初中数学统计与概率内容分析与建议

1 《统计与概率》内容分析与建议 按照义务教育《数学课程标准》的设计思路，在各学段中都按排了四 个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与 实践”。今天我们将一起分析“统计与概率”的教学内容、目标，共同探讨 相关的教学策略。 “统计与概率”的教育价值（插入 PPT2）在于：有助于学生适应现代 社会的需要； 有助于培养学生形成运用数据进行推断的思考方式； 有助于 学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。因此，作为四部分并 列内容之一，“统计与概率”在新课程中得到了较大重视，其中统计是这部 分内容的重点，统计的核心是数据分析。 “统计与概率”的内涵 1、统计的定义（插入 PPT3） 我们来看统计学的定义：“统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术”。 定义中有三个核心词： 第一，数据。 首先我们要区分数据与数。“数据”和“数”的区别是：数据应有实际 背景，而“数”并不一定。例如：20、 20 米，无论其是否带有单位名称， 它们充其量只不过是个数，带有单位名称的我们叫它名数。这些数要想成为 真正的数据，必须将其放在具体的情境中，赋予它实际的意义。例：楼与楼 之间的间距是 20 米。这时，20 米才有其作为统计量的研究价值。统计正是 要通过对这些数据的处理来提取信息，从而帮助人们进行决策。说简单点， 数据是信息的载体，随着信息的迅速增长，我们需要扩大对数据的认识。事 实上，现在“数据”作为信息的载体，（插入 PPT3）包括数，也包括言语、 信号、图象……凡是能够承载事物信息的东西都构成数据。 第二，收集和分析数据。 运用统计处理数据的步骤（插入 PPT4）一般包括：确定需要解决的问题； 决定收集数据的方法并收集数据；整理并尽可能清晰地描述数据；分析数据， 并做出决策和推断。由此可见统计的核心是数据分析。 第三，科学和艺术。 统计学有其科学的一方面，但也有艺术的一方面（插入 PPT5）。对于同 样的数据，由于背景和目标不同可以有多种分析的方法，需要根据问题背景 2 选择合适的方法。也就是统计的方法没有简单意义上的对和错，只有“好” 和“不好”。 2、统计与概率的关系 最初统计工作的目的就是了解统计对象的概况、现状和趋势，所涉及 的数学方法几乎都是算术的知识。处于这个水平的统计工作存在着一些很明 显的缺陷，其中重要的一条是它必须观测统计对象的每一个个体（也就是必 须研究总体，而不能抽样）。随着科学技术的进步和社会的发展，现实世界 中的数量关系越来越复杂，人们不可能也没有必要将涉及某一数量关系的所 有数据都收集到，而经常会根据部分数据对总体所具有的规律做出“推断”， 为了使这种推断科学化，就需要概率来帮忙了。（插入 PPT6） 概率是从数量上研究随机性的学科，它从偶然性因素和影响中寻求必然 的数量规律，并对这些偶然性影响给以数量的刻画和分析。 实际上，统计与概率都是研究随机现象的学科。“不论怎么说，机遇（或 说偶然性)无所不在，机遇伴随着人的一生(当然随人的情况而有异)，这是一 个无法回避的现实”1。（插入 PPT7） 统计与概率正是从不同的角度研究 如何刻画随机现象，统计侧重于从数据来刻画随机，概率侧重于建立理论模 型来刻画随机。 初步了解“统计与概率 ”的关系之后，我们到《数学课程标准》中去， 看一看新课标对这部分教学内容的安排有什么变化。 一．总体把握课标对《统计与概率》的教学要求 （一)新课标中关于“统计与概率”的内容结构 与课程标准实验稿相比，小学“统计与概率”的内容结构在课程标 准中有较大的变化，即在第一学段内容大大减少，只保留 条要求。（插 入 ）概括起来讲：主要是学会分类、会进行简单的数据收集与 整理；第二学段分为“简单数据统计过程”和“随机现象发生的可能性” 两部分，共 条（插入 ）。这样调整的原因有，一是在实验过 程中原来第一学段对于统计与概率内容的要求，按照学生现有的理解 水平，学习有一定困难，教学设计与实施也有很大难度。二是在内容 上与后面两个学段也有较多的重复。因此，较大幅度降低了第一学段 统计与概率学习内容的要求，对后两个学段的内容也做相关的调整， 1 陈希孺.机会的数学[M].北京：清华大学出版社，广州：暨南大学出版社，2000：3 3 如中位数、众数等内容从第二学段移到第三学段。这样使小学统计与 概率的内容与初中在学习的要求上有明显区分，在难度上也表现一定 的梯度。概括起来来讲，《新课程标准》小学“统计与概率”的课程内 容主要由（插入 ）数据分析观念与简单数据分析的过程﹑数据 分析的基本方法﹑数据的随机性和随机现象及简单随机事件发生的 概率构成。在教学中，我们要通过让学生参与在简单问题中收集和处 理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，初步认识统计与概率 的基础知识和掌握统计数据的基本技能。 （二）新课标下，关于“统计与概率”的教学策略（插入 ） 策略 1、抓住一个核心概念——数据分析观念 在《课程标准》中，将数据分析观念解释为（插入 ）：“了 解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析 做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种 分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体 验随机性，一方面，对于同样的事情每次收集到的数据可能不同；另 一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的 核心。”这段表述点明了两层意思，一是点明了统计的核心是数据分 析。即“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、 图象，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计学就是通过 这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术。 ”二是点明了（插入 ）数据分析观念的三个重要方面的要求：“体会数据中蕴涵着信 息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。” 基于这些阐述，为使学生树立数据分析的观念，教师最有效的 方法就是让他们投入到数据分析的全过程，掌握数据分析的过程。使 学生在此过程中，不仅学习一些必要的知识和方法，同时还将体会数 据中蕴涵着信息，提高自己运用数据分析问题、解决问题的能力。 策略 2 把握“统计与概率”教学的 4条主线： 第一条主线：经历数据分析的过程（插入 ） 数据分析的过程包括：收集数据、整理数据、描述数据和分析数据。根 据课标的要求，在第二学段中学生就要经历一个较完整的数据分析的过程。 《课程标准》各个学段都举了对全班同学的身高进行分析的例子， 并且鼓励学生把每年测量身高的数据保留下来，根据不同学段的特点 4 对数据进行整理、描述和分析，提取信息，从而经历数据整理的过程。 具体阐述和要求如下。 我们每年都要测量学生的身高，这为学习数据收集提供了很好的 资源，因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段，根据不同学段的 学生特点，要求可以有所不同。（插入 ） 第一学段：对全班同学的身高进行调查。主要让学生感悟这些 信息，而在提取信息的数量上并不是要求非常高，关键是可以从数据 中得到一些信息，如学生会发现，我们班谁最高、谁最矮，谁比谁高 多少，最后让学生意识到数据就是信息，并让学生把测量身高的数据 保留下来，养成保存数据资料的习惯。 第二学段：对全班同学的身高的数据能进行整理和简单分析。 如在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的数据进行整理 和分析。在这个学段中，要求小学生结合以前积累的身高数据，进行 进一步的整理，然后进行分析。整理的目的是为了便于分析。如条形 统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有 利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统 计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化 趋势。学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身 高在全班的什么位置。显然这个要求又有所提高。 当然，到了第三学段的要求将更高。不再赘述。 第二条主线：掌握数据分析的方法（插入 ） 一般数据分析可以分为描述性统计分析和推断性统计分析。小学数据分 析的基本方法主要依据描述性的统计分析，使学生掌握收集数据的方法，整 理、描述、分析数据的方法，读统计图的基本方法及平均数的分析方法。 1、收集数据的方法（插入 ） 在收集数据方面，所涉及的数据可能是全体的数据（总体数据），也可 能是通过抽样获得的数据（抽样数据）。《课程标准》指出，在小学第一、第 二学段，学生收集的数据，基本上都是总体数据，其中收集数据的来源有两 种，一种是现成的数据，另一种是需要自己收集的数据。在义务教育阶段两 种数据来源都应让学生有所体验，特别是对自己收集的数据，常用的数据收 集方法包括调查、试验、测量、查阅资料等。在第二学段提出“会根据实际问 题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”， “能从报纸、杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息”。学生可以 用自己喜欢的方法收集数据，在教学中教师应当引导学生用比较科学合理的 方法收集有效的数据。在经历收集、整理数据的过程中，逐步使学生了解数 据的重要性。 5 2、整理、描述、分析数据的方法（插入 ） 当学生收集了一些数据以后，这些数据往往看起来有些杂乱，这就需要 来整理数据，在不损失信息的前提下，对看起来杂乱的数据要进行必要的归 纳和整理，然后把整理后的数据运用统计图表等直观地表示出来，并加以适 当的分析，为人们作出决策和推断提供依据。因此整理、描述、分析是数据 分析的又一方法。 （1）整理数椐。整理数椐是指，教师在教学中，首先对看起来有些杂乱 的数据进行必要的归纳，然后鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数 据中提取有用的数据，进行分类、排序。因为分类是对数据进行整理的重要 的手段，也是整理数据的开始，在此基础上，再用自己的方式（文字、图面、 表格等）呈现整理数据的结果。 （2）描述数据。呈现整理数据的结果是描述数据，这里需要指出的是， 描述数据的内容不是原来在第一学段要求学生学一些条形统计图和平均数， 即不学习正式的统计图表或统计量。现在《课程标准》中提出，学生在第一 学段不用过早地去学习这些描述的方法，而是用自己比较正规的，用自己的 方式来把这些数据统计表示出来，这并不代表对统计过程的要求有所降低， 它主要是鼓励学生先自己想办法，去呈现自己整理数据的结果，而不是使学 生较早地陷入到单纯学习知识中。这也有助于学生建立进一步学习的经验和 兴趣，并在此基础上“通过对数据的简单分析，体会运用数据进行表达与交流 的作用，感受数据蕴涵的信息”。 （3）数据分析。在整理、描述数据的基础上，在第二学段将对数据进行 简单的分析，即学习条形统计图、扇形统计图、折线统计图等常见的统计图， 并能用它们直观、有效地表示数据。如《课程标准》中例 38的说明中指出： “条形统计图有利于直观了解不同高度的学生数及其差异；扇形统计图有利于 直观了解不同高度的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直 观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。”因此，需要根 据问题的背景选择合适的统计图对对数据进行分析。 3、读统计图的方法 由于学生在第二学段将学习常见的条形统计图、扇形统计图和折线形统 计图，并且能够用它们直观有效地来表示出数据，即用图形表示数据的统计 方法，因此读统计图是数据分析的一个重要方法。 Curcio (1987)把学生对数据的“读取”分为三个水平：（插入 ） ①数据本身的读取(reading the data)，即直接能够从统计图中获取有关信 息，包括用能够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有明显的答 案。如读一个条形统计图，直接就能看到喜欢红色的有多少人，喜欢蓝色的 6 有多少人。 ②数据之间的读取(reading between the data)，即不仅要关注一个一个的 数据，还要关注数据之间的关系，包括插入和找到图表中数据的关系。如做 比较（如最多、最少，比较好、最好、最高、最小等）和对数据进行操作（例 如，加、减、乘、除）。 ③超越数据本身的读取(reading beyond the data)，包括通过数据来进行推 断、预测、推理，并回答具体的问题。 受上述框架的启发，我们可以从以下几个方面引导学生进行读图。（插 入 ） 第一，要读统计图表中能直接看见到或简单推理能得到的信息。包括： 单个数据的多少，数据的比较（多少、倍数、百分比等）。 第二，要读统计图表中蕴含的信息。包括数据的整体变化（最大、最小、 平均情况、变化情况、偏差、极端数据）。可以鼓励学生看一看极端数值，去 思考这个极端的数据可能说明了什么，因为极端数据往往可能会反映一种很 有意思的现象，或者有时候会提醒极端数据的出现是不是在收集数据中出现 了什么问题等。 第三，对统计图的解释。数据是含着信息的，人们光看见了数据还不够， 还要尝试去解释它。包括统计图表的名字和图标（这个统计图表是用来说明 什么问题的），为什么数据会呈现这种情况，统计数据能否回答开始提出的问 题，能否解决其他问题，能否进行预测。注意的两点：第一，预测需要基于 数据。对于脱离数据进行“预测”的学生，要引导他用数据说话，虽然这个 预测也有可能，但可能性不会大；第二，有时候为了更合理地预测，需要我 们收集更多的数据。 第四，更进一步，就是评价意识。不仅要去阅读图表，还要对统计图表 中的指标、收集数据的方法、统计图使用的是否合理、得出的结论是否有道 理等进行评价。 4、平均数的分析（插入 ） 第二学段还将学习一个重要的刻画数据集中趋势的统计量——平均数。 这也是课标修改后，小学阶段学习的唯一的一个统计量。 关于平均数的学习，《课程标准》强调要从三个角度理解平均数。 （插入 ） 一个是算法理解，就是计算某些数据的平均值。求所有数据的总和除以 7 数据的总个数=平均数。 二是概念理解，一般情况下是比最小的要大，比最大的要小，是介于两 个数值之间的数值。 三是统计理解，即不仅要从概念上理解平均数，更重要的是理解平均数 的价值，它在人们获取信息，作出判断决策中起着重要的作用。 对于数据分析教学，概念理解和数据理解是非常重要的。有人做过调查， 学生学习了平均数并会进行计算，但遇到真正的数据需要分析时，他们却很 少想到用平均数。所以说，平均数教学关键之一是培养学生的数据分析观念， 要让学生深刻理解平均数的这个统计意义，使他们想到用平均数，愿意用平 均数来刻面数据。要做到这一点，在教学中就要适当地设计一些现实实 践活动案例，将课程内外结合起来。关于平均数教学设计我们来看一段 视频。（插入视频） ｛下面是的体会平均数的意义和价值的案例，学生在学习了平 均数后，师生共同讨论了以下的三条信息。 利用节约用水信息深入理解平均数的意义。（插入 ） 师：我这也有条信息，我们一起看看。 出示：节约用水图。 师：为什么要节约用水？（根据学生回答评价学生的节能意识） 那我们来看看我们国家酌淡水情况。 出示：我国淡水资源总量为 亿米 ，仅次于巴西、俄罗 斯和加拿大，居世界第 位。 师：找一名同学读一读。看到这条信息你有什么感觉？ （学生可能产生疑问：水并不少，世界 多个国家，我们排第 名。） 我们再来看看下面这条信息。出示：我国人均水资源只有 米 ，在世界上名列第 位，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。 师：请大家静静地读一读这条信息，你又发现了什么？ （这里让学生通过名次下降再次提出对平均数的理解。“贫乏” 这个词是什么意思？有那么多水，怎么用“贫乏”来形容我们国家呢？） 总结：言之有理，看来同学们对平均数的理解越来越深刻了， 光比总量是不行的，还要看我们的人均水资源。好，那对于我们国家 来说，就更应该去节约用水了。 ．出示：儿童乘车免票线“长个”了的标题。（插入 ） 师：你知道什么叫“儿童乘车免票线”吗？ 8 没错，就是这条线，我们来看看（图略）。市发改委与相关部门 研究决定，将北京市六岁以下儿童 米乘车免票线提高到了 米。 师：为什么要提高？ （学生自然会想到：孩子们都长高了。） 师：怎么去确定这个标准的呢？ （学生可能会回答：可以调查一下。） 师：调查谁？如果数据来了，有高的、有矮的，如何处理？ （这里要明确调查六岁儿童的身高，渗透抽样调查的想法。学 生结合平均数的理解，回答调查完了可以计算平均数。） 师：总结：你们真了不起，既能准确理解平均数的意义，又能 想到可操作的办法。那我们一起看看实际是怎样做的。据统计，目前 我市六岁男童身高的平均值为 厘米，女童身高平均值为 厘米。 和你们想的一样，市发改委就是参照了我市六岁儿童的平均身高，才 确定了免票线的高度。看来，这平均数的作用真是不小，连确定免票 线的高度都可以参照它。 ．那你们能利用平均数帮我判断一件事情吗？（插入 出示：据统计，周一至周五晚高峰时，平均每小时需要通过 号 桥的车辆为 辆，需要通过 号桥的车辆 辆（两个桥的宽度等条 件差不多）。王老师回家这两条路都可以，并且驾车路程差不多。你 们觉得我走哪好？那我走那一定快吗？为什么？ （学生建议教师走 号桥，但偶尔也不一定快。） 总结：同学们理解得很好，平均数可以用来作参考，但是它反 映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况。 由于理解平均数有三个角度：算法理解、概念理解、数据理解。 因此，对于数据分析教学，概念理解和数据理解是非常重要的。在上 面的案例中，第一个信息，首先提出我国为什么要节约用水，引发学 生思考，然后出示我国的淡水资源情况，使学生体会我国的淡水总量 很多，世界排第四位，最后出示我国人均水资源的情况。使学生体会 到在水资源这个问题上，我们光看总量不能说明问题，还要看人均水 资源，从而体会了平均数的价值。第二个信息，儿童乘车免票线问题。 不但使学生能再次体会平均数的价值，而且还渗透了抽样的想法。第 三个信息，走哪条路，学生根据平均需要通过的车辆，帮助老师选择 路线并且进行分析。在这一过程中，学生可以体会到，一方面平均数 可以用来作重要依据；另一方面它反映的只是一般情况并不排除某种 特殊情况，从而既体会平均数的意义，又体会了数据的随机性。通过 这三个案例不仅说明平均数的使用价值，也说明只有在现实生活中才 能有效培养学生数据分析的意识。｝ 9 第三条主线：体会数据的随机性 《课程标准》将数据随机性作为数据分析观念的内涵之一，提出数据的随 机性主要有两层含义（插入 ）：一是对于同样的事情每次收集到的数 据可能会是不同的；二是只要有足够的数据就可能从中发现规律。 如《课程标准》中的例子（例 40）：袋中装有若干个红球和白球，一方 面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放 回重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到的球的颜色 的数据中就能发现一些规律，如红球多还是白球多．红球和白球的比例等。 从而让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从 中得到很多信息。 需要我们注意的是，《课程标准》对小学和初中教学随机性的要求是不同 的。如对上面提到的摸球游戏，第二学段要求“通过摸球，学生发现每次摸出 的球的颜色不确定，初步感受数据的随机性。进一步通过统计摸出红球和白 球的数量，可以估计袋中是白球多还是红球多。在不确定的基础上，体会规 律性。”而到了初中还要估计不同颜色球的比例等。 第四条主线：分析随机现象及简单随机事件发生的概率 （1）随机现象的特点。（插入 ）在义务教育阶段，所涉及的随 机现象都基于简单的随机事件：所有可能发生的结果都是有限的，每个结果 发生的可能性也是相同的。 （2）对于随机的学习，（插入 ）《课程标准》中也提出运用数据 分析来体会随机性。而且从第二学段开始《课程标准》才安排了随机现象发 生的可能性的学习，并且要求学生是“在具体情境中，感受简单随机现象的实 例”，感受其在相同的条件下重复同样的试验，其试验结果不确定，以至于在 试验之前无法预料哪一个结果会出现。在此基础上“能列出简单的随机现象中 所有可能发生的结果”，“能对一些简单的随机现象发生的可能性大概作出定 性描述”。这里所涉及的随机现象显然具有如下特点。一是问题情境比较简单 （类似于《标准》案例 41）；二是学生能够直接列出所有可能发生的结果， 并且感受到每个结果发生的可能性是一样大的；三是学生能够通过数据分析 描述事件发生的概率。 （3） 分册教材分析，探究教学方法 1、统计与概率的教学原则（插入 ） 为了实现“统计与概率”的教学目标，在教学中应注意遵循以下原则： 第一，应把统计与概率思想作为义务教育数学课程的主线之一，尽早把 10 随机的思想渗透到教学中。当然统计与概率的教学必须符合学生的年龄特征， 采取循序渐进的方式。透过现象 看本质，参透辩证唯物主义观。事情是发展 的，发展是有规律的。一般与特殊的关系等等。 第二，应鼓励学生经历收集、整理、分析数据的全过程，体会统计与概 率的基本思想和方法。这是让学生接受统计特有观念最有效的方法。 第三，应通过选择现实情景中的数据，使学生理解概念、原理的实际意 义；着重于对现实问题的探索，解决一些实际问题，使学生认识到统计与概 率在日常生活及各学科领域中的广泛应用。 第四，教学中，应强调运用计算器来处理复杂的数据，以使学生有更多 的精力来处理更为现实的问题。对于有条件的地方，要充分开发和利用计算 机的作用，发挥其在处理数据和进行概率模拟实验中的作用。 第五，统计与概率的内容和其他数学领域的内容有着紧密的联系。这部 分课程的教学，应为发展和运用比、分数、百分数、度量、图象等概念提供 活动背景，为培养学生综合运用知识解决问题提供机会。同时，要引导学生 注意概率与统计之间的联系。统计过程不只是纯数字的运算，学生应初步体 会其中所蕴含的随机性；而很多事件发生概率的获得是建立在大量数据统计 的基础上的。 2、分册例题分析（见资料）（插入ＰＰＴ３３-----70） 二．问题探讨： 1、用随机的观点看随机现象的实验设计插入ＰＰＴ71 在统计与概率教学中，鼓励学生动手操作做实验已经得到了广大教师 的共识，在不少的课堂中可以看到教师们设计了多种实验供学生操作。在这 里，我们要明确实验的目的，不是通过实验去验证概率是多少，而是通过实 验从数据中获取信息，对总体做一些推断。 下面我们运用“体会数据随机”的想法来看“摸球实验” 如何在课堂中设计合理的实验落实“体会数据随机”的目的呢？一个好的切入点是对 目前课堂教学中的实验加以分析，看看哪些实验的设计是合理的，哪些还需要进一步的思 考和改进。下面是笔者收集到的有关案例，并且加以了分析，以求能给教师以启发。 1．第一类：“验证”类 下面是一个五年级的课堂教学片段： 老师拿出一个盒子，盒子里有 9个白球、1个黄球。如果从中任意摸出 1个球，可能 是什么颜色的球?摸到白球的可能性有多大，黄球呢？ (学生略做思考后交流。) 生 1：可能摸到白球，也可能是黄球。 生 2：摸到白球的可能性是 9/10，因为有 10 个球，其中 9个是白球。 11 （大家都表示同意） 师:好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，验证一下大家的想法。 本活动的目的是验证摸到白球的概率是否为 9/10，如前所述是不提倡的。因为学生 完全可以通过分析推理得到摸到白球的概率，他们产生不了做实验的需求。如果做了实验， 摸到白球的频率往往不是 9/10，学生反而产生困惑，当然也体会不到数据的作用了。 2．第二类：“体会随机”类 看下面的一个二年级的课堂教学片段： 组织小组活动：盒子里有 3个黄球、3个白球。每次摸出 1个，摸之前先猜猜你会摸 到什么颜色的球?每次你都猜对了么? 活动结束时，老师询问:有没有每次都猜对的同学?(全班只有 2人举手。) 师:为什么我们那么多的同学都没有猜对呢? (此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。) 生 1:黄球和白球摸在手里的感觉不一样! 师:(饶有兴趣地)真的吗?让我们见识一下! 生 1:(摸出一球，没看前猜测)黄色! (拿出后是白色，生 1低头坐了下去。) 师:怎么不试了? 生 1：没有信心了。 师:怎么就没有信心了? 生 1:摸在手里分辨不出来. 生 2:我发现了，如果第一次摸出来的是黄球，第二次就猜是白球，是交错出现的。 师:你刚才就是这样猜的，结果都对了吗? 生 2连连点头。 师(半信半疑地)：还有这个规律?摸 1个! (生 2 摸出 1个白球，放回。) 生 2:第二次一定是黄球。 (第二次生 2果真摸出一个黄球。) 师：看来，下次…… 生 2:第三次该是白球了! (第三次生 2摸出个黄球。) 师:这个规律还成立么? 学生们直摇头。 12 师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么? 生:盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可能是黄球，也可能是白球. 这个案例乍一看和上面的案例一样，都是摸球，但仔细分析目的是不一样的。这个实 验的目的是使学生体会不确定性，即事先无法确定实验的结果。其实，学生对于不确定性 的认识并不是一帆风顺的，学生们总是希望找到“确定”的结论。有的学生认为可以凭手 感判断段结果，有的学生把球放在固定的地方从而“破坏”随机，有趣的是还有的学生通 过几个数据的黄白相间规律就去推断整体是这样的。学生出现这些想法是正常，逐渐消除 学生存在的误解正是教学的目标之一。而最好的办法就是让学生亲自实验，案例中教师正 是运用了这一策略。 3．第三类：“推断”类 上面已经举过这样的例子，对于这样的活动是在课程标准修订中大力提倡的，即通过 数据来进行推断。这里不妨举一个自己所做的学生调研的例子。在课程标准修订刚刚提出 “体会数据随机”的想法后，本人在东北师范大学附属实验小学 3，4，5，6年级各随机 抽取了 1个学习小组，进行了调研。教师在袋中事先放好 5个球，4个黄球和 1个白球。 这些球除颜色外都相同，教师不告诉学生袋中球的情况。然后，以小组为单位，鼓励学生 共同解决如下的问题： （1）如何在不打开袋子的前提下，估计袋子里是黄球多还是白球多。 （2）如果可以通过摸球估计袋中球的情况，你们觉得需要摸几次？ （3）多次有放回的摸球，每次统计此时摸出各种颜色球的数量，这时你们估计袋中 是白球多还是黄球多。 讨论后，教师打开袋子，让学生看看袋中实际的状况。 限于篇幅，这里只概括描述学生回答问题的结果和一些片段。 对于第（1）个问题，所有小组都可以通过讨论想到摸球的办法，通过摸出的球的情 况来估计袋中是黄球多还是白球多。难得可贵的是，当教师在摸完后追问学生“本来可以 打开袋子直接看看就可以知道哪个颜色的球多，为什么还要讨论通过摸球估计袋中是黄球 多还是白球多呢”，一个 5年级的学生回答道：“有时侯球太多看不清楚或者无法数出来袋 中到底是几个球时，这就需要摸球了。” 在回答第（2）个问题时，出现了一个有趣的现象，虽然所有的学生都认为不能摸一 次就进行估计，但随着年级的升高，并没有出现觉得应该摸得数量多一些的情况。在 4 个学习小组中，3年级学生认为需要摸 15 次；4年级学生认为需要摸 5次；5年级学生认 为需要摸 12 次；而 6年级学生认为摸 4次就可以了。 13 在回答第（3）个问题时，大部分小组都能够根据数据做出合理的推断，并且能够说 明自己的理由。比如，3年级学生当 15 次摸球的结果是摸出 10 个黄球和 5个白球时，四 个人一致推断袋中黄球多。一个同学表达了理由：“因为数量多摸出的可能性就大，现在 是黄球摸出的多，就可以判断是黄球多”。显然学生根据数据进行了合理的推断。接着教 师询问：“那么是否有可能袋中白球多呢”，3个学生回答不可能，有一个学生给出了很好 的补充：“我补充一下，即使是白球多，可能性也很小”，大家都表示了认同。有趣的现象 出现在四年级，他们摸的次数只有 5次，摸出了“3个白球和 2个黄球（实际摸球情况是 白，黄，黄，白，白）”的“相反”情况，当教师询问他们此时的估计时，他们产生了分 歧： 生 1：白球多。 生 2：不一定。（生 3附和） 生 4：黄球多。 生 1：我认为就是白球多，你看看那些摸出来的球呀。 （教师希望能引起大家对他的回答的注意，但没有起到作用） 生 4：我根据奇偶性来判断，奇数+奇数=偶数。假设盒子里的球是奇数，拿出来的是 奇数，剩下的一定是偶数。摸出来又放回去了，说明了盒子里的球还是奇数。 （学生的回答似乎并没有指向要思考的问题，并且思考过程也出现了局部“混乱”。 老师提醒他现在讨论的问题） 生 4：黄球和白球一个是奇数一个是偶数，奇数和偶数就应该相差 1（错误的认识， 所以也可能是黄球多。 生 3：我认为一样多。 （教师提示此时摸得次数少，是否可以再摸几次，但没有引起学生的注意。） 由上面的回答不难看出，在测试的 4个学习小组中，学生对于“随机”的经验并没有 随着年级的增长而增长；并且结合问题（2）的回答，学生对于实验次数增加会提高推断 的可靠性的认识的经验是比较缺乏的。 虽然以上只是一个小实验，样本也很少，但可以初步看出，学生已经有了通过摸球实 验进行推断的经验，并且能够根据数据进行合理的推断，由此可见标准修订中的想法是有 可能在小学中实现的，当然这还需要进一步的研究。同时，学生在此过程中到底能体会到 什么程度，他们的困难是什么，还有哪些好的学习素材，都需要大家进一步的思考与实践。 4．第四类：“运用频率估计概率”类 14 有的教师在课堂中创设了如下的情境 2 ：父亲和儿子决定谁去看奥运会男篮决赛。但 是，与过去教学不同，使用决定是否去的工具并不是硬币，而是啤酒瓶盖。 师：举世瞩目的北京奥运会圆满地、无与伦比地结束了。去过北京，现场看奥运会的 请举手。没有人，的确，就是北京当地的人也买不到奥运会的门票。我有一位朋友，知道 我当年是学校篮球队的队长，就专门帮我找了一张男子篮球决赛的门票。（出示篮球票） 只有一张。我儿子也是个篮球迷。孔子说：“己所不欲，勿施于人”。怎么办呢？饭桌上， 我和儿子商量。我儿子看到桌子上有一个啤酒瓶盖，就说：“爸爸，我们抛啤酒瓶盖吧。 如果正面朝上就我去，如果反面朝上就您去。”我说：“儿子，什么是正面朝上？什么是反 面朝上？”（出示瓶盖正、反面图片，并标注“正——儿子、反——爸爸”）你们想一想， （板书：问题）这个办法好不好？认为好的举手。 （学生纷纷举手表示认可。） 师：为什么好？谁能说一下，你是怎么想的？ 生 1：我觉得是靠命运决定的，所以公平。 生 2：我认为是公平的，因为儿子的机遇是二分之一，爸爸的机遇也是二分之一。 师：二分之一，就是这个瓶盖抛起来的时候，可能是正面朝上，也可能是反面朝上， 只有两种可能，（板书：可能性）并且抛一次的话，一定会有一面朝上。所以说这是公平 的。有没有不同的想法？ 生 3：我认为在现实生活中会有所争议，因为啤酒瓶盖打开过，会有一定的折痕，会 影响最终的公平性。 师：你想的很好，不过我们选的啤酒瓶盖如果就是平的，好像就没问题了。用抛啤酒 瓶盖的办法，刚才大家都说好了。现在在他的启发下，有没有人认为不好？ 生 4：我认为瓶子盖的反面那一圈是折起来的，这一面的重量会比正面的重量大，所 以爸爸胜的可能性比较大。 师：能用“可能性”这个词很好。同意这个观点的人请举手。 部分同学同意。 师：小结，看来现在有两种意见了。 生 3一直坚持举手，最终获得发言机会：我认为，瓶盖上的锯齿也会影响比赛的结果。 师：经过刚才的讨论，我们发现问题（指板书：问题），用抛啤酒瓶盖的办法来决定 谁去看比赛，究竟公平不公平呢？答案不一致。怎么办呢？ 生 4：做个实验呗。看一下到底有没有问题。 2执教者 北京第二实验小学特级教师 华应龙 15 师：非常好！做个实验来看一看到底公平不公平。（板书：实验）有这样的想法非常 好。实践是检验真理的唯一标准。 以上案例曾经在《小学数学教师》杂志 2009 年 1-2 期合刊上刊登过，在这里为什么 还选择了这个案例呢，一是因为自己收集到小学教学中这方面的案例比较少，而这个案例 确实是亲自看过的，有亲身的感受；二是因为运用频率估计概率，在课程标准小学阶段没 有明确要求，主要是没有足够的研究“证据”表明小学生可以接受，所以设计一个既符合 学生认知特点，又能激起学生兴趣的情境确实是不容易的，而此例无疑较好地体现了这点。 在这个活动里学生做的是“抛瓶盖”的实验。那么，“抛瓶盖”和“抛硬币”有什么 不同呢。我们知道，如果运用的是硬币，由于掷一枚硬币，硬币落下时有两种可能：正面 朝上和反面朝上，并且两种结果是等可能的，所以这是一个古典概率的问题。古典概率的 问题，我们可以有公式计算出某种结果发生的概率，虽然小学不正式学这个公式，但通过 经验并加以分析，学生容易得到正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，此时再让学生做 实验，学生不仅产生不了愿望，并且往往会由于数据（频率）与概率的不一致而产生困惑。 瓶盖虽然落下时也有两种可能，但二者不是等可能的，不符合古典概率的要求，这时我们 可以通过做实验，运用频率去估计概率的大小，从而对正面朝上和反面朝上的可能性进行 比较，这不仅仅使实验变得很有必要，并且能够帮助学生澄清一些误解。面对着儿子提出 的决定方法是否公平的问题，开始时大多数学生都表示了认可。要消除学生的误解，自然 而言需要实验帮忙，于是做实验成了“水到渠成”。学生亲自经历了实验的过程，收集实 验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较，修正了自己的猜测。进一 步，在课堂中教师又利用了形象的比喻“踢毽子”帮助学生分析为什么“反面”朝上的可 能性大，至此教师引导学生们完整经历了：首先猜测结果发生的可能性大小；然后亲自动 手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较；最后 进行理性分析，并与实验结果联系起来。 5．第五类：“体会频率与概率的关系”类 还有的教师设计实验是在已经知道概率的前提下，将频率与概率进行对比，从而帮助 学生体会频率与概率的关系。比如，已经验证一个硬币是均匀的，则任意抛出后，落地时 正面朝上的概率是 1/2，我们设计实验可以使学生体会虽然频率随实验次数的不同而变化， 但大量重复实验时，频率会稳定在 1/2。对于这一目标，课程标准在小学阶段是不要求的， 教师可以对学有余力的学生适当渗透，但不必强求体会。 以上对目前课堂教学中的几种实验的设计加以了分析，希望能引起教师们对于实验设 计目的的思考。当然，对于什么是数据的随机，小学生对此的理解是什么，在小学阶段如 16 何设计好的学习活动促使学生加以体会，使他们真正感受到数据分析的价值，无疑是一个 长期需要不断思考和实践的课题。 问题讨论 2 在数据分析过程中渗透辩证唯物观！（插入 PPT72） 我国著名概率学家陈希孺先生曾经说过这样一句话：“习惯于从统计规律看问题的人， 在思想上不拘执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有一定的规律，也承认例外”3。 四．资源的开发与利用（插入 PPT73） 实际上，应该看到，统计与学生的生活很紧密，我们的教学就是使学生产生对数据 的亲切感，愿意去分析数据提取信息，遇到问题时愿意去收集数据来帮助解决问题。这样 就需要我们进行关于“统计与概率”的课程资源的开发与利用，选择合适的问题，鼓励学 生进行调查、研究，经历一个完整的数据分析的过程，增强对统计与概率知识运用的能力。 我们应从哪些方面进行有关“统计与概率”的资源开发与 利用呢？ 1、选取贴近学生生活的事例，让学生经历数据分析的全过程，提高学习统计知识的 兴趣；教材中有许多这样的题目上，往往也是常被我们忽略的问题：例如： 2、充分利用网络、报刊等资源，寻找社会生活中的数据 ，体验统计的价值所在； 3、在统计与概率的教学中，要有机地渗透国情教育、环保教育、经济理财观念等教 育。 例如：打扑克插入 PPT74-76 电视大奖赛上的评分（插入 PPT77-80） 结束语插入 PPT81 我国著名概率学家陈希孺先生曾经说过这样一句话：“习惯于从统计规律看问题的人， 在思想上不拘执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有一定的规律，也承认例外”4。 这段话把数据随机性的意义和价值揭示了出来。比如在不同商量出售的同种类型的两个产 品，在价格等差不多的情况下，一个商品的次品率高一点、一个次品率低一点，人们会去 次品率低的商店购买。也可能到次品率低的商店反而买到次品了，反而到次品率高的商店 反而买到正品了，但是在没买之前人们还是会到次品率低的商店。有了这样的知识内涵， 人也就会变得乐观，而不拘泥于一时的失利。最后，我们以著名统计学家 C. R. Rao的名 言作为结束语5： 在终级的分析中，一切知识都是历史； 在抽象的意义下，一切科学都是数学； 在理性的世界里，所有的判断都是统计学。 3陈希孺.机会的数学[M].北京：清华大学出版社，广州：暨南大学出版社，2000：69 4陈希孺.机会的数学[M].北京：清华大学出版社，广州：暨南大学出版社，2000：69 5 C.R.Rao.统计与真理——怎样运用偶然性[M].石坚等译.台北：九章出版社，1998：前言