 24S  ； 5k  ，不满足 5k  ， 10 11 1m     ，满足 11k  ， 23S  ； 6k  ，不满足 5k  ， 12 11 1m    ，满足 11k  ， 24S  ； 7k  ，不满足 5k  ， 14 11 3m    ，满足 11k  ， 27S  ； 8k  ，不满足 5k  ， 16 11 5m    ，满足 11k  ， 32S  ； 9k  ，不满足 5k  ， 18 11 7m    ，满足 11k  ， 39S  ； 10k  ，不满足 5k  ， 20 11 9m    ，满足 11k  ， 48S  ； 11k  ，不满足 5k  ， 22 11 11m    ，不满足 11k  ，输出 S 的值为 48，故选 B. 12.【答案】C 【解析】由题可得 cos ( ) sin ( ) cos ( )xf x xf x xf x   ， 所以 (cos ( )) cos ( )xf x xf x  ， 设 cos ( ) ( ) ex xf xg x  则 (cos ( )) cos ( )( ) 0ex xf x xf xg x    ， 所以 ( )g x 在 R 上单调递减. 由 (0) ( )2g g g      可得 ( ) (0) 0 e ff     ， 所以 (0) 0f  ， ( ) 0f   ， 所以选项 A、B 错误，选项 C 正确. 把 3 2x  代入 cos ( ) (cos sin ) ( )xf x x x f x   得 02f      ， 选项 D 错误，故选 C. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.【答案】-1 【解析】 ( ) exf x  ， ( ) exf x  ， (0) 1f   ， 切线方程为 1y x  ， 切线在 x 轴上的截距为-1. 14.【答案】 2 2 【解析】由题意得，当两切线分别为 x a 和 2y  时，也满足条件， 2 4 12a   ， 2 8a  ， 2 2 2 4 1 2 ae a    ， 2 2e  . 15.【答案】 i42e  （答案不唯一） 【解析】由题意知，把1 i 化成指数式需满足 tan 1  ， 例如当 4   时， i41 i 2 cos isin 2e4 4         ， 当 5 4   时， 5 i45 51 i 2 cos isin 2e4 4           . 16.【答案】 3 【解析】设正方体的棱长为 a ，则正方体的体对角线长为 3a ， 当正方体旋转到一条体对角线垂直于水平面时，容器内水的高度最大， 又因为水的体积是正方体体积的一半， 所以容器里水面的最大高度为体对角线的一半，即最大高度为 3 2 a . 设外接球的球心为O ，则球心O 为体对角线的中点， 设正方体为 1 1 1 1ABCD A B C D ，O 为 1BD 的中点， 取 1AA ， 1CC 的中点G ， H ， 1 1A B ， 1 1B C 的中点 E ， F ， 可证得 1BD EF ， 1BD GE ，进而可证 1BD  平面 GEFH ， 同理可得，水面截正方体各面形成的图形为正六边形，边长为 2 2 a ，周长为 3 2a ， 所以3 2 3 2a  ，则 1a  ， 所以正方体外接球的半径 3 2R  ，故正方体外接球的表面积为 24 3R  . 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.【解析】（1） 2 nS n n  . 当 2n  时， 1 2n n nb S S n   ， 又 1 1 2b S  ，  *2 Nnb n n   ， 8 16b  ， 1 2a  ， 4 16a  ， 等比数列 na 的公比为 2，  *2 Nn na n   （2）  cosn n nc a  ， 所以当 n 为奇数时， 1 n n c a  ， 当 n 为偶数时， n nc a ， 数列 nc 的前 2021 项的乘积 2021T 为： 20202 4 2021 1 3 2019 2021 1aa aT a a a a     1010 1011 2021 2 22   . 18.【解析】（1）根据正视图的概念，可得 AB  平面 PAD ， AB PD  . E 为 PD 的中点， PA AD ， AE PD  . AE AB A  ， PD  平面 ABE . （2） 1 2 (1 2) 32ABCDS      四边形 ， 1 1 3 2 23 3P ABCD ABCDV S PA      四边形 ， 又 E 为 PD 的中点， 1 12E ABCD P ABCDV V    . 又 1 2 2 12PAES    △ ， 1 1 11 13 3 3E PAB B PAE PAEV V S AB        △ . 1 22 1 3 3E PBC P ABCD E ABCD E PABV V V V          . 19.【解析】（1）填表如下： 非特殊节日的天数 特殊节日的天数 总计 销售量在[120,160]内的 天数 160 120 280 销售量在 (160,200]内的 10 30 40 天数 总计 170 150 320 2 2 320 (160 30 120 10) 14.521 6.635170 150 40 280K         ， 故有 99%的把握认为“每天的玫瑰花的销售量与特殊节日有关”. （2）根据分层抽样，抽取销售量在[120,160]内的特殊节日有 4 天，记为 A ， B ，C ， D ， 销售量在 (160,200]内的特殊节日有 1 天，记为 a ， 则从中抽取 2 天的结果为 ( , )A B ， ( , )A C ， ( , )A D ， ( , )A a ， ( , )B C ， ( , )B D ， ( , )B a ， ( , )C D ， ( , )C a ， ( , )D a ，共 10 种. 其中这两天玫瑰花的销售量在[120,160]内的结果有 ( , )A B ， ( , )A C ， ( , )A D ， ( , )B C ， ( , )B D ， ( , )C D ，共 6 种， 所以所求概率为 6 3 10 5  . 20.【解析】 （1）当直线的斜率存在时， 设直线l 的方程为 y kx m  ，代入 2 2 14 2 x y  得，  2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m     ， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 则 1 2 2 4 1 2 kmx x k    ， 2 1 2 2 2 4 1 2 mx x k   （※） 由OA OB 得    2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 0x x y y k x x km x x m       ， 将（※）代入化简得，  2 23 4 1m k  ， 所以点O 到直线l 的距离 2 | | 2 3 31 md k    ， 直线l 恒与定圆 2 2 4 3x y  相切， 当直线l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 2 3 3x   ， 也满足与定圆 2 2 4 3x y  相切， 直线l 恒与一个定圆相切. （2）设  0 0,P x y ，当 A ， B 不在坐标轴上，且 AB 的斜率存在时， 设直线  1 1 1:PA y k x x y   ，代入 2 2 14 2 x y  ， 由 0  ，得 1 1 12 xk y   ， 直线 1 1: 14 2 x x y yPA   ， 同理可得， 2 2: 14 2 x x y yPB   ， 因为它们都过点  0 0,P x y ， 所以 1 0 1 0 14 2 x x y y  ， 2 0 2 0 14 2 x x y y  ， 所以直线 0 0 14 2 x x y y  同时过点  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 即直线l 为 0 0 14 2 x x y y  ，即 0 0 0 2 2 x xy y y    ， 与 y kx m  对比得， 0 02 xk y   ， 0 2m y  由（1）知，  2 24 1m k  ，故有 2 0 2 2 0 0 12 4x y y   ，即 2 2 0 0 112 3 x y  ， 当 A ， B 在坐标轴上，或 AB 斜率不存在时， 经检验  0 0,P x y 仍满足 2 2 0 0 112 3 x y  ， 所以点 P 的轨迹方程为 2 2 112 3 x y  . 21.【解析】 （1）由题意得 2 2( )( ) 3 2 ln 3 2g x x x x xf xx        ， 则 (2 ( )) 1) 1( xg xx x   . 由 ( ) 0g x  ，得 1 2x  或 1x  . 由 ( ) 0g x  ，得 10 2x  或 1x  ； 由 ( ) 0g x  ，得 1 12 x  . 故当 x 在 (0, ) 上变化时， ( )g x ， ( )g x 的变化情况如下表： x 10, 2      1 2 1 ,12      1 (1, ) ( )g x + 0 - 0 + ( )g x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 根据上表知   1 3 ln 2 02 4g gx       极大值 ，   (1) 0g gx  极小值 ， 1 21 2ln 2 04 16g        . 根据零点存在性定理，函数 ( )g x 在 10, 2      上存在唯一零点， 又因为 (1) 0g  ， 所以根据 ( )g x 的单调性可知，函数 2( ) ( ) 3 2g x f x x x    在 (0, ) 上零点的个数为 2. （2）因为 ( ) lnf x x  ，其反函数为 ( ) exh x  ， 所以原不等式为  3 3(ln 1) 1 (ln 1) 1 ee x x x x x x x x x x         . 当 (0,1)x  时， ( ) 0f x  ， 故函数 ( )f x 在 (0,1) 上单调递减， 所以 ( ) (1) 1f x f   . 设函数  3( ) 1 exG x x x   ，则  3 2( ) 3 2 exG x x x x     . 设函数 3 2( ) 3 2p x x x x    ，则 2( ) 3 6 1p x x x    ， 易知 ( )p x 在 (0,1) 上单调递增. 因为 (0) (1) 8 0p p     ， 所以存在 0 (0,1)x  ，使得  0 0p x  ， 从而函数 ( )p x 在 00, x 上单调递减；在 0,1x 上单调递增. 当  00,x x 时，  0 (0) 2p x p   ， 当  0,1x x 时，  0 0p x  ， (1) 0p  ， 故存在 1 (0,1)x  ，使得  1 0G x  ， 即当  10,x x 时， ( ) 0G x  ，当  1,1x x 时， ( ) 0G x  ， 从而函数 ( )G x 在 10, x 上单调递减；在 1,1x 上单调递增. 因为 (0) 1G   ， (1) eG   ， 故当 (0,1)x  时， ( ) (0) 1G x G   ， 所以  3(ln 1) 1 exx x x x    ， 故 3( ) 1( ) f x x xh x    . （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计 分. 22.【解析】（1）由  2 2 2 1 1 k y k    ，得 2 212 1 y k     ，即 2 212 1 y k    ， 又 2 41 1 kx k    ，两式相除得 1 2 xk y   ，代入 2 41 1 kx k    ， 得 2 14 2 1 11 2 x y x x y          ， 整理得 2 2( 1) 4( 2)x y y     ，即为 1C 的普通方程. （2）曲线 2C 的极坐标方程 sin 4 a      化为直角坐标方程为 2 0x y a   ， 则圆 1C 的圆心 ( 1,0) 到直线 2 0x y a   的距离为 | 1 2 | 2 ad   ， 则  2 2 2 1 2 2 2 4 142 a AB r d       ，得 0a  或 2 . 23.【解析】（1） 2 2 2a b ab  ，  2 2 2 2 22 2 ( )a b a ab b a b       ， 即 2 2 2 ( ) 2 a ba b   ，两边开平方得 2 2 2 2| | ( )2 2a b a b a b     同理可得 2 2 2 ( )2b c b c   ， 2 2 2 ( )2c a c a   ， 三式相加，得 2 2 2 2 2 2 2( ) 2a b b c c a a b c M         ， 当且仅当 a b c  时，等号成立，所以 1M  . （2）由（1）可知求不等式| 3 3| | 2 | 4x x    的解集， 当 1x   时，原不等式等价于 (3 3) (2 ) 4x x     ，解得 5 4x   ， 当 1 2x   时，原不等式等价于 (3 3) (2 ) 4x x    ，解得 1 22 x   ， 当 2x  时，原不等式等价于 (3 3) ( 2) 4x x    ，解得 2x  ， 综上所述，原不等式的解集为 5 1, ,4 2               .