课程介绍
第一章 随机事件及其概率
引 言
确定性现象：在一定条件下一定会发生或一定不会发生
的现象
随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象
例 1 (1)太阳从东方升起
(2)边长为a的正方形的面积为a2
(3)一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球
（1)（2)（3）为确定性现象
例 2 (4)掷一枚硬币，正面向上
(5)掷一枚骰子，向上的点数为2
(6)一袋中有5个白球3个黑球，今从中任取一球为白球
（4）（5）（6）为随机现象
参考书：《概率论与数理统计》人大版
《概率统计学习指导》山经数学教研室 编
学习基础方法：1 排列组合
2 微积分
概率论与数理统计：研究和揭示随机现象
的统计规律性的一门数学学科
§1 随 机 事 件
1.1 随机试验与样本空间
试验：为了研究随机现象，对客观事物进行观察的过程
1. 随机试验
随机试验：具有以下特点的试验称为随机试验，用E表示：
（1）在相同的条件下可以重复进行；（可重复性）
（2）每次试验的结果不止一个，并且在试验之前可以明确
试验所有可能的结果；（结果的非单一性）
（3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现那一
种结果。（随机性）
注意：今后所说的试验 均指随机试验
E1：抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。
E3：抛一颗骰子，观察出现的点数。
在下面给出的试验中，讨论试验的结果。
E4：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E5：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E6：在区间[0,1]上任取一点，记录它的坐标。
的集合的所有可能结果所组成一个随机试验 E
的称为随机试验E 记为 . , 样本空间
例:掷硬币——1={正面，反面}
掷骰子——3={1,2,3,4,5,6}
2 : 1,2,3 , 0
4 : . E 呼唤台一分钟内接到的呼唤次数 4 : 3, 1,2, , 0
某灯泡的寿命：Ω5 = {t ：t ≥0｝
由以上例子可见,样本空间的结构随着试验的要求不同而有所不同，
样本空间的元素是由试验的目的所确定的.
, , 称为的每个结果即样本空间中的元素 E . 样本点 记为ω。
样本点ω
.
Ω
随机事件：试验E所对应的样本空间Ω的子集称为E的随机事件
，称事件，通常用大写字母A,B,C等表示。
试验E的任何事件A都可表示为其样本空间的子集。
样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点集{ω}称为基本
事件，也是一种随机事件。否则，称为复合事件(由两个或两
个以上的基本事件构成的事件)。
事件发生：如果当且仅当样本点ω1,ω2,…,ωk有一个出
现时，事件A就发生。
用事件A中的样本点的全体来表示事件A，即
A={1， 2，…... k}
必然事件：每次试验中一定发生的事件，用表示；
不可能事件：每次试验中一定不发生的事件，用Φ 表示.
例：观察掷一枚均匀的骰子出现点数的试验中， “点数小于7”
是必然事件， “点数不小于7” 是不可能事件。
事 件——样本点的集合 子集
样本空间——全部样本点的集合 全集
基本事件——一个样本点的集合 单点集
复合事件——多个样本点的集合
不可能事件——不包含任何样本点的集合 空集
必然事件——全体样本点的集合（即样本空间Ω） 全集
事件与集合的对应
例5 已知一批产品共100个, 其中有95个合格品和5个次品。检查
产品质量时，从这批产品中任一抽取10个来检查，则在抽取
的产品中，
“次品数不多于5个”
“次品数多于5个”不可能事件 Φ：
事件 A： “恰有一个次品”
事件 B：“至少有一个次品”
事件 C：“没有次品”
随
机
事
件
必然事件 Ω：
基本事件
基本事件
包含5个基本事件
包含2个基本事件:事件 D： “有2个或3个次品”
1.3 事件间的关系及运算
v 引言
因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事
件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。
1、事件的包含与相等
** 事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生，则称事件 B
包含 事件 A，或称事件 A 包含于 事件 B ，记为 ：
A B 或 B A。 样本空间
B A
属于 A 的 必然属于 B
注：对任一事件 A 有：
A Ω
例1：一袋子中有分别编号为 1、2、…、10 的十个
球，现从中任取一球，设 A = {取到5号球}，B = {取
到编号是奇数的球}，C = {取到编号是 1, 3, 5, 7, 9
的球}，D = {取到编号 0 )
P(AB)=P(B)P(A|B) ( P(B)>0 )
注：当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A) 与
P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。
对于任意n个事件A1,A2, …,An, 且 P(A1A2 …An-1)>0 , 则有
P(A1A2…An)=P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A2)…P(An|A1A2 …An-1)
推广的乘法公式
4.3 乘法公式
4%
次
品96% 正品
75% 一等品
例１：一批产品的次品率为4％，正品中一等品率为75％，
现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。
解： 记A＝{取到一等品}， B＝{取到次品}， ＝{取到正品}。B
则有： P(B)=4/100 P( )=96/100 P(A| )=75/100B B
由于：Ａ 故：Ａ＝Ａ ，于是：B B
例2 10张考签中有4张难签，甲、乙、丙
3人参加抽签（不放回），甲先，乙次，丙后，
求甲、乙、丙都抽到难签的概率？
记A＝{甲抽到难签}， B＝{乙抽到难签}，
C＝{丙抽到难签}，
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)= 30
1
8
2
9
3
10
4
P(A)= P(B|A)= P(C|AB)= 8
2
10
4
9
3
4.4 全概率公式与贝叶斯公式
定义4.2（ 样本空间Ω的一个划分) n
若 n 个事件A1，A2，…，An两两互不相容，且 Ai =
i=1
（1） A1∪A2∪…∪An =
(2) AiAj=φ，(1≤i3}为Ω的一个划分
A1={X为偶数}，B1={X为奇数}也是Ω的一个划分
A1
A2 An
:注意 1 2 , , , , nA A A若 为样本空间的一个划分
, 事件组则对每次试验 1 2 , , , nA A A 中必有且仅有
一个事件发生.
, .
.A A
可见 的划分是将 分割成若干个互斥事件
而 与 始终为 的一个划分
定理4. 3 设A1, A2, , A n 构成样本空间的一个划分，
并且 P(Ai)>0, i=1,2, n, 则对任意事件B，有
H 全概率公式
)
1
i
n
i
i P(B|A)P(AP(B)
证明：
]BA[P
n
i
i
1
) ΩB(P)B(P
)A|B(P)A(P i
n
i
i
1
)]A(B[P
n
i
i
1
n
i
i )BA(P
1
推论 若事件A满足 00 或 P(A)>0 的制约.
P AB P A B P B
P(AB)=P(A)P(B)
定义5.1：（事件的独立性）
则称事件Ａ与Ｂ相互独立，简称独立。
如果事件A，B，满足：
1 5.定理 独立的充要条件为、事件 BA
0,|
0, |
APBPABP
BPAPBAP
或
注：当P(B)>０时，P(AB)=P(A)P(B)等价于P(A|B)=P(A)
当P(A)>0时，P(AB)=P(A)P(B)等价于P(B|A)=P(B)
证 . 先证必要性 , 由独立定义知独立、设事件 BA
BPAPABP
| , 0 ,
BP
ABPBAPBP 时当所以
BP
BPAP
AP
| , 0 ,
AP
ABPABPAP 时当或者
AP
BPAP
BP
: 再证充分性 , | 则有成立设 APBAP
BPBAPABP | BPAP
. , 相互独立、事件由定义可知 BA
例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记
A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
可见, P(AB)=P(A)P(B)
由于 P(A)=4/52=1/13,
故 事件A、B独立.
问事件A、B是否独立？
解1:
P(AB)=2/52=1/26.
P(B)=26/52=1/2,
可见 P(A)= P(A|B), 由定理5.1知事件A、B独立.
P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13解2:
两事件是否独立可由定义或通过计算条件
概率来判断:
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判
断两事件是否独立.
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
故认为A、B独立 .
甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中},
B={乙命中}，A与B是否独立？
例如
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
一批产品共n件，从中抽取2件，设
Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
受到第一次 抽取的影响.
又如：
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响.
若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.
=P(A)[1- P(B)]
= P(A)- P(AB)
BP(A )= P(A - A B)
A、B独立
概率的性质
= P(A)- P(A) P(B)
仅证A与 独立B
定理 5.2 若两事件A、B独立, 则 BABABA 与与与 ,,
也相互独立.
证明
B= P(A) P( )
故 A与 独立B
«多个事件的独立性
5.2定义 , , ,, 21 如果对于任意个事件为设 nAAA n
1 , 1 21 有等式和任意的的 niiinkk k
kk iiiiii APAPAPAAAP
2121
1 2 , , , . nA A A则称 为相互独立的事件
则称事件A1 ,A2 ,…An 互相独立
即： 对于事件A1 ,A2 ,…An ,若满足:
P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)
P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)
……
P(A1A2 …An)=P(A1)P(A2)…P(An)
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)
P(AC)= P(A)P(C)
P(BC)= P(B)P(C)
P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.
则称事件A1 ,A2 ,…An两两独立。
注意： 对于事件A1 ,A2 ,…An ,若只满足:
P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)
即A1，…，An 中任意两个是独立的，
例如 , 如果满足等式为三事件、、设 CBA
CPBPBCP
CPAPACP
BPAPABP
. A B C则三事件 、 、 为两两独立的事件
, 等式两两独立时 、、当事件 CBA CPBPAPABCP
. 不一定成立
两两独立相互独立
对 n (n > 2)个事件
?
多个事件互相独立的性质：
（2）若事件A1 ,A2 ,…An 互相独立，则它们及它们的对立
事件中任意一部分也是互相独立。
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i )A(P)A(P)A(P)A(P
1111
111
（3）若事件A1 ,A2 ,…An 互相独立，则
（1）若事件A1 ,A2 ,…An 互相独立，则A1 ,A2 ,…An 中任意
k(k≥2)个事件也相互独立。
独立性:是相对于概率P而言的,指两事件的发生互不影响。
互不相容: 是两个事件不可能同时发生，即没有公共的
样本点，但并不涉及到事件的概率。
¦两事件独立与两事件互不相容的区别
若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A 、B不互
斥.
对独立事件，许多概率计算可得到简化
¦独立性的概念在计算概率中的应用
解：设A={甲投中} B={乙投中} C={丙投中}
例1： （补充）甲、乙、丙三人各投篮一次，他们投中的
概率分别为 0.7 , 0.8 , 0.75, 求（1）三人中恰好有一人投中的概率
（2）三人都投中的概率（3）三人中至少有一人投中的概率
ABC={三人都投中} A+B+C={三人中至少有一人投中}
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.7 0.8 0.75=0.42
P(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.3 0.2 0.25
=0.985
ABC+ ABC + ABC ={三人恰好有一人投中}
P（ABC+ ABC + ABC） = P（ABC）+P（ABC） + P（ABC）
=0.70.20.25+0.30.80.25+0.30.20.75=0.14
P(A1)=0.4 P(A2)=0.5 P(A3)=0.7
P28第9题 甲乙丙三人向同一飞机射击，击中的概率分别为 0.4,
0.5,0.7,如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有
二人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机
必被击落。求飞机被击落的概率。
解：设A1={甲击中敌机} A2={乙击中敌机} A3={丙击中敌机}
B1={只有一人击中飞机}B2={只有两人击中飞机}B3={三人击中飞机}
B4={三人全没击中飞机}C={飞机被击落}
P(B1)=0.4 0.5 0.3+0.6 0.5 0.3+0.6 0.5
0.7=0.36
P(B2)=0.4 0.5 0.3+0.6 0.5 0.7+0.4 0.5
0.7=0.41
P(C|B1)=0.2 P(C|B2)=0.6 P(C|B3)=1 P(C|B4)=0
P(B3)=0.4 0.5 0.7=0.14
由全概率公式:P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3)
+P(B4)P(C|B4）= 0.2 0.36+0.6 0.41+1 0.14=0.458
B1=A1A2A3+ A1A2A3+ A1A2A3
P(B4)=0.6 0.5 0.3=0.09
解：(1)、当事件Ａ与Ｂ互不相容时，AB= ，
P(AB)=0，P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7
例2：（补充）已知 P(A)=0.3,P(B)=0.4,在下列两
种情况下，求 P(A+B),P(AB)
(1)当事件A与B互不相容时；(2)当事件A与B独立时
(2)、当事件Ａ与Ｂ独立时，，则：
P(AB) = P(A)P(B)=0.3 0.4=0.12
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.4-0.12=0.58
P24 Ex1
解： 知
解得
例：（课本P27（10））设两事件A,B, 0
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