初中数学人教版（2012） 八年级下册平行四边形及特殊的平行四边形证明习题

云端教育 平行四边形及特殊的平行四边形 1．已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，过 AB 的中点 E 作 AC 的垂线 EF，交 AD 于点 M，交 CD 的延长线于点 F. （1）求证：AM=DM； （2）若 DF=2，求菱形 ABCD 的周长． 2. 如图所示，在 Rt ABC△ 中， 90ABC  ∠ ．将 Rt ABC△ 绕点C 顺时针方向旋转 60得 到 DEC△ ，点 E 在 AC 上，再将 Rt ABC△ 沿着 AB 所在直线翻转180 得到 ABF△ ．连接 AD． （1）求证：四边形 AFCD 是菱形； （2）连接 BE 并延长交 AD 于G，连接CG， 请问：四边形 ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？ 3．（本题满分 13 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上 任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小； ②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当 AM＋BM＋CM 的最小值为 13  时，求正方形的边长. BA CDF M 第 1 题图 E 第 2 题图 A D F C E G B E A D B C N M 云端教育 4. 如图， ABM 为直角，点 C 为线段 BA 的中点，点 D 是射线 BM 上的一个动点（不与点 B 重合）， 连结 AD ，作 BE AD ，垂足为 E ，连结 CE ，过点 E 作 EF CE ，交 BD 于 F ． （1）求证： BF FD ； （2） A 在什么范围内变化时，四边形 ACFE 是梯形，并说明理由； （3） A 在什么范围内变化时，线段 DE 上存在点 G ，满足条件 1 4DG DA ，并 说明理由 5. 如图 15，平行四边形 ABCD 中，AB AC ， 1AB  ， 5BC  ．对角线 AC BD， 相 交于点O ，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC AD， 于点 E F， ． （1）证明：当旋转角为 90 时，四边形 ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明 理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数． A B C D O F E A B C DF E M 云端教育 6. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC BD， 交于点O ，E 是 BD 延长线上的点， 且 ACE△ 是等边三角形． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 2AED EAD   ，求证：四边形 ABCD 是正方形． E C D B A O 7. 如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射 线 BC 上，且 PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y. ① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； ② 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值. A B C P D E 云端教育 8. 数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点． 90AEF   ， 且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证 AME ECF△ ≌△ ，所以 AE EF ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意 一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF” 仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 9. 在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，连接 BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接 BD．点 P 从点 E 出发沿射线 ED 运动，过点 P 作 PQ∥BD 交直线 BE 于点 Q． (1) 当点 P 在线段 ED 上时（如图 1），求证：BE＝PD＋ 3 3 PQ； （2）若 BC＝6，设 PQ 长为 x，以 P、Q、D 三点为顶点所构成的三角形面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）； （3）在②的条件下，当点 P 运动到线段 ED 的中点时，连接 QC，过点 P 作 PF⊥QC，垂足为 F，PF 交对角线 BD 于点 G（如图 2），求线段 PG 的长。 A D F C GEB 图 1 A D F C GEB 图 2 A D F C GEB 图 3