专题01 解三角形（5月刊）（解答题）（新高考地区专用）（解析版）

专题 01 解三角形（解答题） 试题精选 1、（江苏省扬州市 2021 届高三第四次模拟考试试题）（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A，B ，C 所对边分别为 a ，b ，c ，现有下列四个条件： 3B  ， 13AC  ，___________， ① 3a  ；② 2b  ；③ 2 cos cos cosc A a B b A  ；④  2 2 23 2 3a c b ac    ． （1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由； （2）请从上述四个条件中选三个，使得 ABC 有解，并求 ABC 的面积． （注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分） 【解析】： （1）若③④同时成立，则由 2cos cos cosA a B b A   2sin cos sin cos cos sin sin sinC A A B A B A B C      ∴ 1cos 2A  ， 3A  ，由   2 2 2 2 2 2 33 2 3 2 3 a c ba c b ac ac         即 3cos 3B   ， 5 6B  ，此时 A B   与三角形内角和为 矛盾 故③④不能同时成立. （2）选①②③ 由 3 2 sin 1sin sin sin3 2 a b BA B B      ， 2B  ∴ 4 3 1c    ，∴ 1 33 12 2ABCS     . 2、（ 2021 届高三下学期模拟试卷（二））（本小题满分 10 分） 在△ ABC 中，内角 CBA ,, 的对边分别为 ,,, cba 且 ca  ．已知 2 BCBA ， 3 1cos B ， 3b ，求： (1) a 和 c 的值； (2) )cos( CB  的值． 【解析】 (1)由 2 BCBA ，得 2cos Bca ， 又 3 1cos B ，所以 6ac ， ………………………………………………………2 分 由余弦定理，得 Bacbca cos2222  ， 又 3b ，所以 1322922  ca ， 解      ,13 ,6 22 ca ac 得 3,2  ca 或 ,2,3  ca 因为 ca  ，所以 .2,3  ca ………………………………………………………5 分 (2)在△ABC 中， 3 22)3 1(1cos1sin 22  BB ， …………………6 分 由正弦定理，得 9 24 3 22 3 2sinsin  Bb cC ， 因为 cba  ，所以C 为锐角，因此 9 7)9 24(1sin1cos 22  CC ， ……………………………………………………………………………………………8 分 于是  27 23 9 24 3 22 9 7 3 1sinsincoscos)cos( CBCBCB …10 分 3、（盐城市 2021 届高三年级第三次模拟考试）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，点 D 满足 3 → BD＝→ BC与→AD·→AC＝0. (1)若 b＝c，求 A 的值； (2)求 B 的最大值． 【解析】 (1)因为→ AD→ AC＝0，所以( → AB＋1 3 → BC)→ AC＝0， 即(2 3 → AB＋1 3 → AC)→ AC＝0， ……2 分 所以 2 3bccosA＋1 3b2＝0， 因为 b＝c，所以 cosA＝－1 2 ， ……4 分 因为 0＜A＜π，所以 A＝2π 3 ． ……5 分 (2)因为→ AD→ AC＝(2 3 → AB＋1 3 → AC)→ AC＝2 3bccosA＋1 3b2＝0， 所以 b2＋c2－a2＋b2＝0，即 2b2＋c2－a2＝0， ……6 分 cosB＝a2＋c2－b2 2ac ＝ a2＋c2－a2－c2 2 2ac ＝ a2 2 ＋3c2 2 2ac ≥ 3 2 ， ……8 分 因为 0＜B＜π，所以 B 的最大值为π 6 ． ……10 分 4、（南京市 2021 届高三年级第三次模拟考试）已知四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 E，AB＝2BC＝2CD ＝4． （1）若∠ADC＝2π 3 ，AC＝3，求 cos∠CAD； （2）若 AE＝CE，BE＝2 2，求△ABC 的面积． 【解析】： (1)在△ACD 中，由正弦定理，得 AC sin∠ADC ＝ CD sin∠CAD ， 所以 sin∠CAD＝CDsin∠ADC AC ＝ 2×sin2π 3 3 ＝ 3 3 ．··········································· 2 分 因为 0＜∠CAD＜π 3 ， 因此 cos∠CAD＝ 1－sin2∠CAD＝ 1－( 3 3 )2＝ 6 3 ．··································· 4 分 (2)方法 1 设 AE＝CE＝x，∠AEB＝α． 在△ABE 中，8＋x2－4 2xcosα＝16．① 在△BCE 中，8＋x2－4 2xcos(π－α)＝4，即 8＋x2＋4 2xcosα＝4．②················6 分 ①②相加，解得 x＝ 2 ，即 AE＝CE＝ 2．················································ 8 分 将 x＝ 2 代入①，解得 cosα＝－3 4 ． 因为 0＜α＜π，所以 sinα＝ 1－cos2α＝ 7 4 ， 所以△ABC 的面积 S△ABC＝2S△ABE＝2×1 2AE×BE×sinα ＝2×(1 2 × 2×2 2× 7 4 )＝ 7．································10 分 方法 2 因为 AE＝CE，所以→BE＝1 2 (→BA＋→BC)， 两边平方得 4→BE 2＝→BA 2＋→BC 2＋2|→BA |·|→BC|cos∠ABC， 即 32＝16＋4＋2×4×2cos∠ABC， 得 cos∠ABC＝3 4 ，又 0＜∠ABC＜π， 所以 sin∠ABC＝ 1－cos2∠ABC＝ 7 4 ．······················································ 8 分 所以△ABC 的面积 S△ABC＝1 2 AB·BC·sin∠ABC＝1 2 ×4×2× 7 4 ＝ 7．·················10 分 5 、（ 山 东 日 照 市 2021 届 高 三 年 级 模 拟 考 试 ） 在 ① π2 sin cos 4a C c A     ， ② 2 cos cos cosc A a B b A  ，③ 2 2 2 2b c a bc   这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答 问题． 问题：在 ABC△ 中，内角 A ，B ，C 所对边分别为 a ，b ，c ，已知 3b  ， ABC△ 的面积为 3，______， 求 a ． 注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分． 解析：选① 因为 π2 sin cos 4a C c A     ，由正弦定理得  22 sin sin sin sin cos2A C C A A  ， 所以 sin cosA A ，  0,πA ，所以 π 4A  ， 13 sin2ABCS bc A △ ，且 3b  ，得 2 2c  ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A   ，解得 5a  ． 选② 因为 2 cos cos cosc A a B b A  ， 由正弦定理得  2 sin cos sin cos sin cos sin sinC A A B B A A B C     ， 所以 2cos 2A  ， 因为  0,πA ，所以 π 4A  ， 13 sin2ABCS bc A △ ，且 3b  ，得 2 2c  ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A   ，解得 5a  ． 选③ 因为 2 2 2 2b c a bc   ， 2 2 2 2b c a bc   ，得 2 2 2 2cos 2 2 b c aA bc    ， 因为  0,πA ，所以 π 4A  ， 13 sin2ABCS bc A △ ，且 3b  ，得 2 2c  ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A   ，解得 5a  ． 6、（山东泰安 2021 届高三四模）在① 4 3 cosS b C ，② 2 2 4 2b c bc   ，③ 2sin 3b A  这三个条件中 任选一个，补充在下面问题中，并解答. 在 ABC△ 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ， ABC△ 的面积为 S ，若 cos 2 cB b  ， 2a  ， ______，求 b 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】： 由已知及正弦定理得 sincos 2sin CB B  ， 即 2sin cos sinB B C ，即sin sin 2C B ， 故 2C B 或 2C B   ，即 2C B 或 A B . 若选①： 由 4 3 cosS b C ，得 14 2 sin 3 cos2 b C b C   ， 所以 3tan 4C  ，则 3sin 5C  ， 4cos 5C  . 若 2C B ，则 2 41 2sin 5B  ，解得 10sin 10B  ， 所以 2 3 10cos 1 sin 10B B   ， 所以   10 4 3 10 3 13 10sin sin sin cos cos sin 10 5 10 5 50A B C B C B C         ， 由正弦定理得 sin 10 50 102sin 10 1313 10 a Bb A      ； 若 A B ，则 2b a  . 综上， 10 13b  或 2b  . 若选②： 由余弦定理得 2 2 4 2cos 2 2 b cA bc     ，故 3 4A  ，若 2C B ，则 12B  ， 所以 2 3 2 1 6 2sin sin 4 6 2 2 2 2 4B             ， 由正弦定理得 sin 6 22 2 3 1sin 4 a Bb A       ； 若 A B ，不符合题意. 综上， 3 1b   . 若选③： 由 sin sin a b A B  ，得 sin sinb A a B ，则 22sin 3B  ，解得 1sin 3B  . 若 2C B ，则 2 7cos 1 2sin 9C B   ，所以 2 4 2sin 1 cos 9C C   ， 所以   1 7 2 2 4 2 23sin sin 3 9 3 9 27A B C       ， 由正弦定理得 sin 1 27 182sin 3 23 23 a Bb A      ； 若 A B ，则 2b a  . 综上， 18 23b  或 2b  . 7、（山东省淄博市 2021 届高三数学二模试卷）已知 △ " 的内角 ， " ， 的对边分别为 ， ， ， cos 䁖 ꀀ 香 cos" ，设 ꀀ ， ꀀ 且 // ． （1）求角 " 的大小； （2）延长 " 至 ，使 " ，若 △ 的面积 ，求 的长． 【解析】 （1）解：由 cos 䁖 ꀀ 香 cos" 可知 cos 䁖 ꀀ 䁖 cos 香 ꀀ ， 即 coscos 香 sinsin 䁖 coscos 香 sinsin ， 可得 sinsin ． 由 // 可得 䁖 ， 由正弦定理可知 sin " sinsin ， 因为 " π ꀀ ，所以 sin" ，因此 " π 或 π ． 分别代入 cos 䁖 ꀀ 香 cos" ，可知当 " π 时， cos 䁖 ꀀ ，不成立． 因此 " π ． （2）解：由 " π 可知 cos 䁖 ꀀ ，即 ， 因此 △ " 为等边三角形，即 ， △ sin ∠ 䁖 ꀀsin π 䁖 ꀀ ， 整理可得 䁖 ꀀ ，即 䁖 䁖 ， 由余弦定理可知，在 △ " 中， " 香 " 䁖 " " cos π 香 䁖 香 䁖 ， 因此 的长为 ． 8 、（ 2021 年 高 考 数 学 考 前 信 息 必 刷 卷 （ 江 苏 专 用 一 ）） 在 ① π 1cos cos3 2B B      ， ②  sin sin sin sina A c C A b B   ，③ 3 tan tancos c A Bb A   这三个条件中，任选一个，补充在下面 问题中． 问题：在 ABC 中， a ，b ， c 分别为角 A， B ， C 所对的边， 2 3b  ，______． （1）求角 B ； （2）求 2a c 的最大值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解析】 （1）选择①：由 π 1cos cos3 2B B      ，得 1 3 1cos sin cos2 2 2B B B   即 3 1 1sin cos2 2 2B B  ，所以 π 1sin 6 2B     ， 因为 0 πB  ，所以 π π 5 π6 6 6B    ，故 π π 6 6B   ，所以 π 3B  ． 选择②：由正弦定理，  sin sin sin sina A c C A b B   可化为 2 2 2a c b ac   ， 由余弦定理，得 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac    ， 因为 0 πB  ，所以 π 3B  ， 选择③：由正弦定理，得 3 3sin cos sin cos c C b A B A  ， 又  sinsin sin sin cos cos sin sintan tan cos cos cos cos cos cos cos cos A BA B A B A B CA B A B A B A B A B       ． 由 3 tan tancos c A Bb A   ，得 3sin sin sin cos cos cos C C B A A B  ， 因为sin 0C  ，所以 tan 3B  ， 因为 0 πB  ，所以 π 3B  ． （2）在 ABC 中，由（1）及 2 3b  ， 2 3 4sin sin sin 3 2 b a c B A C     ， 故 4sina A ， 4sinc C ， 所以 22 4sin 8sin 4sin 8sin π3a c A C A A         4sin 4 3 cos 4sin 8sin 4 3 cosA A A A A      4 7 sin A   ， 因为 20 π3A  且 为锐角， 所以存在角 A使得 π 2A   ，所以 2a c 的最大值为 4 7 ． 9、（2021 年高考数学考前信息必刷卷（江苏专用二））在① 3sin cos 1B B  ，② 2 sin tanb A a B ， ③ ( )sin csin sina c A C b B   这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知 ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c， 2a  ， 3b  ，若______，求角 B 的值与 ABC 的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【解析】： 选① 3sin cos 1B B  ，可得 1sin =6 2B     . 因为 (0, )B  ，所以 6 6B    ，所以 3B  . 由正弦定理： sin sin a b A B  得 2sin 2A  ，又因为 a b ，所以 4A  . 所以 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C                 所以 1 3 3sin2 4ABCS ab C  △ 选②由 2 sin tanb A a B 得 2 sin cos sinb A B a B ， 由正弦定理： sin sin a b A B  ，化简得 1cos 2B  ， 因为 (0, )B  ，所以 3B  . 以下与选①相同. 选③由正弦定理： ( )sin csin sina c A C b B   可化简为 2 2 2a ac c b   ， 而 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac    ， 因为 (0, )B  ，所以 3B  ， 以下与选①相同.