山东省泰安市2021届高三四模数学试题 解析版

绝密★启用前 山东省 2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 已知 3 2 5 z i   则| |z  （ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 5 【答案】A 2. 已知集合  2 6 8 0 , { 1}A x x x B x a x a     ∣ ∣ „ „ ，若 A B A  ，则实数 a 的取值范围为（ ） A. (1,3) B. [1,3] C. (2,3) D. [2,3] 【答案】C 3. 已知 cos 0  ，且 4sin 2 3cos2 3   ，则 tan  （ ） A. 3 5 B. 3 5  C. 3 4 D. 3 4  【答案】C 4. 如图是我国古代米斗，它是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具．它是随着粮食生 产而发展出来的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗 为石的标准最终确定下来．若将某个米斗近似看作一个四棱台，上、下两个底面都是正方形，侧棱均相等， 上底面边长为 25cm，下底面边长为15cm ，侧棱长为10cm ，则该米斗的容积约为（ ） 附：   1 3V S S S S h  下台 上上 下体 A. 32400cm B. 32600cm C. 32900cm D. 33100cm 【答案】C 5. 已知向量 ( ,1), (0,4),a a b a b       ，则 a b  在 a 方向上的投影为（ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 6. 如图是我国广州的新电视塔，外观优美，结构稳定，是当地重要的地标之一．该电视塔的外形是单叶双 曲面，在几何学中，单叶双曲面（有时称为旋转双曲面或圆形双曲面）是通过围绕其主轴旋转双曲线而产 生的表面，在空间直角坐标系中，曲面的方程为 2 2 2 2 2 2 1( 0, 0, 0)x y z a b ca b c       ，则平面 1z  与单叶 双曲面的截线一定是（注： 1z  表示点 ( , ,1)x y 组成的平面，即过点 (0,0,1) 且与 z 轴垂直的平面）（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 圆或抛物线 D. 圆或椭圆 【答案】D 7. 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，公差为 1 3 ， 0na  ， 1 2 2 3 9 10 1 1 1 1 2a a a a a a     ，当 10nS n  取 最小值时，n 的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 8. 已知 0 a b  且满足 a b ae b   ，则下列说法正确的是（ ） A. 1a a bb    B. ln 2 ln 2a a b b   C. 1 2a  D. 不存在 ,a b 满足 1a b  【答案】D 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 随着人民生活水平的提高以及高新电影制作技术的研发，人们利用周末和假期去电影院感受电影的魅 力．我国 2010 年至 2018 年年底电影年度票房总收入与观影总人数统计如图所示，则下列说法正确的是 （ ） A. 这九年中，票价的增加导致年度总票房收入逐年攀升 B. 这九年中，票房收入与观影人数两个变量之间是正相关 C. 这九年中，观影人数的增长率是逐年上升的 D. 这九年中，年度总票房收入增速最快的是 2015 年 【答案】BD 10. 已知实数 , ,a b c ．满足 a b c  且 0abc  ，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. ac bc B. c c a b  C. 2b a a b   D. ln lna c b c 【答案】BC 11. 将函数 ( ) 3 cos(2 ) | | 2f x x        的图像向右平移 6  个单位长度，得到函数 ( )g x 的图像，且 ( )g x 的图像关于直线 7 12x  对称，则下列结论正确的是（ ） A. 6 π B. 3(0) 2g  C. 函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x  在区间 ,2 π π     内单调递减 D. 方程 ( ) ( )f x g x 在区间[0,100 ] 上有 201 个根 【答案】AD 12. 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，左顶点为 A，点 P 在 C 的右支上，若 点 Q 满足 1 2 2 3PQ PF PF        为坐标原点，且 OAQ 为等边三角形，则下列说法正确的是（ ） A. C 的渐近线方程为 2 15 5y x  B. C 的离心率为 4 10 5 C. 若点 2 6,2 2Q       ，则 1 2PF F△ 的面积为12 30 5 D. C 上存在点 P，使得 2 1 2PF F F 【答案】BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知函数 ( )f x 满足①定义域为 ( ,0) (0, )  ；②值域为 R；③ ( ) ( )f x f x  ．写出一个满足上述 条件的函数 ( )f x  ______． 【答案】   lnf x x （答案为唯一） 14. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，右焦点 F 为直线 2 2 0x y   与 x 轴的交点，且在经过点 F 的所有弦 中，最短弦的长度为10 3 ，则 C 的方程为_______． 【答案】 2 2 19 5 x y  15. 石家庄市疫情期间，全国各地援石医疗队不顾危险，不畏艰辛，穿梭在城市、乡村的大街小巷，争分夺 秒救助患者，充分体现了对党和人民高度负责的使命担当，展现了顽强拼搏的斗志、甘于奉献的精神．抗 疫任务完成后，石家庄交警列队礼送、铁骑引领、警车护航、敬礼致敬，以“最高礼遇、最深敬意、最佳 形象”送行支援队伍.7 辆医护人员所乘车辆排成一列，若排在最前面的必须是甲车或乙车，丙车不在最后 面，则该 7 辆车不同的排列方法共有_______种． 【答案】1200 16. 如图，在四棱锥 P ABCD 的展开图中，四边形 ABCD 是矩形， ABE△ 是等边三角形， , 1,AD AH AD GD GC   ．若四棱锥 P ABCD 的外接球表面积为19 3  ，则四棱锥 P ABCD 的外 接球半径为_______，sin GCF  _________． 【答案】 (1). 57 6 (2). 3 5 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在① 4 3 cosS b C ，② 2 2 4 2b c bc   ，③ 2sin 3b A  这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，并解答． 在 ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ， ABC 的面积为S ，若 cos 2 cB b  ， 2a  ， ______，求 b 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案不唯一，具体见解析． 18. 已知等比数列 na 的前 n 项和为 1 2 3, 0,4n nS a S S S   ． （1）求 na 的公比 q； （2）对于 *n N ，不等式 21 17 62 n n a a n n tS    … 恒成立，求实数 t 的最大值． 【答案】（1）2；（2） 1 14  19. 如图，圆柱的高为 3， CDE△ 是圆柱的下底面圆的内接三角形，AB 是上底面圆内的一条弦， ,AD BC 均为圆柱的母线，且 2, ,CD P Q 分别为 ,AE CE 的中点． （1）求证： / /PQ 平面 ABCD ； （2）若 CDE△ 是等边三角形，求直线 PQ 与平面 ABE 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解；（2） 3 13 26 20. 已知抛物线 2: 4C y x ． （1）若 C 与圆 2 2:( 4) 13G x y   在第一象限内交于 ,M N 两点，求直线 MN 的方程； （2）直线 l 过点 ( 1,0)D  交 C 于 ,A B 两点，点 B 关于 x 轴的对称点为 E，直线 AE 交 x 轴于点 P，求证： P 为定点． 【答案】（1） 3 1 3 3 0x y     ；（2）证明见解析 21. 国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常 见的有 1, 3BO BO 等等． 1BO 表示双方进行一局比赛，获胜者晋级． 3BO 表示双方最多进行三局比赛，若 连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在 , , ,A B C D 四人进行乒乓 球比赛，比赛赛制采用单败制，A 与 B 一组，C 与 D 一组，第一轮两组分别进行 1BO ，胜者晋级，败者淘 汰；第二轮由上轮的胜者进行 3BO ，胜者为冠军．已知 A 与 , ,B C D 比赛，A 的胜率分别为 2 1 3, ,3 2 5 ；B 与 ,C D 比赛，B 的胜率分别 1 2 2 5 ， ；C 与 D 比赛，C 的胜率为 2 3 ．任意两局比赛之间均相互独立． （1）在 C 进入第二轮的前提下，求 A 最终获得冠军的概率； （2）记 A 参加比赛获胜的局数为 X，求 X 的分布列与数学期望． 【答案】（1） 1 3 ；（2）分布列见解析，   1747 1125E X  . 22. 已知函数 2( ) xf x ae a x  ． （1）若 0a  ，且曲线 ( )y f x 在 0x  处的切线斜率为 2 ，求函数 ( )f x 的最小值； （2）若 0a  ，且当 [0, )x  时，不等式 2( ) 1f x ax ax xa     恒成立，求 a的取值范围． 【答案】（1） 4 4ln 2 ；（2） 1 ,02     .