决胜 2021 年全国高考数学考前保温练习
第 16 练 综合练习 4
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 lnA x y x ， 2sinB y Z y x ，则 A B （ ）
A． 0,2 B． 0,2
C． 1,2 D． 0,1,2
2. 大数学家欧拉发现了一个公式： e cos sinix x i x ， i 是虚数单位， e 为自然对数的底
数．此公式被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，
2022π πcos sin4 4i
（ ）
（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1 B． 1
C．i D． i
3.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种
大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行
“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）
A．48 种 B．36 种 C．24 种 D．12 种
4.基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传
染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可
以用指数模型： ( e) rtI t 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长
率 r 与 R0，T 近似满足 R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺
炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2 天 B. 1.8 天
C. 2.5 天 D. 3.5 天
5.已知函数 1| 2 |2
x
xf x ，若实数 m 满足 3 1
3
log log 3f m f m
，则实数 m 的取
值范围是（ ）
A． 1 ,33
B． 10, 3
C． 1,3 D． 10, 3,3
U
6.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1a 为函数 3sin cosf x x x x R 的最大值，且
满足 1
1 2n n n n n
aa a S a S ，则数列 na 的前 2019 项之积 2019A （ ）
A. 2019
2
B. 1
2
C. 1 D. 1
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求,全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
7.已知 a
，b
是平面上夹角为
3
的两个单位向量，c
在该平面上，且( a
﹣ c
)·(b
﹣ c
)=0，则
下列结论中正确的有（ ）
A． 1a b
B． 1a b
r r
C． 3c
D． a b ， c
的夹角是钝角
8.离心率为 5 1
2
(即黄金分割比 5 1
2
的倒数)的双曲线称为黄金双曲线.已知黄金双曲
线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
)的左右焦点分别为 1F ， 2F ，实轴端点分别为 1A ， 2A (其中 1A 在
2A 左侧)，虚轴端点分别为 1B ， 2B ，过 2F 作 x 轴的垂线与双曲线交于 P，Q 两点，则下列
结论正确的有（ ）
A． 2 45POF B． 1 2PQ F F
C． 211B F A△ 为锐角三角形 D． 1 2B B 是 1 2A A ， 1 2F F 的等比中项
9.关于函数 e cosxf x a x ， π,πx 下列说法正确的是（ ）
A. 当 1a 时， f x 在 0x 处的切线方程为 y x
B. 若函数 f x 在 π,π 上恰有一个极值，则 0a
C. 对任意 0a ， 0f x 恒成立
D. 当 1a 时， f x 在 π,π 上恰有 2 个零点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，多空题，第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分．
10.已知二项式
6
2 ax x
的展开式中含 3x 项的系数是 160，则实数 a 的值是______.
11.在三棱锥 A SBC 中， 10AB = ，
4ASC BSC ， AC AS ， BC BS ，
若该三棱锥的体积为 15
3
，则棱锥 S ABC 外接球的表面积为_________.
12.已知直线 : 2l y x b 与抛物线 2: 2 0C y px p 相交于 A 、 B 两点，且 5AB ，
直线l 经过C 的焦点．则 p ________，若 M 为C 上的一个动点，设点 N 的坐标为 3,0 ，
则 MN 的最小值为________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13.在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 41a ，2 sin 5 sin2
B Cb a B ．
（1）求 sin A ；
（2）M 为边 AC 上一点，且 2MC MB ，
2ABM ，求 ABC 的面积．
14.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 9 90S ， 10 20a ，数列 nb 满足 1 6b ，
1 3 4n nb b n ， nT 为数列 nb 的前 n 项和.
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）求证：数列 1n nb a 为等比数列；
（3）若 369 0nT 恒成立，求 n 的最小值.
15.如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，已知∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°，A1B＝A1A＝AC
＝2，AB＝ 2 .
（1）求证：平面 ACC1A1⊥平面 ABC；
（2）求二面角 B1—A1B—C 大小的余弦值.
16.某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，己知共有 20000 名学生参加了预
赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取 100 人的预赛成绩作为样本，得到如下的统计数
据.
得分（百分制） [0，20) [20，40) [40，60) [60，80) [80，100]
人数 10 20 30 25 15
（1）规定预赛成绩不低于 80 分为优良，若从样本中预赛成绩不低于 60 分的学生中随机地
抽取 2 人，求恰有 1 人预赛成绩优良的概率；
（2）由样本数据分析可知，该市全体参加预赛学生的预赛成绩 Z 服从正态分布 2,N ，
其中 可近似为样本中的 100 名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中间值
代替），且 2 361 .利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于 72
分的人数；
（3）预赛成绩不低于 91 分的学生将参加复赛，复赛规则如下：
①参加复赛的学生的初始分都设置为 100 分；
②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量 n ，每一题都需要“花”掉一定分数来获取答
题资格（即用分数来买答题资格），规定答第 k 题时“花”掉的分数为 0.2 1,2,k k n ；
③每答对一题得 2 分，答错得 0 分；
④答完 n 题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.
已知学生甲答对每道题的概率均为 0.75，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量 n
为多少时，他的复赛成绩的期望值最大？
参考数据：若 2~ ,Z N ，则 6.827P Z ，
2 2 0.9545P Z ， 3 3 0.9973P Z
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