数学人教版六年级下册模块四图形与几何教案

专题学习 图形与几何内容分析与教学建议 课程标准实验稿中，把这部分内容叫做空间与图形，现在课程标准把它 称作为图形与几何，是因为几何一词，一直是被大家叫得比较熟悉的，而且 教师对它的名称的来历等也有所了解。同时，图形又是这部分内容研究的主 要对象，用图形与几何，更容易被教师们很好地把握这部分内容。小学“图 形与几何”的课程内容，是从平面图形、立体图形中图形的认识、图形的测 量、图形的运动和图形的位置四方面展开的。在图形的认识内容中主要让学 生掌握对平面图形和立体图形的认识，在图形的测量这部分内容中主要让学 生掌握度量“单位”和度量“量”的认识及测量的具体方法。在图形的运动 内容中主要让学生掌握图形的平移、旋转和轴对称。在图形与位置内容中主 要让学生掌握物体相对位置和绝对位置的描述和如何定量刻画物体的位置。 专题 一 图形 的认识 内容分 析与教 学建议 （平面 图形） 在小学阶段，学生在日常生活中积累了有关图形认识经验的基础上，将 通过观察、想象、操作、比较、归纳、概括、推理等方式，认识常见的平面 图形和立体图形，探索它们的性质；在观察、想象、推理和图形的相互转换 过程中发展空间观念，逐步学会用数学的眼光看待丰富的图形世界，体会图 形在现实生活中的广泛应用。 《课程标准》对于图形的认识教学要求如下。 ·能通过实物和模型辨认长方体、正方体、网柱和球等几何体。（第一 学段） ·通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征（第一学段） ·结合实例了解线段、射线和直线。（第二学段） ·结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。 （第二学段） 上面《课程标准》在第一学段提出的要求是认识图形包括能辨认长方形 ﹑正方形﹑三角形﹑平行四边形﹑圆等简单的图形，结合生活的实际情况， 认识角，了解直角﹑锐角﹑钝角等，其中也涉及到了经过抽象后的二维图形， 在《课程标准》第二学段中要求认识的图形包括线段﹑射线﹑直线等一维图 形，还有平角﹑周角﹑梯形﹑扇形，对三角形的认识一般从一般的三角形， 到等腰﹑等边﹑直角﹑锐角﹑钝角三角形，同时对平行四边形和圆的特征的 认识也更进深了一步，其实这些也都是二维图形，但与第一学段的二维图形 相比，像点﹑直线 ﹑角等这些基本图形，抽象的程度也就更高，因此，教师 要结合对现实生活中，物体抽象的过程使学生更好地去理解它们，同时在课 程标准中，关于圆的认识的内容安排，又体现了从生活到数学，从直观到抽 象，从整体到局部的一个特点。 《课程标准》在第二学段的图形认识中，要求学生“结合实例了解线段、 射线和直线”“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直） 关系”。由于射线和直线涉及无限的概念，与长方体、正方体、长方形、正 方形等相比，在现实中没有“直线”的实物原型，所以教师在教学中，教师 要给学生呈现大量的感性材料，通过引导学生观察，去建立图形的认识的表 象，例如在认识角的时候，老师可以让学生先寻找生活中的角，红领巾 剪刀 钟面 扇形等，再观察实物上的角，通过对事物的观察与操作的过程，来认识 它的特征与性质，这既符合了学生认知事物的规律，也符合了课程标准目标 的要求，同时，教师要要求学生在此基础上进行抽象与想象。而对学生空间 观念的建立与培养可能相对困难些，如一教师在教学三角形两边之和大于第 三边这一性质时，他让学生操作当两条边之和和第三条边相等时能否拼成三 角形，由于有一名学生在操作中有误差，也确实拼出了三角形，此时，这名 教师便让学生去换个角度去想，你能够用三条边分别是 3，5 厘米和 8 厘米来 说明这个问题吗，在这个过程当中，使学生体会到 3 加 5 等于 8，底下也是 8，因为上和下线段是相等的，它是不可能形成三角形的，在这个想象的过程 中，就使学生体会了三角形的三边关系。 类似地，学生理解两条直线平行的位置关系也可以利用两根铁轨作为实 物原型来描述，两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭 示了平行线的本质。但铁轨无法总是笔直地延伸，所以在从实物到几何图形 的抽象过程中还需要想象，这有助于学生建立和培养抽象能力和空间观念。 人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球…… 都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经 验，学生可以从认识立体图形开始，“通过实物和模型等辨认长方体、正方 体、圆柱和球等几何体”。“辨认”是认识的低级阶段，但与以往的经验有 所不同，它要经历从实物到几何图形的抽象过程。从不同的角度观察长方体、 正方体、圆柱体、球体的表面，就抽象出长方形、正方形、圆等平面图形， 从而揭示出立体图形与平面图形的关系，也符合学生的认知特点。 专题 二 图形 在认识 内容分 析与教 学建议 （立体 图形） 建立培养学生的空间观念，除了让学生对常见图形的认识以外，《课程 标准》中还提出另一种对图形观察与认识的要求。 ·能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体。 （第一学段） ·能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图。（第 二学段） ·认识长方体、正方体和圆柱的展开图。（第二学段） 空间观念作为《课程标准》内容的核心概念，是“图形与几何”学习的 核心目标之一。为了促进学生对空间的理解与把握、建立和培养他们的空间 观念，《课程标准》安排了投影与视图、展开与折叠等内容，为学生提供进 行二维图形与三维图形之间转换的素材。 由于图形是人类长期通过对客观物体的观察逐步地逐渐地抽象出来的， 抽象的核心是把物体的外部形象，用线条描绘在二维的平面上，如电冰箱, 它的高矮，它的宽窄，它的长短，这些反映到人们头脑中，就形成一些概念， 就会抽象冰箱的几何图形。由于学生难以一次就完成这样的抽象，教师在教 学中，就应不断地帮助学生用数学的眼睛来观察众多的实物，然后在思考中 抽象出它图形的本质特征。再如圆柱，它也是小学立体图形认识中一个很重 要的内容，一位教师在对圆柱的认识教学中，他先把不同版本的教材，进行 了一下对比，对教材中的这些呈现的素材进行梳理，然后通过三个活动进行 教学。一是把这个圆柱的侧面剪开，让学生探究剪开后的图形，由于学生在 认识圆柱的过程中是第一次认识曲面，可能有些生疏，而教师通过把它剪开， 也就是渗透了化曲为直的数学思想，即把新的知识转化成了旧知识，把曲面 转化为以前学过的平面图形，而学生在剪的过程中剪的方式不一样，可能呈 现出的平面图形形式也不一样，但都为渗透化曲为直的数学思想奠定了基础。 第二个活动是让学生从不同的角度去观察，得出不同的平面图形，不但培养 学生的观察能力，又实现了立体图形和平面图形的转化。第三个活动就是不 加任何规定地让学生把这个圆柱切割成两部分，又得到不同形状的几何体， 再通过观察又获得不同的平面图形，这种认识给学生更多的动手操作的机会， 使学生在认识立体图形和平面图形的过程中，积累了经验，获得了重要的数 学思想的体验感悟，实现了空间观念的建立和发展。 值得注意的是，上面“从不同的方向看到的”圆柱几何体的平面图形不 是真正意义上的视图，视图是平行投影下的正投影，即平行光线将物体投射 到与光线垂直的投影面上的“影子”。另外，在第一、二学段只要求辨认（不 要求画出）所看到的物体的形状图。 总之，“认识长方体、正方体和圆柱的展开图”，体现了三维图形与二 维图形之间相互转换的具体要求，教学目标是在图形转换中引导学生观察、 抽象、想象，建立培养学生的空间观念。因此，教师教学中应注重展开与折 叠的操作过程，让学生通过想象实现图形之间的转换，靠单纯机械记忆展开 图的数量或类型的做法是不可取的。 专题 三 图形 测量中 的度量 “单位 ”和度 量 “量”的认 识 测量在日常生活和学习中起着非常重要的作用，它是图形与几何学习的 重要部分。在话题一“图形与几何”内容结构的分析中，已介绍了有关图形 测量的几个核心问题，下面仅就图形测量的一些具体问题再进行分析。 《课程标准》在小学第一学段中，关于图形测量的内容可分成二部分， 一是关于度量单位及其统一性意义的理解；二是关于长度和面积的测量问题。 （1）统 一图形 测量单 位。测量单位是测量的核心，测量单位的统一是 使测量从个别的﹑特殊的测量活动，成为一般化的普遍性的活动，因此，在 课程的实施过程中，教师要为学生提供必要的机会，鼓励学生，选择不同的 方法进行测量，并在相互交流的过程中，发现不同的方法，不同的选择，对 于测量结果的影响，进而体会建立统一测量单位的极端重要性。如一位教师 在对长度单位的认识授课时，他先让学生采用不同的办法去测量同一个物体 的长度，于是有的学生用手测量是三拃长，有的学生用自己的铅笔测量是五 根铅笔长，还有的用自己桌上的橡皮去测量是 25 块橡皮那么长，由于老师创 设了这个情境，采用不同的测量工具，测量该物体长度的结论显然是不同的。 若让测量结果统一，必须有一个公认的单位或统一的工具，即标准单位，由 此让学生体会到测量某一物体单位需要建立标准的度量单位，否则会给我们 的生活带来很多不便，即让学生在实践中体会到建立统一度量单位的重要性。 《课程标准》在第一学段还提到，在实践活动中让学生体会并认识千米 ﹑米﹑厘米﹑分米和毫米等长度单位，能进行简单的单位换算，能恰当地选 择长度单位。因此，教师一定要通过实践活动，如生活中哪些物体的长度， 大约是一米，一厘米的长度有多长，一平方米有多大，一平方厘米有多大等， 加强对单位表象的建立，使学生理解与把握度量单位的实际意义。其次教师 要让学生在实际的，操作活动中建立表象，如让学生测量教室的长有多少米， 测量桌面的面积是多少，在这个过程当中，不仅熟悉了测量单位，同时学生 也巩固了自己的测量方法。最后再结合具体的实际例子让学生去体会度量单 位的大小，如“北京到南京的铁路长约 1000( )”，引导学生学会选择合 适的度量单位；用“1 米约相当于( )根铅笔长”来强化学生对度量单位 的感知。还要关注不同维度度量单位之间的联系，如理解 1 分米 2 =100 厘米 2，可借助图形(10×10 的方格，每个方格为 1 厘米 2)或借助等式 1 分米 2=1 分米×1 分米=IO 厘米×10 厘米=100 厘米 2，这样也可避免学生死记硬背单 位之间的换算关系。 （2）长 度﹑面 积﹑体 积的测 量。一提长度，很自然与路程联系，抽象 出来就是一条线段的长度，这比较好理解，但在实践中多数是测量物体或图 形的周长或它们的面积﹑体积。在周长﹑面积和体积这三个度量的量中，周 长是学生最难感知的，也是最难理解的。周长在小学解释为封闭曲线一周的 长度，词典中是环绕有限面积的区域边缘的长度，可见周长有两层含义，第 一是封闭图形的一周，第二是长度，同时也要看到周长与长度有着密切的关 系，它与长度是同属于一维空间的测量，但周长却用在二维图形上，如平面， 曲面。也就是说周长它是一维的量，但它却在二维的面里出现﹑应用，所以 有面积的地方，肯定有周长，有周长的也有面积，它们之间存在着一定的联 系，但也有着明显的区别。在此处教学中，教师一定要让学生清楚，面积指 的是封闭图形围成的面的大小，面积属于二维空间的度量，它有长和宽两个 表示的量。而周长是一维空间度量的量，它只有长度，它是长度单位的累加， 但是因为面积和周长都同属在一个平面之内，这也就是学生总是把周长和面 积混淆的原因。为了帮助学生清晰地建立起周长的认识，教师可借助三角形 的学具，如把三角形从边线的一点断开，把它的边线取下来，这条线段的长 度，是不是就是这个三角形一周的长度，若是，那么这条线段它的长度就叫 它的周长。这非常直观地让学生感受到，图形的周长说的就是一维的线，把 这个周长从三角形平面中给它剥离出来，学生就能直观地看到，周长说的是 线，是线的长短，这样学生就不会跟三角形面的大小，即三角形面积相混了。 因此，教师教学中一定要抓住概念的本质，让学生深刻地感受到概念的内涵 是什么，要结合实例认识周长，认识面积，并能测量简单的图形的周长和面 积， 除了探索规则图形的周长、面积和体积公式并会应用外，《课程标准》 还要求能测量一些不规别图形的周长，如由简单规则的基本图形，组合在一 起的像月亮﹑桃心﹑树叶等不规则图形让学生去测量它周长或求面积，这类 问题可以把它转化为基本图形进行测量，但也可以拿线去沿着边线围一周， 然后把它拉直，测量这条线的长度，这不但使学生在测量中继续感悟概念的 本质，也使学生体会到由曲变直的过程，从中渗透了转化的数学思想和方法。 这也更有助于学生对各种图形所测量的量的含义的理解和把握。 关于《课程标准》第二学段中提到角的度量；一些常见立体图形的体积 的探索；了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握 圆的面积公式，并能解决简单的实际问题”等。教师都可以通过生活中的实 际问题，使学生对测量图形或物体有清晰的表象和感悟，实现对测量图形或 物体量的本质认识，即让学生清晰地建立一维图形测量的大小是长度，二维 图形测量的大小是面积，三维图形测量的大小是体积并让学生清晰地区分它 们的不同，逐步建立起三维的空间观念。 专题 四 图形 的测量 —— 图形 测量的 具体方 法(求积 ) （1）在图形的测量中感悟数学思想。在图形测量中如何去感悟数学思 想，积累数学活动经验，下面我们以圆为例进行分析。因为圆是第一、二学 段学习中的平面图形中的唯一一个曲线形，对它的周长以及面积的探索和公 式的推导都具有一定的挑战性，需要学生经历分析圆的半径与周长关系的过 程，并通过对特殊情况的归纳得出圆的面积公式。通过这个过程，有助于提 高学生分析问题、解决问题的能力，获得数学活动的经验，而且在这个过程 中，能让学生体会到转化﹑极限和函数的思想。如圆周长的测量，可以用圆 片在直尺上滚动，测量它的长度，还可以用线绕圆片一周，把线拉直，然后 再测量线的长度，这样学生不但积累了测量的经验，也又一次渗透化曲为直 的转化思想。而且在这个圆的单元中，极限思想的渗透也是非常鲜明的，如 在圆的周长的教学中，也可以向学生介绍割圆术，让学生经历正多边形到圆 的一个形成的过程，即引导学生观察随时圆内正多边形的边数越来越多，正 多边形也就越来越逼近圆，通过有限去想无限，就能使学生感受到一个极限 的思想。所以，数学思想是伴随着学生知识的积累，思维的发展而逐步被学 生所感悟的。 （2）培养学生估测意识。估测，或者说估计，它是《课程标准》中强 调的一个学习内容，在第一、二学段长度、面积和体积三个维度上都提出了 估测的要求，如第一学段要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”“会 估计给定简单图形的面积”，第二学段要求“体验某些实物（如土豆等）体 积的测量方法”。在教学中如何帮助学生提升他们对图形和实物进行估计估 测的能力，下面以在方格内求一曲面图形面积为例，一般在教学当中，习惯 让学生先数整格，然后再数半格并把它们累加在一起，就是我们经常用数方 格的方法来估计出曲边图形围成的面积。而在估测某一图形面积时，具体操 作是先确定合适的单位，一般是一个方格为一个单位，然后寻找区间，即确 定图形面积的最大范围和最小范围，确定它大致的一个取值范围，在这个基 础上，鼓励学生进行估计计算，通过比较来进行探究、确实。这只是把估算 当成一个操作的技能去教了，教师还可以继续追问，还有什么样的方法，能 够使这个估计的结果更接近这个实际面积，如求曲线图形的面积，若把网格 给它不断地缩小，所得图形的面积就不断地去逼近这个曲线图形的面积，学 生在体验逐步逼近这个曲线图形的面积的过程中，学生也就感悟、体验了数 学的极限思想。还如，“测量一个土豆的体积”，也可以转化为与土豆等体 积的规则物体来测量(详见《标准》附录 2 例 34)。 （3）培养学生推理能力。培养学生的推理能力，《课程标准》在第二 学段有明确要求，即在掌握有关周长、面积、体积公式的基础上培养学生的 推理能力，能解决简单的实际问题。解决问题既是学习过程的重要环节，也 是学习数学的主要目的，而解决图形测量问题的核心是学生推理能力的培养。 一位教师在教学平行四边形面积时，进行如下设计。第一个环节，引导学生 大胆地尝试猜想，平行四边形的面积和谁有关，学生猜想的结果，一是认为 和平行四边形的底边与邻边有关，即求面积用底边乘以邻边。二是认为平行 四边形的面积与底边和高有关，即求面积可以用底边乘以高。第二个环节， 让学生借助学具检验猜想，在得到了自己猜想的结果后，让学生利用手中的 网格图，去测量一下平行四边形的面积，通过测量学生就发现这个测量结果， 和猜想中的底乘以高求出的平行四边形的面积是一样的，从而检验出了自己 猜想的结论。第三个环节，就是引导学生自主探究验证结论，将平行四边形 沿高剪开，把它转化成学过的长方形，利用长方形的面积公式，推导出平行 四边形的面积公式。这个探索活动的设计，显然是把推理能力的培养贯穿在 整个学习过程中，让学生经历了观察、实验、猜想和证明的过程，这不仅有 利于理清思路，发现问题，解决问题，而且在这个过程中，又把合情推理和 演绎推理进行有机地结合，有助于培养如发展学生的思维能力。 专题 五 图形 的运动 内容分 析与教 学建议 运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。所谓图形的运动， 在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位 置发生变化（合同运动）；二是形状不变而大小变化（相似运动）。在小学 阶段学习图形的运动主要要掌据如下内容，一是学习图形的运动的价值，二 是图形运动的知识内容，三是图形的运动的教学目标，四是图形运动的教学 策略与方法。 1. 学习 图形的 运动的 价值 研究图形运动的价值主要体现在以下几方面。 (1)感悟数学研究的发展。近两千年来，人们始终是用静止的观点来研 究几何的有关问题。直到 1872 年，德国大数学家克莱因，发表了著名的爱尔 兰根纲领，他在这个演说中首次提出要从运动变化的角度来研究几何问题， 这是一个里程碑式的论断，它改变了人们旧有的思维方式，用运动变化的观 点来探索认识图形与几何的性质，欣赏与设计图案，从此图形与几何成为培 养发展学生空间观念和思维能力的重要内容。 (2)丰富学生的现实经验，促进学生空间观念与几何直观能力的建立和 培养。在现实的生活中，存在着大量图形变化或变换的现象，对于这些变化 或变换的现象，学生自己本身也有丰富的体验体会。如坐电梯、地铁，看到 钟面那个指针，自行车的车轮，风车，电扇的扇叶等都在转动，这些生活中 的现象、图形的变换也为学生学习图形的运动，提供了丰富多彩的现实背景。 让学生以数学的眼光认识和把握这些生活中的平移旋转的现象，发现﹑研究 并确认图形的性质，有助于建立和培养、发展学生的空间观念和几何直观能 力。 2.图形 运动的 知识内 容 按照《课程标准》的要求，小学一到六年级中，图形的运动主要指合同 运动，包括图形的平移、旋转和轴对称，还有简单图形扩和缩的知识内容。 通过这部分内容的学习，可使学生更好地认识现实中大量的图形运动的现象， 能以运动的观点认识图形，欣赏与设计图案。 (1) 《课程标准》第一学段中的教学要求是，学生能借助日常生活中对 图形运动现象的观察与直观感受，了解平移、旋转和轴对称，并认识两个图 形具有平移或轴对称的关系。教学中，教师要提供大量丰富的图形运动现象， 如风车、钟面的指针等，引导学生通过充分地观察、想象和运用日常生活中 已经积累的有关经验，去了解、归纳、发现什么是平移，什么是旋转，什么 是轴对称及各种运动的特点。特别是修订后的课标，提倡让老师们去组织学 生收集生活当中的一些现象、图案，然后引导学生去观察，组织学生进行交 流，从中发现图形的特点，并提倡他们画出来，或鼓励学生自己去设计平移、 旋转及轴对称图形，不但使学生了解平移、旋转和轴对称，而且能认识两个 图形是否具有平移或轴对称的关系。 (2) 《课程标准》第二学段中，图形的运动教学内容主要有以下几方面。 ·按要求在方格纸上画出一个图形经过平移或旋转后所得的图形，会补 全轴对称图形。 ·能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小。 ·综合运用图形的运动进行图案的欣赏与设计 在第一、二学段，方格纸是学生认识图形运动很好的平台，利用它可以 准确地描述图形的位置，定量刻面图形的运动，这样的描述和刻画又能加深 学生对图形运动的认识和理解。如按要求在方格纸上画出一个图形，而且经 过平移或者旋转后能画出一个新的图形，会补全一个轴对称图形，这种图形 的运动，对小学生认识还是比较抽象的，有一定的难度的，如何把抽象的空 间意识，转化为这种具体的，容易操作的教与学的过程，方格纸是学生认识 图形、定量刻画图形的很好平台，教师要充分利用它能准确描述和刻画图形 位置的优势，来加深学生对图形运动的认识和理解。另外，《课程标准》只 要求图形沿水平或竖直方向平移，以及图形绕着一点旋转 900，不要求图形 沿其他方向平移或绕着一点旋转任意角度。通过方格纸，也能够帮助学生更 准确地认识和理解图形的这个基本特征，能更好地使学生来认识和描述空间 图形的变化过程，有效地帮助学生建立空间观念，教师在教学中要不断地积 累经验。 第二学段要求研究图形的相似运动，即将图形放大或缩小。这里的“放 大或缩小”不是严格的相似，主要是直观感知，即放大或缩小后的图形与原 来的图形形状相同而大小不同。这将为初中学段研究图形的相似运动和位似 运动奠定基础。 第二学段还有一个内容，就是要学生了解图形运动的特点，并能够在方 格纸上按要求画出运动后的图形，这些知识技能和经验是图案欣赏与设计的 基础。图案的欣赏与设计，为学生用数学眼光看世界、看生活提供了机会， 也可以进一步感受数学的美和数学的价值。如《课程标准》案例 35，一个由 几块积木拼成的一个图形，然后让学生先观察，在打乱原来的图形，让学生 再去重新进行复原，在这个过程中，他就要综合地运用平移和旋转等知识， 并且还要让学生用自己的语言或自己的方式去记录他复原的步骤和过程，不 但培养学生的空间观念，而且也是他们对美的一种感受。同时，教学中还要 注意，在欣赏或设计一个图案时，不同的学生会有不同的感受、不同的解释、 不同的想象，只要是合理的教师都应予以肯定，并进行交流与分享。要求学 生要用自己的语言表达图案中的图形运动关系，从而使学生更好地体会图形 的运动在图案欣赏和设计中的作用。 3.图形 运动的 教学目 标 《课程标准》对图形的运动这部分内容具体的教学目标变化不大，但也 确实存在着一些细微的变化，如在第一学段，修订后更加关注能辨认简单图 形平移后的图形，但在方格纸上画出简单的轴对称图形这个要求已经去掉了。 在第二学段，修订前它强调要画出轴对称变化后的图形，那么在修订后要求 是补全这个轴对称图形。这微小的变化，说明这一部分的要求是稍微有点儿 降低难度，更强调了观察和操作，让学生能够积累数学的活动经验，在经验 积累的过程中，逐步去建立和培养学生的空间观念。 4.图形 运动的 教学策 略与方 法 图形的运动的教学一般采用如下几种教学策略。一是要注重结合生活中 的实例，让学生在现实的观察和比较中，来认识图形的运动。二是借助操作 活动，加深学生对图形运动的认识，即让学生在图形的运动中来体会图形变 换的特征，如给学生一定的时间，让他们自己动手去画一画，去想一想，提 高对图形变换的认识能力。三是在教学中，教师要注重从运动变化的角度， 引导学生欣赏图案并设计图案。四是在解决问题的过程中，注重图形的运动 和相关知识的联系，建立和培养、发展学生的空间想象力解决问题的能力。 如从运动变换的角度来认识图形，像长方形沿着长边旋转就可以成为一个圆 柱体，就是柱体的形成，它体现了和圆柱体之间的联系。再如从运动变化的 角度来理解度量，把两个完全一样的三角形，通过旋转平移就可以拼成一个 平行四边形，用它来推导公式效果会更佳。 专题 六 图形 与位置 内容分 析与教 学建议 日常生活中常常需要确定物体的位置，学习“图形的位置”，可以使学 生更好地把握生活的空间。通过学习确定图形位置的方法，运用不同的方法 确定物体的位置，可以发展学生的空间观念和推理能力。本专题主要对图形 位置的教学内容、教学设计和教学实施进行分析并提出教学建议。 1.从整 体上把 握图形 位置的 教学内 容 图形与位置的教学内容，《课程标准》确定物体位置的方式是按照两条 线索来开始的：一是确定物体的相对位置，它是通过“上、下、左、右、前、 后” 来描述物体的相对位置，它与观察者和参照物有关；二是辨认方向和使 用路线图，它是通过“东、南、西、北”的绝对位置确定的，它不受观察者 的影响，只与参照物有关。生活中两种确定位置的方式都有应用，不同场合 下它们会带来不同的便利。 《课程标准》要求在第一学段教学中，教师要让学生首先认识上、下、 前、后和左、右这些基本的位置，如谁在谁的前面，谁在谁的后面，谁在谁 的左面，谁在谁的右面，什么东西在上面，什么东西在下面等实例进行描述。 然后由于小学生在日常生活中已经有用数对确定位置的经验，如确定教室里、 电影院中某人的座位等，都是通过第几行、第几个，第几排、第几个来描述 这些座位的位置，教师就可以通过学生熟悉的这些例子，让学生明白这都是 通过一数对来确定物体的位置，进而达到“能在方格纸上用数对（限于正整 数）表示位置，知道数对与方格纸上点的对应”的要求，但要引起注意的是 要强调学生在确定数对时两数的位置顺序。这种确定物体位置的方法将为学 生到初中学习平面直角坐标系，用坐标来表示几何图形的位置奠定基础。， 例如一位教师讲授用数对来确定位置，他是这样设计的：先让第三排的 所有学生站起来，然后坐下，接着又让第四列的学生都站起来，再坐下，然 后老师问一个很关键问题，有谁两次都站起来了，此时，只有一名同学两次 都站起来了，这就是数对确定了他的位置，他的位置必须有两个要素，即第 三排同时又是第四列，也就是两条直线确定一个交点，这样就让学生对这个 问题的理解，变得更深刻了。 《课程标准》在第二学段中，提出的教学内容主要有以下几方面。 ·在方位的基础上，进一步定量地刻画物体的位置。 ·方位在具体问题中的应用。 ·用有序数对确定物体的位置。 上面三条教学内容是确定物体位置的第二条线索，它是通过认识四个基 本方向，会用方向词来描述物体所在的方向和简单的路线，即能够用方向、 距离来描述确定物体的位置。 例如，（《课程标准》附录 2 例 16），根据下图（略）中所标的位置 回答下列问题。 (1)熊猫馆在猴山的哪个方向上？ (2)大象馆在海洋馆的哪个方向上？ 这两个问题主要涉及“东、南、西、北”四个方向，但参照物不同，分 别以猴山、海洋馆为观察中心，这样的变化有助于学生熟悉和运用方位描述 及刻画物体的位置。结合图形还可以提出其他问题，如“大象馆、百鸟园分 别在狮虎山的哪个方向？”……引导学生进行更多关于方位的思考和描述。 确认方向﹑描述和画路线图﹑使用路线图及用比例尺定量刻画物体的 位置，都将为学习极坐标打下基础。如《课程标准》要求“了解比例尺；在 特定的情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算”，这为定 量刻画物体的位置奠定基础,还有要求“根据物体相对于参照点的方向和距离 确定其位置”，这实际上也是用数对表示位置，是极坐标的雏形。 《课程标准》还要求“会描述简单的路线图”，这是引导学生运用已学 知识来解决实际问题。其中路线图就是从初始点出发到达终点的行径，由于 描述路线图的过程中参照点不断变化，随之需要确定的方向、距离也不断变 化，所以正确地描述路线图对学生具有挑战性。描述线路图的活动，不仅能 检验学生对方位的理解和认识，而且有助于学生体会数学的价值，增强学习 的关趣，促进学生空间观念的建立和发展。 2.掌握 图形与 位置的 教学设 计与实 施 要使学生很好地掌握图形与位置的教学内容，教师在讲授这部分内容 时，要进行有针对的教学设计和有效实施，达到让学生建立、发展空间观念 的目的。 (1)要充分利用学生的生活经验。学生的空间知识主要来自于丰富的现 实原型，图形的位置与现实生活的联系是非常密切的，其实《课程标准》中 对图形位置的教学要求，也体现了这个特点，即对这些内容的学习，都是让 学生紧密结合教室里、校园内、电影院中、上学的路上等学生熟悉的情境中 进行的，也就是尽量选择在学生熟悉情境中进行的，而且给学生呈现的数学 活动设计，也是他们熟悉的，身边的事情，因而学生也感兴趣，使他们处在 空间，了解空间，这更有利于建立、培养学生的空间观念。如一位老师在讲 授东南西北时，他就把学生带着学生在操场上，因为学生的生活经验是太阳 从东方升起，老师就从学生最熟悉的辨别东来开始，让学生站在操场上去找 哪边是东，又问操场的东面有什么，以此来巩固对东这个方向的认识，接着 认识西，因为太阳从西边落下，也是学生的经验，然后让学生又借助学生熟 悉的校园环境来巩固西，最后让学生面向东，伸开双手，让他去想象，前面 是东，后面是西，此时学生左面 ，右面又分别是哪个方向，在操场的北面、 南面，又分别有什么建筑物，接着又让学生面向南呢，面向西呢，面向北呢， 分别指出他的前面、后面、左面、右面都是什么方向，通过这样的辨识练习， 有效巩固了学生对东南西北，前后左右的认识。 (2) 让学生经历生活体验。学生经历生活体验主要指：回忆、观察、操 作、想象、描述、思考、交流、分析、推理和表示等活动过程。因为发展学 生的空间观念，它的途径是多样的，只有让学生经历多样化的活动过程，多 给学生一些空间，让他在自己亲身经历的过程中积累图形的位置概念，才能 使学生有效建立和发展自己的空间观念。 (3) 倡导自主探索与合作交流的教学方式。由于以被动听讲练习的学习 方式，很难形成空间观念，要培养学生的空间观念，必需让学生参与大量的 实践活动，让他们通过自主探索、合作交流的方式，才更有利于发展学生的 空间观念。如描述物体的位置，用行与列，方向与距离，使它有唯一确定性， 但描述物体的位置还具有相对性，于是，教师在教学中若让学生认识到这种 相对性，就应用自主探索与合作交流的教学方式。如上面案例中，教师让学 生指出猴山在象房的什么方向，接着又问象房在猴山的什么方向，让学生观 察并讨论从中你发现了什么，经过学生探究研讨发现，若不规定观测点的话， 猴山与象房处在相对的位置，即突出观测点的不同，物体位置的描述也不同。 又如上海在北京南偏东 30 度方向，若换一种描述，也可以说北京在上海北偏 西的 30 度方向，加强这样的对比，也能使学生感悟到观测点的重要性，这也 有利于培养学生的空间观念。 专题 七 关于 图形与 几何的 总体建 议 小学“图形与几何”的课程内容，是以建立和培养学生的空间观念、几 何直观为核心展开的，主要包括：空间和平面基本图形的认识，图形的测量； 图形的运动；图形的位置等内容。修订后的课程标准较课程标准实验稿在这 部分内容结构上没有大的变化，但在各学段内容设置上稍有调整。在第一学 段，删除图形测量中“能用自选单位估计和测量图形的面积”，认识“平方 千米、公顷”和在图形的位置中会看简单的路线图等内容。增加或调整的内 容主要有：在图形的测量中将“结合实例认识面积，体会并认识面积单位平 方厘米、平方分米、平方米，能进行简单的单位换算。”将平方千米和公顷 的认识移到第二学段，并降低了要求。第二学段删除的内容有“了解两点确 定一条直线和两条相交直线确定一个点”。将“了解两点确定一条直线”放 在第三学段，作为进行演绎证明的基本事实之一。增加了“通过观察、操作， 认识平行四边形、梯形和圆；知道扇形，会用圆规画圆(图形的认识)”，“知 道面积单位平方千米、公顷”和“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定 值，掌握圆的周长公式,探索并掌握圆的面积公式,并能解决简单的实际问题” 等内容。 1.图形 的认识 正确理解与把握课程标准对图形认识的要求，掌握这部分内容结构的特 点，对于课程的实施和目标的达成具有十分重要的作用。 （1）明确图形认识的对象。在第一学段，课程标准要求“能根据具体 事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”，“能通过实物和 模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”，“能辨认长方形、正方形、 三角形、平行四边形、同等简单图形”等，其中既涉及对简单几何体的认识， 也涉及经过抽象后的三维图形和二维图形。在第二学段中，认识的图形增加 了线段、射线和直线等一维图形；对角的认识扩大到了平角、周角，增加了 梯形、扇形，对三角形的认识从一般三角形到等腰三角形、等边三角形和直 角三角形、锐角三角形、钝角三角形等；三维图形的认识对象增加了圆锥。 课程标准关于“图形的认识”内容结构的安排，既体现了从生活到数学、从 直观到抽象、从整体到局部的特点，又是三维、二维、一维图形交替出现， 呈现目标要求逐渐提高。 （2）明确图形认识的要求。图形认识的要求主要包括两方面，一是对 图形自身特征的认识，二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。 对图形自身的特征认识，是进一步研究图形的基础。在三个学段中，认识同 一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”，再 从“认识”到“探索并证明”。如对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体， 第一学段要求“辨认”，第二学段要求“认识”，第三学段要求了解其中一 些几何体的侧面展开图。又如对于平行四边形，第一学段要求“辨认”，第 二学段要求“认识”，第三学段要求“探索并证明平行四边形的性质定理、 判定定理”。再如关于“视图”，第一学段要求“能根据具体事物、照片或 直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”，第二学段要求“能辨认从不同 方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”，第三学段要求“会画直 棱柱、圆柱、圆锥，球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图， 会根据视图描述简单的几何体”。这种要求的层次性，既体现了从整体到局 部的认识过程，也符合学生的认知特点，逐渐深入，循序渐进。还如对图形 的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状 之间关系的认识。第一学段的“了解直角、锐角和钝角”，第二学段的“体 会两点间所有连线中线段最短”“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间 的大小关系”“了解三角形两边之和大于第三边”，第三学段的“会比较线 段的长短”“能比较角的大小”等，都是对图形大小关系研究的不同要求。 （3）明确认识图形的方式与途径。课程标准中较多地使用“通过观察、 操作，认识……”“结合实例（生活情境）了解……”“通过实物和具体模 型，了解……”的表述，这实际上明确了认识图形的过程和方式。图形是人 类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，抽象的核心是把物体的外部 形象用线条描绘在二维平面上。如点是位置的抽象，即在几何中用“点”来 标记一个物体的位置（如地图上用点表示城市）；线是路径的抽象，即把“从 一个地方走到另一个地方的路径”抽象为“线段，或折线段、曲线段”。又 如观察一张书桌，它占据一定的空间，有长短、宽窄和高矮，这些反映到我 们的脑子里就有了形状的概念，就抽象成几何图形。继续观察，发现桌面上 有四个相等的角，两两相等的对边，长和宽不相等。黑板、书本、门窗…… 都具有这些相同的特征，于是就形成了“长方形”的概念。“长方形”已不 再是某个具体的物体，而是抽象了的图形。正如前面指出的那样，图形的认 识需要经历抽象的过程，有时这样的过程还是较为漫长的，因为学生往往难 以一次性地真正完成这样的抽象。如对于角的概念，虽然小学就有接触，但 在初中探讨角的轴对称性时，有的学生会认为“角不是轴对称图形”，因为 “角的两边好像不一样长”，这反映了这些学生对“角”的认识没有达到抽 象的水平。 2.图形 的测量 对于图形，人们往往首先关注它的大小。一般的，一维图形的大小是长 度，二维图形的大小是面积，三维图形的大小是体积。图形的大小是可以度 量的，度量的关键是设立单位，而度量的实际操作就是测量。图形测量的相 关知识对每个学生的学习和适应未来的生活都是有用的，测量过程中蕴涵的 方法和思想有助于学生提高分析问题和解决问题的能力。 粗略地了解人类对图形进行测量的历史，可以更好地认识与了解测量的 意义和作用。如在谈到几何学的产生时，埃及人的贡献总是被提及并被详尽 地介绍。埃及位于非洲的北部，每年尼罗河水泛滥，洪水过后留下的淤泥形 成肥沃的土壤，同时也带来土地要重新测量的需求，土地测量的需要就使图 形成为数学的研究对象。埃及人创造出一套有效的土地面积测量的方法以及 面积计算的公式，包括三角形、长方形和梯形，还包括圆面积的近似计算公 式。 课程标准中“图形的测量”的课程内容主要安排在小学第一、第二学段， 其要求主要包括：体会测量的意义，体会并认识度量的单位及其实际意义， 了解测量的一些基本方法，掌握一些基本图形的长度（包括周长）、面积和 体积的测量方法和公式，在具体问题中进行恰当的估测。 （1）使学生体会建立统一度量单位的重要性。课程标准在第一学段要 求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度 量单位的重要性”。这种要求对面积、体积的单位也同样适用。其中度量单 位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为 一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。因此，在课程的实施过程 中，应该为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，并在 相互交流的过程中发现单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度 量单位的重要性。 （2）使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感 悟，课程标准在第一学段要求“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、 米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单 位”。进行单位之间的换算，不能靠机械地记忆换算公式和反复操练，而是 能够体会单位之间的实际关系，这就涉及对单位的理解。长度（面积、体积） 单位不仅仅是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验 它的实际意义。如生活中哪些物体的长度大约为 1 米？1 厘米的长度可以用 什么熟悉的物体来估计？哪些物体的质量大约是 1 千克？哪些物体的体积大 约是 1 立方米？其中对单位的实际意义的理解，还体现在对测量结果、对量 的大小或关系的感悟。如一个成人的身高为 175()，应当选择 cm 而不是 mm 作为单位，这是对长度单位认识的一个深化。 （3）在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量。 测量是从人类的生产、生活实际需要中产生的，学习测量的目的是为了实际 的应用。在明确实际测量的对象后，选择恰当的度量单位、测量工具及方法， 关系到测量能否方便、可操作地进行，影响着测量结果的准确程度。比如， 用直尺测量黑板的长度是不错的选择，用它测量一栋大楼的长度就不是上策 了。学生只有在亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和具体方法的 经验。 （4）重视估测及其简单应用。估测或估计是课程标准中突出强调的内 容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现 实的意义，也有助于学生感受度量单位的大小。其中，估测与精确测量之间 有着密切的关系。生活中精确测量的结果有时需要用估计的办法来感受，对 事物进行估计则需要对度量单位有很好的认识与把握，对图形度量知识有很 好的掌握，同时还要具有一定的空间观念。估测的意识和能力是在实践中发 展起来的。课程标准要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”，同时给 出具体的实践任务：“测量并计算一张给定正方形纸的面积，利用结果估计 课桌面的面积；测量步长，利用步长估计教室的面积。”这样，把测量与面 积计算有机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估测的方法。请看 课程标准附录 2 的例 33：图中每个小方格为 1 个面积单位，试估计曲线所围 图形的面积。 上面这个案例主要说明：要帮助学生树立起规划和设计的意识，即根据 要估计的精确程度来确定估计方案。如粗略估计的方案可以是：小方格里有 图形就记为 1，无图形就记为 0，然后相加求和；精细估计的方案可以是：小 方格的图形，大于一半的记为 1，小于一半的记为 0，然后相加求和。当然， 还可以分得更细。让学生通过记录、计算、比较等，体会估计的意义和方法。 （5）探索并掌握规则图形的周长、面积和体积公式，并能应用公式解 决实际问题。关于规则图形的度量公式，课程标准要求探索并掌握长方形、 正方形的周长公式；探索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯 形、圆的面积公式，并能解决简单的实际问题；探索并掌握长方体、正方体、 网柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。 课程标准还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单 图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等） 体积的测量方法等，通过这样的测量，学生不但能进一步加深对度量意义的 理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，体会学科之间的联系，感 悟数学思想（如微积分的思想）。 3.图形 的运动 课程标准第一、第二学段中的“图形的运动”，涉及的主要内容是图形 的平移、旋转和轴对称。要求学生通过这部分内容的学习，了解平移、旋转 和轴对称，并认识两个图形具有平移或轴对称的关系，使学生借助日常生活 中对图形运动现象的观察与直观感受，可以更好地认识现实世界中大量的图 形运动的现象，以运动的观点认识图形，欣赏图案与设计图案。 4.图形 的位置 本内容要求学生在第一学段能用两种方法定性地刻画物体的位置：一种 是用“上、下、左、右、前、后”描述物体的相对位置，一种是用“东、南、 西、北”等描述物体的绝对位置。第二学段则在此基础上定量刻面物体的位 置，即用数对表示物体的位置。