1
★ 图形与几何
★ 线段的 n 等分
★迭代法构造线段的 n 等分。
（1）新建参数 n=5。
（2）分别计算 n-1、
n
1 的值。选中计算值
n
1 ，单击“变换”/“标记比值”命令，将
n
1 标记为比值。
（3）绘制一条线段 AB。双击点 A，将点 A 标记为缩放中心。选中点 B，单击“变换”/“缩放”命令，
将点 B 按标记比值进行缩放，得到点 B。
（4）选中点 A、参数 n 及计算值 n-1，按住 Shift 键，单击“编辑”/“深度迭代”/在“迭代”对话框中，
单击点 B 、计算值 n-1；在“结构”下拉按钮中，去掉“生成迭代数据表”前的“√”，单击“迭代”，结果
如图 8-1 所示。
（5）选中参数 n，按“+”号，增加等分数；按“-”号，减少等分数。
小结：
在迭代前，选中点 A、点 B，按固定距离为“0.5 厘米”、固定角度为“90o”平移，得到点 A 、 B ，连
接线段 AA 、 BB ，再按照步骤（4）的方法迭代，其结果如图 8-2 所示。
图 8-1 图 8-2
★直接在线段上绘制等分点。
（1）绘制一条线段 AB。
（2）右击线段 AB，单击“在线段上绘制点”命令，在“绘制给定数值的点”对话框中，值的编辑框中
输入“1/5”，如图 8-3 所示，单击“确定”，绘制点 C，点 C 就是线段 AB 的一个 5 等分点。
（3）按照步骤（2）的方法，依次输入“2/5”~“4/5”的值，即可画出其余的 5 等分点。
图 8-3 图 8-4
★ 正方形认识
★正方形的四边相等。
（1）绘制一点 A。
（2）选中点 A，单击“变换”/“平移”/以固定距离为“4 厘米”、固定角度为“90o”平移，得到点 A。
2
将点 A标签名改为 B。
（3）同时选中点 A、点 B，单击“变换”/“平移”/以固定距离为“4 厘米”、固定角度为“0o”平移，
得到点 D、点 C。
（4）依次选中点 A、B、C、D，单击“构造”/“线段”命令，构造线段 AB、BC、CD、CA。
（5）依次选中点 A、点 B，单击“变换”/“标记向量”命令，将 AB 标记为向量。
（6）在线段 AD 上取一点 E。选中点 E，单击“变换”/“平移”命令，将点 E 按标记向量平移，在线段
BC 上出现点 E ，连接线段 E E ，如图 8-4 所示。
（7）依次选中点 A、点 D，将 AD 标记为向量。在线段 AB 上取一点 F，将点 F 按标记向量平移，在线
段 CD 上出现点 F，连接线段 F F。
（8）依次选中点 D、点 C 和点 A，单击“构造”/“圆上的弧”命令，构造弧 AC。在弧 AC 上取一点 G，
连接线段 DG，如图 8-5 所示。
图 8-5 图 8-6
（9）依次选中点 F、点 A，“编辑”/“操作类按钮”/“移动”/速度设置为“慢速”/“确定”，出现“移
动 F→A”按钮。同法制作“移动 F→B”、“移动 G→C”、“移动 G→A”、“移动 E→A”和“移动 E→D”按钮。
（10）依次选中“移动 F→A”、“移动 G→C”和“移动 E→A”三个按钮，“编辑”/“操作类按钮”/“系
列”/打开“操作类按钮系列 3 个动作”对话框，在“系列按钮”中，选中“依序执行”，输入“动作之间暂
停”时间为“0.5 秒”。在“标签”中输入标签名“四边相等 1”。单击“确定”，出现“四边相等 1”按钮。
（11）依次选中“移动 E→D”、“移动 G→A”和“移动 F→B”三个按钮，制作“四边相等 2”按钮。依
次选中“四边相等 1”、“四边相等 2”按钮，制作“四边相等”按钮。
（12）隐藏弧 AC 和标签 E、 E 、F、 F和 G，结果如图 8-6 所示。
小结：
（1）单击“四边相等 1”按钮，从线段 BC 移出一条与 BC 长度相等且平行的向下移动的线段，该线段
与线段 AD 重合后，又以点 D 为中心按顺时针方向旋转，与线段 DC 重合，再从 DC 移出向线段 AB 移动，
直到与线段 AB 重合，在线段的移动过程中长度保持不变。单击“四边相等 2”按钮，将按相反方向移动。单
击“四边相等”按钮，将按“四边相等 1”和“四边相等 2”的两个移动进行连续演示。
（2）本例的制作方法，也可以用来制作演示矩形、平行四边形对边平行且相等的课件，还可以制作演示
菱形四边相等的课件。
★正方形的四边相等、四角也相等。
演示
小结：
（1）单击“四角相等”按钮，出现一个逆时针旋转的正方形，其形状、大小与另一个正方形相同，每旋
转 90o，转动的正方形与另一个正方形重合，说明相邻的角相等，也说明相邻的边相等。转动的正方形每转
90o 暂停 0.5 秒，一共转 4 次，说明正方形的四个角相等、四条边也都相等。
（2）如在课件中绘出正方形的两条对角线，就能演示正方形的两条对角线相等的性质，也可以演示正方
形是中心对称图形的性质，这种方法还可以用来制作正多边形和中心对称图形的演示课件。
★ 长方形周长
★用边展开的方法演示长方形的周长。
（1）建立参数 a=3 厘米，参数 b=2 厘米。
3
（2）分别计算 a+b、a+2×b 的值。
（3）绘制一点 A。选中点 A，单击“变换”/“平移”/打开“平移”对话框，单击参数 a，固定角度为“0o”，
单击“平移”，得到点 A，将点 A标签名改为 B。同时选中点 A、点 B，以参数 b 为固定距离、90o 为固定角
度进行平移，得到点 D、点 C。
（4）依次选中点 A、B、C、D，构造线段 AB、BC、CD、DA。
（5）选中点 D，以参数 b 为固定距离、180o 为固定角度平移，得点 E。选中点 C，以计算值 a+b 为固定
距离、90o 为固定角度平移，得点 F。选中点 B，以计算值 a+2×b 为固定距离、0o 为固定角度平移，得到点 G。
（6）依次选中点 D、点 E 和点 A，单击“构造”菜单中的“圆上的弧”命令，构造圆弧 a1。同样方法，
依次选中点 C、点 F 和点 E，构造弧 a2；依次选中点 B、点 G 和点 F，构造弧 a3，如图 8-14 所示。
（7）在弧 a1、a2、a3 上分别任取一点 H、I、J，分别连接线段 DH、CI、BJ。如图 8-15 所示。
（8）依次选中点 H、点 A，单击“编辑”/“操作类按钮”/“移动”/保持原有设置/“确定”，出现“移
动 H→A”按钮。同样方法，制作“移动 H→E”按钮。选中线段 DH 和点 H，按住 Shift 键，单击“编辑”菜
单的“操作类按钮”子菜单中的“隐藏&显示”命令，出现隐藏、显示对象两个按钮，将标签名分别改为“隐
藏线段 DH 和点 H”和“显示线段 DH 和点 H”，如图 8-16 所示。
图 8-14 图 8-15
图 8-16
（9）按照步骤（8）方法，制作“移动 I→E”、“移动 I→F”移动按钮和隐藏、显示线段 CI 和点 I 的按钮；
制作“移动 J→F”、“移动 J→G”移动按钮和隐藏、显示线段 BJ 和点 J 的按钮。
（10）依次选中“显示线段 DH、点 H”、“移动 H→E”、“隐藏线段 DH、点 H”、“显示线段 CI、点 I”、
“移动 I→F”、“隐藏线段 CI、点 I”、“显示线段 BJ、点 J”、“移动 J→G”按钮，单击“编辑”/“操作类按钮”
/“系列”/打开“操作类按钮 系列 8 个动作”对话框，在“系列按钮”选项卡中，选中“依序执行”，在“标
签”选项卡中输入“展开”标签名。单击“确定”，出现“展开”按钮。
（11）同样方法，依次选中“移动 J→F”、“隐藏线段 BJ、点 J”、“显示线段 CI、点 I”、“移动 I→E”、“隐
藏线段 CI、点 I”、“显示线段 DH、点 H”、“移动 H→A”按钮，制作“还原”系列按钮。
（12）隐藏弧 a1、a2、a3、点 E、F、G，隐藏点 H、I、J 的标签、计算值。隐藏移动、显示、隐藏按钮。
结果如图 8-17 所示。单击“展开”按钮，演示过程如图 8-18 所示。
图 8-17 图 8-18
4
小结：
（1）参数 a、b 的值就是长方形两条相邻边的长度，改变参数 a、b 的值，可以演示各种长方形的周长。
当 a=b 时，就是正方形的周长的课件。
（2）本课件制作方法，可以推广到展示任意多边形的周长，关键是要画出展开时端点所经过的路径。
★ 正方形的周长
例 8-5：通过滚动演示正方形周长。
演示
★ 三角形内角和
★用翻折方法演示三角形内角和定理。
（1）在绘图区绘制一个三角形 ABC。选中三角形的三条边，单击“显示”/“线型”/“虚线”/将三角形
的边设置为虚线。
（2）构造线段 AC 和线段 BC 的中点 D 和 E。连接点 D 和点 E，构造出三角形 ABC 的中位线 DE。将中
位线 DE 的线型设置为实线。
（3）选中线段 AB、点 D、点 E、点 C，单击“构造”/“垂线”/构造出线段 AB 的三条垂线 j、k、l。分
别单击垂线 j、k、l 与线段 AB 的交点，构造出交点 F、G 和 H，如图 8-30 所示。
（4）隐藏三条垂线 j、k、l。连接线段 DF、FH、HE 和 CG。
（5）依次选中点 D、点 A 和点 G，单击“构造”/“圆上的弧”/构造出弧 a1。同样方法，依次选中点 E、
点 G 和点 B，构造弧 a2。利用点工具，在弧 a1、a2 及线段 CG 上分别构造点 I、点 J 和点 K。
（6）分别连接线段 DI、FI、EJ、HJ 和 DK、EK。选中点 D、F、I，单击“构造”/“三角形内部”/构造
DFI 的内部。同样方法构造 EHJ 和 DEK 的内部。如图 8-31 所示。
图 8-30 图 8-31 图 8-32
（7）依次选中点 I 和点 A，单击“编辑”/“操作类按钮”/“移动”/在打开的对话框中，将标签名改为
“复原 1”，单击“确定”，出现“复原 1”移动按钮。同样方法，选中点 I、点 G，制作“翻折 1”移动按钮；
选中点 J、点 B，制作“复原 2”移动按钮；选中点 J、点 G，制作“翻折 2”移动按钮；选中点 K、点 C，制
作“复原 3”移动按钮；选中点 K、点 G，制作“翻折 3”移动按钮。
（8）选中 3 个“复原”按钮，“编辑”/“操作类按钮”/“系列”/在打开的对话框中，选中“同时执行”，
将标签名改为“复原”/“确定”，出现“复原”按钮。同法选中 3 个“翻折”按钮，制作“翻折”系列按钮。
（9）隐藏有关对象，结果如图 8-32 所示。单击“复原”按钮，结果如图 8-33 所示。单击“翻折”按钮，
结果如图 8-34 所示。
图 8-33 图 8-34
5
小结：
（1）本例通过三个三角形的翻折方法，将三角形的三个角折成一个平角，从而得出三角形内角和的定理。
（2）拖动△ABC 的任一顶点，可以演示任意锐角三角形的内角和定理。
（3）翻折方法是演示几何图形全等的重要方法，关键是构造出翻折的路径。
★用剪拼方法演示三角形内角和定理。
（1）绘制三角形 ABC。选中三角形的三条边，单击“显示”/“线型”/“虚线”/将边设置为虚线。
（2）选中线段 AC 和线段 BC，构造出两条线段的中点 D 和 E。连接点 D 和点 E，构造出三角形 ABC 的
中位线 DE。将中位线 DE 的线型设置为实线。
（3）选中线段 AB、点 D、点 E，单击“构造”/“垂线”/构造出线段 AB 的两条垂线 j、k。分别单击垂
线 j、k 与线段 AB 的交点，构造出交点 F、G。
（4）在线段 AF 上取一点 H。依次选中点 A、点 H，单击“变换”/“标记向量”/将 AH 标记为向量。选
中点 F、点 D，单击“变换”/“平移”命令，将点 F、D 按标记向量平移，得到点 F 、点 D ，连接线段 H D 、
D F 、 F H。
（5）依次选中点 E、B、C，单击“构造”/“圆上的弧”命令，构造弧 a1。在弧 a1 上取一点 I。
（6）依次选中点 C、E、I，“变换”/“标记角度”。双击点 E，将点 E 标记为旋转中心。选中点 D，单击
“变换”/“旋转”/将点 D 按标记角度绕点 E 旋转，得到点 D 。连接线段 EI、I D 、 D E。如图 8-35 所示。
（7）隐藏垂线 j、k、弧 a1。连接线段 DF、FB、BE、EG。
（8）依次选中点 H、点 A 和点 I、点 C，“编辑”/“操作类按钮”/“移动”/在打开的对话框中，将标签
名改为“还原”/“确定”，出现“还原”移动按钮。同样方法，依次选中点 H、点 B，制作“移动 H→B”的
移动按钮；依次选中点 I、点 B，制作“移动 I→B”移动按钮。选中两个移动按钮，单击“编辑”/“操作类
按钮”/“系列”/在对话框中选中“同时执行”，将标签名改为“剪拼”/“确定”，出现“剪拼”按钮。
（9）选中点 H、 D 、 F ，单击“构造”/“三角形内部”命令，构造 H D F 内部，同样方法，构造△
BEG 内部和△EI D 内部。
（10）单击“标记工具”，给三个三角形分别标记相应的角，如图 8-36 所示。隐藏有关对象。单击“还
原”按钮，结果如图 8-37 所示。单击“剪拼”按钮，结果如图 8-38 所示。
图 8-35 图 8-36
图 8-37 图 8-38
小结：
（1）本例采用平移、旋转的方法将三角形三个角剪拼成一个平角，它是证明三角形内角和定理的主要方
法。这些方法常用于几何图形全等的演示中。
（2）此例在拖动△ABC 的顶点 C 时，将改变△ABC 的形状，这时点 F 将在线段 AB 上移动。注意当点
6
F 与线段端点 A、B 重合或不在线段 AB 上时，将无法演示三角形内角和定理。
★ 三角形面积
★用完全相同的两个三角形拼接成一个平行四边形。
（1）“数据”/“新建参数”/在“新建参数”对话框中，名称为“t”，数值为“50”，单位选择“角度”。
（2）绘制线段 AB 和 CD。选中线段 AB、CD，单击“度量”/“长度”/度量线段 AB、CD 的长度值。
（3）在绘图区绘制一点 E。选中点 E，单击“变换”/“平移”/按固定距离为线段 AB 的度量值，固定角
度为“0o”平移，得到点 E 。将点 E 的标签名改为 F。
（4）再次选中点 E，以线段 CD 度量值为固定距离，参数 t 为固定角度平移，得到点 G。
（5）选中点 E、点 F 和点 G，构造线段 EF、FG 和 GE。再次选中点 E、点 F 和点 G，构造△EFG 的内
部。单击“标记工具”，标记三角形的角。
（6）按照步骤（3）至步骤（5）的方法，再绘制一个△HIJ。如图 8-44 所示。
（7）依次选中点 G 和点 F，单击“变换”/“标记向量”/将 GF 标记为向量。选中点 F，单击“变换”/
“平移”/按标记向量平移，得到点 K。
（8）依次选中点 F、点 K 和点 G，单击“构造”/“圆上的弧”/构造弧 a1。
（9）在弧 a1 上任取一点 L。依次选中点 G、点 F 和点 L，单击“变换”/“标记角度”/将∠GFL 标记为
旋转角度。
（10）双击点 F，将点 F 标记为旋转中心。选中△EFG 的所有边、顶点和内部，单击“变换”/“旋转”
/按标记角度旋转，得到△MFL，如图 8-45 所示。
图 8-44 图 8-45
（11）依次选中点 L、点 G，单击“编辑”/“操作类按钮”/“移动”/制作“移动 L→G”的移动按钮。
同样方法，分别制作“移动 L→K”、“移动 F→I”和“移动 F→J”的移动按钮。
（12）依次选中“移动 L→K”、“移动 F→I”和“移动 F→J”移动按钮，单击“编辑”/“操作类按钮”/
“系列”/在打开的对话框中，选中“依次执行”，将标签名改为“演示”/“确定”。
（13）依次选中“移动 F→I”和“移动 L→G”移动按钮，单击“编辑”/“操作类按钮”/“系列”/在打
开的对话框中，选中“依次执行”，将标签名改为“复原”/“确定”。如图 8-46 所示。
（14）隐藏四个移动按钮、△EFG 的边、△EFG 内部以及点 E、G、K 和弧 a1。结果如图 8-47 所示。单
击“演示”按钮，结果如图 8-48 所示。
图 8-46 图 8-47
7
图 8-48
★用割补法将三角形割补成平行四边形。
演示
（2）本例制作方法，可以应用到梯形面积公式演示上，将梯形的上半部分分割后，向一侧旋转拼合到梯
形的下半部分，构造一个平行四边形。也可以将梯形的上半部分分割成两个直角梯形，分别向两侧旋转，拼
合得到一个矩形。
★ 画圆
★用动画方法画圆。
（1）绘制一条线段 AB。选中线段 AB，单击“度量”/“长度”/度量线段 AB 的长。
（2）绘制点 C。选中点 C 和线段 AB 的度量值，单击“构造”/“以圆心和半径绘圆”/构造圆 C。
（3）选中点 C，单击“变换”/“平移”/在“平移”对话框中，单击线段 AB 的度量值，固定角度输入-90o，
单击“平移”，得到点 C 。
（4）在圆 C 上任取一点 D，连接线段 CD。依次选中点 D、 C 和圆 C，单击“构造”/“圆上的弧”命
令，构造从点 D 按逆时针方向到点 C 的圆弧，如图 8-56 所示。
（5）选中圆 C，按住 Shift 键，单击“编辑”/“操作类按钮”/“隐藏&显示”/出现“隐藏圆”、“显示圆”
两个按钮。再次选中圆 C，单击“显示”/“线型”/“实线”/将圆 C 的线型设置为实线。
（6）依次选中点 D 和点 C ，单击“编辑”/“操作类按钮”/“移动”/速度设置为“高速”/“确定”，出
现“移动 D→ C ”按钮。
（7）选中点 D，单击“编辑”/“操作类按钮”/“动画”/在“操作类按钮 动画点”对话框中，“方向”
设置为“顺时针”，选中“只播放一次”/“确定”，出现“动画点”按钮。
（8）依次选中“移动 D→ C ”、“动画点”和“显示圆”按钮，单击“编辑”/“操作类按钮”/“系列”
/打开“操作类按钮 系列 3 个动作”对话框，在“系列按钮”选项卡中，选中“依序执行”，在“标签”选项
卡中输入“画圆”/“确定”，出现“画圆”按钮。
（9）右击“隐藏圆”按钮，选中“属性”命令，在“标签”选项卡中输入“复原”，单击“确定”。隐藏
有关对象和标签，如图 8-57 所示。
图 8-56 图 8-57 图 8-58
小结：
（1）例 8-15 的画圆，由于采用的是追踪的方法，因此画出的圆不能作为几何画板的对象，无法进行选
中、在圆上构造其他对象等操作。而在例 8-16 中因为画圆的点到达终点（也是起点）时，最终画的对象将消
失，因此需要将已画好的圆先隐藏起来，在完成画圆动作时，再将隐藏的圆显示出来替代消失的对象。
8
（2）在几何画板画圆时，因为画圆的终点就是起点，画圆结束，圆也消失了，因此在画圆时不能画完整
的圆。我们也可以用角来控制画圆的过程。
①单击“数据”菜单中的“新建参数”命令，新建参数 t1=10o、t2=359.9o。
②依次选中参数 t1、t2，单击“编辑”菜单的“操作类按钮”子菜单中的“移动”命令，将标签名改为“画
圆”，单击“确定”。
③选中参数 t1，单击“编辑”菜单的“操作类按钮”子菜单中的“动画”命令，方向选择“随机”，选中
“只播放一次”，范围为“0 到 0.0001”，标签名改为“复原”，单击“确定”，出现“复原”按钮。
④单击“圆工具”，绘制以点 A 为圆心、点 B 在圆上的圆 A。
⑤选中参数 t1，单击“变换”菜单中的“标记角度”命令。双击点 A，将点 A 标记为旋转中心。选中点
B，将点 B 按标记角度 t1 绕点 A 旋转，得到点 B。连接线段 AB。
⑥依次选中点 B、点 B、圆 A，单击“构造”菜单中的“圆上的弧”命令，构造弧 BB 。如图 8-58 所示。
⑦隐藏圆 A、参数 t2 和标签。
★ 圆的周长
★用滚动圆的方法演示圆的周长。
（1）绘制一条线段 AB。绘制一条水平射线 CD。
（2）选中线段 AB，单击“度量”/“长度”/度量线段 AB 的长度。计算 2×π×AB 的值。
（3）选中点 C，“变换”/“平移”/按固定距离为线段 AB 的度量值、固定角度为 90o 平移，得到点 C 。
（4）选中点 C ，单击“变换”/“平移”/按固定距离为计算值 2×π×AB、固定角度为 0o 平移，得到
点 C 。连接线段 CC ，如图 8-59 所示。
（5）在线段 CC 上任取一点 E。选中点 E 和线段 AB，单击“构造”/“以圆心和半径绘圆”/构造圆 E。
在圆 E 与射线 CD 的交界处单击，构造交点 F。
（6）选中点 C、F，度量点 C 到点 F 的距离。计算 CF 180- AB
值。右击计算值，选择“标记角度”。
（7）双击点 E，将点 E 标记为旋转中心。选中点 F，单击“变换”/“旋转”/按标记角度 CF 180- AB
旋
转，得到点 F 。分别连接线段 FE 和 CF，如图 8-60 所示。
（8）依次选中点 E、点 C ，单击“编辑”/“操作类按钮”/“移动”/打开“操作类按钮 移动 E→ C ”
对话框，在“移动”选项卡中，“速度”设置为“高速”，在“标签”选项卡中输入标签名“复原”/“确定”，
出现“复原”按钮。
（9）同样方法，依次选中点 E、点 C ，制作“速度”为“中速”的“展开”按钮，。
（10）隐藏射线 CD、线段 CC ，隐藏点 C、D、 C 、 C ，隐藏点 E、F、 F 的标签，隐藏度量值和计
算值。单击“展开”按钮，演示圆周展开的过程，如图 8-61 所示。
图 8-59 图 8-60
9
图 8-61
小结：
（1）拖动线段 AB 的任一端点，将改变圆半径的长短，从而可以演示不同大小圆的周长展开。
（2）CF 的长实际上就是当圆从点 C 滚动到点 F 时，圆上的点 F 绕点 E 旋转所经过的弧长 l，而弧长公
式为 180
rnl ，于是
r
ln
180 ，这就是 F 转过的角度，但由于点 F 按顺时针方向旋转，故需要乘以-1。
★用展开方法演示圆的周长。
演示
★ 圆的面积
★制作演示圆的面积公式推导课件。
演示
★ 中心对称图形
★制作演示中心对称图形的课件。
（1）绘制 ABC 和点 D，将点 D 的标签名称改为 O。
（2）双击点 O，将点 O 标记为缩放中心。选中 ABC 的所有线段和顶点，单击“变换”/“缩放”/在打
开的“缩放”对话框中输入“固定比”为“-1:1”/“确定”，得到 CBA 。
（3）连接线段 AA 、 BB 、 CC ，将线段线型设置为虚线，三条线段的中点均为点 O，如图 8-80 所示。
（4）依次选中点 O 和点 A，单击“构造”/“以圆心和圆周上的点绘圆”命令，绘制圆 O。
（5）选中圆 O，单击“构造”/“圆上的点”命令，在圆 O 上构造一点 E。
（6）依次选中点 A、O、E，单击“变换”/“标记角度”命令。选中 CBA 的 3 条边和 3 个顶点，单
击“变换”/“旋转”/按标记角度旋转，得到 CBE 。连接线段 OE、 BO 、 CO ，并将线段的线型设置为
虚线，如图 8-81 所示。
（7）依次选中点 E、 A，单击“编辑”/“操作类按钮”/“移动”/在打开的对话框中，将“标签”选项
卡中的标签名改为“右移”/“确定”，出现“右移”按钮。同样方法，依次选中点 E、点 A，制作从点 E 到点
A 的“左移”按钮。
（8）分别构造 ABC 、 CBA 和 CBE 的内部，设置 ABC 和 CBA 内部的颜色为浅蓝色， CBE
内部的颜色为绿色。
（9）隐藏相关对象，将两个按钮拖放到合适的位置，如图 8-82 所示。
（10）单击“右移”按钮，动三角形按逆时针方向旋转，直到与 CBA 重合。单击“左移”按钮，动
三角形仍按逆时针方向旋转，直到 ABC 与重合。
10
图 8-80 图 8-81 图 8-82
小结：
（1） ABC 和 CBA 对应顶点的连线段 AA 、 BB 、 CC 被对称中心 O 平分。拖动两个三角形的任
一顶点，改变其形状，另一个三角形同时发生变化。
（2）在动三角形的旋转过程中，3 条边的长度保持不变，从而展示出中心对称的两个三角形全等的性质。
（3） CBA 也可以通过 ABC 绕点 O 旋转 180o 得到。
★制作演示轴对称图形的课件。
演示
小结：
（1）拖动两个三角形的任一顶点，改变其形状，另一个三角形同时发生变化。
（2）在标记一条直线（射线、线段）为镜面后，选中任意一个图形，执行“变换”菜单中的“反射”命
令，就可以方便地构造出与原图形成轴对称的图形，该直线（射线、线段）就是对称轴。
★ 长方体的认识
★制作长、宽、高可变的长方体。
（1）分别绘制线段 AB、CD、EF。将线段 AB、CD、EF 的标签分别改为“长”、“宽”、“高”。
（2）同时选中线段 AB、CD、EF，度量“长”、“宽”、“高”的长度。计算“宽÷2”值，如图 8-83 所示。
（3）绘制一点 G。选中点 G，单击“变换”/“平移”/按固定距离为“高”的度量值、固定角度为 90o
平移，得到点 G。
（4）同样方法，将点 G 按固定距离为“长”的度量值、固定角度为 0o 平移，得到点 H。再次将点 G 按
固定距离为“宽÷2”的计算值、固定角度为 45o 平移，得到点 J。连接线段 GJ、GH、 GG 。
（5）依次选中点 G、点 J，单击“变换”/“标记向量”/将 GJ 标记为向量。同时选中点 H、线段 GH，
单击“变换”/“平移”/按标记向量平移，得到点 I、线段 IJ。连接线段 HI。
（6）同样方法，标记点 G 到点 G的向量，同时选中点 H、I、J 和线段 GH、HI、IJ、JG，按标记向量平
移，得到点 H 、 I 、 J及线段 G H 、 H I 、 JI 、 GJ 。连接线段 HH 、 II 、 JJ 。如图 8-84 所示。
（7）拖动线段 AB、CD、EF 的任一端点，将改变长方体的长、宽、高。
图 8-83 图 8-84
★ 正方体展开、折叠
★制作演示正方体各面展开、折叠的课件。
（1）在画板下方绘制一点 A。选中点 A，单击“变换”/“平移”/在“平移”对话框中，固定距离为“3
厘米”、固定角度为“0o”，单击“平移”，得到点 A 。
（2）同时选中点 A、点 A ，单击“变换”/“平移”/以固定距离为“3 厘米”、固定角度为“90o”，连续
平移三次。选中左侧中间两点，按固定距离为“3 厘米”、固定角度为“180o”平移。选中右侧中间两点，按
固定距离“3 厘米”、固定角度“0o”连续平移两次。
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（3）按从左到右、从上到下的顺序选中所有点，单击“显示”/“点的标签”/在“起始标签”中输入 A，
如图 8-87 所示，单击“确定”。
图 8-87 图 8-88
（4）同时选中点 D、E、H、I，按固定距离“1.5 厘米”、固定角度为“-135o”平移，得到点 D 、E 、H 、
I 。选中点 H、 I 再次按固定距离“1.5 厘米”、固定角度为“-135o”平移，得到点 H 、 I 。
（5）在绘图区右侧，绘制六个相连的四边形，按步骤（3）的方法标上标签，如图 8-88 所示。
（6）依次选中点 a、A、b、B、c、C、……、m、M、n、N，单击“编辑”/“操作类按钮”/“移动”/
在“标签”选项卡中输入“移动”/“确定”，出现“移动”按钮。
（7）同样方法，依次选中点 a、 D 、b、 E ，制作“移动 1”按钮。依次选中点 c、 D 、g、 H，制作
“移动 2”按钮。依次选中点 f、 E 、j、 I ，制作“移动 3”按钮。依次选中点 k、 H、l、 I、m、 H 、n、
I ，制作“移动 4”按钮。依次选中点 m、 D 、n、 E ，制作“移动 5”按钮。
（8）依次选中“移动”、“移动 1”、“移动 2”、“移动 3”、“移动 4”按钮，“编辑”/“操作类按钮”/“系
列”/制作“系列 1”按钮。再依次选中“系列 1”和“移动 5”按钮，制作“依序执行”的“折叠”按钮。
（9）依次选中点 m、 H 、n、 I ，制作“移动 6”按钮。依次选中 a、A、b、B、c、C、g、G、f、F、
j、J、k、K、l、L、m、M、n、N，制作“移动 7”按钮。
（10）依次选中“移动 6”、“移动 7”按钮，制作“依序执行”的“展开”按钮。
（11）选中所有大写字母标注的点，按快捷键 CTRL+H，将它们隐藏。再隐藏所有点的标签。隐藏除“折
叠”、“展开”两个按钮外的所有按钮，结果如图 8-89 所示。单击“折叠”按钮，结果如图 8-90 所示，单击“展
开”按钮，其过程如图 8-91 所示。
图 8-89 图 8-90 图 8-91
★ 长方体的展开与折叠
★制作演示长方体各面展开、折叠的课件。
演示
小结：
多面体每个面的展开、折叠，都由一个点控制，而制作的关键是构造控制点的运动路径，即构造弧线。
本例中的“上面右面”展开、合拢是依序执行的，因此需要考虑两个面展开、折叠的角度关系。
★ 圆柱的形成
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★制作演示圆柱形成的课件。
（1）单击“线段尺规工具”，按住 Shift 键，画一条水平线段 AB，在线段 AB 上取一点 C。
（2）依次选中点 A、点 B，单击“构造”/“以圆心和圆周上的点绘圆”/构造圆 c1。同样方法，依次选
中点 A、点 C，构造圆 c2。
（3）在圆 c2 上取一点 D。依次选中点 A、D，构造射线 AD。单击射线 AD 与圆 c1 的交点处，得交点 E。
（4）选中点 E 和线段 AB，单击“构造”/“垂线”命令，构造过点 E 与线段 AB 垂直的垂线 j。选中点
D 和线段 AB，构造过点 D 与线段 AB 平行的平行线 k，单击直线 j 和直线 k 的交点处，得交点 F。
（5）同时选中点 D 和点 F，单击“构造”/“轨迹”命令，构造点 F 的轨迹为一椭圆 L1，如图 8-98 所示。
（6）同时选中圆 c1、圆 c2、射线 AD、直线 j、k、线段 AB 及点 C、D、E、F，按 Ctrl+H 将它们隐藏。
（7）单击“线段尺规工具”，绘制一条竖线段 GH。依次选中点 G、点 H，单击“变换”/“标记向量”/
将 GH 标记为向量。
（8）在椭圆 L1 上任取一点 I。选中点 A、点 I，单击“变换”/“平移”/按标记向量平移，得到点 A、
点 I 。连接线段 AI、 AA 、 IA 、 II ，将线段 AI、 AA 的线型设置为虚线，如图 8-99 所示。
（9）选中点 I，“编辑”/“操作类按钮”/“动画”/在“动画”选项卡中，选中“只播放一次”复选框；
在“标签”选项卡中输入标签名称为“圆柱的形成”/“确定”，得到“圆柱的形成”动画按钮。
（10）选中线段 II 、 IA 和点 I ，单击“显示”/“追踪对象”命令。单击“圆柱的形成”按钮，形成的
圆柱如图 8-100 所示。
图 8-98 图 8-99
图 8-100 图 8-101
小结：
（1）拖动点 B，可以改变圆柱的底面圆的半径长短；拖动点 H，可以改变圆柱的高。单击“显示”菜单
中的“擦除追踪踪迹”命令，擦除形成的圆柱。
（2）如在图 8-99 的线段 IA 上任取一点 J，连接线段 IJ、 JA ，隐藏线段 II 、 IA 、点 I ，将“圆柱的
形成”按钮标签改为“圆台的形成”，如图 8-101 所示。选中线段 IJ、 JA 和点 J，单击“显示”菜单中的“追
踪对象”命令。单击“圆台的形成”按钮，就得到圆台。拖动点 J 或点 B，可以改变圆台的上下底面圆的半
径。
（3）如在图 8-99 中直接连接线段 AI ，就可以演示圆锥的形成。
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