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《统计与概率》标准解读与案例分析
仙桃市教育科学研究院 廖生涛
一、现实意义
国家统计局 2012 年 5 月 29 日公布，2011 年城镇非私营单位在岗职工年平均工资（即
原“全国在岗职工年平均工资”）数额为 42452 元，比上年增加 5305 元，日平均工资为
162.65 元，比上年增加 20.32 元。
6月 12 日是中国福利彩票双色球开奖的日子，北京开出一个 110 注头奖，彩票购买者
将获得 5.7 亿元的巨奖，刷新了中国彩票奖金记录，立即引起了大众的关注。随即有号称“第
一彩”的福彩专家陈虎成提醒彩民：彩票因为其出奖号码的随机性和不可预测性，任何人都
不可能通过分析准确预测彩票的出奖。去年也只出过一次 5.65 亿大奖，双色球中大奖的概
率是很小的，理论上说中一等奖(五百万)的概率是 1770 多万分之一。
二、课程标准解读
美国著名认知心理学家奥苏泊尔说：如果我不得不将教育心理还原为一条原理的话，我
将会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状
况去进行教学． 可见，学生良好的认知基础将是教师最可利用的宝贵资源，是高效率学习
活动的关键．
对统计和概率形成基本的认识
统计学： 通过收集、整理、描述和分析数据，说明和刻画已发生的现象或推断和预测
未发生的现象.根据数据思考问题.
概率论： 通过研究随机现象中的数量规律，对随机事件发生的可能性进行分析.
数量化地研究随机事件的可能性.
（一）抽样与数据分析
1. 经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理
较为复杂的数据。
2. 体会抽样的必要性，通过案例了解简单随机抽样（参见例 67）。
例 67 设计调查方法。
了解本年级的同学是否喜欢某电视剧。调查的结果适用于学校的全体同学吗？适用于
全地区的电视观众吗？如果不适用，应当如何改进调查方法？
[说明] 对于许多问题，不可能、有时也不必要得到与问题有关的所有数据，只要得到
一部分数据（样本）就可以对于总体的情况进行估计。很显然，如果得到的样本能够客观地
反映问题，则估计就会准确一些，否则估计就会差一些。因此，我们希望寻找一个好的抽取
样本的方法，使得样本能够客观地反映问题。在本学段，主要学习简单随机抽样方法，这是
收集数据中通用的方法，在一般情况下，我们都假定样本是通过随机的方法得到的。
因为同一个年级的学生差异不大，采用简单随机抽样方法比较合适。可以在上学时在
学校门口随机问讯，也可以按学号随机问讯。为了分析方便，需要把问题数字化，如喜欢这
部电视剧的记为 1，不喜欢的记为 0。
对于这样的问题，问讯学生数不能少于 20 人，取 40-50 人比较合适，取更多的学生当
然更好，但需要花费更多的精力。由此可见，一个好的抽样方法不仅希望“精度高”还希望
“花费少”。
假设问讯的学生数为 n,记录数据的和为 m（显然，m 为喜欢这部电视剧的人数），则调
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查结果说明，学生中喜欢这部电视剧的比例为
n
m
。我们依此估计本年级的同学中喜欢这部
电视剧的比例。
用这个数据估计全地区的电视观众喜欢这部电视剧的比例是不合适的，因为学生、成
年人、老年人喜欢的电视剧往往不同。为了对全地区的电视观众喜欢这部电视剧的情况进行
估计，可以采用分层抽样方法，比如依据年龄分层，需要知道各年龄段人口的比例，按照比
例数分配样本数，而在各个层内则采取随机抽样；或者依据职业分层，等等。教师应该了解
分层抽样，在本学段学生只需学习简单随机抽样方法。
3. 会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。
4. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势
的描述（参见例 68）。
例 68 某个公司有 15 名工作人员，他们的月工资情况如下表。计算该公司的月工资
的平均数、中位数和众数，并分别解释结果的实际意义。
职务 经理 副经理 职员
人数 1 2 12
月工资（元） 5000 2000 800
[说明] 平均数、中位数和众数都是刻化数据的集中趋势的方法，因为方法不同，得
到的结论也可能不同。很难说哪一种方法是对的，哪一种方法是错的，我们只能说，能够更
客观地反映实际背景的方法要更好一些。在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数
较大，因此，用中位数或众数要比用平均数更客观一些。
不难计算出该公司月工资的中位数和众数均为 800 元。而
月工资的平均数= 加权平均（可以看成是加权平均）
= 5000×
15
1
+2000×
15
2
+800×
15
12
= 1240（元）。
因此，加权平均往往就是总体平均，其中的权是数据对应的比例。
5. 体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差（参见例 69）。
例 69 如果还有一个公司也有 15 名工作人员，他们的月工资情况如下表。参照例 69，
比较两个公司的月工资状况。
职务 经理
副 经
理
职员
人数 1 2 12
月工资（元） 3000 1800 1000
[说明]容易计算，这个公司的月平均工资也是 1240 元。但是两个公司月工资的方差相
差很大，通过计算可以得到：例 68 中数据的方差为 1174400，本例中数据的方差为 294400，
两个方差相差 4 倍。可以让学生知道，进一步学习“统计与概率”，将会得到“两个方差有
非常显著的差异”的结论。
6. 通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释
数据中蕴涵的信息（参见例 70）。
7. 体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体
方差。
8. 能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流（参见例 70）。
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例 70 比较自己班级与别的班级同学的身高状况。
[说明]对于两个班级学生身高状况比较，通常可以通过平均值来判断，但有时候仅仅
通过平均数是不够的，如果一个班同学之间身高差异很大，而另一个班同学之间身高差异很
小，即使前一个班的平均高一些，也不能说这个班的整体状况很好。因此，在判断身高状况
时，不仅要看平均值，还需要参考方差。
进一步，可以引导学生逐渐深入地进行数据分析，可以要求学生把身高分段，画出频
数直方图，并引导学生讨论，通过直方图是否能得到更多的信息。
9. 通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势（参见例 71）。
例 71 下表给出了我国 1992-2004 年国内生产总值（GDP）。在直角坐标系上描出坐标
（年，GDP），并试用直线表示发展趋势。
1992－2004 中国 GDP 变化表（亿元）
[说明] 在现实生活中，有许多数据是与时间有关的，因此这些数据会呈现发展趋势。
学生应当能够理解报刊书籍中的这类数据的表达，包括表格、描点、折线图、趋势图等，并
且尝试自己表达分析。
对于上述数据，学生应当会描点，虽然这时直角坐标系的度量单位与书本上教的是不
一样的，但是只要刻度之间的比例关系一致，表达就是合理的，让学生感悟到：对于实际问
题往往需要具体问题具体分析，而不能单纯地套用书本上学到的知识。 因为描点呈现线性
增长趋势，可以进一步引导学生利用直线来表示这种趋势、预测未来经济发展，感悟变量的
随机性。
对于“用直线表示发展趋势”的问题，原则上可以画出很多条直线，教师可以引导学
生思考和讨论如何画出合适的直线、如何制订“合适直线”的标准，并且告诉学生，在高中
阶段“统计与概率”的学习中将会解决这个问题，引发学生的学习兴趣。
这个例子可以举一反三，不一定局限与时间有关的数据，比如：学生身高与体重的关
系，同一种树的树叶长与宽的关系（参见例 79）。也可以组织学生查阅资料，探究进出口总
量与 GDP 的关系，人均收入与 GDP 的关系，等等。
年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
GDP 23938 34634 46759 58478 67885 74463 78345
年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004
GDP 82067 89468 97315 105172 117390 136876
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（二）事件的概率
1. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发
生的所有可能结果，了解事件的概率（参看例 72、例 73）。
例 72 将下面这些卡片混在一起，从中任意选取一张卡片，这张卡片是船的概率是多
少？是车的呢？
[说明] 这是例 42 的继续。学生已经能够理解：任意选取一张卡片，这张卡片是船的
可能性比是车的可能性大，现在应当明确地知道其概率分别是
2
1
和
4
1
。
这个例子可以举一反三，如转动转盘，当转盘停止时指针指向某一特定部分的概率；
一个袋子里有几种颜色、数量不同的球，随机摸出某种颜色球的概率，等等。
例 73 分析掷两个骰子点数之和的可能性的大小。
[说明] 这个问题看起来很难，无从下手。事实上，这也是简单事件的问题，利用例
10 的图，可以得到结论：对应的格子越多可能性越大。比如，点子之和为 7 的可能性最大，
为 2 或者 12 的可能性最小。
2. 知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率。
问题：姚明罚进的概率有多大？08—09 赛季姚明罚篮命中率 86. 6%.
“姚明罚球命中率”的问题就是一个很好的载体．该问题既是学生感兴趣的问题，也
能说明用频率估计概率的必要性，还能通过求命中率引出用频率估计概率的方法．姚明罚球
的命中率是客观存在的，如果知道该值的大小对对方球员是否有必要犯规是有帮助的，所以
我们要想办法知道它，概率的统计定义就给出了这样一种方法──频率估计概率．
（三）理解核心概念——数据分析观念
原课标中的“统计观念”，强调的是从统计的角度思考问题，认识统计对决策的作用，
能对数据处理的结果进行合理的质疑等要求。此次将其改为“数据分析观念”，就是希望改
变过去这一概念含义较“泛”，体现统计与概率的本质意义不够鲜明的弱点，而将该部分内
容聚焦于“数据分析”。
1.数据分析观念的含义
数据分析观念是学生在有关数据的活动过程中建立起来的对数据的某种“领悟”、由
数据去作出推测的意识、以及对于其独特的思维方法和应用价值的体会和认识。
2.数据分析观念的要求：一是过程性（或活动性）要求：让学生经历调查研究，收集、
处理数据的过程，通过数据分析作出判断，并体会数据中蕴涵着信息；二是方法性要求：了
解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的数据分析方法；三是
体验性要求：通过数据分析体验随机性
例. 利用树叶的特征对树木分类
（1）收集三种不同树的树叶，每种树叶的数量相同，比如每种树选 10 片树叶。
（2）分类测量每种树叶子的长和宽，列表记录所得到的数据。
（3）分别计算出树叶子的长宽比，估计每种树树叶的长宽比。
（4）验证估计的结果。
[说明] 我们可以抓住树的某些特征对树进行分类，本例是利用树叶的数据特征来
对树进行分类。
这一学习活动有利于培养学生的数据分析意识，体会有许多事情，通过数据分析可以
抓住本质。知道数据不仅仅是别人提供的，还可以自己收集；对于同一种树，叶子长与宽的
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比也可能是不一样的，进一步感受数据的随机性；体会只要有足够的数据，就能够分析出一
些规律性的结论。
教学中可以作如下设计：
（1）建议采用小组活动的形式，学生通过合作交流可以获得较多的数据和信息。
（2）为了使分析的结果更加明显，最好选择树叶区别较大的三种（或者更多）树、
而每种树选择的树叶的大小要接近，即区别要小一些。
（3）“估计每种树树叶的长宽比”的方法可以是多样的，比如，对于每种树的 10 片树
叶都测量了长和宽以后，可以用 10 个比值的众数，也可以用 10 个比值的中位数；还可以把
长和宽各自相加后，取和的比值，这是 10 个比值的平均数（教师可以思考：为什么不用通
常求平均数的方法计算比值的平均数）。针对这个问题，用平均数是比较合适的。
（4）取一片新的树叶，通过这片树叶的长宽之比、参照（3）的估计结果，来判断这片
树叶属于哪种树。学生会发现，即使是同一棵树，叶子长与宽的比值恰好等于估计值的可能
性也很小，这表现了数据的随机性。可以进一步启发学生考虑一个合理的方案：只要比值大
概等于估计值，就可以认为是同一种树，也就是说，需要构造一个以估计值为中心的数值区
间，当新取的树叶的长宽比值属于这个区间时就认为属于这个树种。如何合理地构造这个数
值区间是重要的，区间太短则可能拒绝同类树种，区间太长则判断的精度就要差。（可引导
学生探索方法）
二、教学建议及案例分析
（一）教材体系中的统计与概率
1.教材将“统计与概率”领域独立于“数与代数”和“图形与几何”领域安排，共有
三章.这三章内容采用统计部分和概率部分分开编排的方式，前两章是统计，最后一章是概
率.统计部分的两章内容按照数据处理基本过程的不同侧重点来安排，分别是 7 年级下册的
第 10 章“数据的收集、整理与描述”，8年级下册的第 20 章“数据的分析”；概率部分为
9年级上册的第 25 章“概率初步”.
2.教材编写的三个特点
（1）侧重于统计和概率中蕴涵的基本思想，不满足于单纯完成计算. 教科书改变了以
往处理这部分内容时过于偏重计算的做法，而特别注意体现“通过统计数据探究规律”的归
纳思想，重视反映统计与概率之间的联系，通过频率来估计事件的概率，通过样本的有关数
据对总体的可能性作出估计等.
（2）注重实际，发挥案例的典型性，不只是抽象地定义概念和罗列方法. 这部分的三
章内容都注意加强探究性和活动性，各章都安排实践性较强的“课题学习”，都结合现代社
会生活中丰富的实例，发挥典型案例的引导作用，避免脱离实际例子的讲述概念与计算.
（3）注意与前面学段的衔接，持续地发展提高，内容安排相对集中.教科书注意了有
关内容在前面学段已经具备的基础，明确了在本学段应进一步发展到什么水平，在内容和要
求方面体现螺旋式发展上升.
（4）循序渐进地安排概率内容，降低学生思维的起点,从简单而又特点鲜明的古典概型
认识起， 用频率逼近概率是统计与概率的结合.
（二）统计学——《数据的收集、整理与描述》、《数据的分析》
1.教材分析
《数据的收集、整理与描述》通过一些案例展开相关内容，每一个案例都展现了收集
数据、整理数据、描述数据和分析数据得出结论的一般过程，其中重点在收集、整理与描述
数据上，所涉及的分析数据比较简单，较复杂的内容在第 20 章作进一步讨论。
10.1“统计调查”主要介绍和整理数据的一些常用方法。
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10.2“直方图”重点讨论利用直方图来描述数据。
10.3“课题学习 从数据谈节水”要求学生利用学过的统计知识和方法从事统计活动，
经历收集、整理、描述和分析数据的基本过程。
本章主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及极差、方差等统计量的
统计意义。
第 20.1 节是研究代表数据集中趋势的统计量：平均数、中位数和众数。本节中，教科
书首先给出一个实际问题，通过分析解决这个实际问题，引进加权平均数的概念。为了突出
“权”的作用和意义，教科书通过两个例题，从不同方面体现“权”的作用。接下去，教科
书对加权平均数进行扩展，包括如何将算数平均数与加权平均数统一起来，如何求区间分组
的数据的加权平均数，如何利用计算器的统计功能求平均数，如何利用样本平均数估计总体
平均数的问题等。对于中位数和众数，教科书通过几个具体实例，研究了它们的统计意义。
在本节最后，教科书通过一个具体实例，研究了综合利用平均数、中位数和众数解决问题的
例子，并对这三种统计量进行了概括总结，突出了它们各自的统计意义和各自的特征。第
20.2 节是研究刻画数据波动程度的统计量：极差和方差。教科书首先利用温差的例子研究
了极差的统计意义。方差是统计中常用的一种刻画数据离散程度的统计量，教科书对方差进
行了比较详细的研究。首先通过一个实际问题提出对两组数据的波动情况的研究，并画出散
点图直观地反映数据的波动情况，在此基础上，教科书引进了利用方差刻画数据离散程度的
方法，介绍了方差的公式，并从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的。随
后，又介绍了利用计算器的统计功能求方差的方法。本节最后，教科书利用所学知识解决本
章前言中提出的问题，并研究了用样本方差估计总体方差的问题。教科书在最后一节安排了
一个具有一定综合性和实践性的“课题学习”。这个“课题学习”选用了与学生生活联系密
切的体质健康问题。由于本章是统计部分的最后一章，因此这个课题学习的综合性比前面两
章统计中的课题学习更强。为了便于教学操作，教科书根据《中学生体质健康登记表》提供
了一个样例。
我们学习了收集、整理和描述数据的常用方法，将收集到的数据进行分组、列表、绘图等处
理工作后，数据分布的一些面貌和特征可以通过统计图表等反映出来。为了进一步了解数据
分布的特征和规律，还需要计算出一些代表数据一般水平（典型水平）或分布状况的特征量。
对于统计数据的分布的特征，可以从三个方面来分析：一是分析数据分布的集中趋势，反映
数据向其中心值（平均数）靠拢或聚集的程度；二是分析数据分布的离散程度，反映数据远
离其中心值（平均数）的趋势，三是分析数据分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这
三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面。根据《标准》的要求，本章从就前两个方面
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研究数据的分布特征。
2.关于统计教学的几点认识
根据义务教育数学课程标准的阐述，初中阶段统计教学的定位是：“要求学生体会抽样
的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法．能从事收集、整理、描
述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据”．因此，用样本估计总体是初
中统计教学的核心思想．作为“用样本估计总体”思想的具体产物──抽样调查，即成为初
中统计学习的核心方法．
抽样调查是一种应用广泛、行之有效的统计推断方法，它源于人们通过对部分的分析
认识，进而推广到对整体的认识，即用样本估计总体．用样本估计总体的方法是不完全归纳
法在统计中的一种运用，其基本要素是抽样调查．抽样调查应注意到的四个问题：
（1） 对抽样调查适用范围及可行性的认识
统计调查包括全面调查与抽样调查两种，两种方法各有优劣，如何结合生活经验，让
学生在分析具体事例的过程中理解抽样调查的必要性、了解抽样调查的适用范围，需要教师
给予正确引导．
案例 1：
在初步介绍了抽样调查是用部分推断全体后，教师问：“你在生活中有没有用抽样调查
的方法来解决问题的经历呢？请你举例说明．”
学生答：“买水果时，先尝一个”、“煲汤后，尝一勺看看咸淡”、“查血型时，抽
一滴血检验”、“抽查几个同学的作业，了解全班同学的作业情况”、“老师点我回答问题，
通过我的回答了解全班同学对这个问题的掌握情况”……
教师还可以补充：“除了大家的亲身经历外，抽样调查在更大的领域里有着广泛的应
用，如学校通过考试了解同学们的学习情况，食品中‘放心奶、放心肉、放心鸡蛋’等的检
测，工业中各种产品质量的监测，医学中各种药品的研制与治疗效果的检验，经济中各种指
标数据的获得，……．”
分析：每个学生都有使用抽样调查解决问题的生活经验，但是绝大多数学生并没有意
识到自己在使用抽样调查方法解决问题．由于教材上给出的案例大多数都是基于开展研究收
集数据时构造出的事例，比较单一，因此，教师实施“对抽样调查适用范围的认识”这一环
节的教学时，案例先由学生给出，教师再加以补充，从学生的亲身经历拓展到教育、社会、
工业、医学、经济等多个领域，很好地体现出抽样调查适用范围的广阔性．事实上，抽样调
查方法与基本读写能力一样，应成为每个公民应掌握的基本技能．
案例 2：实验与探究 瓶子中有多少粒豆子
生 1：染色，一定量，注意实验的可行性
生 2：称重量，求单一质量
生 3：导入量杯中，数颗粒
生 4:规则容器，取几分之一数颗粒
生 5：取一定量豆子导入水中，测量单粒的体积（有缝隙、水中易膨胀）
（2）对总体、个体、样本、样本容量的理解
统计学也是一门新兴学科，它用特殊的词或术语向他人传递特定的概念和信息，形成了
特定的交流平台．在使用抽样调查方法解决问题时，就必须掌握与之相关的统计概念
（如：总体、个体、样本、样本容量等），以方便沟通与交流．
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案例 3：某中学共有 2000 名学生，现在想了解全校学生对新闻、体育、动画、综艺、
电视剧五类电视节目的喜爱情况，现随机抽出 100 名学生进行调查.请指明这个问题的总体、
个体、样本与样本容量．
教师引导学生回答并板书：总体是“全校 2000 名学生对新闻、体育、动画、综艺、电
视剧五类电视节目的喜爱情况”；个体是“全校每个学生对新闻、体育、动画、综艺、电视
剧五类电视节目的喜爱情况”；样本是“抽出的 100 名学生对新闻、体育、动画、综艺、电
视剧五类电视节目的喜爱情况”；样本容量是 100．
统计语言也是用于交流与沟通的，如果每次都使用案例中给出的那种表述，那么师生关
于这个问题的交流就显得非常繁琐，沟通也很不便利，这也违背了语言表达的简洁性原则．
举例：菜市场——1000克是多少？
在这个问题上，统计学达成了共识：当研究对象与对象的具体数字特征之间形成同构映
射关系，即在明确研究对象的具体数字特征的前提下，我们往往从交流方便的角度把研究对
象等同于研究对象的具体数字特征．例如，在本案例中调查的是“全校 2000 名学生对新闻、
体育、动画、综艺、电视剧五类电视节目的喜爱情况”，那么总体、个体、样本既可以说成
是相应的 2000名学生、每个学生、抽出的 100名学生，也可以说成对应的他们对五类电视
节目的喜爱情况，因为所指的都是同一个含义．在实际教学中，建议用研究对象来表示总体、
样本等进行交流，这样简单、方便．
（3）对样本代表性的理解
在研究具体问题时，由于很多案例都无法直接研究总体（例如我们无法研究所有患癌症
的病人，也无法研究所有的中小学生，因为这些总体或者是潜在的，或者可以看成是无限多
的），只能用样本来概括总体，因此，我们往往假定，由样本分析得到的结论可以正确地用
于总体．
为了保证基于抽样调查获得的样本数据所进行的分析是有效且可靠的，需要对抽样调
查的方法进行界定，如在抽取样本时，样本必须具有代表性．在抽样调查实践中，人们常问：
“这个样本的代表性有多大？”，这里，既涉及到如何理解样本代表性的问题，也涉及到怎
样才能获得对总体有代表性的样本的问题．
在 1936 年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志的工作人员做了一次民意测验，调查
阿尔弗雷德.兰登 和富兰克林.罗斯福中谁将当选下一届总统．为了了解公众意向，调查者通
过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表，通过分析收回的调查表，显示阿尔
弗雷德.兰登非常受欢迎．于是此杂志预测阿尔弗雷德.兰登将在选举中获胜．富兰克林.罗斯福
在 1936 年总统大选中击败了阿尔弗雷德.兰登，最后成功连任 4 届。
实际选举结果正好相反，最后富兰克林.罗斯福在选举中获胜．其数据如下：
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然后，教师提出问题：文中在调查时进行的抽样是简单随机抽样吗？ 事实上在 30 年
代的美国，只有部分中产阶级才有能力拥有电话与汽车．
关于如何理解样本代表性．判断一个样本是否具有代表性关键不在于样本是否与总体具
有相似的结构，而在于具体抽取这个样本的过程是否能够满足随机性，是否存在人为干扰．由
于概率抽样可以完全避免人为干扰，人们认为概率抽样下抽得的样本都具有良好的代表性，
因此在抽样调查中凡是运用概率抽样抽得的样本，不存在对它进行代表性检验的问题．
关于如何获得对总体有代表性的样本．初中统计主要学习简单随机抽样和分层抽样两
种抽样方法，这两种抽样都遵循概率的随机性要求，因此，用这两种方法均可获得对总体有
代表性的样本．在教学中，应该把主要精力放在如何体现抽样的随机性，而不是如何体验、
感受样本的代表性．
案例 4：
（4）关于样本容量适当性的确定
抽样调查是以少量的样本数据信息推断大量的总体数量特征，因此必然存在着误差问
题．抽样调查的数据存在着误差是绝对的，而误差的大小是相对的，其相对性取决于研究的
问题和需要的决策．因此，在抽样方案设计时，需要确定样本的抽样误差应满足的条件（样
本值与总体真值间的误差范围，即确定置信区间）．置信区间越小，数据精度越高，则样本
容量的需求量就越大，调查费用就越高；置信区间越大，数据精度越低，则用样本数据估计
总体的误差就越大，可能数据不能采用，也会造成数据资源的浪费．
在具体操作时，除了受置信区间精确度的影响外，样本容量的确定还受到另外三个方
面因素的制约．一是总体的规模．一般情况下，总体规模越大，往往需要抽取的样本容量也
越大．二是总体的异质性程度．在异质性程度高的总体中抽取的样本容量要大些，而在同质
性程度高的总体中要达到同样的精度，所需要的样本容量要小些．三是研究者所拥有的精力、
经费和时间．样本容量越大，需要投入的精力、经费和时间越多，意味着调查可能受到更多
更大的限制，因此需要量力而行．
在初中统计教学中，只需要结合具体事例，让学生感知“总体规模、总体异质性程度、
研究经费等背景要求”等方面的因素对样本容量确定的影响即可，同时，学生需要知道“随
着样本容量的增大，样本的估计值越来越接近总体真值”．至于置信区间的问题，则无需向
学生提及，而且这也超出了初中生学习的能力要求．
3.教学建议
（1）统计概念较抽象，把它们放到实际问题情境中去理解；
（2）统计与现实生活的联系是非常紧密的，这一领域的内容对学生来说应该是充满趣
味性和吸引力的，本套教科书编写时特别注意将统计的学习与实际问题紧密结合，选择典型
的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子
（3）让学生通过统计调查活动，经历数据处理的基本过程，在收集、整理、描述和分
析数据的统计活动中，学习有关统计的知识和方法，建立统计的观念。
（4）学习成果展示与交流，促进学生学习、交流能力的发展。
（5）教学模式
样例教学——让学生了解和掌握统计数据的方法；
实际调查研究——生产、生活问题“数学化”，体会数理统计的应用价值；
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4.教学案例——《统计调查》教学案例分析
案例 1：上课伊始，教师创设了这样一个的问题情境：
一天，爸爸叫儿子去买一盒火柴．临出门前，爸爸嘱咐儿子要买能划燃的火柴．儿
子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家．
“火柴能划燃吗？”爸爸问．
“都能划燃．”
“你这么肯定？”
儿子递过一盒划过的火柴，兴奋地说：“我每根都试过啦．”
然后，教师提出了下面三个问题：
问题 1：儿子采用了什么调查方式?
问题 2: 你认为儿子采用的方法合适吗？为什么？
问题 3：你准备用什么方式进行调查呢?
学生对上述三个问题作出如下回答：
问题 1：采用了全面调查的方式．
问题 2：不合适，因为所有的火柴都划光了，这个调查没有意义了．
问题 3：可以选择一些火柴划一下．
虽然上述问题情境有夸张的成分，但通过创设这样一个问题情境，学生很容易明白，
在某些调查中，全面调查方法并不可行，从而体会抽样调查方法的必要性．从课堂上学生的
实际反应情况来看，学生对抽样调查的必要性的认同没有认知上的困难，绝大多数学生都能
积极地思考并参与问题解答的过程，而其能够很顺利地回答以上问题．由此可见，通过这样
的问题情境，不仅可以激活学生已有的生活经验，从数学的角度审视这些经验，使之升华为
新的数学知识，而其还可以激发学生的学习兴趣，营造一个轻松的学习氛围．
案例 2：在本节课上，教师试图让学生经历这样的过程．比如，教师通过大屏幕出示
这样的问题：
例 1．北京市第 166 中学共有 2093 名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、
娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，请同学们思考以下几个问题：
问题 1：你准备用什么调查方法解决？
问题 2：在这个调查过程中我们应做哪些事？
问题 3：在调查流程中确定样本容量很重要，请大家讨论一下，调查多少名同学比
较合适？你考虑了哪些因素？
问题 4：我们用什么样的方法选取这些同学比较好？
问题 5：我们能否设计一个抽样调查的流程？
问题 6：你能概括出简单随机抽样的定义吗？
【分析与建议】教师通过一系列精心设计的循序渐进式的问题，让学生利用抽样调
查的方法解决实际问题，再次体会利用调查的方法解决实际问题的流程，同时体会、领悟抽
样调查中样本估计总体的思想、随机的思想等．但从现场的反应看，学生对问题 1-4 的回答
很顺利，问题 5、6 学生回答时遇到的困难较大，没有学生能够归纳出较为完整的流程、归
纳出较为严谨的定义，最后教师用大屏幕展示了抽样调查的基本流程：
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为什么学生能顺利地操作抽样调查的具体步骤，但对于提炼流程、概括定义却举步维
艰？除了抽象、归纳、概括、总结需要学生具有较高的思维能力和水平外，这节课学生没有
得到亲自实践的机会是否也有关系？归根结底，统计不应该是“教”出来的，而是“做”出
来的，如果学生没有亲自经历统计的全过程，他对于统计的核心思想——用样本估计总体的
思想的理解就难以深入，甚至是怀疑的．对于抽样的必要性和样本的代表性的理解，样本代
表性的随机原则和适量原则的体会，都不免流于表面．
同样的内容，让学生经历统计活动的全过程的教学过程：
①学生课前以小组为单位，进行了抽样调查．
②在课上，让每组选一名学生向全班汇报本组抽样的方法、抽取的样本的数量、搜集
到的数据，以及根据数据做出的判断．
③教师展示全面调查的结果（借全校数学教师之力在课前针对该问题做了全面调查）．
④各组对比数据、分析比较．学生判断自己的到底是不是简单随机抽样，用抽取的样
本估计总体是否具有科学性和可行性，体会样本的代表性．
由于学生亲自经历了搜集数据、运用数据描述信息，作出推断的全过程，因此，让学
生归纳抽样调查的操作流程和定义就水到渠成了．
4.教学案例——《极差、方差》教学案例（视频）分析
（三）概率论——《 概率初步》
1.教材分析
人教社新版教科书在概率部分的编写做了较大的调整，主要是根据初中生的知识基础
和认知规律，改变概率的呈现顺序以突出试验方法的合理性，帮助学生更好地理解用频率估
计概率的科学性．教材先设计第一节随机事件与概率，运用不完全归纳法总结出概率的古典
定义，即“一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，
事件 A包含其中的 m种结果，那么事件 A发生的概率 P (A) = m/n”；第二节则介绍计算古
典概率的两种具体方法：列表法与树状图法，为学习概率的统计定义打下基础；接着学习另
一种求随机事件概率的方法：用频率估计概率，拓展概率研究的范围．
“25.1 概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念，然后通过掷币问题引出概率
的概念。
“25.2 用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安
排运用这种方法求概率的例题。在例题中，涉及列表及画树形图。
“25.3 利用频率估计概率”一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估
计概率的方法。
“25.4 课题学习 键盘上字母的排列规律”一节让学生通过这一课题的研究体会概率的
广泛应用。
教科书介绍了概率的两种计算方法：用列举法求概率和用频率估计概率．这也就是我们通常
所说的概率的古典定义和统计定义．
2.关于概率教学的几点认识
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（1）随机现象在现实世界大量存在，研究随机现象掌握其规律、利用规律解决实际问
题意义重大。概率论是研究和揭示随机现象统计规律的数学工具。
（2）虽然概率值是精确的，但是必然性与偶然性（随机性）是对立统一的，偶然性中
蕴含内在必然的规律，即便是断定为必然的东西，也存在于大量的偶然现象中。
（3）概率建立在统计量频率的稳定性基础上，统计离不开概率的理论支撑。频率会随
着样本容量的变化而变化，用频率估计出来的概率有时不精确，允许有误差。频率和概率是
两个不同概念，频率与试验的次数有关,而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数,
是随机事件自身的一个属性, 它与试验次数无关. 虽然在统计概率计算中,我们一般用事件
发生的频率去代替概率, 这与实际并不矛盾,就象测定一根木棒的长度一样,人人皆知木棒
有其客观存在的“真实长度”,但用量具去测量,总会有误差,测得的数值总是稳定在木棒“真
实长度”的附近,而得不到木棒的“真实长度”值.事实上,人们一般就用测量所得的近似值
去代替“真实长度”.只不过根据实际要求选择精度不同的量具罢了.这里木棒的“真实长度”
与测得数值之间的关系完全同概率与频率之间的关系一样.
做大量重复试验的目的是为了揭示随着试验次数的增加，频率与概率之差的波动越来
越小，从而让学生相信：用频率估计概率是合理的，估计结果是可靠的．大量重复试验到底
是多少次并没有一个标准，只要频率的波动在可以接受的误差范围内，这时所做的试验总次
数都是可以看成足够大量的．对试验结果的频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念
的一个重要环节．
（4）关于概率定义教学的几点思考
对于概率的定义，教科书是先给出古典定义，然后再给出统计定义．这与历史上概
率定义的发展相吻合，从“简单到复杂”．在教学中，我们不仅要明了这种顺序的设计意图，
而且还要抓住不同定义的特点和思想，以引导学生更好地理解概率．
①古典定义的历史脉络
古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种
多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：
同等可能．16 世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，
即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古
典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到 1812 年，法国数学家拉
普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件 A的概率等于一
次试验中有利于事件 A 的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比．
②古典定义的简单分析
古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适
用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）
条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提．
③古典定义的教学定位
在前面的分析中，我们说“等可能”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概
率思想产生的前提．正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”．因此，“等可能性”和
“比率”是古典定义教学中的两个落脚点．
“等可能”是无法确切证明的，往往是一种感觉，但是这种感觉是有其实际背景的，
例如，掷一枚硬币，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因为它质地均匀；而掷一枚图钉，
“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的，因为图钉本身给我们的感觉就是帽重钉轻．因此，
“等可能”并不要多么严密的物理上或化学上的分析，只需要通过例子感知一下“等可能”
和“不等可能”即可，以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件．
“比率”涉及计算，不过初中阶段的学习还是应该避免复杂和技巧性高的计算，而
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是要让学生明白比率的含义：分子分母代表什么？分子代表“事件 A所包含的基本事件”，
分母代表“所有的基本事件”，因此，“比率”从数量上刻画了事件 A发生的可能性，即概
率．
④统计定义的历史脉络
概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布.伯努利所说：“……
这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即
使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越
多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，
伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”．
事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事
实是一个普遍规律．1919 年，德国数学家冯.米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》
一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现
的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这
一事件的概率．
⑤统计定义的简单分析
虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，但是却给出了一个估计概率的
方法．而且，它不再需要“等可能”的条件，因此，从应用的角度来讲，它的适用范围更广．但
是从数学理论上讲，统计定义是有问题的．
⑥统计定义的教学定位
从直观上讲，统计定义是非常容易接受的，但是它的内涵是非常深刻的，涉及到大
数定律．在初中阶段，我们不可能让学生接触其严格的形式和证明．因此，统计定义定位在
其合理性和必要性是比较恰当的．
3.教学建议
(1)鼓励学生动手实验；“亲自试验”获得的结果能够给学生以真实感和确切感；“亲
自试验”的过程就是感受到这种随机性和稳定性的过程，因此，对于概率与统计的学习，学
生应该有更多的主动权和试验权，在动手和动脑中感受概率与统计的思想和方法．
(2)在科学且真实的基础是选择素材，充分体现概率与生活的联系。借助于“抽签问题”
和“掷骰子问题”、“摸球问题”、“投币实验”、“扫雷游戏题”、“石头剪刀布”等学生熟悉又
易于动手的素材教学。
(3)把握好教学难度。学生不接触概率运算，尤其是概率的乘法，他们只能用列表法
和树形图法计算一些简单的概率问题。因此问题不超过 3步的难度。
(4)注意现代信息技术的应用；可以快速获得较多的实验数据，或者是采用模拟方法进
行实验，用计算器产生随机数.
4.教学案例——《列举法求概率》教学案例分析
在学习概率的统计定义时，教科书先设计抛掷一枚硬币试验，引导学生动手操作，
收集整理抛掷一枚硬币 n次时出现正面向上的频率，结合前面对古典概率的已有认识，体会
频率与概率的联系，从“偶然中蕴涵必然”的角度，认识频率的稳定性，并与历史上科学家
的研究结果对比，感受用频率估计概率的合理性，从而归纳出概率的统计定义．接着，教科
书进一步分析了抛掷硬币和天气预报两个实例，引导学生认识频率与概率的区别和联系，加
深对概率的统计定义的认识，体会它比古典概率更具一般性．
教科书仍旧选择抛掷硬币试验引入概率的统计定义，主要源于以下三个因素：（1）
抛掷硬币实验所需要的条件容易实现，可操作性强；（2）硬币试验历史上积累了大量数据，
更有利于问题的说明；（3）用频率估计概率可以和前两节学习的古典概率相统一，两种不
同的方法求出的是同一个概率，且概率的统计定义比古典定义更具有一般性．
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对于用频率估计概率，人教版教科书的相关描述为“一般地，在大量重复试验中，
如果事件 A发生的频率 m/n 会稳定在某个常数 p附近，那么事件 A 发生的概率 P(A)=p”．概
率的频率定义，反映了在大量重复试验的条件下，随机事件发生的频率的稳定值就是概率的
性质．在教学中，要特别注意避免以下理解：
（1）“频率的稳定值就是概率的估计值”．事实上，频率的稳定值就是概率，但是
在很多时候，我们无法仅从试验中知道频率的稳定值具体是多少．
（2）“随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率”．事实上，定义中的频率
稳定于概率并不是说频率的极限就是概率，而是频率 m/n 依概率收敛于概率．也就是说，只
要 n 充分大，那么频率估计概率的误差就可以如所希望的小．
（3）“用频率估计概率，一定要大量重复试验”．事实上，频率总是可以作为概率
的估计的，试验次数的多少只是影响估计的精度．在有些实际问题中，对估计精度的要求不
同，再加上试验条件的限制（比如破坏性的试验），试验次数是随实际问题而定的．
（4）“必然事件与概率为 1 等价，不可能事件与概率为 0 等价，随机事件的概率大
于 0 而小于 1”．这种说法仅是对于古典概型成立, 随机事件的概率是 0≤P(A )≤1．必然
事件的概率为 1, 不可能事件的概率为 0，但概率为 1 的事件不一定是必然事件,概率为 0
的事件也不一定是不可能事件．例如向平面内投一质点, 该质点落在平面内某点 A 的概率
为 0，落在平面内除点 A 处以外的其他点的概率为 1，但它们是随机事件．
教材将概率的频率定义放在了古典定义之后是符合学生的认知规律的．借助熟悉的古
典概型，从频率角度探讨，让学生感受到用试验的方法是有效、科学、合理的，最后推广到
任意随机试验上，学生接受起来顺理成章．
案例 1： 问题 2：怎样用频率估计概率？
1、抛掷一枚硬币正面（有数字的一面）向上的概率是二分之一，这个概率能否利用刚
才计算命中率方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢？
设计意图：已知概率的情况下引入试验，基于以下原因：（1）抛掷硬币试验所需条件容易
实现，可操作性强；（2）硬币试验历史上积累了大量数据，更有利于问题的说明；（3）用
频率估计概率可以和前两节学习的概率的古典定义统一，两种不同的方法求得的是同一个概
率，且概率的统计定义比古典定义更具一般性.
2、试验一（掷硬币试验）（配合亲切童声播放）
全班共分 8个小组，每小组 5人，共抛 50次，推荐组长一名，组长不参与抛掷.
（1）抛掷要求：①抛掷时请将书本文具收入课桌内；②两人一组合，完成 25次抛掷，
一人抛一人画“正”记数，抛掷一次划记一次，“正面向上”一次划记一次；③抛的高度要
达到自己坐姿的头顶高度，若硬币掉在地上，本次不作记录.
（2）组长职责：①检查组员抛掷是否符合要求；②收集本组数据，把数据录入教师
机中的抛掷情况表. 全班共同填写硬币抛掷统计表（表 3），将第 1组数据填在第一列，第
1、2组的数据之和填在第二列，……8个组的数据之和填在第 8列.
设计意图：①“在相同条件下”使数据更真实有效；②合理分组，可以减少劳动强度，
加快试验速度，同时在培养动手能力与探索精神中，培养团队协作精神.
表 1（个人抛掷情况统计表）
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表 2（小组抛掷情况统计表）
表 3（硬币抛掷统计表）
设计意图：这几个图表的给出可以正确有效地引导学生在有限的课堂时间内高效率地
得到相关的试验数据及整理描述数据，为分析数据作准备. 同时，试验整个操作过程均由
学生参与完成，教师只是作为组织者参与其中，关注学生的投入程度──能否积极、主动
地从事各项活动，向同伴解释自己的想法，听取别人的建议与意见；关注学生在活动中表
现出的实践能力、思维水平、团队意识.
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问题 3：分析试验结果及史上数学家大量重复试验数据，大家有何发现？
3、分析数据
全班填写表 3得到硬币正面向上频率的同时，教师在黑板上绘制折线图，完成后教师提问：
①随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在哪个数字的左右摆动？
②随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在 0. 5的左右摆动幅度有何规律？（学
生从折线图 1中难以发现）
师：接下来，我们增加试验次数，看看有什么新的发现，历史上有许多数学家为了弄
清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次的掷硬币试验.
引导学生关注数学家的严谨，师：还有一位数学家，做了八万多次的试验.
观察频率在 0. 5附近摆动幅度有何规律？
观察折线图 2：
③请大家分析，两个折线图反映的规律有何区别？什么原因造成了不同？学生得出：图
一，试验次数少一些，“正面向上”的频率在 0. 5左右摆动的幅度大一些.
④你们认为出现的规律与试验次数有何关系？（试验次数越多频率越接近 0. 5，即频率
稳定于概率.）
⑤数学家为什么要做那么多试验？
⑥当“正面向上”的频率逐渐稳定到 0. 5时，“反面向上”的频率呈现什么规律？概
率与频率稳定值的关系是什么呢？
师生共同小结：至此，我们就验证了可以用计算罚篮命中率的方法来得到硬币“正面
向上”的概率.
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设计意图：这六个问题的设置，循序渐进，促使学生更深入的分析数据，学生发现大
量重复试验时频率稳定于概率，在头脑中再现了知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习
成为一种再创造的过程.
三、《统计与概率》知识领域的中考试题赏析
（一）命题与教学的关系
1.命题应该建立在准确解读课程标准的基础上，合理检测学生的四基（基础知识、基
本技能、基本数学思想、基本活动经验）。
例 1、某市电信局对计算机拨号上网提供三种付费方式供用户选择（每个用户只能选
择其中一种付费方式）：甲种方式是按实际用时付费，每小时付信息费 4元，另加付电话费
每小时 1 元 2角；乙种方式是包月制，每用付信息费 100 元，同样加付电话费每小时 1 元 2
角；丙种方式也是包月制，每月付信息费 150 元，但不必另付电话费，某用户为选择适合的
付费方式，连续记录了 7天中每天上网所花的时间如下（单位:分钟） ：
62, 40, 35, 74, 27, 60, 80
根据上述情况，该用户选择哪种付费方式比较合算？请你帮助选择，并说明理
由（每月按 30 天计算）.
本题可以设计了一个任务，要求学生自主解决，从学生的解答中观察学生是否能主动
地从统计的角度思考问题，是否掌握用样本估计总体的思想.，强化对于统计意识的考查。
2.试卷中甄别行试题往往略高于课本习题，在脱胎于课本习题的基础上有所拔高。
例 2（2012 仙桃）小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随
机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，
“布”胜“石头”，相同的手势是和局.
（1）用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少？
（2）如果两人约定：只要谁率先胜两局，就成为游戏的赢家. 用树形图或列表法
求只进行两局游戏便能确定赢家的概率.
本题对概率计算的考查侧重于对概念的理解，第一问考查列举法求概率，而第二问在
前一问的基础上，考查学生对等可能性的理解，较好地考查了概念。
（二）试题对课程标准的“敬畏”
试题对课程标准中的课程内容实行重点内容重点考查，是为“敬”；而严格按照能力层
级要求设置问题，则为“畏”。
例 3：（2011 南京）某校部分男生分 3 组进行引体向上训练，对训练前后的成绩进行统
计分析，相应数据的统计图如下．
2
4
6
8
10
12
0
第一组 第二组 第三组 组别
6
5
3
99
11
训练前
训练后
①
训练前后各组平均成绩统计图
训练后第二组男生引体
向上增加个数分布统计图
10%
50%
20%
20%
增加 8个
增加 6个
增加 5个
个数没有变化
②
平均成绩（个）
⑴求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；
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⑵小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数没
有变化的人数占该组人数的 50%，所以第二组的平均数不可能提高 3 个这么多．”你同意小
明的观点吗？请说明理由；
⑶你认为哪一组的训练效果最好？请提出一个解释来支持你的观点．
引导学生用数学的眼光看问题，用数据说话是教学的核心目标之一，本题做到了这一
点。
（三） 试题对教学的正确导向
统计与概率作为近年各地中考必考内容，围绕课标所涉及内容不断加强考查，出现了
许多体现课改理念、切合教材实际的典型好题，对实际课堂教学具有很好的导向性。
例 4（广州）下列说法正确的是（ ）
A “明天降雨的概率是 80%”表示明天有 80%的时间降雨
B “抛一枚硬币正面朝上的概率是 0.5”表示每抛硬币 2 次就有 1 次出现正面朝上
C “彩票中奖的概率是 1%”表示买 100 张彩票一定会中奖
D “抛一枚正方体骰子朝上面的数为奇数的概率是 0.5“表示如果这个骰子抛很多很
多次，那么平均每 2次就有 1次出现朝上面的数为奇数
本题重点考查学生头脑中的随机观念和对概率意义的理解，只有弄清“某事件发生的
概率是
m
1
，也并不意味 m 次随机实验，事件必然会发生 1次”这个道理，才能快速准确解
答此类问题。教学中应该通过学生熟知的大量实际问题帮助学生形成随机观念，加深对概率
内涵的理解，思想方法对学习的引导在这里尤为重要。
例 5（武汉）在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面
积。进行了大量的树木移栽。下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵树：
移 栽
棵树
100 1000 10000
成 活
棵树
89 910 9008
依此估计这种幼树成活的概率是 （结果用小数表示，精确到 0.1）．
本题通过“树木成活率”考查统计频率与理论概率之间的关系，考查学生对“实验概
率稳定于理论概率而又不等于理论概率”的理解。对实际教学的导向则在于教学中应该鼓励
学生动手实验，通过观察大量重复实验的结果，看频率是否稳定于某个常数（即统计概率），
再利用这一结论去解决问题。
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