小学数学人教版六年级上册分数除法教材分析教案

《分数除法》教材分析 本单元是在学生已经掌握了分数乘法的意义、分数乘法计算及其应用以及整数除法 的意义、解方程等知识的基础上学习分数除法。通过本单元的学习，学生一方面完成了分数 加、减、乘、除的学习任务，比较系统地掌握了分数的四则计算，掌握了解决相关实际问题 的方法；另一方面也进一步加深了对乘除法关系的理解，体会知识的内在联系，为解决有关 分数的实际问题提供更多的支持；同时也为后面学习比和比例、百分数等知识打下坚实的基 础。本单元的内容主要包括：倒数的认识、分数除法的意义与计算以及解决相关的实际问题。 一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书六年级》，下同）的主要 区别 （一）倒数的认识 新版教材将“倒数的认识”由原实验教材的“分数乘法”单元移至“分数除法”单 元，并独立编排为一小节，作为分数除法的准备内容。主要是出于以下几方面的考虑：其一， 由于分数除法的基本方法是“除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数”，因此认识倒 数的概念以及熟练求出一个不等于 0 的数的倒数，是学习分数除法的重要的知识基础；其二， 这样编排，使本单元的知识呈现更有逻辑性、整体性，更符合学生的认知规律以及学生学习 知识的逻辑顺序。 （二）分数除法的意义及计算方法 我们知道：分数除法的意义与整数乘法的意义相同，就是乘法的逆运算。但由于分 数乘法的含义有了扩展，分数除法作为其逆运算，具体含义也自然有了扩展。因此，教学分 数除法的意义，可以用“同数连加”的实际例子引出两道除法题来说明，也可以用“求一个 数的几分之几是多少”的实际例子引出除法题来说明。在具体讨论分数除法的意义时，实验 教材重视相关知识的类比，帮助学生理解所学知识。采用整数与分数对比、乘法与除法对比 的方式，揭示出分数除法的意义与整数除法的意义相同。而新版教材对于除法意义的教学， 仅从编排上看，不再单独设置例题，只在练习中加以渗透，如教材练习七第 1 题根据乘法算 式写出两道除法算式，第 2 题先看清左右两题之间的关系，写出得数。通过练习，使学生体 进一步体会到乘除法的互逆关系，明确分数除法的意义。但从分数除法计算方法的探寻过程 看：教材结合实际情境，引导学生列出算式，通过折纸和画图的数形结合方法及分析，推理 出正确的计算结果。显然，这分析的过程既是对分数除法意义和算理的理解过程，也是分数 除法计算方法的探寻与归纳过程。教材将分数除法的意义教学与分数除法的计算方法教学有 机地融合在一起，在充分利用分数乘除法意义互逆关系的基础上，进一步帮助学生理解算理， 掌握计算方法。 （三）用分数除法知识解决实际问题 分数除法的实际问题主要有两种情况：一种是利用已学的数量关系直接列式解决实 际问题，与分数除法计算方法同步教学。如例 2，利用路程、时间、速度的数量关系直接列 式，只是具体数据变成了分数；另一种是数量关系涉及“一个数的几分之几”或需用抽象的 “1”解决较为复杂的实际问题，首先要理清数量关系，然后通过列方程等方法解决问题。 例如本单元新增的例 6 的“和倍、差倍”问题，例 7 的用抽象的“1”解决问题。利用“已 知一个数的几分之几是多少，求这个数”的基本数量关系，借助数量之间的等量关系，列出 方程解决问题。只是这里的几分之几不是直接给出的，需要通过寻找数量与对应分率之间的 关系计算得到，显然，解决问题的过程自然变得相对复杂。这既是对过去列方程解决问题的 扩展，也为后面解决百分数的实际问题做准备。 （四）把“比”的内容单独设置一个单元 新教材将“比”单独设置为本书的第四单元，在“分数除法”单元完成后进行教学。 二、教材例题分析 （一）倒数的认识 例 1：倒数的认识 教材首先安排了几组有代表性的乘积为 1 的乘法算式，使学生通过计算、观察、讨 论等活动，寻找归纳它们的共同特点，导出倒数的定义。并用实例突出理解“互为倒数”的 含义。然后引导学生思考互为倒数的两个数有什么特点？为例 1 的学习做好铺垫。 例 1 教学求倒数的方法。教材首先安排找倒数的活动，初步体验找倒数的方法。接 着总结找倒数的方法。具体分三种情况加以讨论：求分数的倒数；求整数的倒数；1 和 0 的 倒数的问题。练习六第 5 题通过学生对话讨论形式判断“ 的倒数是 0.75”的合理性问题， 进一步揭示互为倒数的本质：只要两个数的乘积是 1，那么这两个数就互为倒数，与这两个 数是整数、分数、小数无关。 （二）分数除法 例 1：分数除以整数 教材以折纸活动为载体，利用数形结合的方法帮助学生直观理解分数除以整数的算 理。教材分两个层次编排：先解决分数的分子能被整数整除的情况；再引出分子不能被整数 整除的情况。第一个问题是分子能被整数整除的情况，有两种思考方法：一是利用整数除法 的意义，将分数除法转化为整数除法理解并计算；二是利用分数的意义，将问题转化为求 的 来理解计算。在此基础上提出第二个问题，凸显方法一的局限性与方法二的一般适用 性。教材这样编排的意图，一是让学生在折一折、涂一涂的过程中逐步发现体悟分数除法的 计算方法；二是引导学生经历从特殊到一般的探索过程，从中领悟把一个数平均分成几份， 求其中的一份，就是求一个数的几分之一是多少，同时渗透转化的数学思想。在此基础上， 教材提出问题：“根据上面的折纸实验和算式，你能发现什么规律？”旨在启发学生通过思 考总结出一般的计算方法。 例 2：一个数除以分数 本例研究一个数除以分数的计算，包括整数除以分数和分数除以分数两种情况。根 据教材提供的情境，显然“路程÷时间＝速度”这一数量关系成为列式的依据。由于学生对 这一数量关系比较熟悉，所以列出分数除法算式不会感到困难，这有利于把教学重点集中于 计算方法的探索与理解。 理解 的算理是本例的重点。教材采用画线段图的直观方式呈现推算的思路： 由于 1 小时里有 3 个 小时，所以可以先求出 小时走了多少千米，即先求出 小时走的 2 km 的一半（即 ）。有了直观图的支持，降低了学生对 中每一部分含义的理解难 度，顺利完成从“除以一个分数”到“乘以这个分数的倒数”的转化。 有了整数除以分数的算理的铺垫，教材在教学 时，没有呈现线段图，而是通 过提问“为什么写成 ”，引导学生通过迁移类推，自行阐述算理。 最后教材以提问的方式，引导学生总结分数除法的一般算法，并启发学生用自己的 方式表示这一算法。 例 3：分数混合运算 分数混合运算的顺序问题已在“分数乘法”单元解决了，学生在此学习分数混合运 算，既是分数四则运算的综合应用，也为后面学习利用分数四则运算解决实际问题打下基础。 教材提供了两种不同的解决方法，体现了不同的分析思路。先分步列式，再列综合算式解答。 对于不带括号的分数乘除法混合运算，既可以从左至右按步骤计算，也可以直接转化为分数 连乘后同时约分计算。 例 4：“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题 本例中所要解决的问题是分数乘法中“求一个数的几分之几是多少”的逆向问题。 这类问题如果用算术方法解，较难理解，学生往往难以判断哪个量是单位“1”，数量关系 也较复杂。因此，教材依据“儿童体内的水分约占体重的 ”，根据分数乘法的意义，利 用已有知识画线段图，找到等量关系，列出方程并解出方程。这样思考问题的思路与相应的 分数乘法问题完全一致，只是参与列式的是未知数而已，这就大大降低了学生理解的难度。 “回顾与反思”部分中检验结果的合理性是相应乘法数量关系的二次应用。同时， 对有效信息选取的反思，以及对列方程方法、价值的体会，也是学生反思的重点。 例 5：“已知比一个数多（或少）几分之几是多少，求这个数”的实际问题 本例是“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的逆向问题，是以例 4 为基 础，把条件稍做改变，形成稍复杂的问题。显然，用算术方法解决这样的实际问题，抽象程 度更高，思维难度更大。教材借助小女孩的设问，引导学生通过画线段图，并给出了完整的 图示，为学生分析、理解等量关系提供直观辅助。让学生经历从“多（或少）几分之几”到 “是几分之几”的转化，找到等量关系，列出形如 的方程；同样，教材利用小 男孩的分析，借助线段图，引导学生找到“一个数加（或减）增加部分等于增加（或减少） 后的数”这个更容易理解的数量关系，列出形如 的方程。因此，教材选择符合学 生顺向思维的思路，给出多样化的解题方法。 例 6：“和倍、差倍”问题 本例中包括两个未知量，题中给出了这两个未知量之间的两种关系，要求学生根据 这样的关系列方程解答。由于这两种关系中，一种是两个量之间的倍数关系，另一种是两个 量之间的和或差的关系，因此，这样的问题过去被称为“和倍问题”“差倍问题”。 教材以篮球比赛上、下半场得分为素材，引出含有两个未知数的实际问题。在这里 两个未知量是指上半场得分、下半场得分，两种关系是指上半场得分+下半场得分=42 以及 下半场得分是上半场得分的一半，或者上半场得分是下半场得分的 2 倍。 教材给出了两种解法，区别在于先设哪个量为未知数，然后利用两个量的数量关系， 用代数式表示出另一个量。 例 7：可用抽象的“1”解决的实际问题 教材利用修路这一“工程问题”来引入，使学生经历发现和提出问题、分析和解答 问题的过程。例如，学生会认为题中缺少解题的信息，此时，教师追问：缺少什么信息呢？ 学生会回答：不知道公路长多少千米。这样就很自然地引导学生假设公路总长为某个具体的 长度，把新问题转化为旧问题，加以解决。通过学生之间的交流，发现虽然假设的公路具体 长度不同，得到的结果却是相同的，使学生产生探究原因的欲望。通过分析，发现不管公路 总长是多少，两队每天修的长度分别占总长度的 和 是不变的，这也是能得到相同结 果的内在原因。此基础上，进一步抽象，可用“1”来表示公路总长。 采用“工程问题”引出可用抽象的“1”来解决的问题，但并非是对工程问题进行系 统教学，而是要建立一种数量关系的模型。要让学生经历利用自主探究解决问题的过程，掌 握用假设、验证等方法解决问题的基本策略，让学生体会模型思想。 在教学中特别要注意：不必要求学生死记硬背“工作时间=工作总量÷工作效率”等 数量关系，可用线段图帮助学生理解数量关系，学生只要会用具体的语言描述出来就可,并 非说明用“1”表示总长的方法是最优的方法，在此例之后仍然允许学生用假设具体量的方 法解决问题。 本单元的教学重点是：体会分数除法的意义；理解并掌握分数除法的计算方法；会 解决一些和分数除法相关的实际问题。教学难点是：探索与理解分数除法的意义及计算方法； 用分数除法解决问题。