第 16 题、 导数综合
1．已知函数 y＝f（x）为 R 上的奇函数，满足 f'（x）＞﹣2，则不等式 f（x﹣1）＜x2（3﹣
2lnx）+3（1﹣2x）的解集为 （0，1） ．
【解答】解：设 g（x）＝f（x﹣1）﹣x2（3﹣2lnx）﹣3（1﹣2x），其定义域为（0，+∞），
则 g′（x）＝f′（x﹣1）+4xlnx﹣4x+6，
设 h（x）＝4xlnx﹣4x+6，则 h′（x）＝4lnx，
由 h′（x）＞0 得 x＞1，
由 h′（x）＜0 得 0＜x＜1，
即当 x＝1 时，函数 h（x）取得极小值同时也是最小值 h（1）＝2，
∵f′（x﹣1）＞﹣2，h（x）≥2，
∴g′（x）＝f′（x﹣1）+h（x）＞﹣2+2＝0，
即 g（x）在（0，+∞）上为增函数，
则当 x＝1 时，g（1）＝f（1﹣1）﹣12（3﹣2ln1）﹣3（1﹣2）＝0，
则不等式 f（x﹣1）＜x2（3﹣2lnx）+3（1﹣2x）等价为 g（x）＜0，即 g（x）＜g（1），
又 x＞0，
则 0＜x＜1，
即不等式 f（x﹣1）＜x2（3﹣2lnx）+3（1﹣2x）的解集是（0，1），
故答案为：（0，1）．
2．设函数 f（x）在 R 上存在导函数 f'（x），对任意的实数 x 都有 f（x）＝f（﹣x）+2x，当
x＞0 时，f'（x）＞2x+1．若 f（a+1）≥f（﹣a）+2a+1，则实数 a 的取值范围是 [
，
+∞） ．
【解答】解：设 g（x）＝f（x）﹣x，
则 g（x）﹣g（﹣x）＝f（x）﹣x﹣[f（﹣x）+x]＝0，
∴g（x）＝g（﹣x），∴g（x）是偶函数，
当 x＞0 时，g′（x）＝f′（x）﹣1，
而 f'（x）＞2x+1，则 g′（x）＝f′（x）﹣1＞2x＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（a+1）≥f（﹣a）+2a+1，
∴f（a+1）﹣（a+1）≥f（﹣a）﹣（﹣a），
即 g（a+1）≥g（﹣a），
∴|a+1|≥|﹣a|，
即 a
，
故答案为：[
，+∞）．
3．已知函数 f（x）＝alnx
x2+bx 存在极小值，且对于 b 的所有可能取值，f（x）的极小值
恒大于 0，则 a 的最小值为 ﹣e3 ．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），
则函数的导数 f′（x）
x+b，
若函数 f（x）＝alnx
x2+bx 存在极小值，
则 f′（x）
x+b＝0 有解，
即﹣x2+bx+a＝0 有两个不等的正根，
则
△
香
＞
＞
＞
，得 b＞2
，（a＜0），
由 f′（x）＝0 得 x1
香
，x2
香
，
分析易得 f（x）的极小值点为 x1，
∵b＞2
，（a＜0），
∴x1
香
香∈
（0，
），
则 f（x）极小值＝f（x1）＝alnx1
x12+bx1＝alnx1
x12+x12﹣a＝alnx1
x12﹣a，
设 g（x）＝alnx
x2﹣a，x
∈
（0，
），
f（x）的极小值恒大于 0 等价为 g（x）恒大于 0，
∵g′（x）
x
＜0，
∴g（x）在（0，
）上单调递减，
故 g（x）＞g（
）＝aln
a≥0，
得 ln
，即﹣a≤e3，则 a≥﹣e3，
故 a 的最小值为是﹣e3，
，即为 ax3﹣6x2+2＝0
【解答】解：由题意可得 f（x）＝0，
值范围是 （4，+∞） ．
6．已知函数 f（x）＝ax3﹣6x2+2，若函数 f（x）存在唯一零点 x0，且 x0＜0，则实数 a 的取
故选：C．
，
香
由于存在 x0 使得 f（x0）≤b，则 f（x）min≤b，即 b
．
香
曲线之间最小的距离，故 f（x）min＝d2
即为直线与
ݐ
则 M（1，0），所以点 M（1，0）到直线 y＝2x 的距离 d
，令 y′＝2，解得 x＝1，此时 y＝2ln 1＝0，
离的最小值，由 y＝2ln x 求导可得 y′
P 在曲线 y＝2ln x 上，点 Q 在直线 y＝2x 上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距
【解答】解：函数 f（x）可以看作动点 P（x，ln x2）与点 Q（a，2a）的距离的平方，点
D．1
香
C．
B．
A．
成立，则实数 b 的最小值为（ ）
R，存在 x0 使得 f（x0）≤b
∈
5．设函数 f（x）＝（x﹣a）2+（ln x2﹣2a）2，其中 x＞0，a
故选：D．
即为所求．
香
，即
，所以
所以 g（x）＞
，
→
故 g（x）是增函数，又因为当 x→0 时，
，
＞
ݐ
쳌ݐ ݐ
（x＞0），∵
令 g（x）
（x＞0）恒成立．
即
（0，+∞）上恒成立即可．
显然 x＝1 是 f′（x）的变号零点，即为原函数的极值点，所以只需 ex﹣2t（x+2）≥0 在
．
ݐ
ݐ
ݐ
쳌ݐ
香 【解答】解：由已知得
∞，
ݐ
D．
香
，
C．
∞，
ݐ
B．
香
∞，
ݐ
A．
恰有一个极值点为 1，则 t 的取值范围是（ ）
ݐሺ
4．已知 f（x）
故答案为：﹣e3．
．
或
＜
＜
ሺ
或
ሺ
故答案为：
．
或
＜
＜
ሺ
或
ሺ
由临界分析得：
；
ሺ
，l4 的斜率为
，l3 的斜率为
ሺ
，l2 的斜率为
同时 l3 也符合题意，而 l1 的斜率为
可得直线 y＝ax 应在图中虚线 l1 和 l2 之间，虚线 l4 和 x 轴之间（包括直线 l4 和 x 轴），
示，
y＝f（x）与 y＝ax 有两个不同交点，如图所
⇔
而 g（x）＝f（x）﹣ax 有两个不同的零点
，
＜
，
ሺ
＜
，
ሺ
ݐ
所以
，
ሺ
ݐ ݐ
[3，9）时，
∈
，当 x
ݐ ݐ ݐ ݐ
【解答】解：∵
． ．
或
＜
＜
ሺ
或
ሺ
函数 g（x）＝f（x）﹣ax 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是
[1，3），f（x）＝lnx，若在区间[1，9）内，
∈
7．已知函数 f（x）满足 f（x）＝f（3x），当 x
故答案为：（4，+∞）．
由题意 可得当 a＞4 时，f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0＜0，
作出 g（x）的图象，可得 g（x）的极大值为 g（1）＝4，
当﹣1＜x＜0，0＜x＜1 时，g（x）递增．
可得 x＜﹣1，x＞1 时，g（x）递减；
，
香
香 ݐݐ
g′（x）
，
，令 g（x）
可得 a
8．已知函数 f（x）＝x+ex﹣a，g（x）＝ln（x+2）﹣4ea﹣x，其中 e 为自然对数的底数，若存
在实数 x0，使 f（x0）﹣g（x0）＝3 成立，则实数 a 的值为（ ）
A．﹣ln2﹣1 B．﹣1+ln2 C．﹣ln2 D．ln2
【解答】解：令 f（x）﹣g（x）＝x+ex﹣a﹣ln（x+2）+4ea﹣x，
令 y＝x﹣ln（x+2），y′＝1
，
故 y＝x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，
故当 x＝﹣1 时，y 有最小值﹣1﹣0＝﹣1，
而 ex﹣a+4ea﹣x≥4，
（当且仅当 ex﹣a＝4ea﹣x，即 x＝a+ln2 时，等号成立）；
故 f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；
故 x＝a+ln2＝﹣1，
即 a＝﹣1﹣ln2．
故选：A．
9．已知函数 g（x）＝x2﹣2ax，f（x）
ln（x+1），若存在 x1
∈
[0，1]，存在 x2
∈
[1，2]
使得 f′（x1）≥g（x2）成立，则实数 a 的取值范围是 a＞
香
．
【解答】解：根据任意 x1
∈
[0，1]，存在 x2
∈
[1，2]，使 f′（x1）＞g（x2）成立，
只需满足：f'（x）max≥g（x）min，
而 f'（x）＝x2
，x
∈
[0，1]时为增函数，
所以，f'（x）max＝f（1）
，
g（x）＝x2﹣2ax 的图象是开口朝上，且以直线 x＝a 为对称轴的抛物线，
①
若 a＜1，则 x
∈
[1，2]时函数单调递增，
所以，g（x）min＝g（1）＝1﹣2a，
因此，
1﹣2a，
解得 a
香
，
∴
香
＜a＜1；
②
若 1≤a≤2，则 x
∈
[1，a]时，函数单调递减，x
∈
[a，2]时函数单调递增，
所以，g（x）min＝g（a）＝﹣a2，
．∴x＝1 时，函数 g（x）取得最小值，g（1）＝﹣1﹣2a+4＝3﹣2a
[1，2]上单调递减，
∈
﹣a≥2，即 a≤﹣2 时，函数 g（x）在 x
②
．
，
1．此时 a 的取值范围是
＞
4a，解得 a
∴
取得最小值，g（2）＝﹣4﹣4a+4＝﹣4a．
[1，2]上单调递减，∴x＝2 时，函数 g（x）
∈
﹣a≤1，即 a≥﹣1 时，函数 g（x）在 x
①
g（x）＝﹣（x+a）2+a2+4．对称轴 x＝﹣1，抛物线开口向下．
[1，2]，
∈
g（x）＝﹣x2﹣2ax+4，x
．
∴x＝1 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（x）min＝f（1）
2]内单调递增．
，可得：函数 f（x）在（0，1）内单调递减，在[1，
香
香 ݐݐ
香
f′（x）
（0，2]，
∈
，x
香
香
f（x）＝ln x
[1，2]，
∈
（0，2]，x2
∈
∴f（x1）min≥g（x2）min，x1
[1，2]，使得 f（x1）≥g（x2）成立，
∈
（0，2]，存在 x2
∈
【解答】解：对任意的 x1
．
，
2]，使得 f（x1）≥g（x2）成立，则 a 的取值范围是
[1，
∈
（0，2]，存在 x2
∈
，g（x）＝﹣x2﹣2ax+4，若对任意的 x1
香
香
香10．已知 f（x）＝lnx
香故答案为：a＞
综上可得：a＞
故此时 a＞2；
，
解得 a
4﹣4a：，
因此
所以，g（x）min＝g（2）＝4﹣4a，
[1，2]时函数单调递减，
∈
若 a＞2，则 x
③
故此时 1≤a≤2；
不等式恒成立
a2，
因此，
∴
3﹣2a，解得 a
香
．此时 a 的取值范围是[
香
，+∞）．
③
2＞﹣a＞1，即﹣2＜a＜﹣1 时，函数 g（x）在 x
∈
[1，a]上单调递增，在 x
∈
[a，2]上单
调递减，
又 g（2）＝﹣4a．g（1）＝3﹣2a．∴g（x）min＝{g（1），g（2）}min．
综上可得：a 的取值范围是[
香
，+∞）．
故答案为：
，
．
11．已知函数 f（x）＝x•ex﹣ex，若 f（x）＜a 有且仅有两个不同的整数解，则函数 f（x）
的最小值为 ﹣1 ；实数 a 的取值范围是 （
，
] ．
【解答】解：∵f（x）＝x•ex﹣ex，
∴f′（x）＝（1+x）ex﹣ex＝xex，
当 x＜0 时，f′（x）＜0，故 f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；
当 x＞0 时，f′（x）＞0，故 f（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴当 x＝0 时，f（x）取到极小值 f（0）＝﹣1，也是最小值．
又 f（1）＝0，f（0）＝﹣1，
当 x→﹣∞时，f（x）→0，当 x→∞时，f（x）→+∞，
∵f（x）＜a 有且仅有两个不同的整数解，
∴这两个整数解只能是﹣1 和 0，
∴f（﹣1）＜a≤f（﹣2），
即
＜a
，
故答案为：﹣1；（
，
]．
12．已知函数 f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图象在（0，1）处的切线方程为 y＝2x+1，若 f
（x）≥mx+x 恒成立，则实数 m 的取值范围为 [﹣1，2e﹣1]． ．
．[故答案为：[﹣1，2e﹣1
∴m 的取值范围为[﹣1，2e﹣1]．
综上，﹣1≤m≤2e﹣1；
1＜﹣1，则 m≥﹣1，
1 恒成立，而
当 x＜0 时，m
）＝2e﹣1，
1）min＝g（
1 恒成立，∴m≤（
当 x＞0 时，m
，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
（
∈
当 x
递减，
）上单调
）时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，0）和（0，
（﹣∞，0）∪（0，
∈
当 x
，
ݐ
1，则 g′（x）
当 x≠0 时，令 g（x）
当 x＝0 时，e0≥0 成立，
∵f（x）≥mx+x 恒成立，∴e2x≥mx+x 恒成立，
∴f′（0）＝a0lna＝2，即 a＝e2，则 f（x）＝e2x，
又函数 f（x）在（0，1）处的切线方程为 y＝2x+1，
解答】解：∵f（x）＝ax，∴f′（x）＝axlna，】
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