湘豫名校名校2021届高三联考（5月）数学（理科）试题 解析版

2021 年普通高等学校全国统一招生考试湘豫名校联考 数学(理科) 一､选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知全集U  R ，集合  1 4A x x   ，  2 8xB x  ，则  UA B  ð （ ） A.  1,3 B.  1,3 C.  2,3 D.  3,4 【答案】B 2. 已知i 为虚数单位，复数 z 满足  1 1z i z   ，则 z 的模为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】A 3. 若 0, 2      ，且 71 cos2 2sin 2 5     ，则 cos  （ ） A. 1 10 B. 10 10 C. 10 5 D. 3 10 10 【答案】B 4. 随着我国经济水平的提升，旅游收入持续增长，且国内旅游的旅游量最大､潜力最深､基础性最强，下图 为连续 9 年我国国内旅游总收入统计图： 假设每年国内旅游总收入 y (单位：万亿元)与年份代号 x 线性相关，且满足 .21ˆ 1ˆy bx  ，则估计第 10 年 国内旅游总收入约为（ ） A. 5.97 万亿元 B. 6.07 万亿元 C. 6.17 万亿元 D. 6.37 万亿元 【答案】C 5. 已知直角梯形 ABCD 中， 1 4DC AB  ， 2BE EC  ， 60BAD  ， 4AB  ，则 AE AC   （ ） A. 16 B. 32 C. 34 D. 40 【答案】C 6. 已知函数   sin 2f x x ，   exg x  ，则下列图象对应的函数可能为（ ） A.  2π ln4y f x g x      B.  π ln2y f x g x      C.  3π ln4y f x g x      D.  π ln4y f x g x      【答案】D 7. 已知  f x 为二次函数，且    2 1f x x f x   ，设数列 na 的前 n 项和为  f n ，则 10 1a a （ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 【答案】C 8. 已知函数    cos 0, 2f x A x           的图象沿 x 轴向右平移 8  个单位长度后得到函数   sin 2g x x 的图象，则  f x 的一个对称中心为（ ） A. ,08      B. 3 ,08      C. 5 ,08      D.  ,0 【答案】B 9. 如图，已知 P ，Q 是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     上关于原点对称的两点，点 M 为双曲线C 上 异于 P ，Q 且不与 P ，Q 关于坐标轴对称的任意一点，若直线 PM ，QM 的斜率之积为 3 4 ，且双曲线C 的 焦点到渐近线的距离为 3 ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A. 2 B. 7 C. 2 7 D. 4 【答案】D 10. 执行下面的程序框图，则输出的S 的值为（ ） A. 41 B. 48 C. 60 D. 71 【答案】B 11. 2020 年疫情期间，某县中心医院分三批共派出 6 位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医 院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为 1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者 为 2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为 3P ，则满足 1 2 3P P P  的分配方案的概率为（ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 20 D. 3 4 【答案】A 12. 设实数 a ，b 满足5 11 18a b a  ， 7 9 15a b b  ，则 a ，b 的大小关系为（ ） A. a b B. a b C. a b D. 无法比较 【答案】A 二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知实数 x ， y 满足 2 3 0 1 0 2 10 0 x x y x y           则 1 1z yx   的最小值为___________. 【答案】4 14. 若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日 圆.若椭圆  2 2 2 2: 1 44 x yC aa    的蒙日圆的半径为 2 3 ，则椭圆C 的离心率为___________. 【答案】 2 2 15. 一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意 旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为3 2 ，则此正方体外 接球的表面积为___________. 【答案】3 16. 已知数列 nb ，  1 * 12 Nn nb b b n     ，等比数列 na 中， 1 1a b ， 4 8a b ，若数列 nb 中去掉 与数列 na 相同的项后余下的项按原顺序组成数列 nc ，则 nc 前 200 项的和为___________. 【答案】42962 三､解答题：共 70 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答.第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. 在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，若 3sin cosc a C Cb    . （1）求角 B 的大小； （2）若 6C  ， 2a  ， F 为边 AC 上一点，且 2CF BF ，求 ABF 的面积. 【答案】（1） 2π 3 ；（2）1. 18. 在三棱锥 P BCD 中， BC PD⊥ ， 6BC  ， 12PC  ， PBD△ 是边长为 6 3 的等边三角形. （1）证明：平面 PCB  平面 PBD ； （2）设 A 是 CD 的中点，求 BC 与平面 PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 13 13 . 19. 已知圆 2 2: 2O x y  交抛物线  2: 2 0C y px p  的准线于 M 、 N 两点（ M 点在上方），且 OM ON . （1）求抛物线C 的方程； （2）过抛物线C 的焦点 F 的直线l 与抛物线交于 A 、 B 两点，若 MA MB ，求直线 l 的斜率. 【答案】（1） 2 4y x ；（2） 2 . 20. 一鲜花店销售某种玫瑰花，根据以往的日销售记录，这种玫瑰花的日销售额(单位：元)服从正态分布  21400,100N 在销售记录中，随机抽取 n 天，至少有一天日销售额在  1100,1700 之外的概率约为 0.0257．在这 n 天里，鲜花店老板每天给表现最好的 5 位员工每位两次抽奖的机会，每次抽奖结果只有“100 元和 50 元”两种结果，由于某种原因，二者出现的概率不一定是等可能的，设出现“100 元”的概率为 p ，各 次抽奖相互独立． （1）求 n 的值； （2）当有 10 人次参与抽奖时，恰有 6 人次得到 100 元的概率为  f p ，求  f p 的最大值点 0p ，当 0p p 时，设每位员工抽奖得到的金额为 X ，预计在这 n 天里，鲜花店老板需要拿出的抽奖金额的期望是多少？ 附：若随机变量 Z 服从正态分布  2,N   ，则  3 3 0.9974P Z        . 90.9974 0.9768 100.9974 0.9743 110.9974 0.9718 120.9974 0.9692 【答案】（1） 10n  ；（2） 0 3 5p  ，期望是8000(元)． 21. 已知函数     21 e xf x x   与   3 3 2 cos 12 xF x x x x    ( e 2.71828  是自然对数的底数， ln 2 0.69 ) （1）讨论关于 x 的方程  ln x f x 根的个数； （2）当  0,1x 时，证明：    1f x x F x   . 【答案】（1）方程根的个数是 2；（2）证明见解析. 22. 已知曲线 1C 的参数方程为   2 2 2 41 ,1 2 1 1 kx k k y k         ( k 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建 立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 πsin 4 a      . （1）将曲线 1C 的参数方程化为普通方程； （2）设曲线 1C 与曲线 2C 交于两点 A ， B ， 14AB  ，求实数 a 的值. 【答案】（1）   2 21 4 2x y y     ；（2） 0a  或 2 ． 23. 设 a ，b ， c 为正数， a b c M   ， 2 2 2 2 2 2a b b c c a     的最小值为 2 . （1）求 M 的值； （2）求不等式 3 2 4x M x M    的解集. 【答案】（1） 1M  ；（2） 5 1 ,4 2               .