小学数学北师大版五年级下册《方程》设计教案

苏教版小学数学六年级下册第一单元 《方程》整体规划 一、单元教材基本分析 (一)本单元教学哪些知识？教材的编排有什么特点？ 教材分两段安排教学内容： 第一段：教学用形如 ax±b=c 和 ax÷b=c 等方程来解决相关的实 际问题，并掌握其解法； 第二段，教学用形如 ax±bx=c 等方程来解决相关的实际问题， 病掌握其解法。 此外，教材还安排了本单元的整理与练习，帮助学生进一步理解 和掌握所学内容，建立合理的认知结构。 本单元教学内容的编排有以下几个特点： 1．精心选择能够承载教学内容的现实素材 方程是用字母符号表示现实生活中的等量关系的，无论是表达 形式，还是思维水平都比算术的方式更抽象，其对学生思维水平的发 展有着十分重要的意义。因此，教材精心选择学生熟悉的，并能承载 相应教学内容的现实素材，引导学生在解决实际问题的过程中，自主 寻求实际问题中的等量关系，探索方程的解法，体会列方程解决实际 问题的基本思想和方法。例 1 是列形如 的方程解决的实际问题， 是“求比一个数的几倍少几的数是多少”的实际问题的逆运算；例 2 是列形如 的方程解决的实际问题，是“几倍求和”的实际问题 的逆运算。例题和学生已经学过的相应的实际问题相比，数量间的相 等关系完全一致，只是条件和问题不同。这样的实际问题，如果用算 术方法解，思路比较特殊，思维难度也比较大，学生往往不知道从哪 里想起。而用方程解，学生就可以利用已有的解题经验，根据题目中 的等量关系列出方程。这样，选择学生熟悉的数量关系作为方程的学 习内容，既能够激活学生已有的知识和经验，调动学生参与学习和探 索活动的积极性，又能够帮助学生初步感受代数的思想方法，体会方 程的实际应用价值。 2．突出实际问题的等量关系 在现实情境中找出数量间的相等关系，是列方程解决实际问题 的关键。教材十分重视引导学生根据题目中的条件和问题，找出等量 关系，并以形式化的方式表达出来。 例 1 在提出问题后，要求学生“找出大雁塔与小雁塔高度之间的 相等关系”，并通过交流，抽象出数量关系式：小雁塔的高度×2－ 22＝大雁的高度。在此基础上，引导学生对数量关系式进行分析，明 确“已知大雁塔的高度，求小雁塔的高度，可以列方程解答”。需要 说明的是：让学生自主地找出实际问题的等量关系，必然会出现不同 的结果，如：小雁塔的高度×2－大雁的高度＝22 等，教学时，要鼓 励学生列不同的方程去解决，并通过比较，使学生体会到虽然列出的 方程不同，但解题的基本思路是一致的，都是根据“大雁塔的高度比 小雁塔高度的 2 倍少 22 米”这一关系列出方程的。 相对而言，例 2 的数量关系比较复杂，为了更好地帮助学生理解 实际问题的等量关系，教学时可以借助线段图引导学生思考：如果颐 和园的陆地面积是 公顷，那么水面面积可以用怎样的式子来表 示？颐和园的占地面积与颐和园的陆地面积、水面面积之间有什么关 系？再引导学生自主地抽象出数量关系式：陆地面积+水面面积＝颐和 园的占地面积，并根据实际问题的等量关系列出方程。 3．继续应用等式的性质解方程 教材没有单独安排解方程的例题，而是把解方程作为解决实际 问题过程中一个环节来安排，目的是帮助学生体会解方程是解决实际 问题的需要，感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型。教材在引 导学生根据实际问题的等量关系列出方程后，继续引导学生应用等式 的性质解方程。教学时，例 1 要结合实际问题的数量关系，着重引导 学生理解在解方程“”时，为什么要先在等式的两边同时加上 22？ 例 2 要通过讨论加上 3 等于 64，也就是几个等于 64？等问题，引导学 生从实际问题的数量关系、乘法分配律等不同的角度解释其中的道 理。求出陆地面积后，可以让学生通过独立的活动，用不同的方法求 出水面的面积。 4．重视培养自觉检验的意识和习惯 教材十分重视教给学生正确的检验方程的方法，培养自觉检验 的意识和习惯。例 1 要求学生把方程的解代入原方程，检验求出的答 案是否符合实际问题中的已知条件；例 2 主要引导学生用不同的检验 的方法进行检验，其检验方法大致有两种：一是把求出的答案代入原 方程进行检验；二是根据求出的答案，先检验水面面积加上陆地面积 是否等于颐和园的占地面积，再检验水面面积是否等于陆地面积的 3 倍。教学时可以提出“这道题怎样检验？”的问题，引导学生通过讨 论提出不同的检验方法，并对不同检验方法进行比较，体会每一种检 验方法的不同思路。 5．有层次地组织练习 为了配合例题的教学，教材有层次地安排相应的练习，以帮助 学生掌握列方程解决实际问题的基本思想和方法，培养解决问题能 力。一方面，安排和例题结构相同或相似的实际问题，使学生在解决 实际问题的过程中，进一步体会方程的思想和方法，掌握列方程解决 实际问题的一般步骤。如：第 1、4 页的“练一练”，练习一、练习 二的第 3、4、5 题等；另一方面，安排了一定数量的富有变化的实际 问题，以帮助学生进一步打开寻求实际问题中等量关系的思路，提高 分析问题和解决问题的能力和举一反三的能力。如：练习一的第 7、8、 9、12、13 题，练习二的第 7 至 11 题等。 此外“整理与练习”的第 14 题，让学生在有趣的活动中，应 用数学模型解决问题，既有利于提高学生的数学思考能力，又有利于 发展学生学习数学的兴趣。 二、单元教学目标： 1、使学生在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如 ax±b=c,ax÷b=c,ax±bx=c 等方程的解法，会列上述方程解决需要 两，三步计算的实际问题。 2、使学生在观察，分析，抽象，概括和交流的过程中，经历将 现实问题抽象为方程的过程，积累将现实问题数学化的经验，感受方 程的思想方法及价值，发展抽象能力和符号感。 3、使学生在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考，主动 与他人合作交流，自觉检验等习惯；获得一些成功的体验，进一步树 立学好数学的自信心，产生对数学的兴趣。 三、教学重难点的认识及教学建议 1、重点：在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如 ax±b=c,ax÷b=c,ax±bx=c 等方程的解法，会列上述方程解决需要 两，三步计算的实际问题。 2、难点：在观察，分析，抽象，概括和交流的过程中，经历将现 实问题抽象为方程的过程，积累将现实问题数学化的经验，感受方程 的思想方法及价值。 3、单元教学建议： 1、重视生活背景的呈现和渲染。 2、加强学习过程的组织和指导。 3、完善数学模型的构建和推广。 4、尊重学生探究的差异和创造 四、学情分析 方程及其应用是代数领域的一个核心内容，小学阶段只涉及简单 的方程。虽然如此，但对逻辑思维处于萌芽阶段的小学生来说，无疑 是一个严峻的挑战。六年级(上册)“方程”单元,是在四年级(下册) 和五年级(下册),学生已经分别学习了“用字母表示数”“方程的意 义”“等式的性质”等知识,并能解决简单的、一步计算的方程,会列 方程解答简单的、一步计算的实际问题的基础上安排的。本单元教学 内容的安排和教学的设计是在继承传统优势的基础上,从便教利学出 发,着眼于学生继续学习,加强了学生的自主探索,注重学生对方程思 想方法和价值的感受和体验。突破了传统教材先学解方程,再利用解 方程来解决实际问题的做法,把列方程解决实际问题和解方程安排在 一起进行教学,使学生在列方程解决实际问题的过程中学习解方程。 五、方程的教育价值主要体现在哪些方面？方程思想的核心到底 是什么？ （一）方程的教育价值学生学习方程的意义在于：一是学习在生 活中从错综复杂的事情中，将最本质的东西抽象出来，这个过程是非 常难的，也很有训练的价值；二是在运算中遵循最佳的途径，将复杂 的问题简单化，这种优化思想对于人的思维习惯的影响是深远的。 （二）方程思想的本质 方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：（1）建模思想；（2） 化归思想，如在中小学数学中，三元一次方程可以化归为二元一次方 程，二元一次方程可以化归为一元一次方程，一元一次方程最终化归 为 x=a 的形式。小学四则运算仅仅提供一种算法，而一元一次方程则 比较全面地展示了建模思想──用等号将相互等价的两件事情联立， 等号的左右两边等价，至于其中的关系是用自然语言表示的，还是用 数学符号表达的，都不太重要，重要的是等号左右两边的两件事情在 数学上是等价的。这就是数学建模的本质表现之一。解一元一次方程， 只需要将含有未知数的项放到方程的一边，将不含未知数的项放到方 程的另一边，就可以解出未知数的值，这是解方程的核心工作。而解 的具体过程就要用到四则运算。为此，在进行解一元一次方程的课程 设计、教材编写、教学实施时，必须突出化归这个重点。 六、关于方程课程教学设计的若干问题 （一）关于方程的应用题 以往的方程教学设计思想的一个误区，在于把思路搞反了。方程 的教学本应该“先是进行生活中的提炼，然后到数学表达，到形式化 的过程，再到最终解决方程问题”，而不是“先给出形式化的方程定 义，然后解形式化的方程，最后再进行方程的应用”。 长期以来，我们对方程应用习题的设计、处理太理想化了，几乎直接 变成数学符号了。这不是真正意义上的应用题。事实上，可以把事情 表述得更原本一些。无论如何，要使学生真正知道方程是怎么回事， 要通过两三个典型的问题，再现方程建模的全过程，才能让学生真正 理解方程的含义。从现实情景到用自然语言等价地表达出来，这是一 次重要的抽象，是方程建模的关键。然后才是用数学符号等价地表达 出用自然语言表达出来的事情。对于同一个方程应用问题，列出的方 程是一边含有未知数，还是两边含有未知数，这仅仅是用语言阐述的 过程中的不同，而不是列方程的本质的不同。事实上，二者所反映的 事实是等价的，我们完全可以换一个说法等价地描述“两边含有未知 数”的方程所表示的事实。 （二）方程的学习对同领域的数学学习的影响和作用 方程学习对以后数学学习的影响主要还是一种数学思想的影响。 即使到了微分方程、积分方程，这里的方程思想也是保持不变的，也 都是呈现两件事情等价。对于应用数学中的建模，其本质也是一样的。 方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，等式可以是数字 之间的相等，也可以是恒等，而方程刻画的可以是两件事情之间的相 等，可以是有条件的相等，也可以是一种随机的相等。方程的课程教 学设计，从一开始就应该让学生接触非常现实的问题，学习把日常生 活中的语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决方程问题的 全过程。这种数学思维的训练，对于学生成为一个合格的公民、从事 日常生活、进一步学习数学内容，是否都是至关重要的。在方程课程 设计时，可以以一个问题（如“鸡兔同笼”问题）为“主题式”线索， 将一元一次方程、二元一次方程组等内容统一编排，一气呵成。“鸡 兔同笼”问题既然能用算术解，用一元一次方程、二元一次方程组也 能解。在这里，方法越简单，思维越复杂。相比之下，用四则运算解 此题最复杂；列二元一次方程思维简单，但解方程时却很复杂；而一 元一次方程则是比较中庸的思想，不是很复杂，也比较好计算，所以， 大家普遍采用一元一次方程来解决这类问题。 七、评价建议 对学生本单元的学习宜采用定性描述和定量刻画相结合的方式， 作出合理的、激励性的评价。 知识与技能方面：是否理解并掌握形如 ax±b=c、ax÷b=c 和 ax±bx=c 等方程的解法；能否在具体情境中应用上述方程解决相关 的两、三步计算的实际问题；是否会对列方程解决问题的过程进行检 验。 数学思考方面：能否在列方程解决实际问题的过程中，主动进行 分析、比较、抽象和概括；能否有条理表达列方程解决实际问题的思 考过程，抽象能力和符号感是否得到相应的发展。 解决问题方面：应用方程的思想方法解决实际问题的意识是否有 所增强；能否利用画图、列表的方法理解有关的实际问题，感受解决 问题策略的多样性；能否主动反思列方程解决问题的过程，并适当解 释结果的合理性。 情感与态度方面：是否乐于与他人合作交流；是否有自觉检查的 习惯。是否获得一些成功的体验，并尽一步树立学好数学的信心