初中数学统计与概率初步认识及教学建议

‎《统计与概率》‎ 初步认识及教学建议 ‎[内容提要] 20世纪以来，由于社会生产和科学技术的飞速发展，概率与统计的应用日益广泛，已渗透到社会生活的方方面面．现在概率统计已成为最重要和最活跃的数学学科之一，它既有严密的数学基础，又与其它学科紧密联系，因此，在高中数学课程中，加强了概率统计的份量．本文就《标准》必修3中“统计与概率”部分内容的特点，增加统计与概率的内容对高中数学教育改革的意义，总体目标，如何处理统计与概率的内容，怎样发挥统计与概率在提高学生数学素养方面的功能等几个方面的问题，谈几点看法．‎ 关键词 内容特点 教育价值 改革意义 总体目标 教学建议 提高能力 ‎ ‎ 随着信息技术的发展，数字化时代的到来，人们常常需要收集大量的数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，做出合理的决策．统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据．随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础．因此，统计观念和随机思想将成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式，具有统计与概率的基本知识已成为每个现代公民必备的基本素质．由于概率统计的应用性强，有利于培养学生的应用意识和动手能力，在数学课程中，加强概率统计的份量成为必然．《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）设置了“统计与概率”的内容，目的就在于发展学生应用数学意识，使其体会数学在实际中的应用价值，同时更全面地培养学生分析问题、解决问题的能力．‎ 比较国外及国内近几年教材中的统计与概率内容，基本包括收集数据的方法，抽样调查，用样本数据估计总体的情况，利用象形图、条形图、折线图、直方图等描述数据，利用平均数、方差、标准差等分析数据，频数与频率，（累计）频数分布与（累计）频率分布，正态分布，数学期望，概率的意义，计算等可能事件发生的概率，通过大量实验利用频率估计概率等内容．对于这些内容，各种教材在处理方式上不尽相同，各有特色．《标准》必修3中“统计与概率”部分内容有什么特点？增加统计与概率的内容对高中数学教育改革的意义是什么？总体目标是什么？如何处理统计与概率的内容？怎样发挥统计与概率在提高学生数学素养方面的功能？下面就这些问题，谈几点粗浅的看法．‎ 一、本部分内容编写特点 ‎1．联系案例介绍概率的实际应用 ‎  概率起源于现实生活，应用于现实生活，教科书无论在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际．在介绍概率意义的部分，讨论了对彩票中奖率的理解，体育比赛的罚球中不中问题，天气预报中降水概率的理解；古典概型部分的例题，讨论了游戏问题，抽样检测产品是否合格的问题，解释了遗传机理的统计规律；随机模拟部分的例题，包括模拟掷硬币掷得正面概率的例题；在概率的应用部分，介绍了概率在键盘设计中的应用及在破译密码与反破译密码中的应用．‎ ‎2．重视统计图与统计表的应用 ‎  教科书中充分利用统计图与统计表直观清晰的特点，展示实验结果．如在给出概率的统计定义之前，为使学生发现频率的稳定性，不仅仅让学生动手做掷硬币的实验，而且通 过历史上一些掷硬币实验结果的统计表、掷硬币出现正面的频率随着实验次数的增加图表等多种手段，使学生更直观地感到频率稳定在一个常数附近．在介绍种子发芽率尔的实验与发现时给出了实验结果的统计表，通过表格可以清晰看到种子的发芽率都接近0.9，由此可见其中具有规律性．在随机模拟部分，使用统计表和统计图能更好地展示实验结果．‎ ‎3．注重统计思想和计算结果的解释 ‎  学习概率统计的知识，不是为了学会做几道题，重点是掌握它的思想方法和用它解决实际生活中的问题．教科书中突出统计思想的解释，如在概率的意义部分，利用概率解释“中奖率为1/1000的彩票，买1000张一定中奖”的错误认识．统计实验中随机模拟方法的原理就是用样本估计总体的思想．在古典概型部分，解答完例题后，一般给出相应结果的解释或提出思考问题让学生做进一步的探究．‎ ‎4．注重现代信息技术手段的应用 ‎  现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具，重视现代信息技术的使用是本套教科书的特点之一．由于概率统计本身的特点，统计需要分析和处理大量的数据，概率中随机模拟方法需要产生大量的模拟实验结果，并需要分析和综合实验结果，所以现代信息技术的使用就显得更为必要了．‎ 二、教育价值 ‎ 统计与概率将成为义务教育阶段唯一培养学生以随机的观点来理解世界的教学内容，使学生具有一些基本的统计与概率的观念、知识和方法，在面对不确定情境或大量数据时，能做出合理的决策，具有重要的教育价值．‎ ‎ 通过统计与概率的学习，将有助于学生 1． 熟悉统计与概率的基本思想方法，逐步形成统计观念，形成尊重事实，用数据说话的态度；‎ 2． 培养以随机的观点来理解世界，形成提出问题、解决问题的能力及正确的世界观与方法论；‎ 3． 培养对数学积极的情感体验，终身学习数学的愿望与能力；‎ 4． 在面对大量数据和不确定情境时，制定出较为合理的决策，形成用数学的意识．‎ 三、统计与概率改革的意义 ‎  统计与概率内容的改革，对促进高中数学教学内容的现代化、结构的合理化，推动教育技术手段的现代化，改进教师的教学方式和学生的学习方式等都有积极的作用．‎ ‎1．使高中数学内容的结构更加合理 ‎  完整合理的内容结构是产生多种能力必不可少的条件，现行的高中数学内容主要包括代数、几何，代数、几何属于“确定性”数学，学习时主要依赖逻辑思维和演绎的方法，它们在培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间想象能力方面发挥着重要作用．而统计与概率属于“不确定性”数学，需寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法，它在培养学生的实践能力和合作精神等方面更直接、更有效．统计概率与现实生活联系密切，学生可以通过实践活动来学习数据处理的方法，在活动过程中，学生可以更容易地建立数学与现实生活的联系，体验到数学在解决实际问题中的威力，这对调动学生学习数学的兴趣，培养学生调查研究的习惯，实事求是的态度，合作交流以及综合实践能力都有很大的作用．因此，在高中阶段增加统计与概率的内容，能够使高中数学的内容结构在培养学生的能力方面更加合理．‎ ‎2．有利于促进信息技术和数学课堂整合的发展 信息技术和课堂整合（Integrating Information Technology into Curriculum）,是指在学科教学过程中把信息技术、信息资源和课程有机结合，建构有效的教学方式，促进教学的最优化．‎ 新课标实验教科书的编写贯彻了“必要性”、“平衡性”、“广泛性”、“实效性”等实用信息技术的原则，在适当的教学内容中，实现信息技术与数学课程内容的有机整合，使学生更好地理解数学本质，主动地探索和研究数学．统计与概率内容中涉及大量复杂数据的计算问题，使用计算器处理这些问题，能使学生感受到使用计算器的必要性．目前部分新型的科学计算器还设有统计功能，而使用计算器进行统计运算更能体现计算器的快捷和方便．因此，统计与概率还能推动计算器的普及与发展．计算机能够提供大量的信息，可以通过计算机网络收集数据，利用计算机软件绘制统计图表及进行模拟实验等，这些都为丰富统计与概率提供了大量资源，同时也使得计算机的作用更加突出，有利于促进计算机的使用．‎ ‎3．能有效地改变教师的教学方式和学生的学习方式 丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念．学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式．由于统计与概率中存在着大量的活动，学生需要通过亲自参与活动来学习统计与概率的内容，掌握数据处理的方法．这些活动能有效地促使教师与学生地位的根本改变，促进教师教学方法的改进和学生学习方式的改变．传统的传授式教学已不能满足教学的需要，学生的学习方式由被动接受变为主动探究．教师由知识的传授者成为活动的组织者、引导者、合作者，学生由被动接受知识的容器转变为活动学习的设计者、主持者、参与者. ‎ 4． 能有效地培养学生合情推理的意识与能力 ‎《新课标》在数学思考目标中提出了让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理和初步的演绎推理能力，能有条理、清晰地阐述自己的观点．”“合情推理”首次进入了国家的纲领性文件，这标志着我国数学教育观念的一次转变，标志着合情推理得到了应有的重视．《数学课程标准解读》中认为，合情推理主要包括归纳推理、类比推理、统计推理．也包括一些一般的方法如：特殊化与一般化、观察、实验、猜想、联想、直觉等形式．合情推理的实质就是“发现”，也就是发现新的关系、新的规律和新的方法等．在数学学习活动中，合情推理除了具有发现命题的重要作用外，还是探索解题思路，概括、揭示新的数学事实和规律，扩展认识领域，促进知识的掌握和迁移，启迪思维和发展数学能力的重要方法和手段．在学习概率统计内容时，通过实验及对案例的观察、分析与研究，能够有效培养学生合情推理的意识与能力．‎ 四、总体目标 在本模块中，将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，使学生：‎ ‎1．经历数据统计的全过程（提出问题、确定样本、收集数据、整理和描述数据、分析数据、作出决策和预测），体会统计思维与确定性思维的差异；‎ 2． 掌握有关统计与概率的基础知识和基本方法；‎ 3． 感受客观世界的不确定性，初步形成对事件发生概率的认识；‎ 4． 运用统计与概率的知识与方法进行推理，做出合理的决策，并进行交流；‎ 5． 加深对随机现象的理解，能用随机的观念认识并解释现实世界；‎ 6． 能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率． ‎ 五、教学建议 ‎1．突出统计与概率的现实意义，强调其对制定决策的重要作用 统计与概率内容的设置，除了让学生学习一些最基本的统计分析的方法，而更重要的是要让学生体会统计的作用和基本思想．本学段的学生对现实社会环境中的问题具有越来越强烈的兴趣，这种兴趣是学习这部分内容的一种极好的动力，教学时，应着重于对现实问题的探索，引导学生通过对各种案例的分析，使学生认识到统计与概率的广泛应用以及对制定决策的重要作用．教师应当根据学生的自身特点提供丰富的、反映统计与概率思想方法的探索素材，引导他们把对统计与概率的探索从日常生活发展到现实社会和科学技术中感兴趣的领域．如在统计的教学中可以引入以下的例子：根据往年本地统一阶段时间的气温记录，预测下一年本地这段时间的气温情况；根据对公共汽车不同时间客流量的统计，合理地安排发车等等．‎ ‎2．强调对抽样与样本的理解 以前，人们对某个问题的调查一般是普查，但这种调查方法的局限性很大，出于对费用和时间的考虑，人们逐步认识到需要进行抽查．抽查与普查相比有如下优点：‎ 可行性：抽样调查可大大地节省人力、物力、财力和时间；‎ 及时性：抽样调查收集资料的时间短，能及时地进行反馈，并作出科学、合理的决策；‎ 准确性：一方面统计方案的设定是有统计学作为依据的，统计的过程是按照预先设计的方案来进行的；另一方面，由于人少，便于进行调查前的培训工作，提高调查的质量；‎ 科学性：抽样调查是以概率统计为理论基础，通过计算机实现各种数理统计方法的分析，可充分利用资料中的信息，做出比较深刻且较全面的结论．‎ 统计是为了从数据中提取信息，在生活与科技中的应用越来越广，教学时应引导学生根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本，并从样本数据中提取需要的数字特征．不应把统计处理成数字运算和画图表．对统计中的概念应结合具体问题进行描述性说明，不应追求严格的形式化定义．‎ ‎3．注重让学生经历统计的全过程、体会其基本思想 统计是为了从数据中提取信息，其特征之一是通过部分数据来推测全体数据的性质．教学中教师须通过案例来进行，引导学生根据实际问题的需求合理地选择不同的方法选取样本，并从样本中提取需要的数字特征，使学生经历较为系统的数据处理全过程，并在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识、方法去解决实际问题，体会统计思维与确定性思维的差别，注意到统计思想与演绎推理的思想之间的互补作用，使学生认识到统计与概率和具有确定性的数学一样，是科学的方法，能够有效的解决现实世界中的众多问题．‎ ‎4．强调对随机现象与概率意义的理解 概率是研究随机现象的，即从随机现象中研究其规律．它为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法．因此，概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义．教学中，教师应借助日常生活中具体的、可操作的大量实例，鼓励学生动手实验、自主探究，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，逐步体会概率的意义及频率与概率的区别；还可以利用计算器或计算机进行模拟实验，从直观上认识频率的稳定性．尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识（如“中奖率为1/1000的彩票，买1000张一定中奖”“若干个人抓阄，先抓和后抓，抓中的可能性不一样”等等．）．‎ 古典概型的教学重点是让学生通过实例理解其特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性，并让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型．教学时不要把重点放在“如何计数”上，计数本身只是方法与策略问题，在具体模型中有很多特殊的计数方法．‎ ‎5．注意与初中概率统计的衔接 ‎  这部分知识与初中内容联系密切，一些内容在初中都接触过，在初中，介绍了随机事件的概念，要求会运用列举法计算简单随机事件的概率，通过实验，获得随机事件发生的频率，知道大量重复实验时频率可作为随机事件发生概率的估计值．高中与初中内容相同的，在教学中可用回忆复习等方式先进行回顾，在此基础上要有更深层次的理解．比如，在频率与概率部分，不但知道频率可以作为概率的近似值，而且要知道频率与概率的区别：频率是随机的，每次实验得到的频率可能是不同的，但随机事件的概率是一个常数，是随机事件发生可能性大小的度量，它不随每次实验的结果而改变．在初中要求会运用列举法计算简单随机事件的概率，而高中提高到理解古典概型的特征，并能运用概率公式计算随机事件的概率．随机事件的关系与运算、概率的性质、几何概型、随机模拟方法等均是高中新增内容．‎ ‎6．鼓励学生自主探索与合作交流 ‎《课标》认为：“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．数学学习过程应当是充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动．”因此，在数学课堂中，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略．在教学概率与统计知识时，更应该鼓励学生动手操作和主动参与，让他们在实验、观察、交流等活动中体会和理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性等相关内容，通过学生动手操作、主动参与、统计实验，不但能激发学生学习概率统计的兴趣，而且学生在反复的统计实验中可以更好地体会和理解统计思想．‎ ‎  如在教学概率的统计定义时，可以让学生动手做两个实验，连续掷两个硬币的实验与边框中有放回的摸球实验，通过观察与分析、交流等方式，帮助学生对随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性有更深入的理解．还能正确理解概率的意义，澄清日常生活中遇到的一些错误认识，学会用科学的方法去观察世界和认识世界．在古典概型例5的教学中，让学生动手做掷两个骰子的实验，通过对实验结果的统计，感受出现两个1点与一个1点、一个2点的概率是不同的．‎ ‎7．恰当运用现代信息技术，提高教学质量 现代信息技术的广泛应用对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响．同样，现代信息技术对概率统计的发展也起到了决定性的作用．概率与统计是研究随机现象统计规律性的一门学科，而要想获得随机现象的统计规律性，就必须进行大量重复实验，这在有限的课堂时间内是难以实现的．随机模拟实验需要产生大量的随机数，同时又要统计实验的结果，如果离开计算机的帮助，需要花费大量的时间，统计实验结果的困难是可想而知的．为此，在概率统计的教学中，应鼓励学生尽可能使用科学型计算器、计算机及软件、互联网，以及各种数学教育技术平台．通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，形成一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，大大增加教学信息量，提高学习效率，有效地刺激学生的形象思维．使学生有时间与精力来探究事物的统计规律性，对实验结果的随机性和规律性有更深刻的认识，更好地体会统计思想和概率的意义．如：进行“统计图表”教学时，教师可以先搜集一些与学生生活关系紧密的事物，学校概况、各班学生数、学校集体荣誉、学生参加各种竞赛获奖情况等的资料（文字、数据、图片等），做成超文本文件，放在服务器中，让学生通过浏览这些资料，从中找出自己的研究主题，利用其中的数据制成图表，并作出简单分析．‎ 本部分内容对学生的最低要求是会用计算器产生随机数进行简单的模拟实验，并统计实验结果．有条件的学校可以让学生学会用一种统计软件，例如Excel软件，多次重复模拟实验，并统计模拟的结果，画出频率折线图等统计图．‎ ‎8．适时组织学生进行研究性学习 ‎ 华罗庚有句名言：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”，华老说得很好，在我们周围，数学无处不在．统计概率与实际生活联系密切，在教学本部分内容时，可选择适合学生研究的实际问题作为研究性课题来开展，以提高学生的自主学习能力、创造性思维能力和实践能力．‎ ‎ 如研究性课题：本地一年中的气温变化规律 ‎ 我们每天都可以在报上(或收音机)看（听）到城市的天气预报，要求学生每天做记录，利用课余时间或是专门时间，走访气象部门，以了解一些气温方面知识及相关数据的统计方法等；走访农民获农业部门，以了解一些诸如气候与农作物播种之间的关系等方面的常识．在收集数据，查阅文献资料等基础上，运用统计方法、图表等数学知识与数学方法以及现代化的技术手段，来分析一年中的气温变化情况，气温变化与二十四个节气关系，气温变化与流行病的发作、预防，气温变化对日常生活的影响等．当然，该课题的研究需要一定的主、客观条件，学生研究的成果很可能不尽如人意，当然，研究性学习“重过程、重参与、重应用、重体验”，而且在实施过程学生不仅巩固了本部分所学的统计知识、提高了能力，还学到了一些书本上学不到的东西，如人际交往，社情教育，服务意识，科学的态度和科研的艰辛等．‎ ‎9．教师进行必要的教学反思 ‎ 《 新课标》指出：“教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者、和合作者．”教学过程是师生交往、共同发展的互动过程，教师的主要职能已从知识的传播者转变为学生发展的促进者．这一转变无论是在思想上，还是在对数学、数学内容、对课堂教学的把握上，都对教师提出了新的挑战．数学教师对这些新理念的领悟，新观点的接受，新要求的落实，不是通过短期的学习就能达到的，必然要经过一个较长的转变过程，必然要经过实践——反思——实践——反思的循环往复的过程．因此数学教学反思是实施新课程教学不可或缺的技能要求．‎ 一个优秀教师的成长历程也离不开不断的教学反思这一重要环节．因此，任何一名教师都应自觉地把自己的课堂教学实践，作为认识对象而进行全面深入的冷静思考和总结，以激活自己的教学智慧，探索教材内容的最好表达方式．为了学生的全面发展，教师必须进行教学反思；为了自身的专业成长，教师必须进行教学反思．对概率和统计部分在新的课标中又有所增强，从内容上看不难，但教师掌握的往往不够到位，讲起课来不得法．因此，对本部分教师尤其需要进行反思．‎ 六、在学习统计与概率的过程中注重发展学生的能力 ‎1．注重数学知识与实际的联系，发展学生应用数学的意识和能力 ‎  在数学教学中，应注重发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值．帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学．‎ ‎  概率统计与实际生活联系很密切，在课堂教学过程中，要通过对案例的分析、研究，培养学生应用数学的意识和能力．还可指导学生直接应用数学知识解决一些简单问题，通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题；也可向学生介绍数学在社会中的广泛应用，鼓励学生注意数学应用的事例，开阔他们的视野．‎ ‎2．开展数学实验课，提高学生创新精神和实践能力 ‎ 数学实验具有直观、形象、生动的特点．在实验的过程中能够进行体验和感受，通过亲历的过程，易于激活思维，因此可以成为数学建构未知数学知识的起点，加速数学知识的迁移和促进数学知识的同化 ，也可能促使学生在积极思维的过程中迸发出创新的火花．在概率与统计教学中，一般有习题课，而没有实验课，习题课对于巩固课堂教学起着重要的 作用，但习题课不能解决理论与实际应用相结合的问题，也难以培养好学生运用概率与统计思想和方法解决实际问题的能力．概率与统计实验课强调学生动手能力的培养，在教师指导下运用所学知识和计算机技术，结合学习和Ｅｘｃｅｌ软件的使用方法，分析解决一些实际问题，写出分析报告．例如，在讲两个变量的线性相关关系时，我们可指导学生运用统计软件，研究某地区实际投资额（Ｉ）与国内生产总值(ＧＤＰ)及物价指数(ＰＩ)的关系，并建立投资额模型，对未来ＧＤＰ及ＰＩ进行估计，并预测未来投资额．学生在实验时如同身临经济活动的现场，大大提高了实践教学的效果．在实验课中，通过动手能帮助学生理解该课程中一些抽象的概念和理论，同时让学生利用所学的方法和技巧，独立完成研究型小课题，提高其分析问题和解决问题的能力．‎ ‎3．注重概率统计与其它数学知识的联系，提高学生对数学整体的认识 ‎  数学的发展既有内在动力，也有外在动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．‎ ‎  高中数学课程是以模块和专题的形式呈现的．因此，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力．如在2005年高考题中，就设计了许多与我们日常生活非常贴近的统计概率综合题，较好的挖掘了传统内容与新增内容的内在联系，体现了其它高中数学知识与概率统计知识非常贴切的自然交汇．这对学生学好概率统计知识与提高学生应用意识和创新能力，优化学生的思维均有着很好的导向作用．此外，还要注意数学与其他学科及现实世界的联系．‎ 参考文献 1 高存明等．普通高中课程标准实验教科书《数学3》（必修）（B版）北京：人民教育出版社，2004‎ 2 数学课程标准研制组．数学课程标准（实验）解读．北京：人民教育出版社，2005‎