宝坻区高三数学练习（一）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟．
参考公式：
如果事件 ,A B 互斥，那么 ( ) ( ) ( ) P A B P A P B ．
如果事件 ,A B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P AB P A P B ．
柱体的体积公式V Sh ，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高．
锥体的体积公式 1
3V Sh ，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．
第 I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号．
2．本卷共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 1 3A x x ， 1,0,1,2B ，则 A B （ ）
A. 0,1 B. 1,0,1
C. 0,1,2 D. { }1,0,1,2-
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集定义直接求解即可.
【详解】 1 3A x x ， 1,0,1,2B ，
A B 0,1,2 .
故选：C.
2. 设 xR ，则“ 2 4x ”是“ 2 2 0x x ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式 2 4x 、 2 2 0x x 即可.
【详解】由 2 4x 可得 2x ，由 2 2 0x x 可得 1 2x
所以“ 2 4x ”是“ 2 2 0x x ”的必要而不充分条件
故选：B
3. 已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的一条渐近线方程为 3y x ，焦距为8 ，则双曲线的方程为
（ ）
A.
2 2
14 12
x y B.
2 2
112 4
x y C.
2 2
13 9
x y D.
2 2
19 3
x y
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线的一条渐近线方程为 3y x ，得到 3b a ，再由双曲线的焦距为8 ，得到 4c ，结
合 2 2 2c a b ，求得 2 2,a b 的值，即可求解.
【详解】由题意，双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的一条渐近线方程为 3y x ，可得 3b
a
，即 3b a
又由双曲线的焦距为8 ，可得 2 8c ，即 4c ，
因为 2 2 2c a b ，即 2 2( 3 ) 16a a ，解得 2 4a ，所以 2 12b ，
所以双曲线的方程为
2 2
14 12
x y .
故选：A.
4. 2020 年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫
生事件一级响应，全国人心抗击疫情.下图表示1月 21日至 3 月 7 日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和
新增确诊病例数，则下列中表述错误．．的是（ ）
A. 2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势
B. 随着全国医疗救治力度逐渐加大， 2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数
C. 2 月10日至 2 月14日新增确诊人数波动最大
D. 我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在 2 月12 日左右达到峰值
【答案】D
【解析】
【分析】
根据新增确诊曲线的走势可判断 A 选项的正误；根据新增确诊曲线与新增治愈曲线的位置关系可判断 B 选
项的正误；根据 2 月10日至 2 月14日新增确诊曲线的走势可判断 C 选项的正误；根据新增确诊人数的变化
可判断 D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】对于 A 选项，由图象可知， 2 月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，A 选项正确；
对于 B 选项，由图象可知，随着全国医疗救治力度逐渐加大， 2 月下旬单日治愈人数超过确诊人数，B 选
项正确；
对于 C 选项，由图象可知， 2 月10日至 2 月14日新增确诊人数波动最大，C 选项正确；
对于 D 选项，在 2 月16 日及以前，我国新型冠状病毒肺炎新增确诊人数大于新增治愈人数，我国新型冠状
病毒肺炎累计确诊人数不在 2 月12 日左右达到峰值，D 选项错误.
故选：D.
【点睛】本题考查统计图表的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
5. 已知函数 2 2 ln | |x xf x x 的图象大致为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的性质以及特殊点的位置，即可根据排除法解出．
【详解】因为函数 2 2 ln | |x xf x x 定义域为 ,0 0, ，且 f x f x ，
所以函数 2 2 ln | |x xf x x 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除 D；
又因为 1 0f ，可排除 C； 1 0f e f ，可排除 A．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数图象的识别，属于基础题．
6. 已知函数 y f x 在区间[0, ) 单调递增，且 f x f x ，则（ ）
A. 2 1
2
1ln 2 log (log )3ef f f B. 1 2
2
1ln 2 (log ) log3 f ef f
C. 2 1
2
1log ln 2 (log )3f f fe D. 1 2
2
1(log ) log ln 23f f fe
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求得函数 f x 的奇偶性和单调性，再利用对数函数的性质，求得 2()ln 2,logf e 和 1
2
1log 3
的大小关系，结合函数的性质，即可求解.
【详解】因为 f x f x ，所以函数 y f x 为偶函数，图象关于 y 轴对称，
又由函数 f x 在区间[0, ) 单调递增，可得 f x 在区间 ( ,0) 单调递减，
根据对数函数的性质，可得 ln1 ln 2 lne ，即 0 ln 2 1 ，
又因为 1 2
2
1log log 33
，且 2 2 2log 3 log log 2 1e ，
所以 2 2(log 3) log ln 2ef f f ，即 1 2
2
1(log ) log ln 23f f fe .
故选：D.
7. 已知四棱锥 P ABCD 底面为边长为 2 的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积
为 4 3
3
，则它的表面积为（ ）
A. 8 B. 12 C. 4 8 3 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据体积可求出四棱锥的高，再由此求出棱长，即可求出表面积.
【详解】如图，设底面中心为O ，
则 1 4 32 23 3P ABCDV PO ，可得 3PO ，
因为底面为正方形，则 2AO ， 2 3 5PA ，
则 PAB△ 的边 AB 边上的高为 2 25 1 2 ，
则该四棱锥的表面积为 12 2 4 2 2 122
.
故选：B.
8. 函数 sinf x A x (其中 0A ， 0 ，
2
)相邻两条对称轴之间的距离为
2
，最大值为
2 ，将 f x 的图象向左平移
12
个单位长度后得到 g x 的图象，若 g x 为偶函数，则 =（ ）
A.
6
B.
3
C.
3
D. 5
12
【答案】C
【解析】
【分析】由 f x 最大值可得 A ，由 f x 最小正周期为 可得 ，由三角函数图象平移变换可得 g x 解
析式，由 g x 为偶函数可得 3 k k Z ，由 的范围可得结果.
【详解】 f x 最大值为 2 ， 2A ；
f x 相邻两条对称轴之间的距离为
2
， 2
2
T ，解得： 2 ；
2sin 2 2sin 212 12 6g x f x x x
，
g x 为偶函数， 6 2 k k Z ，解得： 3 k k Z ，
又
2
，
3
.
故选：C.
【点睛】方法点睛：由正弦型函数奇偶性求解参数值的基本方法如下：
若 sin 0y A x A 为奇函数，则 k k Z ；
若 sin 0y A x A 为偶函数，则 2 k k Z .
9. 已知函数 f x 满足 1 ( 1)f x f x 对任意 xR 都成立，且
1
2
3 1log 0,14 4
2 1,21
x x
f x
x xx
，
若方程 f x k kx 在区间 1,5 上有 6 个根，则实数 k 的范围是（ ）
A. 20, 5
B. 2 2,5 3
C. 2 2,5 3
D. 1 2,2 3
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数 f x 的周期 2 ，作出函数 f x 的图象以及 1y k x 的图象，数形结合即可求解.
【详解】由函数 f x 满足 1 ( 1)f x f x 对任意 xR 都成立，
即 ( 2)f x f x ，所以函数 f x 的周期 2T ，
f x k kx 在区间 1,5 上有 6 个根，
即 1f x k x 在区间 1,5 上有 6 个根，
作出函数 y f x 在区间 1,5 上图象，如图：
由图象可知，当 y f x 的图象与 1y k x 的图象在区间 1,5 上有 6 个根，
则
2 0 20 4 1 5k ，故实数 k 的范围是 20, 5
.
故选：A
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定位置上．
2．本卷共 11 个小题，共 105 分．
二、填空题：本大题共 6 小题，共 30 分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程．
10. 已知复数 1 2 12
iz i
，i 为虚数单位，则| |z ______．
【答案】 2 ．
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，化简复数为 1z i ，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，复数
1 2 21 2 1 1 12 2 2
i iiz ii i i
，即 1z i ，
所以 2 21 ( 1) 2z .
故答案为： 2 .
11. 在
612x
x
的二项展开式中，含 3x 的项的系数是_______．（用数字作答）
【答案】240
【解析】
【分析】先得到通项，再根据系数得到项数，然后计算即可.
【详解】根据二项式定理,
612x
x
的通项为
366 2
1 6 2 1
r
rr r
rT C x
，
当 36 32
r 时,即 2r 时,可得 3
5 240T x .
即 3x 项的系数为 240 .
故答案为： 240 .
12. 直线l ： 2 0x y 与圆相切于点 3,1M ，且圆心在抛物线 2 4y x 的准线上，则圆的标准方程为
______
【答案】 2 21 3 8x y
【解析】
【分析】先设出圆心坐标，根据半径相等建立等式解方程即可.
【详解】由抛物线方程，可知准线方程为 1x ，设圆心坐标为 (1, )b ，由题意有
2 2 |1 2|(3 1) (1 )
2
br b ，解得 3b ， 2 2r ，
所以圆的标准方程为 2 2( 1) ( 3) 8x y .
故答案为： 2 2( 1) ( 3) 8x y .
13. 在 ABC 中， a ，b ， c 分别为内角 A ， B ，C 的对边，且满
( )(sin sin ) ( 3sin sin )b a B A c B C ．则
（1） A =________；
（2）若 2a ，
4B ，则 ABC 的面积为________．
【答案】 (1). 6
(2). 3 1
【解析】
【分析】由已知条件结合正弦定理进行边角互化可得 2 2 23b c bc a ，再由余弦定理可得 A ；
结合正弦定理解三角形可得 2 2b ，由 7
12C A B ，进而可求出三角形的面积.
【详解】解：因为 ( )(sin sin ) ( 3sin sin )b a B A c B C ，则由正弦定理可得，
( )( ) ( 3 )b a b a c b c ，即 2 2 2 2 23 2 cosb c bc a b c bc A ，则 3cos 2A ，
则
6A ;因为
sin sin
a b
A B
，则
2sin sin 2 2sin 4sin 6
ab BA
，
又 7
4 6 12C A B ，所以 1 1 7sin 2 2 2 sin2 2 12ABCS ab C △
6 22 2 sin 2 2 sin cos cos sin 2 2 3 14 6 4 6 4 6 4
.
故答案为: 6
; 3 1 .
【点睛】方法点睛:
对于解三角形的问题，若已知条件中既有角又有边，则常用正弦定理和余弦定理进行边角互化进行计算.
14. 在平行四边形 ABCD 中， 2, 60AB ABC ， AC BD， 相交于点O ，E 为线段 AC 上的动点，若
7
2AB BO ，则 BE DE 的最小值为___________
【答案】 19
4
【解析】
【分析】先利用已知条件求得 3BA BC ， 3BC
uuur
，再设 , 0 1AE t AC t ，根据线性关系利用向
量 ,BA BC
表示向量 ,BE DE
，利用数量积展开化简得到 27 7 3BE DE t t ，0 1t ，结合二次函数
最值的求法即得结果.
【详解】依题意，由 7
2AB BO ，知 7
2BA BO ，即 1 7
2 2BA BA BC ，
所以 2
7BA BA BC ，得 3BA BC ，则 cos60 3BA BC
，即 3BC
uuur
.
设 , 0 1AE t AC t ，则 BE BA t BC BA
，得 1BE t BA tBC ，
1 1DE BE BD t BA tBC BA BC tBA t BC
，
1 1BE DE t BA tBC tBA t BC
2 2 21 1 2 2 1t t BA t t BC t t BA BC 24 1 9 1 3 2 2 1t t t t t t
2
2 1 197 7 3 7 2 4t t t
，由 0 1t 知，当 1
2t 时，二次函数取得最小值，即 BE DE 取 最小
值为 19
4
.
故答案为： 19
4
.
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键在于用基底 ,BA BC
表示向量 ,BE DE
进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函数的最
值问题，突破难点.
15. 若 ,x y R ，且 2 1x y ，则
2 22
1 2
x y
x y
的最小值为_________
【答案】 1
6
【解析】
【分析】令 1, 2m x n y ，可得 2 6m n ，化简可得
2 22 1 8 41 2
x y
x y m n
，再结合基本不等式
可求解.
【详解】令 1, 2m x n y ，则 1, 2x m y n ，
则 2 1 2 2 1x y m n ，即 2 6m n ，
则 2 22 2 1 2 22 1 82 101 2
m nx y m nx y m n m n
1 8 1 1 84 2 46 m nm n m n
1 2 8 1 2 8 117 4 2 17 46 6 6
n m n m
m n m n
，
当且仅当 2 8n m
m n
，即 6 12,5 5m n 时等号成立，
故
2 22
1 2
x y
x y
的最小值为 1
6 .
故答案为： 1
6 .
【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是令 1, 2m x n y ，化简得出
2 22 1 8 41 2
x y
x y m n
利用基本不等式求解.
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步
骤．
16. 冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征
(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠
状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳歌、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严
重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经
试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 2
3
， 1 ,2
现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由 4 位该病
毒的感染者组成．其中 2 人试用甲种抗病毒药物，2 人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药
物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．
（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察 3 个试用组，用 表示这 3 个试用机组“甲类组”的个数，求 的分布列和数学期望．
【答案】（1） 4
9
；（2）分布列见解析；期望为 4
3
．
【解析】
【分析】（1）把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示，再利用相互独立事件的概率乘法
公式即可求解.
（2）首先判断随机变量 服从二项分布，再求其分布列和均值.
【详解】解（1）设 iA 表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数i 人”， 0,1,2i ，
iB 表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有i 人”， 0,1,2i
依题意有
1
2
1 2 42 3 3 9,
2 2 4
3 3 9,
P A
P A
0
1
1 1 1
2 2 4,
1 1 12 2 2 2,
P B
P B
所求的概率为
0 1 0 2 1 2
1 4 1 4 1 4 4
4 9 4 9 2 9 9
P P B A P B A P B A
（2） 的可能值为 0,1,2,3，且 43, 9B
0 3
0
3
4 4 1250 19 9 729P C
，
2
1
3
4 4 1001 19 9 243P C
，
2
2
3
4 4 802 19 9 243P C
，
3 0
3
3
4 4 643 19 9 729P C
，
的分布列为
0 1 2 3
p 125
729
100
243
80
243
64
729
数学期望 125 100 80 64 40 1 2 3729 243 243 729 3E ．
17. 如图所示，正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直， / /MB AN ， 2NA AB ， 4BM ，
2 3CN ．
（1）证明： MB 平面 ABCD ；
（2）求直线 AC 与平面 CDM 所成角的正弦值；
（3）在线段CM 上是否存在一点 E ，使得二面角 E BN M 的余弦值为 3
3
，若存在求出 CE
EM
的值，若
不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） 10
5
；（3）存在； 1
2
CE
EM
．
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质可得 BC BM ，再得出 BM AB 即可证明；
（2）以 B 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面 CDM 的法向量，利用向量关系可求出；
（3）设CE CM ，求出平面 BEN 和平面 BMN 的法向量，利用向量关系建立方程求出 即可得出.
【详解】（1）正方形 ABCD 中， BC AB ，
平面 ABCD 平面 ABMN ，平面 ABCD 平面 ABMN AB ， BC 平面 ABCD ，
BC 平面 ABMN ， BC BM ，且 BC BN ，又 2, 2 3BC CN ，
2 2 2 2BN CN BC ，又 2AB AN ， 2 2 2BN AB AN
AN AB ，又 / /AN BM ， BM AB ， BC BA B ，
BM 平面 ABCD ；
（2）由（1）知， BM 平面 ABCD ， BM AB
以 B 为坐标原点， , ,BA BM BC 所在直线分别为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系
0,0,0 , 2,0,0 , 0,0,2B A C ， 2,0,2 , 2,2,0 , 0,4,0D N M ，
则 2,0,2AC
uuur
， 2,0,0CD ， 0,4, 2CM ，
设平面 CDM 的法向量为 , ,n x y z
2 0
4 2 0
CD n x
CM n y z
，解 0x ，令 1, 2y z ， 0,1,2n ，
4 10sin cos , 54 4 4 1
AC nAC n
AC n
，
AC 与平面CDM 所成角正弦值为 10
5
．
（3）设点 , ,E x y z ，CE CM ， , , 2 0,4, 2x y z ，
0
4 , 0,4 ,2 2
2 2
x
y E
z
，
2,2,0 , 0,4 ,2 2BN BE ，
设平面 BEN 的法向量为 , ,m x y z
，
2 2 0 ,4 2 2 0
BN m x y
BE m y z
令 2 21, 1, , 1, 1,1 1x y z m
，
显然，平面 BMN 的法向量为 0,0,2BC ，
2
4
31cos , 322 2 1
BC mBC m
BC m
，
即
2 2
2 3 1
3 32 1 4
，即 22 3 6 4 2,
即 23 2 1 0 ，解得 1
3
或 1 （舍），
则存在一点 E ，且 1
2
CE
EM
.
【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间线面角和面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构
建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，
求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
18. 已知椭圆
2 2
2 2: 1 0y xC a ba b
的离心率为 3
2e ，其左右顶点分别为 ,A B ，下焦点为 F ，若
3ABFS ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若点 P 为椭圆C 上的动点，且在第一象限运动，直线 AP 的斜率为 k ，且与 y 轴交于点 M ，过点 M
与 AP 垂直的直线交 x 轴于点 N ，若直线 PN 的斜率为 2
5 k ，求 k 值．
【答案】（1）
2
2 14
y x ；（2） 3k ．
【解析】
【分析】（1）由已知直接列出式子即可求解；
（2）设出直线方程 AP ，与椭圆联立，可表示出点 P 坐标，得出直线 MN 方程，可得出点 N 坐标，即可根
据直线 PN 斜率求出 k.
【详解】（1）由题可知： 1 2 32ABFS bc ，即 33, 2bc e ，
2 2 2
3
2
3 12
3
bc
a
c ba
ca b c
，
椭圆方程为
2
2 14
y x ；
（2） 1,0 , APA k k ，
设直线 : ( 1), 0,APl y k x M k ，
联立方程 2 2 2 22
2
( 1)
4 2 4 0
14
y k x
k x k x ky x
，
2 2
2 2
2 4,4 4A P A P
k kx x x xk k
，
2
2 2
4 8, 14 4p p p
k kx y k xk k
，
2
2 2
4 8,4 4
k kP k k
，
MN AP ，
设直线 1: ,MNl y x kk
令 0y ，解得 2
Nx k ， 2 ,0N k ，
2
2
2
2
8
24
4 5
4
PN
k
kk kk kk
，即 4 25 24 0k k ，解得 2 3k 或 2 8k （舍），
P 在第一象限， 3k .
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 1 1A x y， ， 2 2B x y， ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 x （或 y ）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 1 2 1 2,x x x x 形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 已知等差数列 na 满足 3 2 3 41, 2,S Sa a 其中 nS 为 na 的前 n 项和，递增的等比数列 nb 满足：
1 1b ，且 1b ， 2b ， 3 4b 成等差数列．
（1）求数列 na 、 nb 的通项公式；
（2）设 n na b 的前 n 项和为 nT ，求 nT
（3）设
1
( 4)
( )n
n
n
n
aC S n b
， nC 的前 n 项和为 nA ，若
1nA n
恒成立，求实数 的最大值．
【答案】（1） 2 1na n ； 13n
nb ；（2） ( 1) 3 1n
nT n ；（3） 5
3
．
【解析】
【分析 】(1) 设等差 数列的公 差为 d ，由已 知条件， 结合等差 数列的通 项公式和 求和公式 可得
1 1
1 1
2 2 1
3 23 3 22
a d a d
da a d
，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列 nb 公比为 q，由
已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出 nb 的通项公式.
(2)由错位相减法即可求出前 n 项和 nT .
(3)由(1)可知 2
nS n ，整理可得 1
1 1
3 1 3n n nC n n ，由裂项相消法可得 nA
11 1 3nn
，由
1nA n
恒成立可得 11 3nn 恒成立，结合 11 3nn
的单调性即可求出实数 的最大值.
【详解】解：(1)设等差数列的公差为 d ， 3 2 3 41, 2,S S aa
1 1
1 1
2 2 1
3 23 3 22
a d a d
da a d
， 1 1, 2a d ， 2 1na n .
设等比数列 nb 公比为 q（其中 0q ），因为 1 1b ，
由 2 1 32 4b b b ，可得 2 2 3 0q q ，解得 3q 或 1 （舍去）；
所以数列 nb 的通项公式为 13n
nb .
（2）由（1）得 12 1 3 n
n na b n ，
则 1 2 2 11 3 3 3 5 3 2 3 3 (2 1) 3n n
nT n n 0 ①．
1 2 3 13 1 3 3 3 5 3 2 3 3 (2 1) 3n n
nT n n ②
由①减去②得 1 2 3 11 2(3 3 3 3 ) 2 1 3n n
nT n -2 ，
则
13 1 3
1 2 2 1 31 3
n
n
nT n
-2 ，所以 nb 的前 n 项和 ( 1) 3 1n
nT n .
（3）由(1)可知， 2
1
1 1 22 2n
n n n nS a n d n n
，
则
12
2 3 2 3 1 1
1 3 3 1 33n n n nn
n nC n n n nn n
1 1 2 1
1 1 1 1 11 2 3 2 3 3 3 3 1 3n n nA n n
11 1 3 1nn n
恒成立， 11 3nn 恒成立，
11 3nn 单调递增， 1n 时，
min
1 51 3 3nn
，
5 ,3
最大值为 5
3 .
【点睛】方法点睛:
常见数列求和的方法有：公式法；裂项相消法；错位相减法；分组求和法等.
20. 已知 21 2 3ln2f x x x x ， 3 21 ln6g x x x a x
（1）求 f x 在 1, 1f 处的切线方程及极值
（2）若不等式 ( ) 2 6xf x g x f x x a 对任意 1x 成立，求 a 的最大整数解．
（3） 31( ) 6F x g x x 的两个零点为 1 2 1 2, ( )x x x x ，且 0x 为 F x 的唯一极值点，
求证： 1 2 03 4x x x
【答案】（1）切线方程为8 2 5 0x y ；极小值为 33 3ln32f ，无极大值；（2）9；（3）证明见
解析．
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，求出 (1)f ， (1)f 即可得到切线方程，解 ( ) 0f x 得到单调递增区间，解
( ) 0f x 得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；
（2） 2 6xf x g x f x x a 等价于 min
3( ln ) ( )1
x x xa h xx
，求导分析 ( )h x 的单调性，
即可求出 k 的最大整数解；
（3）由 2( ) lnF x x a x ，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；
【详解】解：（1） 21 2 3ln2f x x x x Q 所以定义域为 0, ，
( ) 32f x x x
， (1) 4f ， 3(1) 2f ，
所以切线方程为8 2 5 0x y ；
1 3( ) x xf x x
，
令 ( ) 0f x ，解得 3x ；令 ( ) 0f x ，解得 0 3x ；
所以 f x 在区间 0,3 上单调递减，在 (3, ) 上单调递增．
3x 时 f x 有极小值为 33 3ln32f ，无极大值；
（2） 2 6xf x g x f x x a 等价于 min
3( ln ) ( )1
x x xa h xx
，
2
3( 2 ln )( )
( 1)
x xh x
x
，记 ( ) 2 lnm x x x ， 1( ) 1 0m x x
，
所以 m x 为 (1, ) 上的递增函数，且 (3) 1 ln3 0m ， (4) 2 ln 4 0m ，
所以 0 (3,4)x ，使得 0 0m x ，即 0 02 ln 0x x ，
所以 h x 在 01, x 上递减，在 0,x 上递增，且 0 0 0
min 0 0
0
3( ln( ) 3 (9,12)1
)x x xh x h x xx
，
所以 a 的最大整数解为9；
（3）证明： 2( ) lnF x x a x ，
( 2 )( 2 )( ) 2 0a x a x aF x x x x
得 0 2
ax ，
当 0, 2
ax
， ( ) 0F x ； ,2
ax
， ( ) 0F x ；
所以 ( )F x 在 0, 2
a
上单调递减， ,2
a
上单调递增，
而要使 F x 有两个零点，要满足 0 0F x ，
即
2
ln 0 22 2 2
a a aF a a e
；
因为 10 2
ax ， 2 2
ax ，令 2
1
x tx
( 1)t ，由 1 2g x g x ，
2 2
1 1 2 2ln lnx a x x a x ，即 2 2 2
1 1 1 1ln lnx a x t x a tx ，
2
1 2
ln
1
a tx t
，
而要证 1 2 03 4x x x ，
只需证 1(3 1) 2 2t x a ，即证 2 2
1(3 1) 8t x a ，即证 2
2
ln(3 1) 81
a tt at
，
由 0a ， 1t 只需证 2 2(3 1) ln 8 8 0t t t ，
令 2 2( ) (3 1) ln 8 8h t t t t ，则 1( ) (18 6)ln 7 6h t t t t t
，
令 1( ) (18 6)ln 7 6n t t t t t
，则 2
6 1( ) 18ln 11 0tn t t t
( 1)t ，
故 n t 在 (1, ) 上递增， ( ) (1) 0n t n ，
故 h t 在 (1, ) 上递增， ( ) (1) 0h t h ，
1 2 03 4x x x ．
【点睛】关键点点睛：（2）问属于典型的隐零点问题，解题的关键在于 0 0 0
min 0
0
)3( ln( ) 1
x x xh x h x x
的化简需要用到 0 0m x ，即 0 02 ln 0x x ；
（3）问解题的关键是先求出极小值点 0x ，利用比值代换 2
1
x tx
( 1)t ，通过分析法将要证不等式等价转化
为证明关于t 的不等式 2 2(3 1) ln 8 8 0t t t 成立.
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