挑战满分大题专练（三十四）—综合练习（20）-2021届高三高考数学三轮复习 教师版

挑战满分大题专练（三十四）—综合练习（20） 1．等差数列{ }na 的前 n 项和为 nT ，已知 4 4a  ， 5 8 13a a  ． （1）求{ }na 的通项公式及 nT ； （2）求数列 1{ 2 }n nT  的前 n 项和 nS ． 解：（1）由题意，设等差数列{ }na 的公差为 d ， 则 4 1 5 8 1 1 3 4 4 7 11 a a d a a a d a d           ， 整理，得 1 1 3 4 2 11 13 a d a d      ， 解得 1 1 1 a d    ， 1 1 ( 1)na n n      ， *n N ， ( 1) ( 1)1 12 2n n n n nT n       ． （2）由（1）知， 1 2 1 12 2 2( ) 2( 1) 1 n n n nT n n n n        ， 1 2 1 2 1 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 )n n n S T T T          1 2 1 2 1 1 1( ) (2 2 2 )n nT T T           11 1 1 1 1 2 22 (1 ) 2 ( ) 2 ( )2 2 3 1 1 2 n n n             11 1 1 1 1 2 22 (1 )2 2 3 1 1 2 n n n           11 2 22 (1 )1 1 2 n n      1 22 1 n n    ． 2．在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 5, 2b c  ， 45B   ． （1）求边 BC 的长； （2）在边 BC 上取一点 D ，使得 4cos 5ADB  ，求 sin DAC 的值． 解：（1）在 ABC 中，因为 5, 2, 45b c B     ， 由余弦定理知， 2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 所以 2 25 2 2 2 2a a      ，即 2 2 3 0a a   ， 解得 3a  或 1a   （舍 ) ， 所以 3BC  ． （2）在 ABC 中，由正弦定理知， sin sin b c B C  ， 所以 5 2 sin 45 sin C  ，解得 5sin 5C  ， 因为 4cos 5ADB  ， 所以 4cos 5ADC   ，即 ADC 为钝角，且 3sin 5ADC  ， 又 180ADC C CAD       ， 所以 C 为锐角， 所以 2 2 5cos 1 sin 5C C   ， 所以 sin sin(180 ) sin( )DAC ADC C ADC C           sin cos cos sinADC C ADC C      3 2 5 4 5 2 5 5 5 5 5 25      ． 3．如图所示，PA  平面 ABCD ， ABCD 为正方形，PA AB a  ，E 、F 、G 分别为 PA 、 PD 、 CD 的中点． （1）求证：直线 / /PB 平面 FEG ； （2）求直线 PB 与直线 EG 所成角余弦值的大小． 解：（1）证明：取 AB 中点 H ，连接 EH 、 HG ， E 、 F 为 PA 、 PD 的中点， / /EF AD ， 又 H 、G 为 AB 、CD 中点， / /GH AD ， / /EF GH ， E 、 F 、G 、 H 四点共面， 又在 PAB 中， / /EH PB ， EH  平面 EFG ， PB  平面 EFG ， / /PB 平面 EFG ． （2）解： / /PB EH ， PB 与GE 所成角的大小等于 EH 与 EG 所成角的大小， 即为 HEG ， PA  平面 ABCD ， PA HG  ，又 HG AB ， PA AB A ， HG  平面 PAB ， HG EH  ，在 Rt EHG 中， HG a ， 1 2 2 2EH PB a  ， 6 2EG a  ， tan 2HEG  ， 3cos 3   ， 故直线 PB 与直线 EG 所成角的余弦值为 3 3 ． 4．2020 年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者 8 万多人.2019 年 7 月份以来，共 完成 1931 个志愿服务项目，8900 多名志愿者开展志愿服务活动累计超过 150 万小时．为了 了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了 500 名志愿者每月的志愿服务时长 （单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求这 500 名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 x 和样本方差 2s （同一组中的数据 用该组区间的中间值代表）； （2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长 X 服从正态分布 2( , )N   ，其中  近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s ． 一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 2~ ( , )X N   ，令 XY    ，则 ~ (0,1)Y N ，且 ( ) ( )aP X a P Y   „ „ ． ( )i 利用直方图得到的正态分布，求 ( 10)P X„ ； ( )ii 从该地随机抽取 20 名志愿者，记 Z 表示这 20 名志愿者中每月志愿服务时长超过 10 小 时的人数，求 ( 1)P Z… （结果精确到 0.001) 以及 Z 的数学期望． 参考数据： 1.64 1.28 ， 200.7734 0.0059 ．若 ~ (0,1)Y N ，则 ( 0.78) 0.7734P Y „ ． 解：（1）由已知可得 6 0.02 7 0.1 8 0.2 9 0.38 10 0.18 11 0.08 12 0.04 9x                ， 所以 2 2 2 2 2 2(6 9) 0.02 (7 9) 0.1 (8 9) 0.2 (9 9) 0.38 (10 9) 0.18S                2 2(11 9) 0.08 (12 9) 0.04 1.64       ； （2）①由题意可知 9  ， 2 1.64  ， 所以 ~ (9,1.64)X N ， 1.64 1.28   ， 所以 10 9( 10) ( ) ( 0.78) 0.77341.28P X P Y P Y  „ „ „ ； ②由①知， ( 10) 1 ( 10) 1 0.7734 0.2266P X P X     „ ， 可得 ~ (20,0.2266)Z B ， 20( 1) 1 ( 0) 1 0.7734 1 0.0059 0.9941 0.994P Z P Z        … ， 故 Z 的数学期望为 ( ) 20 0.2266 4.532E Z    ． 5．设椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     的离心率为 2 2 3 ， 1F ， 2F 分别为椭圆 E 的左、右焦点， P 为椭圆上异于左、右顶点的任一点，△ 1 2PF F 的周长为 6 4 2 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）直线 3( )2y k x  交椭圆 E 于 C ，D 两点，A ，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，直线 AC 和直线 BD 交于点 M ，求证：点 M 到 y 轴的距离为定值 6． （1）解：设椭圆 E 的焦距为 2c ， 则根据题意知 2 2 ,2 2 6 4 23 c a ca     ，解得 3, 2 2a c  ，故 1b  ， 因此椭圆 E 的方程为 2 2 19 x y  ． （2）证明：设 1(C x ， 1)y ， 2(D x ， 2 )y ，由（1）可知 ( 3,0)A  ， (3,0)B ， 则直线 AC 的方程为 1 1 ( 3)3 yy xx   ， 直线 BD 的方程为 2 2 ( 3)3 yy xx   ， 所以直线 AC 与 BD 的交点 M 的横坐标为 1 2 2 1 2 1 1 2 3 ( 3) 3 ( 3) ( 3) ( 3)M y x y xx y x y x       ， 将 1 1 2 2 3 3( ), ( )2 2y k x y k x    代 入 上 式 化 简 得 ， 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 93(2 ) 4 3 92 2 9 3 3 692 2 M x x x x x x x xx x xx x         ． 将 3( )2y k x  代入椭圆方程 2 2 19 x y  整理得， 2 2 2 2(36 4) 108 81 36 0k x k x k     ，△ 0 ， 所以 2 2 1 2 1 22 2 108 81 36,36 4 36 4 k kx x x xk k     ， 所 以 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 81 36 1084 15 364 3 9 4 15( ) 36 36 4 36 46 6 03 6 3 6 3 6M k k x x x x x x x x k kx x x x x x x                     ． 因此，点 M 的横坐标为 6，即点 M 到 y 轴的距离为定值 6． 6．已知函数 ( ) lnxf x x  ． （1）设 ( ) ( ) ( )1 xg x f x f x    ，求函数 ( )g x 的最小值； （2）设 1( ) ( )h x f x  ，对任意 1x ， 2 (0, )x   ， 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )h x h x h x x k x x   … 恒成立， 求 k 的最大值． 解：（1） 1 1( ) lnxf x lnx x x   ， 令 1t x  ，则 ( ) ( ) (1 ) (1 )F t g x tlnt t ln t     ， (0,1)t  ， 则 ( ) 1 [ (1 ) 1] 1 tF t lnt ln t ln t         ， 当 1(0, )2t  时， ( ) 0F t  ， ( )F t 单调递减， 当 1(2t  ，1) 时， ( ) 0F t  ， ( )F t 单调递增， 故 ( )F t 的最小值是 1( ) 22F ln  ， 即 ( )g x 的最小值是 2ln ； （2） 1( ) ( )h x f xlnxx   ， 则 1 2 1 2( ) ( ) ( )h x h x h x x   1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x lnx x lnx x x ln x x     1 2 1 2 1 2 1 2 x xx ln x lnx x x x    1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )[ ]x x x xx x ln lnx x x x x x x x       1 2 1 2 1 2 1 2 ( )[ ( ) ( )]x xx x h hx x x x     ， 由（1）知 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2x x xh h F lnx x x x x x      … ， 故 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 2h x h x h x x x x ln     … ， 故 2k ln„ ， 故 k 的最大值是 2ln ．