二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(三)教案
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二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(三)教案

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时间:2020-12-18

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资料简介
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(三)                                     整体设计 ◆教学分析 本节在前几节研究抛物线的基础上,从特殊到一般,研究一般形式二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)所具有的特征,在解决问题的过程中,不再像前几节课经历作图过程,而是直接根据配方的思想将一般式的二次函数化成顶点式,利用顶点式的性质来研究,用旧知识解决新问题,让学生体会由特殊到一般、将未知转化为已知、配方等数学思想,提高分析解决问题的能力. ◆三维目标 1.能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标. 2.会利用对称性画出二次函数的图象,并运用其解决实际应用问题,体会数形结合思想. ◆重点难点 教学重点:能将一般式的二次函数化成顶点式并利用顶点式的性质来理解y=ax2+bx+c(a≠0)的性质. 教学难点:对一般式二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的推导. 教学过程 ★导入新课 爱打篮球的小东学习了二次函数之后,从数学老师那里得知篮球运动的路线是抛物线,他很感兴趣,刨根问底,老师问他:如果篮球的水平距离x(米)与竖直高度y(米)之间和函数关系为y= x2+x+3,不画图象,你能直接说出篮球运动过程中的最大高度吗?小东想了想有点犯难,你能帮他解决这个问题吗? ★推进新课 *新知探究 例 通过配方,确定抛物线y= x2+x+3的开口方向、对称轴和顶点坐标,最值. 解: y= x2+x+3= (x-1)2+ . 因此, 抛物线开口向下, 对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1, ). 因为a= ﹤0,故函数有最大值 . 点拨:可见我们遇到一般式的二次函数可将它化成顶点式y=a(x-h)2+k来研究它的相关性质. 探究:对于二次函数y=ax2+bx+c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗? y=ax2+bx+c  =a(x2+ x+ ) =a(x2+ x+ - + ) =a(x+ )2+ . 你能根据y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质来概括y=ax2+bx+c(a≠0)的性质吗? y=ax2+bx+c(a≠0) a﹥0 a﹤0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (- , ) (- , ) 对称轴 x=- x=- 最值 当x=- 时,y最小= 当x=- 时,y最大= 增减性 当x﹥- 时,y随x的增大而增大;当x﹤- 时,y随x的增大而减小 当x﹥- 时,y随x的增大而减小;当x﹤- 时,y随x的增大而增大 *应用示例 例1 已知抛物线y=x2-(a+2)x+4的顶点在坐标轴上,求a的值. 分析:顶点在坐标轴上有两种可能(1)顶点在x轴上,则顶点的纵坐标等于0;(2)顶点在y轴上,则顶点的横坐标等于0. 解:由二次函数的性质得, 抛物线y=x2-(a+2)x+4的顶点坐标是( , ). 当顶点在x轴上时,有 =0,解得a=-2. 当顶点在y轴上时,有 =0,解得a=2或a=-6. 所以,当抛物线y=x2-(a+2)x+4的顶点在坐标轴上时,a有三个值,分别是-2,2,-6. 例2 判断抛物线y=x2+2ax+1+2a2的顶点所在的象限.  解:y=x2-(a+2)x+4=(x+a)2+a2+1, 所以顶点坐标为(-a,a2+1). 当a﹥0时,顶点在第二象限;当a﹤0时,顶点在第一象限. 点拨:判断点所在的象限,关键是判断点的坐标的正负情况,当含字母时,要分类讨论.在解决一般式的二次函数所具有的性质时,可直接利用公式,或者通过配方将其化成顶点式,根据y=a(x-h)2+k的性质来研究y=ax2+bx+c的性质. *知能训练 课本本节练习1、2、3. *拓展训练 已知抛物线y=x2-2hx+h+h2(a≠0),则它的顶点始终在直线___上移动. 解:y=x2-2hx+h+h2=(x-h)2+h, 所以顶点坐标为(h,h). 无论h取何值,顶点始终在y=x这条直线上移动. 说明:本题考查的是变量之间的关系,学生理解起来有一定的思维障碍,教师要精讲点拨,让学生自己思考明白. ★课堂小结 本节我们主要研究了y=ax2+bx+c的性质,将原来研究的特殊二次函数的性质推广到一般,将顶点坐标和最值程序化,在解决一般式的二次函数性质时,大部分情况下将其化成顶点式来研究,其中包含重要的配方的思想方法. ★作业 一、课本习题27.2   2. 二、备选题 1.抛物线y=ax2-4x-6的顶点横坐标是-2,则a=___. 2.已知(2,6)、(6,6)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的两点,则这条抛物线的对称轴为_____. 3.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,求m. 答案: 1.-1 2.x=4(点拨:若(p,n),(q,n)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的两点,则这条抛物线的对称轴为x= ) 3.m=10.

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