第26讲 外接圆问题（解析版）-2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义

第 26 讲 外接圆问题 一．解答题 1．已知抛物线 2: 2C x y ， P 是 C 的准线l 上的动点，过 P 作 C 的两条切线，切点分别为 A ， B ． （1）当 P 点在 y 轴上时，求切线 PA ， PB 的方程； （2）设圆 M 是 PAB 的外接圆，当圆 M 的面积最小时，求圆 M 的方程． 【解答】解：（1）抛物线 2: 2C x y ，准线 l 的方程 1 2y   ， P 点在 y 轴上， 1(0, )2P  ， 设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ，且 1 0x  ， 2 0x  由 21 2y x ，求导 y x  ， 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 PA xy k xx x       ， 解得 1 1x   ， 切线 PA 的方程为 1 ( 1)2y x    ，即 2 2 3 0x y   ， 同理可得切线 PB 的方程为 2 2 3 0x y   ， （2）如图：设点 1( , )2P t  ， 设过点 P 与抛物线 2: 2C x y 相切的直线方程为 1 ( )2y k x t   ， 由 2 2 1 ( ) 2 2 1 02 2 y k x t x kx kt x y            △ 2 24 4(2 1) 0 4 8 4 0k kt k kt        ． 1 2 1k k   ， 即切线 PA ， PB 互相垂直．即 PAB 是直角三角形， PAB 的外接圆直径为弦 AB ． 当圆 M 的面积最小时，即是 AB 最短时， | | 2 2minAB p  ，此时 AB 垂直 y 轴， PAB 的外接圆圆心为 1(0, )2 ， 圆的方程为 2 21( ) 12x y   ． 2．已知定点 (0,1)F ，定直线 : 1l y   ，动圆 M 过点 F ，且与直线l 相切． （Ⅰ）求动圆 M 的圆心轨迹C 的方程； （Ⅱ）过点 F 的直线与曲线 C 相交于 A ， B 两点，分别过点 A ， B 作曲线C 的切线 1l ， 2l ，两条切线相交 于点 P ，求 PAB 外接圆面积的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）设点 M 到直线l 的距离为 d ，依题意| |MF d ． 设 ( , )M x y ，则有 2 2( 1) | 1|x y y    ． 化简得 2 4x y ． 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 2 4x y ． （Ⅱ）设 : 1ABl y kx  ， 代入 2 4x y 中，得 2 4 4 0x kx   ． 设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ， 则 1 2 4x x k  ， 1 2 4x x   ． 所以 2 2 1 2| | 1 | | 4( 1)AB k x x k     ． 因为 2: 4C x y ，即 2 4 xy  ，所以 2 xy  ． 所以直线 1l 的斜率为 1 1 2 xk  ，直线 2l 的斜率为 2 2 2 xk  ． 因为 1 2 1 2 14 x xk k    ， 所以 PA PB ，即 PAB 为直角三角形． 所以 PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 的中点，线段 AB 是直径． 因为 2| | 4( 1)AB k  ， 所以当 0k  时线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4 ． 3．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的两个焦点分别为 1( ,0)F c 和 2 (F c ，0)( 0)c  ， A 、C 是椭圆短轴的两端 点，过点 (3 ,0)E c 的直线 AE 与椭圆相交于另一点 B ，且 1 2/ /F A F B (I )求椭圆的离心率； ( )II 设直线 2F B 上有一点 (H m ， )( 0)n m  在△ 1AFC 的外接圆上，求 n m 的值． 【解答】解：（Ⅰ） 2 1 2| | 3 2 | |EF c c c F F    ，且 1 2/ /F A F B ， B 是 A 和 E 的中点， 不妨设 (0, )A b ，由 (3 ,0)E c ， 3( , )2 2 c bB ，代入 2 2 2 2 1x y a b   得： 2 2 2 2 9 1 4 4 1 c b a b   ，  3 3 c a  ，即椭圆的离心率 3 3e  ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 2 2 1( ) 3 ce a   ，得 2 23a c ， 2 2 2 22b a c c   ， 椭圆的方程可设为 2 2 22 3 6x y c  ． 若 (0, 2 )A c ，则 (0, 2 )C c ， 线段 1AF 的垂直平分线 l 的方程为 2 2 ( )2 2 2 cy c x    ， 直线 l 与 x 轴的交点 ( ,0)2 c 是△ 1AFC 外接圆的圆心． 因此，外接圆的方程为 2 2 2( ) ( )2 2 c cx y c    ． 直线 2F B 的方程为 2( )y x c  ，于是点 ( , )H m n 的坐标满足方程组： 2 2 2 2( ) 9( )2 4 n m c c cm n       ，由 0m  ，解得 2 2 3 5 3 n c m c     ． 故 2 2 5 n m  ； 若 (0, 2 )A c ，则 (0, 2 )C c ， 同理可得 2 2 5 n m   ．  2 2 5 n m   ． 4．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     经过点 2(1, )2M ，且其离心率为 2 2 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 F 为椭圆 C 的右焦点，椭圆 C 与 y 轴的正半轴相交于点 B ，经过点 B 的直线与椭圆 C 相交于另一 点 A ，且满足 2BA BF    ，求 ABF 外接圆的方程． 【解答】解：（1）椭圆 C 经过点 2(1, )2M ， 2 2 1 1 12a b   ，① 椭圆 C 的离心率为 2 2 ， 2 2 2 2 a b a   ，即 2 22a b ② 联立①②解得： 2 2a  ， 2 1b  ， 椭圆 C 的方程为 2 2 12 x y  ； （2）椭圆 C 的方程为 2 2 12 x y  ， (1,0)F ， (0,1)B ． 设 0(A x ， 0 )y ，则 2 20 0 12 x y  ，③  0 0( , 1), (1, 1)BA x y BF     ，且 2BA BF    ， 0 0( 1) 2x y    ，即 0 0 1y x  ，④ 联立③④解得： 0 0 0 1 x y     ，或 0 0 4 3 1.3 x y     ， (0, 1)A  ，或 4 1( , )3 3A ， 当 A 为 (0, 1) 时， | | | | | | 1OA OB OF   ， ABF 的外接圆是以 O 为圆心，1 为半径的圆， 此时外接圆的方程为： 2 2 1x y  ； 当 A 为 4 1( , )3 3 时，设 ABF 的外接圆方程为： 2 2 0x y Dx Ey F     ， 则 1 0 1 0 17 4 1 09 3 3 D F E F D E F                 ，解得 4 3 4 3 1.3 D E F          ， 此时外接圆的方程为： 2 2 4 4 1 03 3 3x y x y     ， 综上所述， ABF 的外接圆的方程为： 2 2 1x y  或 2 2 4 4 1 03 3 3x y x y     ． 5．已知椭圆 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 3 2 ，且过抛物线 2: 4C x y 的焦点 F ． （1）求椭圆 的方程； （2）设点 F 关于 x 轴的对称点为 F ，过 F 作两条直线 1l 和 2l ，其斜率分别为 k 、k ，满足 0k  ， 0k k   ， 它们分别是椭圆 的上半部分相交于G ，H 两点，与 x 轴相交于 A ，B 两点，使得 16| | 5GH  ，求证： ABF  的外接圆过点 F ； （3）设抛物线 C 的准线为l ， P ， Q 是抛物线上的两个动点，且满足 2PFQ   ，线段 PQ 的中点为 M ， 点 M 在l 上的投影为 N ，求 | | | | MN PQ 的最大值． 【解答】（1）解：由已知 (0,1)F ，设椭圆 E 的方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，则 1b  ， 离心率为 3 2 ，  2 2 1 3 4 a a   ， 2a  ， 椭圆 的方程为 2 2 14 x y  ； （2）证明：由题意， (0, 1)F  ，并且 1l 和 2l ，关于 y 轴对称， G 与 H ， A 与 B 也分别关于 y 轴对称， 1l 的方程 1y kx  代入椭圆方程，可得 2 2(1 4 ) 8 0k x kx   ， 0x  或 2 8 1 4 kx k   ， 2 8 16| | 2 | |1 4 5 kGH k     ， 1k  或 1 4k  ， 直线是椭圆 的上半部分相交， 1 2k  ， 1k  ， 1l 和 2l 的方程分别为 1y x  或 1y x   ， 令 0y  ，可得 (1,0)A ， ( 1,0)B  ， | | | | | | | |OA OB OF OF     ， A ， B ， F ， F 四点共圆， ABF 的外接圆过点 F ； （3）设 (0 )2PQF      ，则| | | | sinPF PQ  ，| | | | cosQF PQ  ， | | | | | | (sin cos ) 2 sin( )4PF QF PQ         由抛物线的定义及梯形的中位线定理可得 1| | (| | | |)2MN PF QF  ，  | | 2 sin( )| | 2 4 MN PQ   4   时， | | | | MN PQ 的最大值为 2 2 ． 6．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知 1 ( 4,0)F  ， 2 (4,0)F ， (0,8)A ，直线 (0 8)y t t   与线段 1AF 、 2AF 分别交于点 P 、 Q ． （Ⅰ）当 3t  时，求以 1F ， 2F 为焦点，且过 PQ 中点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点Q 作直线 1/ /QR AF 交 1 2F F 于点 R ，记 1PRF 的外接圆为圆 C ． ①求证：圆心 C 在定直线 7 4 8 0x y   上； ②圆 C 是否恒过异于点 1F 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，当 3t  时， PQ 中点为 (0,3) ，所以 3b  2 2 16a b  ， 2 25a  椭圆的标准方程为 2 2 125 9 x y  ； （Ⅱ）①证明：直线 1 : 2 8AF y x  ； 2 : 2 8AF y x   ； 所以可得 8( 2 tP  ， )t ， 8( 2 tQ  ， )t 直线 1/ /QR AF 交 1 2F F 于点 R ， (4 ,0)R t  设 1PRF 的外接圆 C 的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ，则 2 2 2 (4 ) (4 ) 0 16 4 0 8 8( ) 02 2 t t D F D F t tt D tE F                     74 4 4 16 D t E t F t        圆心坐标为 7( , 2)2 8 t t  圆心 C 在定直线 7 4 8 0x y   上； ②由①可得圆 C 的方程为： 2 2 7(4 ) 4 16 04x y tx t y t       整理可得 2 2 7( 4 16) ( 4) 04x y y t x y       2 2 4 16 0x y y     ，且 7 4 04x y   联立此两方程解得 4 13x  ， 32 13y  或 4x   ， 0y  圆C 恒过异于点 1F 的一个定点，该点的坐标为 4(13 ， 32)13 ． 7．已知 ABC 的边 AB 边所在直线的方程为 3 6 0x y   点 B 关于点 (2,0)M 的对称点为C ，点 ( 1,1)T  在 AC 边所在直线上且满足 0AT AB    ． ( )I 求 AC 边所在直线的方程； ( )II 求 ABC 的外接圆的方程； ( )III 若点 N 的坐标为 ( ,0)n ，其中 n 为正整数．试讨论在 ABC 的外接圆上是否存在点 P ，使得 | | | |PN PT 成立？说明理由． 【解答】解： ( ) 0I AT AB AT AB      ，又T 在 AC 上 AC AB  ， ABC 为 Rt ABC ，（1 分） 又 AB 边所在直线的方程为 3 6 0x y   ，所以直线 AC 的斜率为 3 ．（2 分） 又因为点 ( 1,1)T  在直线 AC 上， 所以 AC 边所在直线的方程为 1 3( 1)y x    ．即 3 2 0x y   ．（3 分） ( )II AC 与 AB 的 交 点 为 A ， 所 以 由 3 6 0 3 2 0 x y x y        解 得 点 A 的 坐 标 为 (0, 2) ，（ 5 分 ）  2,0 , , B M C M Rt ABC Rt ABC   点 关于 的对称点为 为 斜边上的中点 即为 外接圆的圆心 （6 分） 又 2 2| | (2 0) (0 2) 2 2r AM      ．（7 分） 从 ABC 外接圆的方程为： 2 2( 2) 8x y   ．（8 分） ( )III 若在 ABC 的外接圆圆 M 上存在点 P ，使得| | | |PN PT 成立，则 P 为线段 NT 的垂直平分线 L 与圆 M 的公共点．所以当 L 与圆 M 相离时，不存在满足条件的点 P ；当 L 与圆 M 相交或相切时则存在满足条件 的点 P ． 由 ( ,0)N n ， ( 1,1)T  ，知 NT 的斜率为 1 1n  ，线段 NT 的中点为 1 1( , )2 2 n  线段 NT 的垂直平分线 L 为      21 11 2 1 2 2 02 2 ny n x n x y n             即 （10 分） 圆 M 的圆心 M 到直线 L 的距离为 2 2 2 2 2 | 4(1 ) 0 2 | | 4 6 | 4(1 ) ( 2) 2 2 2 n n n nd n n n             （11 分） )i 当 1n  时， 1 , 2 2,2d r d r  而 由 ，此时直线 L 与圆 M 相交，存在满足条件的点 P )ii 当 2n  时 3 2 82d r   ，此时直线 L 与圆 M 相交，存在满足条件的点 P )iii 当 3n… 时， 2 2 2 2 4 6 1 6 8 1( 2 2 ) 2 6 8 82 22 2 2 2 2 n n nd n n n r n n n n                 此时直线 L 与圆 M 相离，不存在满足条件的点 P ．（14 分） 8．过点 ( , 2)P a  作抛物线 2: 4C x y 的两条切线，切点分别为 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y ． （Ⅰ） 证明： 1 2 1 2x x y y 为定值； （Ⅱ） 记 PAB 的外接圆的圆心为点 M ，点 F 是抛物线C 的焦点，对任意实数 a ，试判断以 PM 为直径的 圆是否恒过点 F ？并说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）证明：法 1：由 2 4x y ，得 21 4y x ，所以 1 2y x  ．所以直线 PA 的斜率为 1 1 2 x ． 因为点 1(A x ， 1)y 和 2(B x ， 2 )y 在抛物线 C 上，所以 2 1 1 1 4y x ， 2 2 2 1 4y x ． 所以直线 PA 的方程为 2 1 1 1 1 1 ( )4 2y x x x x   ． （1 分） 因为点 ( , 2)P a  在直线 PA 上， 所以 2 1 1 1 1 12 ( )4 2x x a x    ，即 2 1 12 8 0x ax   ． （2 分） 同理， 2 2 22 8 0x ax   ． （3 分） 所以 1x ， 2x 是方程 2 2 8 0x ax   的两个根． 所以 1 2 8x x   ． （4 分） 又 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 44 4 16y y x x x x   ， （5 分） 所以 1 2 1 2 4x x y y   为定值． （6 分） 法 2：设过点 ( , 2)P a  且与抛物线 C 相切的切线方程为 2 ( )y k x a   ， （1 分） 2 2 ( ) 4 y k x a x y      ，消去 y 得 2 4 4 8 0x kx ka    ， 由△ 216 4(4 8) 0k ak    ，化简得 2 2 0k ak   ． （2 分） 所以 1 2 2k k   ． （3 分） 由 2 4x y ，得 21 4y x ，所以 1 2y x  ． 所以直线 PA 的斜率为 1 1 1 2k x ，直线 PB 的斜率为 2 2 1 2k x ． 所以 1 2 1 24 x x   ，即 1 2 8x x   ． （4 分） 又 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 44 4 16y y x x x x   ， （5 分） 所以 1 2 1 2 4x x y y   为定值． （6 分） （Ⅱ） 法 1：直线 PA 的垂直平分线方程为 1 1 1 2 2 ( )2 2 y x ay xx      ， （7 分） 由于 2 1 1 1 4y x ， 2 1 18 2x ax  ， 所以直线 PA 的垂直平分线方程为 1 1 1 2 ( )4 2 ax x ay xx     ．① （8 分） 同理直线 PB 的垂直平分线方程为 2 2 2 2 ( )4 2 ax x ay xx     ．② （9 分） 由①②解得 3 2x a ， 2 1 2 ay   ， 所以点 23( ,1 )2 2 aM a  ． （10 分） 抛物线C 的焦点为 (0,1)F ，则 23( , ), ( ,3)2 2 aMF a PF a      ． 由于 2 23 3 02 2 a aMF PF      ， （11 分） 所以 MF PF  ． 所以以 PM 为直径的圆恒过点 F ． （12 分） 另法：以 PM 为直径的圆的方程为 23( )( ) ( 2)( 1 ) 02 2 ax a x a y y       ． （11 分） 把点 (0,1)F 代入上方程，知点 F 的坐标是方程的解． 所以以 PM 为直径的圆恒过点 F ． （12 分） 法 2：设点 M 的坐标为 ( , )m n ， 则 PAB 的外接圆方程为 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( 2)x m y n m a n       ， 由于点 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y 在该圆上， 则 2 2 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( 2)x m y n m a n       ， 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( 2)x m y n m a n       ． 两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2( )( 2 ) ( )( 2 ) 0x x x x m y y y y n        ，① （7 分） 由（Ⅰ）知 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 12 , 8, ,4 4x x a x x y x y x      ，代入上式得 3 1 2( )(4 4 4 2 ) 0x x a m a a an      ， （8 分） 当 1 2x x 时，得 38 4 2 0a m a an    ，② 假设以 PM 为直径的圆恒过点 F ，则 MF PF  ，即 ( m ， 1) (n a  ， 3) 0  ， 得 3( 1) 0ma n   ，③ （9 分） 由②③解得 23 1, 12 2m a n a   ， （10 分） 所以点 23 1( ,1 )2 2M a a ． （11 分） 当 1 2x x 时，则 0a  ，点 (0,1)M ． 所以以 PM 为直径的圆恒过点 F ． （12 分） 9．已知抛物线 2: 4C x y ， M 为直线 : 1l y   上任意一点，过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA ， MB ，切 点分别为 A ， B ． （1）当 M 的坐标为 (0, 1) 时，求过 M ， A ， B 三点的圆的方程； （2）若 0(P x ， 0 )y 是 C 上的任意点，求证： P 点处的切线的斜率为 0 1 2k x ； （3）证明：以 AB 为直径的圆恒过点 M ． 【解答】解：（1）当 M 的坐标为 (0, 1) 时， 设过 M 点的切线方程为 1y kx  ，代入 2 4x y ，整理得 2 4 4 0x kx   ， 令△ 216 16 0k   ，解得 1k   ， 代入方程得 2x   ，故得 (2,1)A ， ( 2,1)B  ， 因为 M 到 AB 的中点 (0,1) 的距离为 2， 从而过 M ， A ， B 三点的圆的方程为 2 2( 1) 4x y   ． （2）证明：抛物线 2: 4C x y ，导数为 1 124 2y x x   ， 可得 0(P x ， 0 )y 是 C 上的任意点， P 点处的切线的斜率为 0 1 2k x ； （3）证明：设切点分别为 1(A x ， 2 1 )4 x ， 2(B x ， 2 2 )4 x ， 1 2MA xk  ， 2 2MB xk  ， 切线 MA 的方程为 2 1 1 1( )4 2 x xy x x   ，即 2 1 1 1 1 2 4y x x x  ， 切线 MB 的方程为 2 2 2 2( )4 2 x xy x x   ，即 2 2 2 1 1 2 4y x x x  ， 又因为切线 MA 过点 0(M x ， 1) ， 所以得 2 0 1 1 1 11 2 4x x x   ，① 又因为切线 MB 也过点 0(M x ， 1) ， 所以得 2 0 2 2 1 11 2 4x x x   ，② 所以 1x ， 2x 是方程 2 0 1 11 2 4x x x   的两实根， 由韦达定理得 1 2 02x x x  ， 1 2 4x x   ， 因为 1 0(MA x x  ， 2 1 1 1)4 x  ， 2 0(MB x x  ， 2 2 1 1)4 x  ， 所以 2 2 1 0 2 0 1 2 1 1( )( ) ( 1)( 1)4 4MA MB x x x x x x        2 2 2 2 21 2 1 2 0 1 2 0 1 2 1( ) ( ) 116 4 x xx x x x x x x x        2 2 2 21 2 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1( ) [( ) 2 ] 116 4 x xx x x x x x x x x x         ， 将 1 2 02x x x  ， 1 2 4x x   代入，得 0MA MB    ， 则以 AB 为直径的圆恒过点 M ． 10．（2020•广州一模）已知点 P 是抛物线 21: 34C y x  的顶点， A ， B 是 C 上的两个动点，且 4PA PB     ． （1）判断点 (0, 1)D  是否在直线 AB 上？说明理由； （2）设点 M 是 PAB 的外接圆的圆心，求点 M 的轨迹方程． 【解答】解：（1）由抛物线的方程可得顶点 (0, 3)P  ，由题意可得直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程 为： 4y kx  ，设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y 联立直线与抛物线的方程： 21 34 y kx b y x     ，整理可得： 2 4 4( 3) 0x kx b    ，△ 216 16(3 ) 0k b    ，即 2 3 0k b   ， 1 2 4x x k  ， 1 2 4( 3)x x b   ， 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 ( 3) 4 12y y k x x kb x x b k b k b b b k           ， 2 1 2 1 2( ) 2 4 2y y k x x b k b      ， 因 为 1(PA PB x   ， 1 23)(y x ， 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 23) 3( ) 9 4( 3) 12 3(4 2 ) 9 2 3y x x y y y y b b k k b b b                 ， 而 4PA PB     ，所以 2 2 3 4b b    ，解得 1b   ， m 满足判别式大于 0， 即直线方程为 1y kx  ，所以恒过 (0, 1) 可得点 (0, 1)D  在直线 AB 上． （2）因为点 M 是 PAB 的外接圆的圆心，所以点 M 是三角形 PAB 三条边的中垂线的交点， 设线段 PA 的中点为 F ，线段 PB 的中点为为 E ， 因为 (0, 3)P  ，设 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 )y 所以 1( 2 xF ， 1 3)2 y  ， 2( 2 xE ， 2 3)2 y  ， 1 1 3 PA yk x  ， 2 2 3 PB yk x  ， 所以线段 PA 的中垂线的方程为： 1 1 1 1 3 ( )2 3 2 y x xy xy     ， 因为 A 在抛物线上，所以 2 1 1 13 4y x  ， PA 的中垂线的方程为： 2 1 1 1 43 ( )8 2 x xy xx      ，即 2 1 1 4 18 xy xx     ， 同理可得线段 PB 的中垂线的方程为： 2 2 2 4 18 xy xx     ， 联立两个方程 2 1 1 2 2 2 4 18 4 18 xy xx xy xx           ，解得 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 32 8 8M x x x xx x x x xy        ， 由（1）可得 1 2 4x x k  ， 1 2 4( 3) 8x x b     ， 所以 8 4 32M kx k    ， 2 2 2 21 2 1 2 1 22 ( ) 28 8M x x x x x xy k     ， 即点 2( ,2 )M k k ，所以 2 1 2M Mx y ， 即点 M 的轨迹方程为： 2 1 2x y ．