实践与探索（1）教案

实践与探索（1） 学情分析：生活中，我们常常遇到二次函数的问题。二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境分析 确定二次函数的解析式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一。学生比较感兴趣，学会用建模的思想去解决和函数有关的应用问题。 教学目标 1、巩固二次函数的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求最值问题． 2、会通过对图象的观察理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题。通过动手动脑，提高分析问题的能力，并体会特殊与一般的关系，培养数形结合思想，函数思想。 重点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 难点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 教学准备：二次函数的表达式及其性质． 第一课时： 课时目标： 1、巩固二次函数的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求最值问题． 2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 3、学生之间通过讨论、交流和探索，提高合作意识和探索能力，激发学习兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。 教学过程 一：引入新课  生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？ 二： 知识准备 如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是 ，问此运动员把铅球推出多远？ 解  如图，铅球落在x轴上，则y=0， 因此， ． 解方程，得 （不合题意，舍去）． 所以，此运动员把铅球推出了10米． 三：[实践与探索]   例．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m． （1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？ （2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m） 分析  这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．   解  （1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）． 由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25）， 因此，设抛物线为 ． 将A（0，1．25）代入上式，得 ， 解得                          所以，抛物线的函数关系式为 ． 当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5， 所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m． （2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为 ． 由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7． 所以，水流最大高度应达3．7m． [当堂课内练习] 1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？ 2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？ 课堂小结：1、函数可以用来解决很多生活的实际问题；2、观察图象，从图象获取信息；3、根据题意，画出图形，把已知条件标在图形上，根据函数的有关性质来解题。 [本课课外作业]     任选两题 A组 1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？ 2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程． 下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式； （2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方 0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？                                      B组 4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）计算所需不锈钢管立柱的总长度． 5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误． （1）求这条抛物线的函数关系式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由． 教学反思：本节的教学重点是通过创设探索情境，体现数学与现实生活的联系，进一步培养学生从函数的角度思考和解决问题。教学难点是数学建模思想的培养，从实际问题中抽象出数学模型，进而用数学知识来解决问题。 考虑到函数教学较难，其抽象性不易理解与掌握，所以采取的教学策略是从学生感兴趣的体育运动的推铅球入手，从问题引出探讨对象，容易引起学生兴趣，从而进入探索过程。这体现了新课标中注重体现“数学来源于生活”的思想。课堂组织形式采用引导探究模式，充分调动学生积极性，以课堂讨论为主。 函数教学历来是初中数学教学的一个重点和难点，如何突破，本节课作了一个尝试。所选用的几个问题均是精心挑选和设计的学生较易接受的题目背景，这样在教学中学生容易产生亲切感，有利于教学活动的开展。但是对于比较难的题型或知识，应该事先布置给学生作预习，这样将有助于课堂教学和学生更深层次的理解。 在解决与函数有关的题型之后，及时进行回顾与反思这一点很重要，这样将有助于学生建立用函数的观点解决问题的意识，从而提升抽象思维的能力。这一环节的教学，力求体现的是对学生解决实际问题能力的潜移默化的培养，从生活中的问题入手，实际体现的是用数据结合函数的思想，对于一个实际问题，如何建立数学模型，通过解决数学模型中的问题，反过来解决生活实际。这不正体现了数学的价值吗？ 板书设计： 一：与x轴相交 y=0   与y轴相交 x=0 二：1：一般式  2：顶点式  3：交点式  三：例1：                   例2： 解：                     解：