专题 05：数列的综合应用-2021 年高考数列专题终极突破（全国通用）
一、单选题
1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能
化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，
截至 2020 年底，我国已累计开通 5G 基站超 70 万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进 5G 网络
建设，实现主要城区及部分重点乡镇 5G 网络覆盖.2021 年 1 月计划新建设 5 万个 5G 基站，以后每个月比
上一个月多建设 1 万个，预计我国累计开通 500 万个 5G 基站时要到（ ）
A．2022 年 12 月 B．2023 年 2 月 C．2023 年 4 月 D．2023 年 6 月
【答案】B
【分析】每个月开通 5G 基站的个数是以 5 为首项，1 为公差的等差数列，设预计我国累计开通 500 万个5G
基站需要 n 个月，结合等差数列的前 n 项和公式列得关于 n 的方程，解之即可．
【详解】每个月开通5G 基站的个数是以 5 为首项，1 为公差的等差数列，
设预计我国累计开通 500 万个5G 基站需要 n 个月，则
( 1)70 5 1 5002
n nn ，
化简整理得， 2 9 860 0n n ，
解得 25.17n 或 34.17 （舍负），
所以预计我国累计开通 500 万个 5G 基站需要 25 个月，也就是到 2023 年 2 月.
故选：B．
2．（2021·全国高二课时练习）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日
开始，每年到银行储蓄 a 元一年定期，若年利率为 r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的
一年定期，当孩子 18 岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（ ）
A． 171a r B． 171 1a r rr
C． 181a r D． 181 1a r rr
【答案】D
【分析】根据题意依次分析孩子在 1 周岁时、2 周岁时存入的 a 元产生的本利合计，则可得是以 1a r
为首项，1 r 为公比的等比数列的前 17 项的和，由等比数列的求和公式可得答案.
【详解】根据题意，当孩子 18 岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的 a 元产生的本利合计为 171a r ，
同理：孩子在 2 周岁生日时存入的 a 元产生的本利合计为 161a r ，
孩子在 3 周岁生日时存入的 a 元产生的本利合计为 151a r ，
孩子在 17 周岁生日时存入的 a 元产生的本利合计为 1a r ，
可以看成是以 1a r 为首项，1 r 为公比的等比数列的前 17 项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：
17
17 16 181 1 1
1 1 1 1 11 1
a r r aS a r a r a r r rr r
故选：D
【点评】本题考查数列的应用，涉及等比数列的前 n 项和的公式的应用，属于基础题.
3．（2021·全国高二课时练习）某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果 2018 年退耕 a 万亩，以后每年比
上一年增加10% ，那么到 2025 年一共退耕（ ）
A． 810 1.1 1a B． 81.1 1a C． 710 1.1 1a D． 71.1 1a
【答案】A
【分析】建立等比数列模型后，利用等比数列的前 n 项和的公式即可得到结论.
【详解】记 2018 年为第一年，第 n 年退耕{ }na 亩，
则{ }na 为等比数列，且 1a a ，公比 (1 10%)q ,
则问题转化为求数列{ }na 的前 8 项和，
所以数列{ }na 的前8 项和为：
8 8
81(1 ) (1 1.1 ) 10 (1.1 1)1 1 1.1
a q a aq
.
所以到 2025 年一共退耕 810 1.1 1a 亩.
故选：A
【点评】本题考查了数列的应用，考查了数学建模能力，考查了等比数列的前 n 项和公式，属于基础题.
4．（2021·全国高二课时练习）小李年初向银行贷款 M 万元用于购房，购房贷款的年利率为 p ，按复利计
算，并从借款后次年年初开始归还，分10 次等额还清，每年1次，问每年应还万元.
A．
10
M B．
10
10
1
1 1
Mp p
p
C． 101
10
p p D．
9
9
1
1 1
Mp p
p
【答案】B
【详解】设每年应还 x 万元，则 2 9 10(1 ) (1 ) ... (1 ) (1 )x x p x p x p M p ，
10
10[1 (1 ) ] (1 )1 (1 )
x p M pp
，选
10
10
(1 )
(1 ) 1
MP px p
.选 B.
5．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃
至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求
和问题.现有 132 根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，
要求层数不小于 2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多 1 根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到 1
2642 = 1a nn
，由 n 为 264 的因数，且
264 1nn
为偶数，把四个选项一一代入验证即可.
【详解】设最上面一层放 1a 根，一共放 n（n≥2）层，则最下一层放 1 1a n 根，
由等差数列前 n 项和公式得： 12 1 1322
n a n ，
∴ 1
2642 = 1a nn
，
∵ 1 Na ,∴n 为 264 的因数，且 264 1nn
为偶数，
把各个选项分别代入，验证，可得：n=8 满足题意.
故选：D
【点评】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语
言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
（2）等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．
6．（2021·湖北高三二模）为了更好地解决就业问题，国家在 2020 年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有
不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主 2020 年 4 月初向银行借了免息贷款 8000 元，用于进货，
因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的 20%，每月底扣除生活费 800 元，
余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到 2021 年 3 月底该摊主的年所得收入为（ ）
（取 11(1.2) 7.5 ， 12(1.2) 9 ）
A．24000 元 B．26000 元 C．30000 元 D．32000 元
【答案】D
【分析】设 0 8000a ，从 4 月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为 1 2 12, , ,a a a ，由题意得出{ }na
的递推关系，变形构造出等比数列，由得其通项公式后可得结论．
【详解】设 0 8000a ，从 4 月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为 1 2 12, , ,a a a ，
1 0 0
6(1 20%) 800 8005a a a ，、
同理可得 1
6 8005n na a ，所以 1 4000 1.2( 4000)n na a ，而 0 4000 4000a ，
所以数列{ 4000}na 是等比数列，公比为1.2，
所以 4000 4000 1.2n
na ， 12
12 4000 1.2 4000a 4000 9 4000 40000 ，
总利润为 40000 8000 32000 ．
故选：D．
【点评】本题考查数列的实际应用．解题方法是用数列表示月初进货款，得出递推关系，然后构造等比数
列求解．
7．（2021·黑龙江高三三模（文））复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各
计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内
产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定
月利率为1.5% ，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12 次，直到十二月月底还清贷
款，把还款总额记为 x 元，如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的
1.525% ，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为 y 元.则 y x 的值为（ ）(参考数据：
121.015 1.2 )
A． 0 B．1200 C．1030 D．900
【答案】C
【分析】按复利计算，设小闯同学每个月还款 a 元，则根据题意得：到第十二次还款后，全部还清，即：
12 11 1010000 1 1.5% 1 1.5% 1 1.5% 1 1.5% 0a a a a ，进而解得 900a ，即
12 900 10800x ；按照单利计算利息，12 月后，所结利息共10000 0.01525 12 1830 元，故
10000 1830 11830y ，进而得答案.
【详解】由题知，按复利计算，设小闯同学每个月还款 a 元，
则小闯第一次还款 a 元后，还欠本金及利息为 10000 1 1.5% a 元，
第二次还款 a 元后，还欠本金及利息为 210000 1 1.5% 1 1.5%a a 元，
第三次还款 a 元后，还欠本金及利息为 3 210000 1 1.5% 1 1.5% 1 1.5%a a a 元，
依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即：
12 11 1010000 1 1.5% 1 1.5% 1 1.5% 1 1.5% 0a a a a ，
即：
12
12 1 1.01510000 1.015 1 1.015a
，解得 900a .
故 12 900 10800x 元.
按照单利计算利息，12 月后，所结利息共10000 0.01525 12 1830 元，
故 10000 1830 11830y 元，
故 11830 10800 1030y x .
故选：C.
【点评】本题考查复利的计算，考查运算求解能力，数学建模思想，是中档题.本题解题的关键在于复利的
计算，设小闯同学每个月还款 a 元，则第十二次还款后，全部还清，即：
12 11 1010000 1 1.5% 1 1.5% 1 1.5% 1 1.5% 0a a a a ，进而得每月还款的金额，
进而求解.
8．（2021·全国高三专题练习（文））十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三
分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 0,1 均分为三段，去
掉中间的区间段 1 2,3 3
，记为第一次操作：再将剩下的两个区间 10, 3
， 2 ,13
分别均分为三段，并各自
去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分
别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康
托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于 1818
2021
，则操作的次数 n 的最大值为（ ）(参考数据：
42 0.19753
，
52 0.13173
，
62 0.08783
，
72 0.05853
)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】记 na 表示第 n 次去掉的长度，然后根据等比数列的前 n 项和公式计算 nS ，最后根据 1818
2021nS ，
可得结果.
【详解】记 na 表示第 n 次去掉的长度
所以 1
1
3a ，第 2 次操作，去掉的线段长为 2 2
2
3a ，......，第 n 次操作，去掉的线段长度为
12
3
n
n na
所以
1 213 3 212 31 3
n
n
nS
，则 2 1818 2 2031 0.10043 2021 3 2021
n n
由
52 0.13173
，
62 0.08783
，所以 n 的最大值为 5
故选：B
【点评】本题关键在于掌握第 n 次操作，去掉的线段长度为
12
3
n
n na
，建立等比数列的数学模型求解.
9．（2021·吉林吉林市·高三三模（文））《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、
惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前
三个节气日影长之和为 28.5 尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年 3 月 20 日17 时37 分为春分时节，
其日影长为（ ）
A． 4.5 尺 B．3.5 尺 C． 2.5 尺 D．1.5尺
【答案】A
【分析】由题意构造等差数列 na ，设公差为 d，利用基本量代换求出通项公式，然后求 7a .
【详解】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构
成等差数列 na ，设公差为 d，由题意得：
1 2 3
10 11 12
28.5
1.5
a a a
a a a
，
解得： 1 10.5
1
a
d
所以 1 1 11.5na a n d n ，
所以 7 11.5 7 4.5a ，
即春分时节的日影长为 4.5.
故选：A
【点评】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语
言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换.
10．（2021·全国高二课时练习）公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌
龟在跑步英雄阿基里斯前面1000 米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10 倍.当比
赛开始后，若阿基里斯跑了1000 米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先
他10 米，当阿基里斯跑完下一个10 米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，
若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A．
510 1
900
米 B．
510 9
90
米
C．
410 9
900
米 D．
410 1
90
米
【答案】D
【分析】根据题意，是一个等比数列模型，设 1
1100, , 0.110 na q a ，由
110.1 100 10
n
na
，解得 4n ，再求和.
【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，
设 1
1100, , 0.110 na q a ，
所以
110.1 100 10
n
na
，
解得 4n ，
所以
4
4
4
4
1
1100 1 101
11 1 1
0
0
1 1
90
a q
S q
.
故选：D.
【点评】本题主要考查了等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力.属于中档题.
二、填空题
11．（2021·全国高一课时练习）某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r，存期是 x，本利
和(本金加利息)为 y 元，则本利和 y 随存期 x 变化的函数解析式是_________．
【答案】y＝a(1＋r)x，x∈N*
【分析】先写出 1 期后本利和，2 期后本利和，3 期后本利和，由此得出规律，得出答案.
【详解】已知本金为 a 元，利率为 r，
则 1 期后本利和为 y＝a＋ar＝a(1＋r)，
2 期后本利和为 y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2
3 期后本利和为 y＝a(1＋r)3，…
x 期后本利和为 y＝a(1＋r)x，x∈N*.
故答案为：y＝a(1＋r)x，x∈N*.
12．（2021·上海高三二模）已知桶 0A 中盛有 2 升水，桶 0B 中盛有 1 升水．现将桶 0A 中的水的 3
4
和桶 0B 中
的水的 1
4
倒入桶 1A 中，再将桶 0A 与桶 0B 中剩余的水倒入桶 1B 中；然后将桶 1A 中的水的 3
4
和桶 1B 中的水
的 1
4
倒入桶 2A 中，再将桶 1A 与桶 1B 中剩余的水倒入桶 2B 中；若如此继续操作下去，则桶 nA ( )n N 中的
水比桶 nB ( )n N 中的水多_______升．
【答案】 1
2n ．
【分析】根据题意，得到 nA ， nB 之间的关系，然后用数列知识求解．
【详解】根据题意可得， 1 1
3 13, 4 4n n n n nA B A A B ，
1 1 1
3 1 1 3(3 )4 4 2 4n n n nA A A A ，
1
3 1 3( )2 2 2n nA A ，即数列 3
2nA
是以 1 0 0
3 3 1 3 1
2 4 4 2 4A A B 为首项， 1
2
为公比的等比数
列，
1 1
3 1 1 1
2 4 2 2n n nA 1
3 1
2 2n nA ，
1
3 13 2 2n n nB A ，
*
1
1 12 ( )2 2n n n nA B n N ．
故答案为： 1
2 n
13．（2021·全国高三专题练习（理））赵先生准备通过某银行贷款 5000 元，然后通过分期付款的方式还款．银
行与赵先生约定：每个月还款一次，分 12 次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为
0.5％，则赵先生每个月所要还款的钱数为______元．（精确到 0.01元，参考数据
12
12
1 0.5 17.213
1 0.5 1
％
％
）
【答案】 430.33
【分析】本题首先可设每一期所还款数为 x 元，然后结合题意列出每期所还款本金，并根据贷款 5000 元列
出方程，最后借助等比数列前 n 项和公式进行计算即可得出结果.
【详解】设每一期所还款数为 x 元，
因为贷款的月利率为 0.5％，
所以每期所还款本金依次为
1 0.5
x
％、 21 0.5
x
％ 、 31 0.5
x
％ 、、 121 0.5
x
％ ，
则 2 3 12 50001 0.5 1 0.5 1 0.5 1 0.5
x x x x ％ ％ ％L ，
即
2 3 12
1 1 1 1 50001 0.5 1 0.5 1 0.5 1 0.5
x ％ ％ ％
L ，
11 10
12
1 0.5 1 0.5 1 0.5 1 5000
1 0.5
x ％ ％ ％
％
，
12
12
1 0.5 1 5000
0.5 1 0.5
x
％
％ ％
，
12
12
1 0.5000 0.5 430.33
1 0
5
.5 1
x
％ ％
％
，小明每个月所要还款约 430.33元，
故答案为： 430.33.
14．（2021·全国高二课时练习）某同学让一弹性球从 128 米高处下落，每次着地后又跳回原来高度的一半再
落下，则第 8 次着地时球所运动的路程的和为________ m．
【答案】382
【分析】先分析出第 n 次落地到第 1n 次落地之间球运动的路程为 na ，则 na 是首项 1 128a 米，公比为
1
2
的等比数列，直接利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】记第 n 次落地到第 1n 次落地之间球运动的路程为 na ，
则 na 是首项 1 128a 米，公比为 1
2
的等比数列，
所以第 8 次着地时球所运动的路程的和为:
8
8
1128 1 2=2 128 382
1
2 128 1
2
S S
．
故答案为：382.
【点评】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
（1）求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文
字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
（2）数列类应用题转化为等差、等比模型，应用相关数学知识求解.
15．（2021·全国高三专题练习）在数列 na 中， 1 1a ， 1 2 2
13 3 2 3 2( 2)n n n
n na a n
， nS 是数列
1na
n
的前 n 项和，当不等式 *
1
(3 1)( ) 1( )3 ( )
m
n
m
n
S m m NS m
恒成立时，mn 的所有可能取值为 .
【答案】1 或 2 或 4
【详解】试题分析：由 1 2 2
13 3 2 3 2( 2)n n n
n na a n
得 1 2 1 2 2
13 ( 1) 3 ( 1) 3 3 2 3 2( 2)n n n n n
n na a n
，即 1 2
13 ( 1) 3 ( 1) 2( 2)n n
n na a n
，
所以数列 13 ( 1)n
na 是以 1 1
13 ( 1) 2a 为首项、 2 为公比的等比数列，所以 13 ( 1) 2n
na n ，由
1
1 2
3
n
n
a
n
，
12 (1 ) 13 3(1 )1 31 3
n
n nS
，所以
1
1
1
1(3 1)[3(1 ) ](3 1)( ) (3 )3 3 (3 )3 3 (3 )3 2 3 33 1 113 ( ) (3 )3 3 (3 )3 33 [3(1 ) ]3
m
m m n m n n mnn
m m n m m n m
mn
n
mS m m m m
S m m mm
即
(3 )3 2 3 3 0(3 )3 3
n m
m n m
m
m
，当 3m 时，该不等式不成立，当 3m 时有
2 3 33 3 013 3
m
n
n
m
m
恒成立，
当 1m 时，1 932 2
n ， 1n ，这时 1mn ，当 2m 时，1 3 21n ， 1,2n ，这时 2mn 或 4mn ，
当 4m≥ 时，
2 3 33 3 013 3
m
n
n
m
m
不成立，所以 mn 的所有可能取值为1或 2 或 4 .
考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题.
【点评】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递
推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给
出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列 13 ( 1)n
na 是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨
论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力.
三、解答题
16．（2021·浙江高二单元测试）小张在 2020 年初向建行贷款 50 万元先购房，银行贷款的年利率为 4%，要
求从贷款开始到 2030 年要分 10 年还清，每年年底等额归还且每年 1 次，每年至少要还多少钱呢(保留两位
小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)
【答案】每年至少要还 6.17 万元.
【分析】根据贷款总额和还款总额相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.
【详解】50 万元 10 年产生本息和与每年还 x 万元的本息和相等，
故有购房款 50 万元十年的本息和：50(1＋4%)10，
每年还 x 万元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝
101 (1 4%)
1 (1 4%) x
，
从而有 50(1＋4%)10＝
101 (1 4%)
1 (1 4%) x
，
解得 x≈6.17，即每年至少要还 6.17 万元.
17．（2021·全国高三专题练习）淮安市 2019 年新建住房面积为 500 万 2m ，其中安置房面积为 200 万 2m .
计划以后每年新建住房面积比上一年增长 10%，且安置房面积比上一年增加 50 万 2m .记 2019 年为第 1 年.
（1）我市几年内所建安置房面积之和首次不低于 3000 万 2m ？
（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由.
【答案】（1）8 年；（2）第 7 年和第 8 年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变，理由见解析.
【分析】（1）由题意得，所建安置房面积为等差数列，由等差数列的前 n 项和公式，得到答案；
(2）由题意得，新建住房面积是等比数列，两者做比，可得比例相等时的年份．
【详解】（1）设 n *( )nN 年内所建安置房面积之和首次不低于 3000 万 2m ，依题意，每年新建安置房面
积是以 200 为首项，50 为公差的等差数列，从而 n 年内所建安置房面积之和为 ( 1)200 502
n nn
2m ，
则 ( 1)200 50 30002
n nn ，整理得， 2 7 120 0n n ，解得 8n ( 15n 舍去).
答：8 年内所建安置房面积之和首次不低于 3000 万 2m .
（2）依题意，每年新建住房面积是以 500 为首项，1.1 为公比的等比数列，
设第 m 年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为 ( )p m ，
则 1 1
200 50( 1) 3( ) 500 (1 0.1) 10 1.1m m
m mp m
，
由 ( ) ( 1)p m p m 得， 1
3 4
10 1.1 10 1.1m m
m m
，解得 7m .
答：第 7 年和第 8 年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变.
18．（2021·全国高二课时练习）已知数列 1 2 30, , ,a a a ，其中 1 2 10, , ,a a a 是首项为 1，公差为 1 的等差数
列； 10 11 20, , ,a a a 是公差为 d 的等差数列； 20 21 30, , ,a a a 是公差为 2d 的等差数列（ 0d ）．
（1）若 20 30a ，求公差 d ；
（2）试写出 30a 关于 d 的关系式，并求 30a 的取值范围．
【答案】（1）2；（2） 15[ , )2
．
【分析】（1）根据等差数列前 10 项的的首项与公差求得 10a ，再根据 20a 求得中间 10 项的公差；
（2）根据等差数列通项公式，列出 30a ，再由公差为 2d （ 0d ）可得 30a 的取值范围．
【详解】（1）由题意可得 10 10a ， 20 10 10 30a d ，所以 2d ．
（2）由题可得 2 2
30 20 10 10 1 0a a d d d d ，
即
2
30
1 310 2 4a d
，
当 ,0 0,d 时， 30
15 ,2a
．
【点评】本题考查了等差数列通项公式及简单应用，属于基础题．
19．（2021·全国高二课时练习）张先生 2018 年年底购买了一辆1.6L 排量的小轿车，为积极响应政府发展森
林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资 1 万元
向中国绿色碳汇基金会购买了 2 亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶 3000 公里就要排放 1 吨
二氧化碳，林木每生长 1 立方米，平均可吸收 1.8 吨二氧化碳.
（1）若张先生第一年（即 2019 年）会用车 1.2 万公里，以后逐年增加 1000 公里，则该轿车使用 10 年共要
排放二氧化碳多少吨？
（2）若种植的林木第一年（即 2019 年）生长了 1 立方米，以后每年以 10%的生长速度递增，问林木至少
生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用 10 年排出的二氧化碳的量（参考数据： 141.1 3.7975 ，
151.1 4.1772 ， 161.1 4.5950 ）?
【答案】（1）55 吨；（2）15 年
【分析】（1）分析出小轿车排出的二氧化碳的吨数构成等差数列，利用等差数列求和公式求和即可；（2）
分析出林木吸收二氧化碳的吨数构成等比数列，根据题意利用等比数列求和公式列出不等式，再利用参考
数据求出 n 的范围即可得解.
【详解】（1）设第 n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为 *
na n N ，
则 1
12000 43000a ， 2
13000 13
3000 3a ， 3
14000 14
3000 3a ，…，
显然其构成首项为 1 4a ，公差为 2 1
1
3d a a 的等差数列，
记其前 n 项和为 nS ，则 10
10 9 110 4 552 3S ，
所以该轿车使用 10 年共排放二氧化碳 55 吨.
（2）记第 n 年林木吸收二氧化碳的吨数为 *
nb n N ，
则 1 1 1.8b ， 2 1 (1 10%) 1.8b ， 2
3 1 (1 10%) 1.8b ，…，
显然其构成首项为 1 1.8b ，公比为 1.1q 的等比数列，
记其前 n 项和为 nT ，
由题意，有 1.8 1 1.1
18 1.1 1 551 1.1
n
n
n
T
，解得 15n .
所以林木至少生长 15 年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用 10 年排出的二氧化碳的量.
【点评】本题考查数列的应用、等差数列求和公式、等比数列求和公式，属于基础题.
20．（2021·全国）据相关数据统计，2019 年底全国已开通5G 基站 13 万个，部分省市的政府工作报告将“推
进5G 通信网络建设”列入 2020 年的重点工作，今年一月份全国共建基站 3 万个.
（1）如果从 2 月份起，以后的每个月比上一个月多建设 2000 个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精
确到 0.1 万个）
（2）如果计划今年新建基站 60 万个，到 2022 年底全国至少需要 800 万个，并且，今后新建的数量每年比
上一年以等比递增，问 2021 年和 2022 年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到 1 万个）
【答案】（1）62.2 万个，（2）2021 年 181 万个，2022 年 547 万个
【分析】（1）今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为 3 万个，公差为 0.2 万，根据等差数列的
求和公式可得今年建设基站的个数，再加上去年基站的个数即可得到答案；
（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为 q ( 1)q ，根据题意列式
260 60 60 800 13q q ，可得 371 1
30 2q ，再求出 60q 和 260q 即可得到答案.
【详解】（1）依题意，今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为 3 万个，公差为 0.2 万，
所以今年一共建设基站 12 113 12 0.2 49.22
万个，
所以今年底全国共有基站13 49.2 62.2 万个.
（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为 q ( 1)q ，
则 260 60 60 800 13q q ，即 2 727 060q q ，解得 371 1
30 2q ，
所以 37160 60 30 18130q 万个， 2 2371 160 60 ( )30 2q 547 万个.
所以 2021 年至少新建181万个基站，2022 年至少新建547 万个基站才能完成计划.
【点评】本题考查了数列建模，考查了等差数列的求和公式和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，
属于中档题.
21．（2021·全国高二课时练习）为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨，该矿
区计划从 2018 年开始出口，当年出口 a 吨，以后每年出口量均比上一年减少 10%．
（1）以 2018 年为第一年，设第 n 年出口量为 an 吨，试求 an 的表达式；
（2）国家计划 10 年后终止该矿区的出口，问 2018 年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数)
【答案】（1） 10.9n
na a （2）12.3 吨．
【分析】（1）利用每年的出口量构造等比数列，求出公比，再利用等比数列的通项公式可得结果；
（2）利用 10 80S 可解得结果.
【详解】（1）由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1＝a，公比 q＝1－10%＝0.9，
∴ 10.9n
na a ．
（2）10 年的出口总量
10
10
10
(1 0.9 ) 10 (1 0.9 )1 0.9
aS a
．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，
即 a≤ 10
8
1 0.9
8 12.31 0.35
，
∴a≤12.3．故 2018 年最多出口 12.3 吨．
22．（2021·全国高三专题练习）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，点 ( , )nSn n
在直线 1 11
2 2y x 上．数列 nb
满足
2 12 0n n nb b b *( )n N ， 3 11b ，且其前 9 项和为 153.
（Ⅰ）求数列 na ， nb 的通项公式；
（Ⅱ）设 3
(2 11)(2 1)n
n n
c a b
，数列 nc 的前 n 项和为 nT ，求使不等式
57n
kT 对一切 *n N 都成立
的最大正整数 k 的值．
【答案】（Ⅰ） 5na n ， 3 2nb n ；（Ⅱ） max 18k .
【详解】（Ⅰ）由已知得 1 11
2 2
nS nn
，
21 11
2 2nS n n
当 2n 时，
1n n na S S 2 21 11 1 11( 1) ( 1)2 2 2 2n n n n 5n
当 1n 时， 1 1 6a S 也符合上式．
5na n ， *n N .
由 2 12 0n n nb b b *( )n N 知 nb 是等差数列，
由 nb 的前 9 项和为 153，可得 1 9
5
9( ) 9 1532
b b b ，
得 5 17b ，又 3 11b ，
∴ nb 的公差 ，
由 3 1 2b b d ，得 1 5b ，
∴ 3 2nb n ， *n N .
（Ⅱ） 3 1 1 1( )(2 1)(6 3) 2 2 1 2 1nc n n n n
，
1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ··· ( )]2 3 3 5 2 1 2 1nT n n
1 1(1 )2 2 1n
∵ n 增大， 1
2 1n
减小 ， nT 增大，
∴ nT 是递增数列．
∴ 1
1
3nT T . 即 nT 的最小值为 1
3
要使得
57n
kT 对一切 *n N 都成立，只要 1
1
3 57
kT ，
19k ，则 max 18k .
23．（2021·全国高二课时练习）某企业进行技术改造，有两种方案．甲方案：今年 1 月 1 日一次性贷款 10
万元，今年便可获利 1 万元，以后每年比上一年增加 30%的利润．乙方案：从今年开始，每年 1 月 1 日贷
款 1 万元，今年可获利 1 万元，以后每年比上一年增加 5 千元利润．贷款银行规定两种方案的使用期都是
10 年，即到第 11 年 1 月 1 日一次性归还本息．且银行规定两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算，试比
较两种方案中，哪种使该企业获利更多？用数据说明理由（注意：企业每年的利润不存入银行，不计息）．
（以下数据供参考： 10 10 101.05 1.629,1.3 13.786,1.5 57.665 ）
【答案】第一种方案企业获利更多.见解析
【分析】第一种方案，利用等比数列求和公式求总利润，再减去银行的本息，可得纯利润；用第二种方案，
利用等差数列求和公式求总利润，再减去银行的本息，可得纯利润，比较大小可得答案.
【详解】用第一种方案，企业 10 年所获利润总和为：
1+ 11.3 +…+ 91.3 =
101 1.3 42.621 1.3
（万元），
付给银行本息为： 1010 1.05 16.29（万元），
企业所获纯利 42.62-16.29=26.33（万元）.
用第二种方案，企业 10 年所获利润总和为：
10 910 1 0.5 32.52
（万元），
付给银行本息为： 10
10 9 1 1.05 1 1.05
1.05 1.05 1.05 1 1.05
13.21（万元），
企业所获纯利 32.5-13.21=19.29（万元）.
对比知第一种方案企业获利更多.
【点评】本题考查等差等比数列的求和公式，考查数列在复利计算中的应用，是基础题.
24．（2021·全国高二课时练习）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于 2005 年 8 月 15
日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017 年 10 月 18 日，该理论写入中共 19 大报告，为响应总书记
号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地 1 万平方公里，其中 70% 是沙漠，从今年起，该地区
进行绿化改造，每年把原有沙漠的16% 改造为绿洲，同时原有绿洲的 4% 被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从
今年起第 n 年绿洲面积为 na 万平方公里．
（1）求第 n 年绿洲面积 na 与上一年绿洲面积 1 2na n 的关系；
（2）判断 4
5na
是否是等比数列，并说明理由；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过 60% ？ lg 2 0.3010
【答案】(1) na 1
4 4
5 25na (2) 4
5na
是等比数列，理由见解析. (3) 至少经过 6 年，绿洲面积
可超过 60%．
【分析】（1）由题意得 1 11 4% 1 16%n n na a a 1 10.96 0.16 0.16n na a 化简可得答案；
（2）由（1）得 1
4 4
5 25n na a ，整理得 1
4 4 4
5 5 5n na a
，从而得 4
5na
是等比数列.
（3）由（2）得
11 4 4 3
2 5 5 5
n
na
，整理并在两边取常用对数可求得 5.1n 从而得出结论．
【详解】（1）由题意得
1 11 4% 1 16%n n na a a 1 10.96 0.16 0.16n na a 10.8 0.16na 1
4 4
5 25na ，
所以 na 1
4 4
5 25na ；
（2）由（1）得 1
4 4
5 25n na a ，∴ 1
4 4 4
5 5 5n na a
，
所以 4
5na
是等比数列.
（3）由（2）有 1
4 4 4
5 5 5n na a
，又 1
3
10a ，所以 1
4 1
5 2a ，
∴
14 1 4
5 2 5
n
na
，即
11 4 4
2 5 5
n
na
；
11 4 4 3
2 5 5 5
n
na
，即
14 2
5 5
n
，两边取常用对数得：
4 21 lg lg5 5n ，所以
2lg lg 2 1 lg 2lg 2 lg5 2lg 2 1 2 0.301 1 0.39851 4.14 2lg 2 lg5 2lg 2 1 lg 2 3lg 2 1 3 0.301 1 0.097lg 5
n
，
∴ 5.1n ．
∴至少经过 6 年，绿洲面积可超过 60%．
【点评】解决数列应用题时，常用的解题思路是审题——建模——研究模型——返回实际．研究模型时需
注意：(1) 量(多个量) ；(2) 量间的关系(规律)：等差、等比规律；递推关系；其它规律——由特殊到一般
——归纳总结；(3) 与通项公式有关或与前 n 项和有关等．
25．（2021·浙江高三专题练习）根据预测，某地第 n *( )nN 个月共享单车的投放量和损失量分别为 na 和 nb
（单位：辆），
其中
45 15, 1 3
10 470, 4n
n na
n n
， 5nb n ，第 n 个月底的共享单车的保有量是前 n 个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量 24( 46) 8800nS n （单位：辆）. 设在某月
底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
【答案】（1）935；（2）见解析.
【详解】试题分析：（1）计算 na 和 nb 的前 4 项和的差即可得出答案；
（2）令 n na b 得出 42n ，再计算第 42 个月底的保有量和容纳量即可得出结论.
试题分析：
（1） 1 2 3 4 1 2 3 4 965 30 935a a a a b b b b
（2） 10 470 5 42n n n ，即第 42 个月底，保有量达到最大
1 2 3 4 1 2 3 4
420 50 38 6 47 42965 87822 2a a a a b b b b
2
42 4 42 46 8800 8736S ，∴此时保有量超过了容纳量.
26．（2021·江苏高三专题练习）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于 2005 年 8 月 15
日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017 年 10 月 18 日，该理论写入中共 19 大报告，为响应总书记
号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地 1 万平方公里，其中 70%是沙漠，从今年起，该地区
进行绿化改造，每年把原有沙漠的 16%改造为绿洲，同时原有绿洲的 4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今
年起第 n 年绿洲面积为 na 万平方公里，求：
（1）第 n 年绿洲面积与上一年绿洲面积 1na 的关系；
（2） na 通项公式；
（3）至少经过几年，绿洲面积可超过 60%？（ lg2 0.3010 ）
【答案】（1） na 1
4 4
5 25na ；（2）
11 4 4
2 5 5
n
na
；（3）至少 6 年.
【分析】（1）由题意得 1 11 4% 1 16%n n na a a 1 10.96 0.16 0.16n na a 化简可得答案；
（2）由（1）得 1
4 4
5 25n na a ，整理得 1
4 4 4
5 5 5n na a
，再求得 1
4 1
5 2a ，从而得 4
5na
是
以 1
2
为首项， 4
5
为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可求得答案；
（3）由（2）得
11 4 4 3
2 5 5 5
n
na
，整理并在两边取常用对数可求得 5.1n 从而得出结论．
【详解】（1）由题意得
1 11 4% 1 16%n n na a a 1 10.96 0.16 0.16n na a 10.8 0.16na 1
4 4
5 25na ，
所以 na 1
4 4
5 25na ；
（2）由（1）得 1
4 4
5 25n na a ，∴ 1
4 4 4
5 5 5n na a
，又 1
3
10a ，所以 1
4 1
5 2a ，
∴ 4
5na
是以 1
2
为首项， 4
5
为公比的等比数列，∴
14 1 4
5 2 5
n
na
，
∴
11 4 4
2 5 5
n
na
；
（3）由（2）得
11 4 4 3
2 5 5 5
n
na
，∴
14 2
5 5
n
，两边取常用对数得：
4 21 lg lg5 5n ，所以
2lg lg 2 lg5 0.301 0.699 0.39851 4.14 2lg 2 lg5 0.602 0.699 0.097lg 5
n ，
∴ 5.1n ．
∴至少经过 6 年，绿洲面积可超过 60%．
【点评】解决数列应用题时，常用的解题思路是审题--建模---研究模型---返回实际．研究模型时需注意：(1)
量(多个量) ；(2) 量间的关系(规律)：等差、等比规律；递推关系；其它规律——由特殊到一般——归纳总
结；(3) 与通项公式有关或与前 n 项和有关等．
27．（2021·宁夏中卫市·高三三模（理））已知等比数列{ }na 的前 n 项和为 *
2 3 4, 2 , ,4nS n N S S S 成等
差数列，且 2 3 4
12 16a a a .
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）若 2( 2)log na
nb n ，求数列 1{ }
nb 的前 n 项和 nT .
【答案】(1) 1
2
n
na
(2)
3 2 3
4 2( 1)( 2)n
nT n n
【分析】（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比 q，代入 2 3 4
12 16a a a 中，求出 q，即可求
得数列{ }na 的通项公式；
（2）把数列{ }na 的通项公式代入 nb 中化简，代入求得 1
nb ，再利用裂项相消求得 nT ．
【详解】（1）设等比数列{ }na 的公比为 q，
由 2 3 42 4, ,S S S 成等差数列知， 3 2 42 2 4S S S ，
所以 4 32a a ，即 1
2q .
又 2 3 4
12 16a a a ，所以 2 3
1 1 1
12 16a q a q a q ，所以 1
1
2a ，
所以等比数列{ }na 的通项公式 1
2
n
na
.
（2）由（1）知
1( )2
2( 2)log ( 2)
n
nb n n n ，
所以 1 1 1 1 1
( 2) 2 2nb n n n n
所以数列 1
nb
的前 n 项和：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 2 4 5 1 1 23 3nT n n n n
1 1 1 112 2 1 2n n
3 2 3
4 2( 1)( 2)
n
n n
所以数列 1
nb
的前 n 项和 3 2 3
4 2( 1)( 2)n
nT n n
【点评】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求
和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题．
28．（2021·全国高二课时练习）诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成 6 份，奖励在 6 项(物理、
化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年
度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998 年诺贝尔
奖发奖后的基金总额(即 1999 年的初始基金总额)已达 19516 万美元，基金平均年利率为 6.24%r ．
（1）求 1999 年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到 0.01)；
（2）设 na 表示 1998 n 年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中 *n N ，求数列 na 的通项公式，并因此
判断“2020 年每项诺贝尔奖发放奖金将高达 193.46 万美元”的推测是否具有可信度．
【答案】（1）101万美元；（2） 120125 1 3.12% n
na ；该推测具有可信度．
【分析】（1）由题意可得 1999 年诺贝尔奖发奖后基金总额为
119516 1 6.24% 19516 6.24%2
，即可求解；
（2）由题意知 na 是以 1999 年诺贝尔奖发奖后基金总额 1 20125a 为首项，公比为 1 3.12%q 的等比
数列，即可得 na 的通项公式，计算 2019 年诺贝尔奖发奖后基本总额为 21a ，比较后即可判断.
【详解】（1）由题意得 1999 年诺贝尔奖发奖后基金总额为
119516 1 6.24% 19516 6.24% 20124.8992 201252
万美元，
每项诺贝尔奖发放奖金为 1 1 19516 6.24% 101.4832 1016 2
万美元；
（2）由题意得 1 20125a ，
2 1 1 1
11 6.24% 6.24% 1 3.12%2a a a a ，
2
3 2 2 2 1
11 6.24% 6.24% 1 3.12% 1 3.12%2a a a a a
…
所以 120125 1 3.12% n
na ，
2019 年诺贝尔奖发奖后基本总额为 20
21 20125 1 3.12%a ，
2020 年每项诺贝尔奖发放奖金为 21
1 1 6.24% 193.466 2 a 万美元，
故该推测具有可信度．
【点评】本题的关键点是理解题意，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息
用于增加基金总额，结合 1999 年的初始基金总额 19516 即可求 1999 年每项诺贝尔奖发放奖金，结合题意
120125 1 3.12% n
na ，求出 20
21 20125 1 3.12%a 即可估算 2020 年每项诺贝尔奖发放奖金，进
而可推断是否具有可信度．
29．（2021·全国高三专题练习）习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、
节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到 2025
年中国的汽车总销量将达到 3500 万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年
初购入一批新能源汽车充电桩，每台 12800 元，第一年每台设备的维修保养费用为 1000 元，以后每年增加
400 元，每台充电桩每年可给公司收益 6400 元．
（1）每台充电桩第几年开始获利？（ 33 5.7 ）
（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．
【答案】（1）公司从第 3 年开始获利；（2）在第 8 年时，每台充电桩年平均利润最大
【分析】（1）由题意知每年的维修保养费用是以 1000 为首项，400 为公差的等差数列，由此可得第 n 年时
累计利润的解析式 ( ) 6400 [1000 1400 (400 600)] 12800f n n n L ，则 ( ) 0f n ，解之即可；
（2）每台充电桩年平均利润为 ( ) 64200 28f n nn n
，由基本不等式可求出最大值，注意等号成立
的条件.
【详解】（1）由题意知每年的维修保养费用是以 1000 为首项，400 为公差的等差数列，设第 n 年时累计利
润为 ( )f n ，
( ) 6400 [1000 1400 (400 600)] 12800f n n n L
6400 (200 800) 12800n n n
2200 5600 12800n n
2200 28 64n n ，
开始获利即 ( ) 0f n ，∴ 2200 28 64 0n n ，即 2 28 64 0n n ，
解得14 2 33 14 2 33n ，∵ 33 5.7 ，
∴ 2.6 25.4n ，∴公司从第 3 年开始获利；
（2）每台充电桩年平均利润为
( ) 64200 28 200(2 64 28) 2400f n nn n
，
当且仅当 64n n
，即 8n 时，等号成立．
即在第 8 年时每台充电桩年平均利润最大为 2400 元．
【点评】本题考查等差数列的实际应用和利用基本不等式求最值，考查学生分析问题，解决问题的能力，
根据条件列出符合题意的表达式是解本题的关键，属中档题.
30．（2021·浙江高三专题练习）
设数列 na 的前 n 项和为 nS ．已知 1a a ， 1 3n
n na S ， *n N ．
（Ⅰ）设 3n
n nb S ，求数列 nb 的通项公式；
（Ⅱ）若 1n na a ， *n N ，求 a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） 1( 3)2n
nb a ；（Ⅱ） 9 ， .
【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意， 1 1 3n
n n n nS S a S ，即 ，由此得
1
1 3 2( 3 )n n
n nS S
，因此， 1 2n nb b ．当 3a 时， nb 为等比数列，首项是 1 3b a ，公比 2q = ，
所求通项公式为 1( 3)2n
nb a ， *n N ；当 3a 时， 1 3 0b a ，
2 3 1
1 2 3 12 2 2 2 0n
n n n nb b b b b
，也适合上式，故数列 nb 的通项公式为 1( 3)2n
nb a ；
（Ⅱ）由 nb 通项可知 13 ( 3)2n n
nS a ， *n N ，
当 2n 时， 1n n na S S 1 1 23 ( 3) 2 3 ( 3) 2n n n na a 1 22 3 ( 3)2n na ，
1 2
1 4 3 ( 3)2n n
n na a a
2
2 32 12 32
n
n a
，所以
2
1
312 3 02
n
n na a a
9a （ 2n ），当 n=1 时再验证一下
试题解析：（Ⅰ）依题意， 1 1 3n
n n n nS S a S ，即 ，
由此得 1
1 3 2( 3 )n n
n nS S
，因此， 1 2n nb b ．
当 3a 时， nb 为等比数列，首项是 1 3b a ，公比 2q = ，
所求通项公式为 1( 3)2n
nb a ， *n N ．①
当 3a 时， 1 3 0b a ， 2 3 1
1 2 3 12 2 2 2 0n
n n n nb b b b b
，也适合①．
故数列 nb 的通项公式为 1( 3)2n
nb a ， *n N ．
（Ⅱ）由①知 13 ( 3)2n n
nS a ， *n N ，
于是，当 2n 时，
1n n na S S 1 1 23 ( 3) 2 3 ( 3) 2n n n na a 1 22 3 ( 3)2n na ，
1 2
1 4 3 ( 3)2n n
n na a a
2
2 32 12 32
n
n a
，
当 2n 时，
2
1
312 3 02
n
n na a a
9a ．又 ．
综上，所求的 a 的取值范围是 9 ， ．
考点：数列性质及其恒成立问题
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