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平行四边形、菱形、矩形、正方形测试题
一、 选择题(每题 3 分，共 30 分)。
1．平行四边形 ABCD 中，∠A=50°，则∠D=（ ）
A. 40° B. 50° C. 130° D. 不能确定
2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. 一组对边相等 B. 对角线互相平分
C. 一组对角相等 D. 对角线互相垂直
3．在平行四边形 ABCD 中，EF 过对角线的交点 O，若 AB=4，BC=7，OE=3，则四边形 EFCD 周长是（ ）
A．14 B. 11 C. 10 D. 17
4．菱形具有的性质而矩形不一定有的是( )
A． 对角相等且互补
B． 对角线互相平分
C． 一组对边平行另一组相等
D． 对角线互相垂直
5．已知菱形的周长为 40cm，两条对角线的长度比为 3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）
A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm
6． 如图在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，则以下说法错误的是( )
A．AB=
2
1 AD
B．AC=BD
C． 90 CDABCDABCDAB
D．AO=OC=BO=OD
7．如图 5 连结正方形各边上的中点，得到的新四边形是 ( )
A．矩形 B.正方形 C.菱形 D.平行四边形
8. 一矩形两对角线之间的夹角有一个是 600, 且这角所对的边长 5cm,则对角线长为( )
A. 5 cm B. 10cm C. 5 2 cm D. 无法确定
9. 当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( )
A. 菱形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 无法确定.
10.如图所示，在 ABCD 中，E、F 分别 AB、CD 的中点，连结 DE、EF、BF，则图中平行四边形共有
（ ）
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
二、 填空题（每题 3 分，共 24 分 ）
11．□ABCD 中, AB：BC=1：2，周长为 24cm, 则 AB=_____cm, AD=_____cm.
12．已知：四边形 ABCD 中，AB＝CD，要使四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加__________，（只需填一
个你认为正确的条件即可）你判断的理由是：_____________________________。
13．一个矩形的对角线长 10cm，一边长 6cm，则其周长是 ，面积是 。
14．已知菱形的两条对角线的长分别是 6cm 和 8cm, 则其周长为 ,面积为 .
15．正方形的对角线是 2，那么边长为_____，周长为____，面积为_______。
16．用两个全等的三角形，能拼成一个平行四边形，这样的平行四边形的周长取值最多有________个。
17．如图，宽为 50cm 的矩形图案由 10 个全等的小长方形拼成，其中
一个小长方形的面积为_________。
18．如图，矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，P 是边 AD 上的动点，PE⊥
图5
F
A B
D C
E
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AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE＋PF 的值为：_________。
三、解答题（共 46 分）
19．如图 9 平行四边形 ABCD 中，BE⊥AC 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：BE=DF
(提示：可以用 AAS 定理证明：△CFD≌△AED) (6 分)
20 如图 8：某菱形的对角线长分别是 6cm，8cm，求菱形周长和面积。（6 分）
22．（8 分）已知四边形 ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，能否得到四边形 ABCD 是平行四边形
的结论？试一试，并说明理由（至少写 3 组）。
①AB=CD ②AB∥CD ③BC∥AD ④BC=AD ⑤∠A=∠C ⑥∠B=∠D
23．小红的房门做好了, 现要检测这房门是否成矩形, 你有什么办法帮他吗? 说说看.(6 分)
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1．如图，四边形 ABCD 是菱形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，分别交 BD、CD 于点 E、F，
A B
CD
F
E
1
2
图9
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A
G
E B
CFD
连接 CE．
（1）求证：∠DAE＝∠DCE；
（2）当 AE＝2EF 时，判断 FG 与 EF 有何等量关系？并证明你的结论？
2．如图，在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，E、F 分别在 AD 及其延长线上， CE∥BF，连接 BE、CF．
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若 AB=AC，求证：四边形 BFCE 是菱形．
3．(10 分)如图，在□ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD
的中点，AG∥BD 交 CB 的延长线于点 G．
(1)求证：△ADE∽≌△CBF；
(2)若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特
殊四边形？请说明你的理由．
4．已知：如图 14， E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，EF⊥BC, EG⊥CD，垂足分别是 F、G。
求证：AE＝ FG.
5.如图 11，四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在 AB，BC 上， 将△BMN 沿 MN 翻折，得△FMN，若
A
D C
B
E
G
F
图 14
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MF∥AD，FN∥DC， 则∠B = °．
6.如图，矩形 ABCD 中，AB=1，E、F 分别为 AD、CD 的中点，沿 BE 将△ABE 折叠，若点 A 恰好落在 BF
上，则 AD= .
7.如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落
在点 B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为 ．
8.探究：如图①， 在 四 边 形 ABCD 中 ， ∠ BAD= ∠ BCD=90 ° ，
AB=AD,AE⊥CD 于点 E．若 AE=10,
求四边形 ABCD 的面积.
应用：如图②，在四边形 ABCD 中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,AE⊥BC 于点 E.
若 AE=19，BC=10,CD=6,则四边形 ABCD 的面积为 .
9.如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 上的点，AE=CF，连接 EF、BF，EF 与对角线 AC 交于
点 O，且 BE=BF，∠BEF=2∠BAC。
（1）求证：OE=OF
（2）若 BC=2 ，求 AB 的长。
10.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以 AC 为一边向外作等边三角形 ACD，点 E 为 AB 的中点，连结 DE.
（1）证明 DE∥CB；
（2）探索 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形 DCBE 是平行四边形.
11.如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成一
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个大的长方形 ABEF．现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′，旋转角为 a．
（1）当点 D′恰好落在 EF 边上时，求旋转角 a 的值；
（2）如图 2，G 为 BC 中点，且 0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；
（3）小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋
转角 a 的值；若不能说明理由．
12.如图 1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D、F 分别在 AB、AC 边上，此时
BD=CF，BD⊥CF 成立．
（1）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，
请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G．
求证：BD⊥CF；
(3)在(2)小题的条件下, AC 与 BG 的交点为 M， 当 AB=4，AD= 时，求线段 CM 的长．
13. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 为 AB 的中点，Q 为边 CD 上一动点，设 DQ＝t（0≤t≤2），
线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、BC 于点 M、N，过 Q 作 QE⊥AB 于点 E，过 M 作 MF⊥BC 于点 F．
（1）当 t≠1 时，求证：△PEQ≌△NFM；
Q
P
N
M
F
E
D
C
B
A
（第 9 题）
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答案
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(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形∴AB∥CD∴∠OAE=∠OCF, ∠OEA=∠OFC∵AE=CF
∴△AEO≌△CFO(ASA)∴OE=OF
(2)解：连接 BO ∵OE=OF, BE=BF, ∴OB⊥EF,且∠EBO=∠FBO∴∠BOF=90°
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BCF=90°又∵∠BEF=2∠BAC, ∠BEF=∠BAC+∠EOA
∴∠BAC=∠EOA, ∴AE=OE∵AE=CF, OE=OF∴ OF=CF∵BF=BF∴△BOF≌△BCF(HL)
∴∠OBF=∠CBF∴∠CBF=∠FBO=∠OBE∵∠ABC=90° ∴∠OBE=30°∴∠BEO=60° ∴∠
BAC=30°∵tan∠BAC=BC:AB∴tan30°=2 3 :AB∴AB=6
探究：过点 A 作 AF⊥CB,交 CB 的延长线于点 F. ∵AE⊥CD，∠BCD＝90 ，∴四边形 AFCE 为矩形.
∴∠FAE＝90 .∴∠FAB＋∠BAE＝90 .∵∠EAD＋∠BAE＝90 ，∴∠FAB＝∠EAD. ∵AB＝AD，∠F＝
∠AED＝90 ，∴△AFB≌△AED. ∴AF＝AE.∴四边形 AFCE 为正方形.
∴ ABCDS四边形 ＝ AFCES正方形 ＝ 2AE ＝ 210 ＝100.
解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点 B′落在矩形内部时，如答图 1 所示．连结 AC，在 Rt△ABC 中，AB=3，BC=4，
∴AC= =5，∵∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处，如图，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5﹣3=2，设 BE=x，则 EB′=x，CE=4﹣x，
在 Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4﹣x）2，解得 x= ，∴BE= ；
②当点 B′落在 AD 边上时，如答图 2 所示．此时 ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．
综上所述，BE 的长为 或 3．故答案为： 或 3．
解：（1）证明：连结 CE.∵点 E 为 Rt△ACB 的斜边 AB 的中点，∴CE= 1
2
AB=AE.∵△ACD 是等边三角
形，∴AD=CD.在△ADE 与△CDE 中，AD=CD,DE=DE,AE=CE,∴△ADE≌△CDE.∴∠ADE=∠CDE=30°.
∵∠DCB=150°，∴∠EDC+∠DCB=180°.∴DE∥CB.
(2)∵∠DCB=150°,若四边形 DCBE 是平行四边形，则 DC∥BE, ∠DCB+∠B=180°.∴∠B=30°.
（1）解：∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′，∴CD′=CD=2，在 Rt△CED′中，CD′=2，
CE=1，∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴∠α=30°；
（2）证明：∵G 为 BC 中点，∴CG=1，∴CG=CE，∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至
CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△DCE′中
，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D；（3）解：能．理由如下：
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∵四边形 ABCD 为正方形，∴CB=CD，∵CD=CD′，∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角
形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，
α= =135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，α=360°﹣ =315°，
即旋转角 a 的值为 135°或 315°时，△BCD′与△DCD′全等．
解（1）BD=CF 成立．理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，∴AB=AC，AD=AF，
∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD 和△
CAF 中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）证明：设 BG 交 AC 于点 M．∵△BAD
≌△CAF （已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△ CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．(3)过点 F 作 FN⊥AC 于点 N．∵在正方形 ADEF 中，AD=DE= ，∴AE= =2，∴
AN=FN=AE=1．∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，BC= =4 ．∴在 Rt△FCN
中，tan∠FCN= =．∴在 Rt△ABM 中，tan∠ABM= =tan∠FCN=．
∴AM=AB=．∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM= =
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