二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(三)
整体设计
◆教学分析
本节在前几节研究抛物线的基础上,从特殊到一般,研究一般形式二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)所具有的特征,在解决问题的过程中,不再像前几节课经历作图过程,而是直接根据配方的思想将一般式的二次函数化成顶点式,利用顶点式的性质来研究,用旧知识解决新问题,让学生体会由特殊到一般、将未知转化为已知、配方等数学思想,提高分析解决问题的能力.
◆三维目标
1.能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.会利用对称性画出二次函数的图象,并运用其解决实际应用问题,体会数形结合思想.
◆重点难点
教学重点:能将一般式的二次函数化成顶点式并利用顶点式的性质来理解y=ax2+bx+c(a≠0)的性质.
教学难点:对一般式二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的推导.
教学过程
★导入新课
爱打篮球的小东学习了二次函数之后,从数学老师那里得知篮球运动的路线是抛物线,他很感兴趣,刨根问底,老师问他:如果篮球的水平距离x(米)与竖直高度y(米)之间和函数关系为y= x2+x+3,不画图象,你能直接说出篮球运动过程中的最大高度吗?小东想了想有点犯难,你能帮他解决这个问题吗?
★推进新课
*新知探究
例 通过配方,确定抛物线y= x2+x+3的开口方向、对称轴和顶点坐标,最值.
解: y= x2+x+3= (x-1)2+ .
因此, 抛物线开口向下, 对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1, ).
因为a= ﹤0,故函数有最大值 .
点拨:可见我们遇到一般式的二次函数可将它化成顶点式y=a(x-h)2+k来研究它的相关性质.
探究:对于二次函数y=ax2+bx+c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗?
y=ax2+bx+c
=a(x2+ x+ )
=a(x2+ x+ - + )
=a(x+ )2+ .
你能根据y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质来概括y=ax2+bx+c(a≠0)的性质吗?
y=ax2+bx+c(a≠0)
a﹥0
a﹤0
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(- , )
(- , )
对称轴
x=-
x=-
最值
当x=- 时,y最小=
当x=- 时,y最大=
增减性
当x﹥- 时,y随x的增大而增大;当x﹤- 时,y随x的增大而减小
当x﹥- 时,y随x的增大而减小;当x﹤- 时,y随x的增大而增大
*应用示例
例1 已知抛物线y=x2-(a+2)x+4的顶点在坐标轴上,求a的值.
分析:顶点在坐标轴上有两种可能(1)顶点在x轴上,则顶点的纵坐标等于0;(2)顶点在y轴上,则顶点的横坐标等于0.
解:由二次函数的性质得,
抛物线y=x2-(a+2)x+4的顶点坐标是( , ).
当顶点在x轴上时,有 =0,解得a=-2.
当顶点在y轴上时,有 =0,解得a=2或a=-6.
所以,当抛物线y=x2-(a+2)x+4的顶点在坐标轴上时,a有三个值,分别是-2,2,-6.
例2 判断抛物线y=x2+2ax+1+2a2的顶点所在的象限.
解:y=x2-(a+2)x+4=(x+a)2+a2+1,
所以顶点坐标为(-a,a2+1).
当a﹥0时,顶点在第二象限;当a﹤0时,顶点在第一象限.
点拨:判断点所在的象限,关键是判断点的坐标的正负情况,当含字母时,要分类讨论.在解决一般式的二次函数所具有的性质时,可直接利用公式,或者通过配方将其化成顶点式,根据y=a(x-h)2+k的性质来研究y=ax2+bx+c的性质.
*知能训练
课本本节练习1、2、3.
*拓展训练
已知抛物线y=x2-2hx+h+h2(a≠0),则它的顶点始终在直线___上移动.
解:y=x2-2hx+h+h2=(x-h)2+h,
所以顶点坐标为(h,h).
无论h取何值,顶点始终在y=x这条直线上移动.
说明:本题考查的是变量之间的关系,学生理解起来有一定的思维障碍,教师要精讲点拨,让学生自己思考明白.
★课堂小结
本节我们主要研究了y=ax2+bx+c的性质,将原来研究的特殊二次函数的性质推广到一般,将顶点坐标和最值程序化,在解决一般式的二次函数性质时,大部分情况下将其化成顶点式来研究,其中包含重要的配方的思想方法.
★作业
一、课本习题27.2 2.
二、备选题
1.抛物线y=ax2-4x-6的顶点横坐标是-2,则a=___.
2.已知(2,6)、(6,6)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的两点,则这条抛物线的对称轴为_____.
3.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,求m.
答案:
1.-1
2.x=4(点拨:若(p,n),(q,n)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的两点,则这条抛物线的对称轴为x= )
3.m=10.