专题05 数形结合法（解析版）-【考前小题仿真练】之30分钟拿下高考数学选择、填空题（新高考专用）

1 专题 05 数形结合法 方法探究 数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位 置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简 单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的. 在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过 程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何图形，再利用 图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如： （1）在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化， 使运算快捷明了. （2）借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现 了数形结合的特征与方法. （3）处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条 件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路. （4）有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图 象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法. （5）线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合 思想的应用. （6）数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前 n 项和公式可以看作关于正整数 n 的函数.用数 形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问 题来解决. （7）解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线 的性质及其相互关系的研究中. （8）立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何 问题转化为纯粹的代数运算. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数形结合是数学解题中常用的思想方 法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把 握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，我们一 定要学好并应用好数形结合的方法. 2 经典示例 【例 1】（集合中的数形结合）已知集合 A= 2 2( , ) 1x y x y │ ，B= ( , )x y y x│ ，则 A  B 中元素的 个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合 A 表示以 0,0 为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成 的集合，集合 B 表示直线 y x 上所有的点组成的集合，画出大致图象可知，圆 2 2 1x y  与直线 y x 相 交于两点 2 2,2 2       ， 2 2,2 2       ，则 A B 中有 2 个元素.故选 B. 【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正 确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集 合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 【备考警示】对于点集问题，常表示的是某曲线上的点的集合，所以通过画图可以顺利解决此类问题. 【 例 2 】 （ 函 数 中 的 数 形 结 合 ） 对 任 意 实 数 a ， b 定 义 运 算 “ ⊗ ” ： , 1 , 1 b a ba b a a b       , 设   2 1( ) (4 )f x x x   ，若函数  y f x k  恰有三个零点，则实数 k 的取值范围是 A．(−2,1) B．[0,1] C．[−2,0) D．[−2,1) 【答案】D 【解析】由新定义可得 2 2 2 4 ,( 1) (4 ) 1( ) 1,( 1) (4 ) 1 x x xf x x x x             ，即 2 4 , 2 3( ) 1, 2 3 x x xf x x x          或 .其图象如图 所示，所以由  y f x k  恰有三个零点可得，−1