专题 26 统 计-高考题专项练习
一、单选题
1．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至
2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折
线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
【试题来源】2017 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标 3 卷精编版）
【答案】A
【分析】观察折线图可知月接待游客量每年 7，8 月份明显高于 12 月份，且折线图呈现增长
趋势，高峰都出现在 7、8 月份，1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月波动性更小.
【解析】对于选项 A，由图易知月接待游客量每年 7，8 月份明显高于 12 月份，故 A 错；
对于选项 B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故 B 正确；
对于选项 C，D，由图可知显然正确.故选 A.
【名师点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.
2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居
民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是
A．总体 B．个体
C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
【试题来源】2014 年全国普通高等学校招生统一考试（四川卷）
【答案】A
【解析】从 5000 份中抽取 200 份，样本的容量是 200，抽取的 200 份是一个样本，每个居
民的阅读时间就是一个个体，5000 名居民的阅读时间的全体是总体.所以选 A.
3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为
20,40 , 40,60 , 60,80 ,[80,100].若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是
A． 45 B．50
C．55 D．
【试题来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试（辽宁卷）
【答案】B
【解析】根据频率分布直方可知成绩低于 60 分的有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为 0.005，0.01，每组数据的组距为 20，
则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0.010)×20=0.3.
因为低于 60 分的人数是 15 人，所以该班的学生人数是 15÷0.3=50.
本题选择 B 选项.
4．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、
丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为 N ，其中甲社区有驾驶
员 96 人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43，则这四个社
区驾驶员的总人数 N 为
A．101 B．808
C．1212 D．2012
【试题来源】2012 年全国普通高等学校招生统一考试（四川卷）
【答案】B
【解析】由分层抽样的定义可得 ，解得 ，故选 B．
5．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单
位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编
号为第一组，第二组， ，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知
第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为
A．6 B．8
C．12 D．18
【试题来源】2014 年全国普通高等学校招生统一考试（山东卷）
【答案】C
【解析】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有 20 人，分布在区间第一组与第二组
的频率分别为 0.24，0.16，所以第一组有 12 人，第二组 8 人，第三组的频率为 0.36，所以
第三组的人数：18 人，第三组中没有疗效的有 6 人，第三组中有疗效的有 12 人．
6．一个容量 100 的样本，其数据的分组与各组的频数如下表
组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在 (10,40]上的频率为
A．0.13 B．0.39
C．0.52 D．0.64
【试题来源】2009 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
【答案】C
【解析】由题意可知频数在 10,40 的有：13+24+15=52，由频率=频数 总数可得 0.52.故
选 C.
7．从一堆苹果中任取 10 只，称得它们的质量如下（单位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
【试题来源】2011 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
【答案】C
【解析】因为在 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 十个数字中，
样本数据落在[114.5，124.5）内的有 116，120，120，122 共有四个，
所以样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为 =0.4，故选 C
8．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【试题来源】2012 年全国普通高等学校招生统一考试（安徽卷）
【答案】C
【解析】 x 甲＝ 1
5
（4＋5＋6＋7＋8）＝6， x 乙＝ 1
5
（5×3＋6＋9）＝6，
甲的成绩的方差为 1
5
（22×2＋12×2）＝2，
乙的成绩的方差为 1
5
（12×3＋32×1）＝2.4.故选 C.
9．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小
说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读
过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过
《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与
该校学生总数比值的估计值为
A． 0.5 B．0.6
C． 0.7 D． 0.8
【试题来源】2019 年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）
【答案】C
【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数之
比为 70÷100=0.7．故选 C．
【名师点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化
与化归思想解题．
10．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组
数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为
A．5，5 B．3，5
C．3，7 D．5，7
【试题来源】2017 年全国普通高等学校招生统一考试（山东卷精编版）
【答案】B
【分析】利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．
【解析】由茎叶图得
因为甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，
所以 65＝60+y，解得 y＝5，
因为平均值也相等，所以 56 62 65 70 74 59 61 67 65 78
5 5
x ，
解得 x＝3．故选 B．
【名师点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考
查运算求解能力，是基础题．
11．设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，…，10xn 的方差为
A．0.01 B．0.1
C．1 D．10
【试题来源】2020 年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）
【答案】C
【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【解析】因为数据 ( 1,2, , )iax b i n L， 的方差是数据 ( 1,2, , )ix i n L， 的方差的 2a 倍，
所以所求数据方差为 210 0.01=1 故选 C
【名师点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得
分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 em ，众数为 0m ，平均值为 x ，则
A． em 0m x B． em 0m x
C． em 0m x D． 0m em x
【试题来源】2011 年江西省普通高中招生考试
【答案】D
【解析】由图可知，30 名学生的得分情况依次为 2 个人得 3 分，3 个人得 4 分，10 个人得 5
分，6 个人得 6 分，3 个人得 7 分，2 个人得 8 分，2 个人得 9 分，2 个人得 10 分．中位数
为第 15,16 个数（分别为 5,6）的平均数，即 em ＝5.5,5 出现的次数最多，故 0m ＝5，
2 3 3 4 10 5 6 6 3 7 2 8 2 9 2 10
30x ≈5.97，于是得 0m em x .
13．设样本数据 1 2 10, , ,x x x 的均值和方差分别为 1 和 4，若 (i iy x a a 为非零常数，
1,2, ,10)i ，则 1 2 10, , ,y y y 的均值和方差分别为
A．1 ,4a B．1 ,4a a
C．1,4 D．1,4 a
【试题来源】2014 年全国普通高等学校招生统一考试（陕西卷）
【答案】A
【 解 析 】 因 为 样 本 数 据 1 2 10, , ,x x x 的 平 均 数 是 1 , 所 以 1 2 10, ,...y y y 的 平 均 数 是
1 2 10 1 2 10 1 2 10... ... ... 110 10 10
y y y x a x a x a x x x a a ； 根 据
i iy x a （ a 为非零常数， 1,2, ,10i ），以及数据 1 2 10, , ,x x x 的方差为 4 可知数据
1 2 10, , ,y y y 的方差为 21 4 4 ，故选 A.
14．某公司10 位员工的月工资（单位：元）为 1x ， 2x ，…， 10x ，其均值和方差分别为 x 和
2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10 位员工下月工资的均值和方差分别
为
A． x ， 2 2s 100 B． 100x ， 2 2s 100
C． x ， 2s D． 100x ， 2s
【试题来源】2014 年全国普通高等学校招生统一考试（陕西卷）
【答案】D
【解析】均值为 ;方差为
,故选 D.
15．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解
该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得
到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【试题来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标 I 卷）
【答案】A
【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为 M，根据题意，得到新农村建设后的经济收
入为 2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大
小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【解析】设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M，
则新农村建设前种植收入为 0.6M，而新农村建设后的种植收入为 0.74M，所以种植收入增
加了，所以 A 项不正确；
新农村建设前其他收入我 0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所
以 B 项正确；
新农村建设前，养殖收入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30% 28% 58% 50% ，
所以超过了经济收入的一半，所以 D 正确；故选 A.
【名师点睛】该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图
中读出相应的信息即可得结果.
16．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始
评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，
不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
【试题来源】2019 年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）
【答案】A
【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．
【解析】设 9 位评委评分按从小到大排列为 1 2 3 4 8 9x x x x x x ．
则①原始中位数为 5x ，去掉最低分 1x ，最高分 9x ，后剩余 2 3 4 8x x x x ，
中位数仍为 5x ，A 正确．
②原始平均数 1 2 3 4 8 9
1 ( )9x x x x x x x ，后来平均数 2 3 4 8
1
7x x x x x （ ）
平均数受极端值影响较大， x 与 x不一定相同，B 不正确
③ 2 2 22
1 91
1
9S x x x x x x
2 2 22
2 3 8
1
7s x x x x x x 由②易知，C 不正确．
④原极差 9 1=x - x ，后来极差 8 2=x - x 可能相等可能变小，D 不正确．
【名师点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.
二、填空题
1．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150，150，400，300 名学生．为了解学生的就业
倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查，应在丙专业抽取的
学生人数为________．
【试题来源】2011 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
【答案】16
【解析】因为高校甲乙丙丁四个专业分别有150150 400 300， ， ， 名学生，所以本校共有学生
1000名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取 40 名学生进行调查，所以每个个体
被抽到的概率是 40 1
1000 25
，因为丙专业有 400 人，所以要抽取 1400 1625
人．
2．一个总体分为 A，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本．
已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 1
12
，则总体中的个体数为________．
【试题来源】2009 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
【答案】120
【解析】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本．
由 B 层中每个个体被抽到的概率都为 1 12 ，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是 1
/12 ，所以总体中的个体数为 10÷1 /12 =120．
3．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点
率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列
车所有车次的平均正点率的估计值为________．
【试题来源】2019 年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）
【答案】0.98.
【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10 0.97 20 0.98 10 0.99 39.2 ，
其中高铁个数为 10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为 39.2 0.9840
．
【名师点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率
估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算
出正点列车数量与列车总数的比值．
4．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．
【试题来源】2019 年江苏省高考数学试卷
【答案】 5
3 .
【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.
【解析】由题意，该组数据的平均数为 6 7 8 8 9 10 86
，
所以该组数据的方差是 2 2 2 2 2 21 5[(6 8) (7 8) (8 8) (8 8) (9 8) (10 8) ]6 3
.
【名师点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.
5．已知一组数据 4,2 ,3 ,5,6a a 的平均数为 4，则 a 的值是________．
【试题来源】2020 年江苏省高考数学试卷
【答案】2
【分析】根据平均数的公式进行求解即可．
【解析】因为数据 4,2 ,3 ,5,6a a 的平均数为 4
所以 4 2 3 5 6 20a a ，即 2a .故答案为 2.
【名师点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．
6．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，为检
验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种
型号的产品中抽取________件.
【试题来源】2017 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）
【答案】18
【解析】应从丙种型号的产品中抽取 30060 181000
件，故答案为 18．
点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所
抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即 ni∶Ni＝n∶
N．
三、解答题
1．某市 2010 年 4 月 1 日—4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如（主要污染物为可吸入
颗粒物）：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，
86，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45．
样本频率分布表：
分组 频数 频率
[41，51） 2
[51，61） 1
[61，71） 4
[71，81） 6
[81，91） 10
[91，101）
[101，111） 2
（1） 完成频率分布表；
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据国家标准，污染指数在 0~50 之间时，空气质量为优：在 51~100 之间时，为良；
在 101~150 之间时，为轻微污染；在 151~200 之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和
上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
【试题来源】2010 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）先将数据从小到大排序，然后进行分组，找出频数，求出频率，立出表格即可；
（2）先建立直角坐标系，按频率分布表求出频率/组距，得到纵坐标，画出直方图即可；
（3）本题只需给出简短的评价，故可以对每种分组进行评价，答到点上即可．
【解析】（1）首先根据题目中的数据完成频率分布表：作出频率分布直方图，频率分布表：
分组 频数 频率
[41，51） 2 2
30
[51，61） 1 1
30
[61，71） 4 4
30
[71，81） 6 6
30
[81，91） 10 10
30
[91，101） 5 5
30
[101，111） 2 2
30
（2）频率分布直方图：
（3）答对下述两条中的一条即可：
（ⅰ）该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平，占当月天数的 1
15
；有 26 天处于良
的水平，占当月天数的13
15
；处于优或良的天数共有 28 天，占当月天数的14
15 .说明该市空气
质量基本良好．
（ⅱ）轻微污染有 2 天，占当月天数的 1
15 .污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15
天，加上处于轻微污染的天数，共有 17 天，占当月天数的 17
30
，超过 50%.说明该市空气质
量有待进一步改善．
【名师点睛】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题
的能力，数据处理能力和运用意识对于开放性问题的回答，要选择适当的数据特征进行考查，
根据数据特征分析得出实际问题的结论，属于中档题．
2．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位： 3m ）和使用了节水龙头50
天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
0,0.1 0.1,0.2 0.2,0.3 0.3,0.4 0.4,0.5 0.5,0.6 0.6,0.7
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 0,0.1 0.1,0.2 0.2,0.3 0.3,0.4 0.4,0.5 0.5,0.6
频数 1 5 13 10 16 5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 30.35m 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365天计算，同一组中的
数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【试题来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标 I 卷）
【答案】（1）直方图见解析；（2） 0.48；（3） 347.45m .
【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应
区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定
出对应矩形的高，从而得到直方图；
（2）结合直方图，算出日用水量小于 0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；
（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得 50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一
年能节约用水多少 3m ，从而求得结果.
【解析】（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于 30.35m 的频率为
0.2 0.1 1 0.1 2.6 0.1 2 0.05 0.48 ；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 30.35m 的概率的估计值为 0.48；
（3）该家庭未使用节水龙头 50天日用水量的平均数为
1
1 0.05 1 0.15 3 0.25 2 0.35 4 0.45 9 0.55 26 0.65 5 0.4850x ．
该 家 庭 使 用 了 节 水 龙 头 后 50 天 日 用 水 量 的 平 均 数 为
2
1 0.05 1 0.15 5 0.25 13 0.35 10 0.45 16 0.55 5 0.3550x ．
估计使用节水龙头后，一年可节省水 30.48 0.35 365 47.45 m ．
【名师点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利
用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题
的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.
3．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些
企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表.
y 的分组 [ 0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中
点值为代表）.（精确到 0.01）
附： 74 8.602 .
【试题来源】2019 年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）
【答案】（1） 增长率超过 0040 的企业比例为 21
100 ，产值负增长的企业比例为 2 1
100 50= ；（2）
平均数 0.3；标准差 0.17 .
【分析】（1）本题首先可以通过题意确定100个企业中增长率超过 040 0 的企业以及产值负
增长的企业的个数，然后通过增长率超过 040 0 的企业以及产值负增长的企业的个数除随
机调查的企业总数即可得出结果；（2）可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果．
【解析】（1）由题意可知，随机调查的100个企业中增长率超过 040 0 的企业有14 7 21+ =
个，产值负增长的企业有 2 个，
所以增长率超过 040 0 的企业比例为 21
100 ，产值负增长的企业比例为 2 1
100 50= ．
（2）由题意可知，平均值 ( )2 0.1 24 0.1 53 0.3 14 0.5 7 0.7
100 0.3y ´ - + ´ + ´ + ´ + ´= = ，标准差的平方：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 1
100 2 0.1 0.3 24 0.1 0.3 53 0.3 0.3 14 0.5 0.3 7 0.7 0.3s 轾= ´ - - + ´ - + ´ - + ´ - + ´ -犏臌
[ ]1
100 0.32 0.96 0.56 1.12 0.0296= + + + = ，
所以标准差 0.0296 0.0004 74 0.02 8.602 0.17s = = 椿 椿 ．
【名师点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，
考查学生从信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题．
4．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 ,A B
两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给
服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内
离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 P C 的估计值为
0.70 .
（1）求乙离子残留百分比直方图中 ,a b 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）.
【试题来源】2019 年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）
【答案】（1） 0.35a ， 0.10b ；（2） 4.05 ， 6.
【分析】（1）由 ( ) 0.70P C 及频率和为 1 可解得 a 和b 的值；（2）根据公式求平均数.
【解析】（1）由题得 0.20 0.15 0.70a ，解得 0.35a ，
由 0.05 0.15 1 ( ) 1 0.70b P C ，解得 0.10b .
（2）由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为
0.15 2 0.20 3 0.30 4 0.20 5 0.10 6 0.05 7 4.05 ，
乙离子残留百分比的平均值为
0.05 3 0.10 4 0.15 5 0.35 6 0.20 7 0.15 8 6
【名师点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
5．某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器
时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每
个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机
器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所
需的费用（单位：元）, n 表示购机的同时购买的易损零件数.
（1）若 n =19,求 y 与 x 的函数解析式；
（2）若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值；
（3）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损零
件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台
机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？
【试题来源】2016 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标 1 卷精编版）
【答案】（1） 3800, 19,y 500 5700, 19,
x x Nx x
;（2）19;（3） 购买 1 台机器的同时应购
买 19 个易损零件.
【解析】（1）当 时， 3800y ；
当 时， 3800 500( 19) 500 5700y x x ，
所以 与 的函数解析式为 3800, 19,{ ( )500 5700, 19,
xy x Nx x
.
（2）由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，
不大于 19 的频率为 0.7，故 的最小值为 19.
（3）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，
则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800，20 台的费用为 4 300，10 台的
费用为 4 800，
因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1 (3800 70 4300 20 4800 10) 4000100
.
若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上
的费用为 4 000，10 台的费用为 4 500，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平
均数为 1 (4000 90 4500 10) 4050100
.
比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.
【考点】函数解析式、概率与统计
【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读
懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.
6．从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得
如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)
频数 6 26 38 22 8
（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95
的产品至少要占全部产品的 80%”的规定？
【试题来源】2014 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标Ⅰ）
【答案】（1）见解析；（2）平均数 100，方差为 104；（3）不能认为该企业生产的这种产品
符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.
【解析】（1）直方图如图，
（2）质量指标值的样本平均数为
80 0.06 90 0.26 100 0.38 110 0.22 120 0.08 100x .
质量指标值的样本方差为
2 2 2 2 2( 20) 0.06 ( 10) 0.26 0 0.38 10 0.22 20 0.08 104s .
（3）质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为
0.38 0.22 0.08 0.68 ，
由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产
品至少要占全部产品 80%”的规定.
微信/支付宝扫码支付