【必备知识】
一、反射及反射定律
1．光的反射
光从第 1 种介质射到它与第 2 种介质的分界面时，一部分光会返回到第 1 种介质的现象。
2．反射定律
（1）反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；（2）反射光线与入射光线分别位于法线的
两侧；（3）反射角等于入射角。
二、光的折射和折射率
1．光的折射和折射定律
光的折射 光从第 1 种介质射到它与第 2 种介质的分界面时，一部分光进入第 2 种介质的
现象
入射角、折射角 入射角：入射光线与法线的夹角；折射角：折射光线与法线的夹角
折射定律
（1）折射光线与入射光线、法线处在同一平面内；（2）折射光线与入射光线
分别位于法线的两侧；（3）入射角的正弦与折射角的正弦成正比，即 n＝sin θ1
sin θ2
光路可逆性 在光的反射和折射现象中，光路都是可逆的
2．折射率
（1）物理意义
反映介质的光学性质的物理量。
（2）定义
光从真空射入某种介质时，入射角的正弦与折射角的正弦之比，简称折射率，即 n＝sin θ1
sin θ2
。
（3）折射率与光速的关系
某种介质的折射率，等于光在真空中的传播速度 c 与在这种介质中的传播速度 v 之比，即 n＝c
v
。
（4）特点
任何介质的折射率都大于1。
二、全反射
1．光疏介质和光密介质
光疏介质 光密介质
定义 折射率较小的介质 折射率较大的介质
传播速度 光在光密介质中的传播速度比在光疏介质中的传播速度小
折射特点 光从光疏介质射入光密介质时，折射角小于入射角
光从光密介质射入光疏介质时，折射角大于入射角
2．全反射及临界角的概念
（1）全反射：光从光密介质射入光疏介质（介质→空气）时，若入射角增大到某一角度，折射光
线就会消失，只剩下反射光线的现象。
（2）临界角：刚好发生全反射，即折射角等于 90°时的入射角。用字母 C 表示。或理解为：能发
生全发射的最小入射角。
3．全反射的条件
要发生全反射，必须同时具备两个条件：
（1）光从光密介质射入光疏介质。
（2）入射角等于或大于临界角。
4．临界角与折射率的关系
光由介质射入空气(或真空)时，sin C＝1
n
。
三、光的色散规律
1．光的色散
复色光在介质中由于折射率不同而分解成单色光的现象。
2．一束白光色散分成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫。
偏折角
折射率
n
频率
v
光子能量
hv
波长
v
c
介质中速度
n
c
临界角
nC 1sin
条纹间距
d
lx
红 小 小 小 小 大 大 大 大
紫 大 大 大 大 小 小 小 小
【题型】
1．折射定律与折射定律的应用
特点：求入射角，折射角，折射率。
2．光的全反射
特点：全反射，透光或不透光面积（范围），恰好透光或不透光。
3．折射率与光速的关系
特点：光在介质中的传播速度，光在介质中的传播时间。
4．光的色散
特点：不同颜色光的比较。
5．利用正弦定理求几何关系
特点：求长度。
【解题关键】
1．画光路图。
2．列含有n的方程。
3．利用几何知识。
1．如图，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3 m。距水面4 m的湖底P点发出
的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°（sin53°=0.8）。
已知水的折射率为 4
3
。
（1）求桅杆到P点的水平距离；
（2）船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，
从水面射出后仍然照射在桅杆顶端，求船行驶的距离。
【答案】（1）7 m （2） 5.5 m
【解析】（1）设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为 x1，到 P 点的水平距离为 x2；桅杆高度
为 h1，P 点处水深为 h2：激光束在水中与竖直方向的夹角为θ。由几何关系有
1
1
tan53x
h
①
2
2
tanx
h
②
由折射定律有 sin53°=nsinθ③
设桅杆到 P 点的水平距离为 x，则 x=x1+x2④
联立①②③④式并代入题给数据得 x=7 m⑤
（2）设激光束在水中与竖直方向的夹角为45°时，从水面出射的方向与竖直方向夹角为i ，由折射定律
有 sin i =nsin45°⑥
设船向左行驶的距离为 x'，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为 x'1，到 P 点的水平距离为 x'2，
则
1 2x x x x ⑦
1
1
tanx ih
⑧
2
2
tan 45x
h
⑨
联立⑤⑥⑦⑧⑨式并代入题给数据得 x'= 6 2 3 m=5.5 m（ ） ⑩
2．如图，直角三角形ABC为一棱镜的横截面，∠A=90°，∠B=30°。一束光线平行于底边BC射到A
B边上并进入棱镜，然后垂直于AC边射出。
（1）求棱镜的折射率；
（2）保持AB边上的入射点不变，逐渐减小入射角，直到BC边上恰好有光线射出。求此时AB边上
入射角的正弦。
【答案】（1） 3 （2） 3 2
2
【解析】（1）光路图及相关量如图所示。光束在 AB 边上折射，由折射定律得
sin
sin
i n ①
式中 n 是棱镜的折射率。由几何关系可知
α+β=60°②
由几何关系和反射定律得
= = B ③
联立①②③式，并代入 i=60°得
n= 3 ④
（2）设改变后的入射角为 i ，折射角为 ，由折射定律得 sin
sin
i
=n⑤
依题意，光束在 BC 边上的入射角为全反射的临界角 c ，且 sin c = 1
n
⑥
由几何关系得 c =α'+30°⑦
由④⑤⑥⑦式得入射角的正弦为 sin i = 3 2
2
⑧
3．如图所示，某L形透明材料的折射率n=2。现沿AB方向切去一角，AB与水平方向的夹角为θ。为
使水平方向的光线射到AB面时不会射入空气，求θ的最大值。
【答案】 60
【解析】要使光线不会射入空气，即发生全反射，设临界角为 C，即有：
1sinC n
由几何关系得：
90C
联立解得： 60
4．如图，真空中有一个半径 3R m，质量均匀分布的玻璃球，一细激光束在真空中沿直线 BC
传播，并于玻璃球的 C 点经折射进入玻璃球，在玻璃球表面的 D 点又折射进入真空中。已知
∠COD=120°，玻璃球对该激光的折射率 n=1.5， 83 10c m/s。求：
（1）该激光在玻璃球中传播的时间是多长？
（2）入射角 i 的正弦值是多大？
【答案】（1）1.5×10﹣9 s （2）0.75
【解析】（1）设激光在玻璃球中传播的速度为 v，时间为 t，通过的距离为 L，则根据图可得：
∠OCD=30° L=Rcos∠OCD
解得：t=1.5×10﹣9 s
（2）设折射角为 r，则 r=∠OCD，根据折射率的定义有： sin
sin
in r
解得：sin 0.75i
5．如图所示，一个半径为 R 的透明玻璃球，玻璃球的折射率为 2 ，虚线为过球心的一条对称轴。
现有两束与对称轴平行的光线分别从球上 A、B 两点射入玻璃球，A、B 两点到对称轴的距离均为
2
2 R ，两束光线分别从 C、D 两点射出玻璃球后相交于对称轴上的 E 点.求 E 点到球心 O 的距离。
【答案】 2OE R
【解析】过 A 点作对称轴的垂线，则 2
2AF R ∴sini1= 2
2
AF
R
i0=45°
在 A 点折射，折射角为 r，由射线定律： 1
1
sin
sin
i nr
，得：sinr1= 1
2
，即：r1=30°
i2=r1=30°，从 C 点出射，由光路可递，r2=45°
△OCE 中，∠OCE=180°－r2=135°，∠COE=180°－∠AOF－∠AOC=15°
∴∠CEO=r2－∠COE=30°
由正弦定律有：
sin sin
OC OE
CEO OCE
，其中OC R
解得： 2OE R
6．如图，玻璃球冠的半径为 R，折射率为 3 ，其底面镀银，底面半径是球半径的 3
2
倍，在过球
心 O 且垂直底面的平面（纸面）内，有一与底面垂直的光线射到玻璃冠上的 M 点，该光线的延长
线恰好过底面边缘上的 A 点，求：
（i）该光线在底面发生反射的 N 点（未画出）到 A 点的距离。
（ⅱ）该光线从球面射出的位置与入射点 M 的距离。
【答案】（i） 3
3 R （ii） 2R
【解析】（i）设球半径为 R，球冠地面中心为 O'，连接 OO'，则OO AB ，令 OAO
则：
3
33cos 2
RO A
OA R
即 30OAO
已知 MA⊥AB，所以 60OAM 。
设图中 N 点为光线在球冠内地面上的反射点，光路图如图所示。
设光线在 M 点的入射角为 i，折射角为 r，在 N 点的入射角为 i'，反射角为 i"，玻璃的折射率为 n。
由于 OAM 为等边三角形，所以入射角 60i
由折射定律得：sin sini n r
代入数据得：r=30°，所以 30NMA ，
则 3tan30 3AN AM R
（ii）作 N 点的法线 NE，由于 NE MA‖ ，所以 30i
由反射定律得： 30i
连接 ON，由几何关系可知 MAN MON ，则 MNO 60
由上式可得 30ENO
所以 ENO 为反射角，反射光线过球心，因为 30r ， 60MNO .
故 90NOM ，假设光从球面 P 点射出，则 2PM R
7．如图所示为用某种透明材料制成的一块柱形棱镜的截面图，圆弧 CD 为半径为 R=0.5 m 的四分
之一的圆周，圆心为 O，已知 AD= 6
5
，光线从 AB 面上的某点入射，入射角θ1=45°，它进入棱镜
后射向 O 点，恰好不会从 BC 面射出。求：
①该棱镜的折射率 n。
②光线在该棱镜中传播的时间 t（已知光在空气中的传播速度 c=3.0×108 m/s）。
【答案】（1） 6
2n （2） 82 6 10 s15t
【解析】①光线在 BC 面上恰好发生全反射，入射角等于临界角 C，则 sinC= 1
n
在 AB 界面上发生折射，折射角θ2=90°–C
由折射定律： 1
2
sin
sin
=n
由以上几式解得：n= 6
2
②光在棱镜中的传播速度：v= 6c
n
×108m/s
光在棱镜中的传播路程为：
sin
LS RC
=0.8m
光线在该棱镜中传播的时间： 82 6 10 s15
st v
。
8．如图所示的是一个透明圆柱体的横截面，一束单色光平行于直径 AB 射向圆柱体，光线从 C 点
进入圆柱体后经过折射恰能射到 B 点。已知透明圆柱体横截面半径为 R，对该单色光的折射率
n= 3 ，光在直空中的传播速度为 c，求：
（1）入射光线到直径 AB 的距离。
（2）该单色光从 C 点传播到 B 点的时间。
【答案】（1） 3
2 R （2） 3R
c
【解析】（1）根据题意作出光路图，如图所示
折射率 sin = 3sinn
①
又由几何关系知 2 ②
解得 60 ， 30 ③
3sin 2d CD R R ④
（2）根据几何关系可求 2 cos 3BC R R ⑤
光在介质中的传播速度为 3
3
cv cn
⑥
故光在介质中传播的时间为 3BC Rt c
v
9．如图所示，有一半圆形玻璃砖，玻璃折射率为 3 ，直径 AB 等于 2r，O 为圆心。一束宽度恰等
于玻璃砖半径的单色平行光垂直于 AB 从空气射入玻璃砖，其中心光线通过 O 点。
（1）光束中的光线射出玻璃砖时最大的折射角是多少？
（2）若有一个半径为 1
2 r 圆孔的光屏 MN，正对玻璃砖，当光屏放在距 O 点何处时，入射光线能
全部通过光屏圆孔？
【答案】（1）60° （2） 3 3
2
r d r
【解析】（1）光束宽度恰等于玻璃砖半径，由几何知识可知光束从玻璃射出时，最大入射角为 30°。
由 sin30 1 sin max n
得： 3sin 2max ，
解得：γmax=60°
（2）根据几何关系，知△OPQ 为等腰三角形，可知折射光线将会聚在距 O 点 3 r 处。
根据对称性，可得： 3 3 3 3 22
r r r
故光屏位置距 O 的距离在
3 3
2
r d r
的范围时，光线能全部通过光屏圆孔。
10．如图所示，有一玻璃三棱镜 ABC，AB 垂直 BC，AB 长度为 L，D 为 AB 的中点，E 为 BC 的中
点，∠ACB＝30°。一光线以与 AB 成夹角 30 入射到 AB 面上的 D 点，折射光线平行 AC。
已知光在真空中的传播速度为 c，求：
（i）玻璃三棱镜的折射率 n。
（ii）光从开始射入三棱镜到第一次射出所需的时间。
【答案】（i） 3n （ii） 3 3
2t Lc
【解析】（i）由题意可知人射角 90i ，折射角 30 ，画出光路图如图所示：
由折射定律有 sin
sin
in ，解得 3n
（ii）由题意结合反射定律可知 60
设光从三棱镜射向空气的临界角为 C
由 1 1sin sin
3
C n
，可知光射到 BC 面上发生全反射
光射到 AC 面上的人射角 30 C ，则光能从 AC 面上射出三棱镜
由几何关系可知 2 3AC L BC L DE L ， ，
又 1
2cos 2
ECEF L
光在三棱镜中的传播速度 cv n
则光在三棱镜中传播时间 3 3
2
DE EFt Lv c
11．由特殊材料制成的直角梯形玻璃砖的横截面 ABCD 如图所示，其中 AB=AD=d， 7
3CD d ，一
细束白光从 M 点以 45°射入玻璃砖，经玻璃砖折射后紫光恰从 B 点射出，红光恰好垂直于 BC 射出，
已知玻璃砖对紫光的折射率为 1 2n ，sin37°=0.6，求：
①玻璃砖对红光的折射率 2n 。
②在 BC 边上形成彩色光带的长度。
【答案】① 2
5 2
6n ② 9 4 3
15BE d
【解析】①作出光路，如图所示
由折射定律有： sin
sin
in r
1 2n 解得：∠1=30°
因为 AB=d， 7
3CD d ，所以 4
3CF d
由几何关系得：∠CBF=53°，∠BME=7°，即：∠2=37°
所以： 2
sin 45 5 2
sin 2 6n
②由几何关系知： 3tan30 3MF d d ， 16 4 3cos 15CE CM C d ， 5
tan 3
dBC dCBF
所以在 BC 边上形成彩色光带的长度 9 4 3
15BE BC CE d 。
12．在某科技馆内放置了一个高大的半圆柱形透明物体，其俯视图如图 a 所示，O 为半圆的圆心。
甲、乙两同学为了估测该透明体的折射率，进行了如下实验。他们分别站在 A、O 处时，相互看着
对方，然后两人贴着柱体慢慢向一侧运动，到达 B、C 处时，甲刚好看不到乙．已知半圆柱体的半
径为 R， 3
3OC R ，BC⊥OC。
①求半圆柱形透明物体的折射率。
②若用一束平行于 AO 的水平光线从 D 点射到半圆柱形透明物体上，射入半圆柱体后再从竖直表
面射出，如图 b 所示．已知入射光线与 AO 的距离为 3
2 R，求出射角φ。
【答案】（1） 3 （2）60
【解析】（1）甲刚好看到不乙，是因乙发出的光线在 B 点恰好发生了全反射，入射角等于临界角，
作出光路图，如图。设 OBC ，透明物体的折射率为 n，则 3sin 3
OC RR
， 1sin n
， 3n 。
（2）当光从图示位置射入，经过二次折射后射出球体，设入射光线与 1/4 球体的交点为 D，连接
OD，OD 即为入射点的法线。因此，图中的角α为入射角。过 D 点作水平表面的垂线，垂足为 E。
依题意， ODE 。又由△ODE 知 3sin 2
①
设光线在 D 点的折射角为β，由折射定律得 sin 3sin
②
由①②式得 30 ③
由几何关系知，光线在竖直表面上的入射角 为 30° 由折射定律得 sin 1
sin 3
④
因此 3sin 2
，解得： 60
13．如图所示，由材料不同的两个 1
4
圆柱构成一个光学元件，其中 x 轴上方圆柱折射率为 n1，半
径为 r1，x 轴下方圆柱折射率为 n2＝ 3 ，半径为 r2，且（2– 2 ）r1＝（2– 3 ）r2，现有一束很
细的激光束垂直于 AO1 平面从 B 点入射，其中 BO1＝ 1
2
2 r ， 1 3r cm，最后只有部分光从 O2C 上
某点射出，求：
①上方圆柱折射率 n1 的取值范围
②从 O2C 面射出的光线的出射点距 O2 的距离。
【答案】① 1 2n ② 3cm
【解析】由几何关系可知： 1
1
2sin 2
O Bi r
=
则： 45i
可知在 D 点的反射光将垂直于 x 轴进入下边的介质内，由光路图可知：
由几何关系可知， 2 2 1 1sin + sin45r r r r =
又： 1 22- 2 = 2- 3r r ，
可得： ＝60°
2
3 360 =sin2 3sin sin C ＞
i＞ ，
可知光线在 E 处发生全反射，在 D 处没有发生全反射，所以 1i C
又： 1
1
1sinC n
＝
所以： 1 2n
（2）由于 ＝60°，结合几何关系可知，△O2EC 为等边三角形，所以光线的出射点恰好在 C 处。
则出射点到 O2 的距离： 2 = 3cmx r
14．如图所示，某种材料制成的扇形透明砖放置在水平桌面上，光源S发出一束平行于桌面的光线
从OA的中点垂直射入透明砖，恰好经过两次全反射后，垂直OB射出，并再次经过光源S，已知光
在真空中传播的速率为c，求：
（1）材料的折射率n。
（2）该过程中，光在空气中传播的时间与光在材料中传播的时间之比。
【答案】（1）2 （2）1: 4
【解析】（1）光路如图所示，
由折射定律 1sinC n
而
2
ROF ，故 1sin 2C （即 30C ）
所以该材料的折射率n=2
（2）光在空气中传播的路程 1 2S SF
由几何关系 30OSF
所以 1
3cos30 2 2 32S R R R ，则时间为： 1
1
3S Rt c c
光在介质中传播的路程 2 4 2 3S FD R ，则时间为： 2 2
2
2 2 3R S n Rt v c c
则时间之比为： 1 2: 1: 4t t
15．如图，等腰直角三角形ABC为某透明介质的横截面，O为BC中点，位于截面所在平面内的一细
光束自O点以角度i入射，第一次到达AB边恰好发生全反射。已知∠ABC=45°，AC=AB =L，透明介
质的折射率n=2，真空中的光速为c。求：（可能用到 0 6 2sin15 4
， 0 6 2cos15 4
（i）入射角的正弦值sini。
（ii）光束从O点入射到发生第一次全反射所用的时间。
【答案】（1） 6 2
2
（2） 2 3
3
L
c
【解析】（i）光路如图所示：
由临界角公式： 1sinC n
可得： 3' 0PO O C
由几何关系可知 10' ' ' 5COO OBO BO O
折射角： 90 15' 'r POO COO
由折射定律： sin
sin
in r
解得： 6 2sin sin 2i n r
（ii）由正弦定理可得： '
sin ' sin '
BO OO
BO O OBO
光在介质中通过的路程为： sin '' sin '
BO OBOs OO BO O
代入数据可得
2 2
32 2' 33
2
L
Ls OO
光在介质中的速度为： cv n
所用时间： st v
代入数据解得： 2 3
3
Lt c
16. 如图所示，厚度为 d 的平行玻璃砖与光屏 EF 均竖直放置，玻璃砖右侧面距光屏为 d，左侧面
距激光源 S 也是 d。由 S 发出的两束激光，一束垂直玻璃砖表面，另－束与玻璃砖表面成 45°角，
两束光经折射后射到光屏上，光屏上两光点间距为 d)3
32( ，已知光在真空中的传播速度为 c。
求：
（1）玻璃砖的折射率。
（2）激光在玻璃砖中传播的时间。
17. 在桌面上有一个倒立的玻璃圆锥，其顶点恰好与桌面接触，圆锥的轴(图中虚线)与桌面垂直，
过轴线的截面为等边三角形，如图所示。有一半径为 r 的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上，
光束的中心轴与圆锥的轴重合。已知玻璃的折射率 n＝ 3 。则：
（1）通过计算说明光线 1 能不能在圆锥的侧面 B 点发生全反射。
（2）光束在桌面上形成的光斑半径为多少？
(2)此时光线在第一个界面上发生全反射后垂直射在相对一侧的界面上，沿直线射出，如图所示，
由几何知识可得 rtan 60°＝(R＋r)tan 30°
故半径 R＝2r
【答案】 (1)能，计算见解析 (2)2r
18．如图，玻璃柱的横截面为半径 R=20.0 cm 的半圆，O 点为圆心。光屏 CD 紧靠在玻璃柱的右侧
且与截面底边 MN 垂直。一光束沿半径方向射向 O 点，光束和 MN 的夹角为θ，在光屏 CD 上出现
两个光斑。已知玻璃的折射率为 n= 3 。
（1）若θ=60°，求两个光斑间的距离。
（2）屏上两个光斑间的距离会随θ大小的变化而改变，求两光斑间的最短距离。
解：（1）光束在 MN 界面上一部分反射，设反射光与光屏 CD 的交点为 C，另一部分折射，设折
射光与光屏的交点为 D，入射角为 r，折射角为 i，光路图如图所示，由几何关系得：
r=90°－θ=30°，得：LCN= = R
根据折射定律得 n= 可得，i=60°
则 LDN= = R
所以两个光斑间的距离 LCD=LCN+LDN= R= cm
（2）屏上两个光斑间的距离会随θ的减小而变短，当光线在 MN 就要发生全反射时，两光斑间距
离最短，由临界角公式 sinC= 得：sinC=
所以两光斑间的最短距离 Lmin=
，
联立解得 Lmin=20 2 cm
19．如图，由透明介质构成的半球壳的内外表面半径分别为 R 和 2 R。一横截面半径为 R 的平行
光束入射到半球壳内表面，入射方向与半球壳的对称轴平行，所有的入射光线都能从半球壳的外
表面射出。已知透明介质的折射率为 n= 2 。求半球壳外表面上有光线射出区域的圆形边界的半径。
不考虑多次反射。
解：设光从半球壳内表面边沿上的 A 点入射，入射角为 90°（全反射临界角也为α），然后在半球
壳外表面内侧的 B 点发生折射，入射角为β，如图所示。
由全反射临界角的定义得 1=nsinα ①
由正弦定理，得 = ②
OD 为对称轴，设∠BOD=γ，由几何关系可知 γ= －（α－β）③
设 B 点到 OD 的距离为 r，即为所求的半球壳外表面上有光线射出区域的圆形边界的半径，由
几何关系有 r= 2 Rsinγ ④
由①②③④及题给数据解得 r= R
20．如图，△ABC 是一直角三棱镜的横截面，∠A=90°，∠B=60°。一细光束从 BC 边的 D 点折射
后，射到 AC 边的 E 点，发生全反射后经 AB 边的 F 点射出，EG 垂直于 AC 交 BC 于 G，D 恰好是
CG 的中点。不计多次反射。
（1）求出射光相对于 D 点的入射光的偏角。
（2）为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？
解：（i）由于 D 是 CG 的中点，GE⊥AC，根据几何关系可得：光束在 D 点发生折射时的折射角
为γD=30°；
那么，根据几何关系可得：在 E 点的入射角、反射角均为γD+30°=60°；在 F 点的入射角为αF=30°；
那么，设入射角为αD，可得：折射角γF=αD，故出射光相对于 D 点的入射光的偏角为 60°﹣αD+γF=60°；
（ii）由 E 点反射角为 60°可得：EF∥BC；
故根据 D 点折射角为γD=30°可得：棱镜折射率 ；
根据光束在 E 点入射角为 60°，发生全反射可得： ，故棱镜折射率的取值范围
为 ；
21．如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“•”（图中 O 点），然后用横截面为等
边三角形 ABC 的三棱镜压在这个标记上，小标记位于 AC 边上。D 位于 AB 边上，过 D 点做 AC 边
的垂线交 AC 于 F。该同学在 D 点正上方向下顺着直线 DF 的方向观察，恰好可以看到小标记的像；
过 O 点做 AB 边的垂线交直线 DF 于 E；DE=2 cm，EF=1 cm。求三棱镜的折射率。（不考虑光线
在三棱镜中的反射）
解：连接 DO，点 E 是三角形 AOD 的垂心，DE=2cm，EF=1cm，说明三角形 OAD 是等边三角形，
点 E 也是重心、中心，故画出光路图，如图所示：
故入射角为 60°，折射角为 30°，故折射率为：n= = ；
22．人的眼球可简化为如图所示的模型，折射率相同、半径不同的两个球体共轴，平行光束宽度
为 D，对称地沿轴线方向射入半径为 R 的小球，会聚在轴线上的 P 点。取球体的折射率为 2 ，
且 D= 2 R，求光线的会聚角α。（示意图未按比例画出）
【解答】解：设入射角为 i．由几何关系得：sini= = ，解得：i=45°
由折射定律有：n= ，解得折射角为：r=30°
且由几何关系有：i=r+ ，解得：α=30°
23．如图，一玻璃工件的上半部是半径为 R 的半球体，O 点为球心；下半部是半径为 R、高为 2R
的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴 OC 的光线从半球面射入，该光线与 OC 之
间的距离为 0.6R。已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行（不考虑多次反射）。求该
玻璃的折射率。
解：由题意，结合光路的对称性与光路可逆可知，与入射光相对于 OC 轴对称的出射光线一定与入
射光线平行，所以从半球面射入的光线经折射后，将在圆柱体底面中心 C 点反射，如图：设光线
在半球处的入射角为 i，折射光线的折射角为 r，则：
sini=nsinr…①
由正弦定理得： = …②
由几何关系可知，入射点的法线与 OC 之间的夹角也等于 i，该光线与 OC 之间的距离：L=0.6R
则：sini= …③
由②③得：sinr=
由①③④得：n= ≈1.43
24．一直桶状容器的高为 2l，底面是边长为 l 的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴
DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图所示。容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料。
在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的 D 点射出的两束光线相互垂直，求该液体的
折射率。
解：设从光源发出的光直接射到 D 点的光线的入射角为 i1，折射角为γ1，在剖面内做光源相对于镜
面的对称点 C，连接 CD，交镜面与 E 点，由光源射向 E 点的光线反射后由 ED 射向 D 点，设入射
角为 i2，折射角为γ2，如图；
设液体的折射率为 n，由折射定律：nsini1=sinγ1，nsini2=sinγ2
由题意：γ1+γ2=90°
联立得：
由图中几何关系可得： ；
联立得：n=1.55
25．如图，一半径为 R 的玻璃半球，O 点是半球的球心，虚线 OO′表示光轴（过球心 O 与半球底
面垂直的直线）。已知玻璃的折射率为 1.5。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线
能从球面射出（不考虑被半球的内表面反射后的光线）。求：
（i）从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值。
（ii）距光轴
3
R 的入射光线经球面折射后与光轴的交点到 O 点的距离。
解：（i）如图，从底面上 A 处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为 i，当 i 等于全反射临
界角 ic 时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为 l．i=ic
设 n 是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有 nsinic=l
由几何关系有 sini=
，
联立可得：l= R
（ii）设与光轴相距 的光线在球面 B 点发生折射时的入射角和折射角分别为 i1 和 r1，由折射定律
有 nsini1=sinr1
设折射光线与光轴的交点为 C，在△OBC 中，由正弦定理有
由几何关系有∠C=r1﹣i1，sini1=
联立可得：OC= R≈2.74R．
26．如图，半径为 R 的半球形玻璃体置于水平桌面上，半球的上表面水平，球面与桌面相切于 A
点。一细束单色光经球心 O 从空气中射入玻璃体内（入射面即纸面），入射角为 45°，出射光线射
在桌面上 B 点处。测得 AB 之间的距离为
2
R 。现将入射光束在纸面内向左平移，求射入玻璃体的
光线在球面上恰好发生全反射时，光束在上表面的入射点到 O 点的距离。不考虑光线在玻璃体内
的多次反射。
解：当光线经球心 O 入射时，光路图如右上图所示。设玻璃的折射率为 n，由折射定律有：n= ①
式中，入射角 i=45°，γ为折射角。
△OAB 为直角三角形，因此 sinr= ②
发生全反射时，临界角 C 满足：sinC= ③
在玻璃体球面上光线恰好发生全反射时，光路图如右下图所示。设此时光线入射点为 E，折射光线
射到玻璃体球面的 D 点。由题意有∠EDO=C ④
在∠EDO 内，根据正弦定理有 ⑤
联立以上各式并利用题给条件得 OE= 。
27．如图，玻璃球冠的折射率为 3 ，其底面镀银，底面半径是球半径的
2
3 倍，在过球心 O 且垂
直底面的平面（纸面）内，有一与底面垂直的光线射到玻璃冠上的 M 点，该光线的延长线恰好过
底面边缘上的 A 点，求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角。
【解答】解：设球半径为 R，球冠地面中心为 O′，连接 OO′，则 OO′⊥AB
令∠OAO′=α
则：cosα= = = …①
即∠OAO′=α=30°…②
已知 MA⊥AB，所以∠OAM=60°…③
设图中 N 点为光线在球冠内地面上的反射点，光路图如图所示。
设光线在 M 点的入射角为 i，折射角为 r，在 N 点的入射角为 i′，反射角为 i″，玻璃的折射率为 n。
由于△OAM 为等边三角形，所以入射角 i=60°…④
由折射定律得：sini=nsinr…⑤
代入数据得：r=30°…⑥
作 N 点的法线 NE，由于 NE∥MA，所以 i′=30°…⑦
由反射定律得：i″=30°…⑧
连接 ON，由几何关系可知△MAN≌△MON，则∠MNO=60°…⑨
由⑦⑨式可得∠ENO=30°
所以∠ENO 为反射角，ON 为反射光线。由于这一反射光线垂直球面，所以经球面再次折射后不
改变方向。
所以，该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角为β=180°﹣∠ENO=150°。
28．如图，在注满水的游泳池的池底有一点光源 A，它到池边的水平距离为 3.0 m。从点光源 A 射
向池边的光线 AB 与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角，水的折射率为
3
4 。
（1）求池内的水深。
（2）一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛到地面的高度为 2.0 m。当他看到正前下方
的点光源 A 时，他的眼睛所接受的光线与竖直方向的夹角恰好为 45°。求救生员的眼睛到池边的水
平距离（结果保留 1 位有效数字）。
解：（i）光由 A 射向 B 点发生全反射，光路如图所示．
图中入射角θ等于临界角 C，则有 sinθ= =
由题， =3m，由几何关系可得： =4m，所以 = = m
（ii）光由 A 点射入救生员眼中的光路图如图所示．
在 E 点，由折射率公式得 =n，得 sinα= ，tanα= =
设 =x，则得 tanα= =
，
代入数据解得 x=（3﹣ ）m
由几何关系可得，救生员到池边水平距离为 （2﹣x）m≈0.7m
29．人造树脂是常用的眼镜镜片材料，如图所示，光线射在一人造树脂立方体上，经折射后，射
在桌面上的 P 点，已知光线的入射角为 30°，OA=5 cm，AB=20 cm，BP=12 cm，求该人造树脂材
料的折射率 n。
解：将过 O 点的法线延长，与 BP 交于 D 点，如图，由几何关系可得：
PD=BP﹣BD=BP﹣AO=12﹣5=7cm
= cm≈21.2cm
所以：
该人造树脂材料的折射率：
30．一半径为 R 的半圆柱形玻璃砖，横截面如图所示。已知玻璃的全反射临界角为γ（γ＜ ）。
与玻璃砖的底平面成（ ﹣γ）角度、且与玻璃砖横截面平行的平行光射到玻璃砖的半圆柱面上。
经柱面折射后，有部分光（包括与柱面相切的入射光）能直接从玻璃砖底面射出，若忽略经半圆
柱内表面反射后射出的光，求底面透光部分的宽度。
解：光路图如图所示，
沿半径方向射入玻璃砖的光线，即光线①射到 MN 上时，
根据几何知识得入射角恰好等于临界角，即恰好在圆心 O 出发生全反射，光线①左侧的光线经球
面折射后，射到 MN 上的角一定大于临界角，
即在 MN 上发生全反射，不能射出；
光线①右侧的光线射到 MN 上的角小于临界角，可以射出，
如图光线③与球面相切，入射角θ1=90°，
根据折射定律得 sinθ2= ，
根据全反射定律 n= ，
解得：θ2=γ，
由几何关系可得∠AOE=γ，
所以射出宽度 OE= = 。
31．半径为 R、介质折射率为 n 的透明圆柱体，过其轴线 OO′的截面如图所示。位于截面所在平面
内的一细束光线，以角 i0 由 O 点射入，折射光线由上边界的 A 点射出。当光线在 O 点的入射角减
小至某一值时，折射光线在上边界的 B 点恰好发生反射。求 A、B 两点间的距离。
解：当光线在 O 点的入射角为 i0 时，设折射角为 r0，由折射定律得： =n ①
设 AD 间的距离为 d1，由几何关系得：sinr0= ②
若光线在 B 点恰好发生全反射，则在 B 点的入射角恰好等于临界角 C，设 BD 间的距离为 d2．则
有：
sinC= ③
由几何关系得：sinC= ④
则 A、B 两点间的距离为：d=d2﹣d1；⑤
联立解得：d=（ ﹣ ）R ⑥
答：A、B 两点间的距离为（ ﹣ ）R。
32．如图，矩形 ABCD 为一水平放置的玻璃砖的截面，在截面所在平面有一细束激光照射玻璃砖，
入射点距底面的高度为 h，反射光线和折射光线与底面所在平面的交点到 AB 的距离分别 l1 和 l2，
在截面所在平面内，改变激光束在 AB 面上入射点的高度与入射角的大小，当折射光线与底面的交
点到 AB 的距离为 l3 时，光线恰好不能从底面射出，求此时入射点距离底面的高度 H。
解：设玻璃砖的折射率为 n，入射角和反射角为θ1，折射角为θ2，由光的折射定律：
根据几何关系有：
，
因此求得：
根据题意，折射光线在某一点刚好无法从底面射出，此时发生全反射，设在底面发生全反射时的
入射角为θ3，
有：
由几何关系得
解得：
33．一厚度为 h 的大平板玻璃水平放置，其下表面贴有一半径为 r 的圆形发光面．在玻璃板上表面
放置一半径为 R 的圆纸片，圆纸片与圆形发光面的中心在同一竖直线上。已知圆纸片恰好能完全
挡住从圆形发光面发出的光线（不考虑反射），求平板玻璃的折射率。
解：根据题述，作出光路图如图所示，S 点为圆形发光面边缘上一点．在 A 点光线恰好发生全反
射，入射角等于临界角 C．
图中△r=htanC，
由 sinC= 和几何知识得：sinC= =
，
解得：△r= ，
故应贴圆纸片的最小半径 R=r+△r=r+ ．
解得：n= ．
34．一个半圆柱形玻璃砖，其横截面是半径为 R 的半圆，AB 为半圆的直径，O 为圆心，如图所示，
玻璃的折射率 n= 。
（1）一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面，若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光
束在 AB 上的最大宽度为多少？
（2）一细束光线在 O 点左侧与 O 相距 R 处垂直于 AB 从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点
的位置。
解：（i）根据全反射定律：sinC= ，得：C=45°，
即临界角为 45°，如下图：
由几何知识得：d= ，
则入射光束在 AB 上的最大宽度为 2d= R；
（ii）设光线在距离 O 点 R 的 C 点射入后，在上表面的入射角为α，由几何关系和已知条件得：
α=60°＞C
光线在玻璃砖内会发生三次全反射，最后由 G 点射出，如图：
由反射定律和几何关系得：OG=OC= R，
射到 G 点的光有一部分被反射，沿原路返回到达 C 点射出。
35．利用半圆柱形玻璃，可减小激光束的发散程度．在如图所示的光路中，A 为激光的出射点，O
为半圆柱形玻璃横截面的圆心，AO 过半圆顶点．若某条从 A 点发出的与 AO 成α角的光线，以入
射角 i 入射到半圆弧上，出射光线平行于 AO，求此玻璃的折射率。
解：设折射角为 r．由图根据几何知识得：β=i﹣α，r=β 则得：r=i﹣α
此玻璃的折射率为 n= 解得：
36．如图，三棱镜的横截面为直角三角形 ABC，∠A=30°，∠B=60°。一束平行于 AC 边的光线自
AB 边的 P 点射入三棱镜，在 AC 边发生反射后从 BC 边的 M 点射出，若光线在 P 点的入射角和在
M 点的折射角相等。
（1）求三棱镜的折射率。
（2）在三棱镜的 AC 边是否有光线透出，写出分析过程。（不考虑多次反射）
解：（i）光线在 AB 面上的入射角为 60°．因为光线在 P 点的入射角和在 M 点的折射角相等。知
光线在 AB 面上的折射角等于光线在 BC 面上的入射角。根据几何关系知，光线在 AB 面上的折射
角为 30°。
根据 n= ，解得 n= 。
（ii）光线在 AC 面上的入射角为 60°。
sinC=
因为 sin60°＞sinC，光线在 AC 面上发生全反射，无光线透出。
37．一半圆柱形透明物体横截面如图所示，底面 AOB 镀银（图中粗线），O 表示半圆截面的圆心，
一束光线在横截面内从 M 点入射，经过 AB 面反射后从 N 点射出。已知光线在 M 点入射角为 30°，
∠MOA=60°，∠NOB=30°。求
（1）光线在 M 点的折射角。
（2）透明物体的折射率。
【解答】（1）如图，透明物体内部的光路为折线 MPN，Q、M 点相对于底面 EF 对称，Q、P 和 N
三点共线
设在 M 点处，光的入射角为 i，折射角为 r，∠OMQ=α，∠PNF=β．根据题意有 α=30° ①
由几何关系得，∠PNO=∠PQO=r，于是 β+r=60°②
且α+r=β ③
由①②③式得 r=15°④
（2）根据折射率公式有 sini=nsinr ⑤
由④⑤式得 n= ⑥
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