平行四边形与特殊的平行四边形同步练习

-- -- 平行四边形的性质与判定 一、总结平行四边形的性质与判定原理： 性质原理 判定原理 边 1、 两组对边分 别平行； 2、 两组对边分 别相等； 1、 两组对边分别平行的四边形 是平行四边形； 2、 两组对边分别相等的四边形 是平行四边形； 3、 一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形； 角 3、对角相等；邻 角互补； 4、两组对角分别相等的四边形是 平行四边形； 线 4、对角线互相平 分。 5、对角线互相平分的四边形是平 行四边形。 【问题 1】我们学习平行四边形的性质是从哪几个方 面来研究的？ 从“边、角、线”三个方面，其中“线”指的是 对角线。 【问题 2】判定一个四边形是平行四边形必须有几个 条件？ 必须具备两个条件；注意判定原理 5“对角线互 相平分”也是两个等量。 二、总结与平行四边形相关的性质：（注意，以下性质 只可用来指导解证题，在填空、选择题中可直接 使用，但在解答题中不可直接当作原理使用） 图 P-01 -- -- 【平行四边形对角线相关性质】 1 平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的 三角形；平行四边形的对角线将其分成四个面积 相等的小三角形；相对的两个小三角形全等；相 邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。 如图 P-01，点 O 是对角线 AC、BD 交点，则ABO、 ADO、CDO、CBO 的面积相等。依据是每相邻两 个三角形都是“等底同高”。 〖练习〗⒈如图 P-01，点 O 是对角线 AC、BD 交点， 若 S⊿ABO=2，则 S⊿ABD= ；S ABCD= ⒉如图 P-01，点 O 是对角线 AC、BD 交点，则图 中共有 对全等三角形。 ⒊如图 P-01，已知，ABCD 的周长为 28，点 O 是 对角线 AC、BD 交点，ABO 的周长比CBO 的 周长多 4，则 AB= ，BC= ⒋如图 P-01，点 O 是对角线 AC、BD 交点，已知 AB=8，BC=6，⊿ABO 的周长为 17，则CBO 的 周长= 2 在平行四边形内，过对角线交点且两端点在 平行四边形边上的线段一定被对角线交点平 分； 如图 P-02，点 O 是对角线 AC、BD 交点，线段 EF 过点 O，则 OE=OF；证AEO≌CFO 即可 〖练习〗⒈如图 P-02，ABCD 中，EF 过对角线交点 O， 若 AB=5，BC=4，EO=3，则四边形 CDEF 的周长为 图 P-02 -- -- ⒉如图 P-03，ABCD 中有圆 O，请你画一条直线， 将此平行四边形及圆 O 的面积分成相等的 两部分。 ③ 若设平行四边形两条对角线长分别为 2 a 和 2b (a >b )，则此平行四边形每条边长 x 的取值范围为 ba  < x < ba  〖练习〗⒈如图 P-01，若 AC=8，BD=12，则 AB 的取值范围是 ⒉三角形一边上的中线的取值范围为：大于另两边之 差，小于另两边之和。 如图 P-04，已知 D 为ABC 中 BC 边上的中点， AB=5，AC=7，求 AD 的取值范围。 〖提示〗延长 AD 至 E，使 DE=AD，连结 BE、EC， 易证得ABEC；记住此法：倍长中线法，是常 用的辅助线作法 【四边形四边中点连线性质】 ④ 顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四 边形； 如图 P-05，连结 AC，由三角形中位线原理可得： HG、EF 都平行且等于 2 1 AC， ∴HG 平行且等于 EF，得平行四边形 注：此性质在学习了菱形、矩形后还有扩充。 图 P-05 图 P-03 图 P-04 -- -- 【等腰三角形与平行线相关性质】 ⑤ 从等腰三角形底边上任一点做两腰的平行线， 可得一平行四边形和两个小的等腰三角形， 且平行四边形的周长等于两腰长之和； 如图 P-06，AB=AC，DE∥AC，DF∥AB 易得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠B=∠C， ∴∠1=∠C，∠2=∠B 〖练习〗如图 P-06，ABC 中，AB=AC=6，D 是 BC 上 一点，DE∥AC，DF∥AB，求四边形 AFDE 的周长。 ⑥ 一条角平分线与平行线相交时常会出现等腰三角 形； 如图 P-07，AB∥CD，∠1=∠2，则易证 ∠1=∠3，∴∠2=∠3，得等腰AED 〖练习〗⒈如图 P-08，在 ABCD 中，AB=7，AD=3， ∠DAB 的的平分线交 CD 于 E，交 BC 的延长线 于 F，求 CF 长 图 P-06 图 P-07 图 P-08 -- -- ⒉ 如图 P-09，ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角 平分线交于点 F，DE∥BC 且过点 F 求证：DE=BD+EC 【中位线相关性质】 ⑦ 三角形中位线原理： 三角形的中位线平行且等于 第三边的一半； 三角形中位线原理推论：过三角形一边中点且平行另 一边的直线必平分第三边。 如图 P-10，D、E 分别为 AB、AC 中点，则有： DE∥BC，DE= 2 1 BC；若已知 D 为 AB 中点， DE∥BC，则有：AE=CE 〖练习〗证明三角形中位线原理推论 已知： 求证： 证明： 图 P-09 图 P-10 -- -- ⑧ 三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三 角形的全等，周长都等于原三角形周长的一半，面 积都等于原三角形面积的 1/4。 如图 P-11，D、E、F 分别是ABC 三边中点，则图 中 四个小三角形都全等，且面积都等于ABC 面积的 1/4； 周长都等于ABC 周长的 1/2； 图中共有 3 个平行四边形。 〖练习〗如图 P-11，D、E、F 分别是ABC 三边中点， AB=6，AC=7，BC=10，则DEF 的周长为 三、典型题例与解题思路 【例 1】如图 P-12，ABCD 中，E、F 为 AC 上两点， 且 AE=CF，求证：四边形 DEBF 是平行四边形 〖思路分析〗 本类题型是在平行四边形中求证某四边形是平行 四边形，证题思路较有规律，都是先由原平行四边形 得 到一些条件，再证得其它条件，或由全等三角形或由 平 行四边形的判定原理得到所要求证的四边形是平行四 边形。 在证本类题型时，首先要想清楚自己要选用哪种方 法（原理）来证。几何证明题的方法往往有多种，不 一定要是最简单的，但在找条件时不能乱，不要所有 能用的不用的都写上去。以本题为例，我们要证 图 P-11 图 P-12 -- -- BFDE，可以选用的方法有“两组对边分别相等”、 “两组对边分别平行”、 “一组对边平行且相等”、 “对角线互相平分”等方法，选定一种后，就找对应 的条件。 我们先看第一种方法：两组对边分别相等。要证 DE=BF，BE=DF，我们可以用全等来证，先用AEB≌ CFD 得 BE=DF，再同理得 DE=BF。 〖解题格式〗 证： ∵有ABCD （已知） ∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形性质） ∴∠1=∠2 （两直线平行，内错角相等） 又∵AE=CF （已知） 在AEB 和CFD 中： AB=CD ∠1=∠2 AE=CF ∴AEB≌CFD （SAS） ∴BE=DF （全等性质） 同理：DE=BF ∴ 有DEBF （两组对边分别相等的四边形 是平行四边形） 〖同题练习〗 ⒈ 用“一组对边平行且相等”来证： -- -- ⒉ 用“对角线互相平分”来证： 〖同类练习〗 ⒈ 如图 P-13，ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 中点， AF、DE 相交于 G，CE、BF 相交于 H。求证：四边形 EHFG 是平行四边形 〖思路分析〗可以先用 来证 DEBF，从而得 DE∥BF； 再 同 理 证 得 ∥ ； 最 终 用 的原理来证得。 〖解题过程〗 ⒉ 如图 P-14，ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 上的 图 P-13 -- -- 点，且 DF=BE， 求证：AF=CE 〖思路分析〗可以用全等的方法证，也可以 直接证AECF，从而得对边相等。 〖解题过程〗 方法一：用全等的方法 方法二：先证AECF ⒊ 求证：平行四边形一条对角线的两个个端点到另一 条对角线的距离相等。 （要求画图，写出已知、求证并证明） 图 P-14 -- -- 【例 2】如图 P-15，O 是ABC 内一点，D、 E、F、G 分别是 AB、AC、OB、OC 的中点 求证：四边形 DEFG 是平行四边形 〖思路分析〗 此类题型是利用中位线原理来证题，要 证 DEFG，只要证一组对边平行且相等就 可以了；我们可以选定 DE 与 FG 〖解题过程〗 证：∵ 在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点 ∴ DE∥BC，DE=1/2BC （三角形中位线性质） 同理：FG∥BC，FG=1/2BC ∴ FG=DE （等量代换）FG∥DE ∴ 有DEFG（一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形） 〖练习〗求证：三角形的一条中位线与第三边上的中 线互相平分。 （写出已知、求证并证明） 图 P-15 -- -- 菱形的性质与判定 一、菱形的性质与平行四边形的性质比较 平行四边 形 菱形 变化情况 边 1、对边平行 1、对边平行 不变 2、对边相等 2、四边相等 升级 角 3、对角相等 3、对角相等 不变 线 4、对角线互 相平分 4、对角线互相平分且 垂直 升级 5、每条对角线平分每 一组对角 新性质 二、菱形的性质与判定比较 性质 判定 边 1、对边平行 2、四边相等 1、四条边都相等的四边形 是菱形 2、一组邻边相等的平行四 边形是菱形 -- -- 角 3、对角相等 线 4、对角线互相平分且 垂直 3、对角线互相垂直平分的 四边形是菱形 4、对角线互相垂直的平行 四边形是菱形 5、每条对角线平分每 一组对角 三、观察上表，你能发现什么特点？除了上表中的四 种判定法之外，你还能找出哪些判定菱形的方法？所 有这些方法，你能发现它们的共同点吗？你能不能用 一句话说明，到底怎样判定菱形的？ 上表的特点是：判定菱形，只用到了边与线，而且 用边来判定时只用到了“四边相等”的性质；用“线” 来判定时只用到了“互相垂直平分”的性质。另外， 如果已知的是四边形，就必须要有三个条件才能证得 菱形，如果已知的是平行四边形，那么就只要再有一 个条件就可以了。 除了表中的四种方法，还可以这样判定菱形：例 如，先用“两组对边分别平行”来证一个四边形是平 行四边形，再证它的一组邻边相等，或证它的对角线 互相垂直……这样就有很多的方法了。如果用一句话 来总结，那就是：只要能先证它是平行四边形，再证 它一组邻边相等或对角线互相垂直就可以了！ 四、菱形中的重要解题性质 【菱形的面积与对角线关系原理】菱形的面积等于对 角线乘积的一半 如图 L-01，菱形 ABCD 对角线相交于 O，则 图 L-01 -- -- S 菱形 ABCD= 2 1 ACBD 【含 60o 或 120o 内角的菱形相关性质】菱形中若有一 内角为 60o 或 120o，则菱形被较短的对角线分成两 个 等边三角形；较长的对角线等于边长的 3 倍。 如图 L-01，∠BAD=60o，则有：等边ABD，等边BDC ， AC= 3 BD= 3 AB 【菱形的一些基本性质】 ⒈菱形的四条边都相等，周长=边长4； ⒉如图 L-01，菱形被两条对角线分成的四个小直 角三角形都全等； ⒊如图 L-02，菱形四边中点连线所得四边形是矩 形； 证明：连结 AC、BD，交点为 O，AC 交 HE 于 P， BD 交 HG 于 Q 由中位线原理可得 HG 和 EF 都平行且等于 1/2AC， ∴HG 与 EF 平行且相等，∴有EFGH 又∵AC⊥BD，AC∥HG，∴HG⊥BD （垂直于平行线中的一条，必垂直另一条） ∴ ∠HQO=90o，同理∠HPO=90o， 又∵∠POQ=90o，∴∠QHE=90o， ∴ 有矩形 EFGH ⒋四边形 ABCD 对角线 AC、BD 相交于 O，从以下条 件中选取 3 条，可以判定四边形 ABCD 是菱形的方 法共有 8 种：①AB=BC，②AB=CD，③BC=AD，④ AO=CO，⑤BO=DO，⑥AC⊥BD，⑦AB∥CD，⑧AD∥ BC ①②③“四条边相等的四边形”或“一组邻边相 等的平行四边形” 图 L-02 -- -- ①④⑤、①⑦⑧、①②⑦、①③⑧：“一组邻边相 等的平行四边形” ②③⑥、⑥⑦⑧：“对角线互相垂直的平行四边形” ④⑤⑥：“对角线互相垂直且平分的四边形” 五、典型题例与思路分析 证一个四边形是菱形，有两种思路：可以先由两个 条件证得平行四边形，再加一个条件证得菱形；或者 直接由三个条件证得菱形。 【例 1】如图 L-03，AD 是ABC 的一条角角平分线， DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F，求证：四边形 AFDE 是菱形。 〖思路分析〗本例明显可先证得AFDE，再加上 一个条件“邻边相等”即可得菱形。 证：∵DE∥AC，DF∥AB ∴DE∥AF，DF∥AE ∴有AFDE ∵AD 是角平分线 ∴∠1=∠2 ∵DE∥AC ∴∠3=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AE=DE ∴有菱形 AFDE（一组邻边相等的平行四边形是菱 形） 〖同类练习〗 ⒈如图 L-04，ABC 中，∠C=90o，AD 是角平分线，ED ⊥BC，DF∥BC 求证：四边形 AEDF 是菱形 图 L-03 图 L-04 -- -- ⒉如图 L-05，ABC 中，AB=AC，O 是 BC 中点，OG⊥ AB 于 G，OD⊥AC 于 D，DE⊥AB 于 E，GF⊥AC 于 F， GF、DE 相交于 P 求证：四边形 ODPG 是菱形 【例 1】如图 L-06，ABCD 的对角线 BD 的垂直平分 线 EF 分别交 AB、CD、BD 于 F、E、O 求证：四边形 DFBE 是菱形。 〖思路分析〗 本例很显然可以利用对角线互相垂直平分来证菱形， 我们可以用全等来证得对角线互相平分。 证：∵ 有ABCD ∴ AB∥DC ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵ EF 垂直平分 BD ∴ DO=BO ∴DOE≌BOF ∴ OE=OF ∵ EF⊥BD ∴有菱形 DFBE（对角线互相垂 直平分的四边形是菱形） 〖同类练习〗 ⒈如图 L-07，过ABCD 的对角线交点 O 作互相垂直的 两条直线分别交ABCD 四条边于 E、F、G、H 四点 求证：四边形 EFGH 是菱形 图 L-05 图 L-06 图 L-07 -- -- 〖综合练习〗 ⒈☆☆☆如图 L-08，ABC 中，∠ACB=90o，AD 是角平分 线，DF⊥AB 于 F，CD⊥AB 于 E，求证：四边形 CDFG 是菱形 〖提示〗用全等可证 CD=DF，CG=GF，再证∠3=∠4 得 CD=CG，即四条边相等 ⒉☆☆☆如图 L-09，E 为四边形 ABCD 边 AB 上一点，且 AED 和EBC 都是等边三角形，F、G、H、I 分别是 四边中点 求证：四边形 FGHI 是菱形 〖提示〗连结 AC 和 BD，先证AEC≌DEB，得 AC=BD； 再由中位线原理可得 HI=FG=1/2AC，EI=HG=1/2BD， 即四条边都相等 图 L-08 -- -- ⒊如图 L-10，AB∥EF，∠1=∠2，DC=DF，求证：四边 形 DCEF 是菱形 ⒋如图 L-11，ABCD 中，EF∥BD，BE=BG， 求证：①∠E=∠F ②ABCD 是菱形 图 L-09 图 L-10 -- -- 矩形的性质与判定 一、平行四边形、菱形、矩形的性质比较 平行四边形 菱形 矩形 边 1、对边平行 2、对边相等 1、 对边平行 2、四边相等 1、对边平行 2、对边相等 角 3、对角相等 3、对角相等 3、四角相等（90o） 线 4、对角线互 相平分 4、对角线互相垂直 平分 5、对角线平分每一 组对角 4、对角线互相平 分且相等 二、矩形的性质与判定比较 性质 判定 边 1、对边平行 2、对边相等 角 3、四角相等（90o）1、四个角都是直角的四边形是 矩形 -- -- 2、一个角是直角的平行四边形 是矩形 线 4、对角线互相平 分且相等 3、对角线互相平分且相等的四 边形是矩形 4、对角线相等的平行四边形是 矩形 三、平行四边形、菱形、矩形的判定方法比较 平行四边形 菱形 矩形 边 1、两组对边分 别平行 2、两组对边分 别相等 1、四条边都 相 等 的 四 边 形 3、一组对边平 行且相等 2、一组邻边 相 等 的 平 行 四边形 角 4、两组对角分 别相等 1、四个角都是直角的 四边形 2、一个角是直角的平 行四边形 线 5、对角线互相 平分 3、对角线互 相 垂 直 平 分 的四边形 3、对角线互相平分且 相等的四边形 4、对角线互 相 垂 直 的 平 行四边形 4、对角线相等的平行 四边形 四、菱形、矩形的比较 -- -- ⒈二者都是特殊的的平行四边形，菱形是将平行四边 形的一组邻边相等，矩形是将其一组邻角相等；所 以菱形的角方面没有变化，而矩形的边方面没有变 化； ⒉菱形四边相等，矩形四角相等；菱形的对角线互相 垂直，而矩形的对角线相等； ⒊二者都既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称 中心都是对角线交点，对称轴都有 2 条，菱形的 2 条是对角线所在直线，矩形 2 条是对边的中垂线； ⒋菱形四边中点连线所得是矩形，矩形四边中点连线 所得是菱形； ⒌菱形对角线交点到四边距离相等，矩形对角线交点 到四个顶点距离相等； ⒍二者的判定都可以先判定平行四边形再加一个条件 就可以了。 五、练习 ⒈如图 J-01，四边形 EFGH 是由ABCD 四个内角的角 平分线围成的 求证：四边形 EFGH 是矩形 〖提示〗证∠1+∠2=90o，则∠AED=90o，同理 得出另三个角都等于 90o 图 J-01 -- -- ⒉求证：顺次连结矩形四边中点所得四边形是菱形。 〖提示〗证四条边都等于对角线长 ⒊如图 J-03，O 为菱形 ABCD 对角线交点，过 O 点作 AD、AB 的垂线，与四边分别相交于 E、F、G、H 求证：四边形 EFGH 是矩形 〖提示〗由菱形性质可知∠1=∠2，并由角平分 线原理知 OH=OE；同理可得 OE=OF，OF=OG， 所以 HF 与 EG 相等且互相平分，得矩形 图 J-02 图 J-03 -- -- ⒋求证：①菱形对角线交点到四边的距离都相等；② 矩形对角线交点到四个顶点的距离都相等。 ⒌如图 J-04，矩形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O，BE⊥ AC 于 E，CF⊥BD 于 F 求证：BE=CF ⒍如图 J-05，过矩形 ABCD 顶点 A 作 AE∥BD，交 CD 延长线于 E，猜想AEC 的形状并证明 图 J-04 图 J-05 -- -- ⒎如图 J-06，点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点，F 是 AD 边上一点，EF⊥BE 且 EF=BE，已知矩形周长为 22cm，CE=3cm，求 DE 长 正方形的性质与判定 一、 正方形的性质与判定比较 性质 判定 边 1、对边平行； 2、四边相等； 1、一组邻边相等的矩形； 角 3、四角相等（都等 于 90o） 2、一个角是直角的菱形； 线 4、对角线互相平 3、对角线相等的菱形； 图 J-06 -- -- 分、垂直且相等 4、对角线垂直的矩形； 5、对角线互相平分、垂直且 相等的四边形 二、正方形判定方法 ① 简单地说，要判定一个四边形是正方形，就要判定 它既是菱形，又是矩形； 如上表中的判定原理 1—4，都是这种方法； ② 判定正方形需要四个条件，比较平行四边形、菱形 和矩形的判定，判定平行四边形只要两个条件，判 定菱形和矩形都要三个条件； ③ 也可以先判定一个四边形是平行四边形，再加一个 条件判定成菱形（或矩形），最后再加一个条件判 定成矩形（或菱形），就成了正方形。 三、平行四边形、菱形、矩形与正方形性质比较 平行四 边形 菱形 矩形 正方形 边 1、对边 平行 1、对边平 行 1、对边平 行 1、对边平行 2、对边 相等 2、四边相 等 2、对边相 等 2、四边相等 角 3、对角 相等 3、对角相 等 3、四角相 等 3、四角相等 对 角 线 4、对角 线 互 相 平分 4、对角线 互相平分 且垂直 4、对角线 互相平分 且相等 4、对角线互 相平分、垂直 且相等 -- -- 对 称 性 5、中心 对 称 图 形，对称 中 心 是 对 角 线 交点 5、中心对 称图形， 对称中心 是对角线 交点 5、中心对 称图形， 对称中心 是对角线 交点 5、中心对称 图形，对称中 心 是 对 角 线 交点 6、轴对称 图形，两 条对角线 所在直线 是对称轴 6、轴对称 图形，两 条对边的 中垂线是 对称轴 6、轴对称图 形，两条对角 线所在直线、 两 条 对 边 的 中垂线共是 4 条对称轴 四、例题与练习 【例】如图 Z-01，RtABC 中，∠ACB=90o，CD 平分∠ ACB，DE⊥BC 于 E， DF⊥AC 于 F，求证：四边形 CFDE 是正方形。 〖思路分析〗如前所述，要判定一个四边形是正方形， 就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。本 例我们可以先证它是矩形，再证它有一组邻边相等； 或先证它是菱形，再证它有一个直角。 证法一：先证矩形，再证一组邻边相等 证： ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90o， ∴∠ACB=∠CFD= ∠CED= 90o， ∴有矩形 CFDE （三个角是直角的四边形是矩形） 又∵CD 平分∠ACB， DE⊥BC，DF⊥AC ∴DE=DF（角平分线上的点到两边的距离相等） 图 Z-01 -- -- ∴有正方形 CFDE（一组邻边相等的矩形是正方 形） 证法二：先证菱形，再证一个内角为 90o 证：∵DE⊥BC ∴∠DEB=90o， 又∵∠ACB=90o， ∴∠ACB=∠DEB ∴DE∥CF 同理 DF∥CE ∴有CFDE 又∵CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC ∴DE=DF（角平分线上的点到两边的距离相等） ∴有菱形 CFDE 又∵∠DEB=90o ∴有正方形 CFDE（一个角是直角的菱形是正方 形） 〖练习〗 ⒈如图 Z-02，矩形 ABCD 中，AE 平分∠DAB，交 CD 于 E，EF⊥AB 于 F 求证：四边形 AFED 是正方形 〖提示〗用“一组邻边相等的矩形是正方形” ⒉如图 Z-03，在正方形 ABCD 中，AE=BF，AF、ED 相交于 G 图 Z-02 -- -- ①求证：AF=DE ②求证：AF⊥DE 〖提示〗①证ABF≌DAE（SAS） ②证∠2+∠3=90o：由①得∠1=∠3；∠1+∠2=90o ⒊① 如图 Z-04，正方形 ABCD 对角线相交于 O，E 为 AC 上一点，过 A 作于 G，AG 交 BD 于 F，求证：OE=OF 〖提示〗证AOF≌BOE（AAS） ② 如图 Z-05，若点 E 在 AC 的延长线上，AG⊥BE 交 EB 延长线于 G，AG 交 DB 延长线于 F，其它条件不 变，OE=OF 还成立吗？请证明你的结论 图 Z-03 图 Z-04 图 Z-05 -- -- 【实践题】只给你测量长度的工具，怎样测出一个矩 形的物件是否合格？ 【实践题】不用任何工具，怎样检验一张纸片是正方 形？ 图 Z-04 图 J-11 -- -- 【专题一】纸片折叠题型 此类题型的关键在折叠前后的等量关系，要能找到哪 些线段和角是不变的，它们是题中的隐含条件，要注 意应用。 ⒈☆☆☆如图 ZD-01，将ABCD 纸片沿 EF 折叠，使 C 点 正好落在 A 点，D 点落在 G 点，①求证：ABE≌AGF ②判断四边形 AECF 是什么形，并证明 〖提示〗①折叠之后的等量关系要清楚： ∠D=∠G，∠BAD=∠BCD，AG=CD，AE=EC 再由ABCD 得∠D=∠B，AB=CD；最后证 ∠1=∠2，三个条件就具备了 ②AE=EC，AE∥EC，可证AECF，由①可知 AE=AF，所以可得它是…… ⒉☆☆☆如图 ZD-02，将一矩形纸片沿 GF 折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落在 E 处，找出并证明图中的全等 三角形 图 ZD-01 图 ZD-02 -- -- ⒊☆☆如图 ZD-03，两张宽度相同的小纸条叠放在一起， 围成一个四边形 ABCD，判断这个四边形的形状并证 明 〖提示〗宽度相同，即高相等，利用面积法可证得 AB=AD；而ABCD 的证明就…… ⒋☆☆如图 ZD-04，将矩形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，C 点落 在 F 处，BF 交 AD 于 E。已知 AB=4，BC=8，求 DE 长 〖提示〗设 DE= x ，则 AE=8- x ；易证∠1=∠3 得 BE=DE= x ， 在 RtABE 中，用勾股定理列出方程即可解得 x 图 ZD-03 图 ZD-04 -- -- ⒌如图 ZD-05，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠后， 点 B 到达 B的位置， BC 与 AD 交于点 E，求证： BD ∥AC 〖提示〗易证等腰ACE 与等腰BDE，则∠1=∠2，∠ 4=∠5，又由于∠AEC=∠BED，则∠1=∠2=∠4=∠5， 得证平行。 ⒍如图 ZD-06，将矩形纸片沿 AE、EF 折叠，使 C 点落 在 G 处，B 点落在 H 处；已知∠2=30o，AB= 3 ，求 BC 长 图 ZD-06 图 ZD-05 -- -- ⒎如图 ZD-07，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3 3 ，BC=6， 沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的 P 处，点 D 落在 G 处，AD 与 PG 交于 H，∠1=30o ①求 BE、DF 的长 ②求四边形 PEFH 的面积 〖提示〗设 BE= x ，则 EC=6- x =EP，由∠1=30o 得 BE=1/2PE 求出 x 及 PB、PA、PH、 HG，再证∠1=∠3=∠4=30o 可求出 GF，而 DF=GF；各 条线段求出后，四边形 PEFH 的面积就等于矩形总面 积减去两个三角形及一个梯形面积，或者用梯形面 积减去FGH 的面积 ⒏ ☆☆☆☆☆如图 ZD-08，已知矩形纸片 ABCD，AB=2，AD=1， 图 ZD-07 -- -- 将其沿 FG 折叠，使 A 点落在 CD 边上 E 点处，连结 AE， 交 FG 于 M，过 M 作 MN∥AB 交 BC 于 N，若 MN=ME，求 MN 的长 〖提示〗由折叠含义可知：FG 垂直平分 AE，所以 MN=ME=1/2AE，连结并延长 EN，交 AB 延长线于 P，由 中位线原理推论可得 N 为 PE 中点，且可证得 EC=BP， MN=1/2AP，所以AP=AE；设EC= x ，则DE=2- x ，AE=AP=2+ x ， 在 RtADE 中，用勾股定理 可得方程：12+（2- x ）2=（2+ x ）2，最后答案为 MN=17/16 【专题二】动点问题题型 ⒈如图 D-01，四边形 ABCD 中，AD∥CB，且 AD>BD， BC=6cm，动点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，P 以 1cm/s 图 ZD-08 图 D-01 -- -- 的速度由 A 向 D 运动，Q 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，几秒后四边形 ABQP 是平行四边形？ ⒉如图 D-02，在ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠ACB 的平分线于 E，交 ∠ACB 的外角平分线于 F， ①求证：OE=OF ②当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？证明 你的结论 〖提示〗易证∠1=∠2=∠3，得 OE=OC 同理 OF=OC，得证 OE=OF ⒊如图 D-03，矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 向 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 向 A 以 1cm/s 的速度移动；如果 P、Q 同时出发，t(s)表示移动时间（0