4.3 角的度量与表示
一、课题 §4.3 角的度量与表示
二、教学目标
1．使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定
义方法．
2．使学生掌握角的各种表示方法．
3．通过角的第二定义的教学，学生进一步认识几何图形中的运动、变化的情况，初步
会用运动、变化的观点看待几何图形，初步形成辩证唯物主义观点．
4．使学生掌握平角、周角和直角的概念．
三、教学重点和难点 角的概念及两个定义和角的表示法是本节的重点也是难点．
四、教学手段 现代课堂教学手段
五、教学方法 启发式教学
六、教学过程
（一）、从实际生活中建立角的概念
1．问题的提出：回忆前面的学习内容，都是单纯讨论直线、射线、线段的性质、关系．以
后将要学习由它们构成的图形，同学们想一想，在实际生活中有没有由直线与直线或射线与
射线，线段与线段组成的图形？(让学生思考几分钟后，举手发言，由于学生的几何知识还
不多，因此可能举出的例子很少，或者有不妥之处，教师应加以鼓励并引导．)
2．教师总结：三条线段组成的三角形、两条直线组成的坐标系、两条射线组成的角．这
些图形的特点和性质在今后的学习中都要学到，今天我们先学习角的有关概念．
3．让学生自己观察在实际生活中看到的角．(如：桌子的角、钟表的时针和分针所成的
角、两条道路相交时所组成的角、红领巾的边所成的角等．)
4．教师提问：通过同学们的例子，我们应该怎样给角下定义呢？引导学生观察这些角
的共同特点：角的两边都有一个公共的端点，组成角的两边的是射线．由此引导学生得到角
的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．
注意正确理解角的定义，首先组成角有两个条件(1)有两条射线．这两条射线叫做角的
两边．(2)两条射线有一个公共的端点．这个公共的端点叫做角的顶点．(3)还应指出的是：
我们平时画角的时候，只能将边画成两条线段，这是由于只能用角的一部分来研究角，而角
的定义中边是两条射线，也就是说这两条边可以无限延伸．
5．教师提问钟表的指针是怎样形成角的？学生能够回答：一个指针在转．教师这时指
出角的第二个定义：一条射线 OA 由原来位置绕着它的端点 O 旋转到另一个位置 OB 所成的图
形．(教师拿圆规演示出来射线的旋转情况，并在黑板上给出图形．)
注意对这一定义的理解：(1)此定义与以前学过的定义有所不同，它是用运动的方法来
定义角的．也就是从角的产生过程下定义，它对一条射线的原始位置开始描述，直到运动到
最后位置．(2)在此定义中，对运动的方向并没有要求．也就是说，可以顺时针旋转，也可
以逆时针旋转．但要明确：初中阶段是指逆时针方向旋转所形成的角．这一点要对学生讲清
楚，以便为将来学习任意角埋下伏笔．(教师在讲解过程中要加以演示)(3)要告诉学生 OA
叫做角的始边，OB 叫做角的终边．而且始边可以与终边重合，还可以在重合以后继续旋转，
从而得到几种特殊的角．
（二）、平角、周角和直角的概念
教师设计以下提问：
1．从角的第二定义出发，对射线 OA 的旋转可以到哪些特殊位置？
2．这些特殊的角之间有哪些关系？
针对学生的回答，教师与学生一起总结出直角、平角、周角的定义．
平角：射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 O B 与起始位置 OA 成一条直线时，所成的角叫
做平角．
周角：射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 与起始位置 OA 第一次重合时，所成的角叫
做周角．
直角：平角的一半叫做直角．
（三）、角的表示法
这部分内容主要由教师讲解，并指出这些表示法是一些规定，必须遵守．
1．角的内部和外部
角的内部：射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
角的外部：平面内除去角的内部和角的顶点、角的边以外的部分是角的外部．
教师通过以下图形对角的内部、角、角的外部进行讲解，使学生有一个感性的认识，如
图 1-16．
注：角将平面分为三部分．即角的外部、角的内部、和角的两边及顶点．
2．大写字母表示角：规定用三个大写字母表示角；这三个大写字母应分别写在顶点、
两条边上的任意的点；三个字母的顺序也有规定，顶点的字母必须写在中间，如图 1-17．
以上四个角依次表示为：∠ABC，∠BOE，∠CAN，∠BDC．
注意顶点的字母不一定用 O，角的终边与始边的字母也可以随意．
在下面的图形中，我们将看一看平角和周角的表示方法，如图 1-18．
左边的图为平角，记为∠AOB，右边的图为周角，记为∠AOB．注意周角由于终边与始边
重合，所以 OA 与 OB 为同一条射线．标法如图．
3．用一个大写字母表示角：如图 1-17 中的四个角也可以记为∠B，∠O，∠A，∠D．但
要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母．如图 1-19．
左边的图中以 O 为顶点的角有三个∠AOC，∠COB 和∠AOB，如果写∠O 就不知道表示哪
一个角，右边的图形中以 A 为顶点的角有六个，写成∠A 后就会分不清表示的是哪一个角．因
此用一个大写字母表示角的时候，一定要在不会发生混淆的情况下使用．
4．用一个希腊字母表示角：方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个
希腊字母，如α，β，γ等，记作∠α，读作角α．如图 1-20．
5．用 一个数字表示角，方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个数字
如 1，2，3 等，记作∠1，读作角 1．如图 1-20，在一个顶点的角较多的情况下，也可以这
样表示，如图1-21．
6．练习：(1)如图 1-22，将下面图形中的角分别用两种方法表示．
(2)写出图中大于直角且小于平角的角．(用三个大写字母表示)如图 1-23．
（四）、总结
教师提问：1．这节课我们都学习了哪些概念？
2．通过这节课你都认识了哪些角？它们都怎样定义的?
学生回答后，教师再做总结．
(1)这节课我们学习了角的概念，它是用两种方法定义的，一个是用静止的观点，另一
个是用运动的观点．对第二定义的形式要加以重视．在此基础上，有了特殊角：平 角、周
角、直角的概念．
(2)角的表示方法有四种：用三个大写字母表示；用一个大写字母表示；用一个希腊字
母表示；用一个阿拉伯数字表示．
七、练习设计
1．每人在实际生活中找出三到五个角的实例，其中包括直角、平角和周角．
2．如图 1-24，指出每个图形中的所有直角．(直观判断)
3．如图 1-25(a)，指出下列每个图形中的所有小于 180°的角．
4．(1)任意画一个角∠AOB，在它的内部取一点 E，作射线 OE，用大写字母写出图中所
有的角；( 2)任意画一个角∠EOF，在它的内部取两个点 A，B，作射线 OA，OB．用希腊字母
表示图中所有的角．
八、板书设计
§4.3 角的度量和表示
（一）知识回顾 （三）例题解析 （五）课堂
小结
例 1、例 2
（二）观察发现 （四）课堂练习 练习 设计
九、教学后记
1．本教案的教学时间为 1 课时 45 分钟．
2．教学设计的主要指导思想是：
(1)让学生了解第一章的总体知识结构，具体讲，就是在学习了直线、射线和线段性质
的基础上，由它们组成新的几何图形，从而使学生认识：几何图形是由简单到复杂的组合过
程．
(2)借讲角的第二定义之机，用运动的观点研究几何图形，初步培养学生的辩证唯物主
义观点．
(3)加强数学的实践性，养成学生联系实际的好习惯，提高他们解决实际问题的能力．
(4)通过角的 不同表示法，使学生看到解决一个问题有多种方法的好处，为培养学生的
发散性思维打下基础．
3 ．本教案对课本的顺序进行了一定的更改，将直角的定义与平角、周角的一起给出，
这样强调了知识的系统性，更有利于学生掌握知识的结构．
4．在作业中，将有些以后常用的几何图形，如矩形、三角形、平行四边形、两个三角
形的特殊位置关系等，都让学生见一见，为将来的学习打下基础．
5．角的各种表示法的教学一定要重视，要反复练习，尤其是从一个顶点出发的角有两
个以上时，一定让学生写对，并告诉学生在没有特殊要求的情况下，最好用数字表示角，这
样既简便又清晰．
6．以下思考题供参考：(基础较好的学校选用)
(1)一条直线是一个平角吗？(由平角的定义知，平角的两边，即两条射线在一条直线上，
且分别在顶点的两侧，而直线没有顶点，也不是两条射线，所以直线不能看成是一个平角)
(2)如图 1-25(b)，∠AOB 内部画 99 条射线，问图中一共有多少个角？
从特殊性想起：
角内没画射线——1 个角
角内画 1 条射线——(1+2)个角
角内画 2 条射线——(1+2+3)个角
……
角内画 99 条射线——1+2+3+4+…+100=5050 个角
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