专题 10 函数与导数
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班
级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1．（2021·山东临沂市·高三二模）已知奇函数
3 1, 0
, 0
x xf x g x x
，则 1 2f g （ ）
A． 11 B． 7 C．7 D．11
【答案】C
【详解】
( 1) (2) ( 1) (2) ( 1) ( 2)f g f f f f 3 3( 1) 1 ( 2) 1
2 ( 9) 7 ，
故选：C.
2．（2021·浙江高三其他模拟）函数 2cos 1 2 1xf x x
的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意知 2 2 1cos 1 cos2 1 2 1
x
x xf x x x
，
因为 2 1 2 1cos cos2 1 1 2
x x
x xf x x x f x
，所以 f x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，
排除 A，D.
当 0, 2x
时， 0f x ，故排除 C.
故选 B.
3．（2021·浙江高三其他模拟）已知奇函数 f x 的定义域为 R ，且当 0,x 时， 2021f x mx
，
若 2021 0 2f f ，则实数 m 的值为（ ）
A．0 B．2 C． 2 D．1
【答案】D
【详解】由 f x 为 R 上的奇函数，得 f x f x 且 0 0f ，
所以 20212021 2021 12021f f m m
，
又 2021 0 2f f ，
所以1 0 2m ，得 1m .
故选：D.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知 0.22a ， 0.015b ， logac b ，则（ ）
A． b c a B． a b c C． c a b D．b a c
【答案】C
【详解】∵ 0.2 00 2 2 1 ，
∴ 0 1a ，
∵ 00.015 5 1 ，
∴ 1b ，
∴ log 0ac b ，
∴ c a b ．
故选：C．
5．（2021·山东高三其他模拟）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降
低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均
最高容许浓度应小于等于 0.1% . 经测定，刚下课时，空气中含有 0.2% 的二氧化碳，若开窗通风后教室内
二氧化碳的浓度为 %y ，且 y 随时间t (单位：分钟)的变化规律可以用函数 120.05 e
t
y
（ R ）描述，
则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）(参考数据 ln3 1.1 )
A．10 分钟 B．14 分钟 C．15 分钟 D．20 分钟
【答案】B
【详解】
由题意知，当 0t 时， 0.2y ，所以 00.05 e 0.2, 0.15. 所以 120.05 0.15e 0.1
t
y
，解得 12 1e 3
t
，
所以 ln3, 12ln3 13.212
t t .故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为 14 分钟.
故选：B
6．（2021·陕西省汉中中学高三其他模拟（理））关于函数 2( ) ln 2lnf x x x ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 ( )f x 有 2 个零点 B．函数 ( )f x 有 4 个零点
C． e 是函数 ( )f x 的一个零点 D． 2e 是函数 ( )f x 的一个零点
【答案】A
【详解】令 2ln 2ln ln ln 2 0x x x x ，解得： 1x 或 2x e ，
所以函数 f x 有 2 个零点.
故选：A
7．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三其他模拟）函数
2
22
x
xef x e 图像的切线斜率为 k，则 k 的最小值
为（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】B
【详解】
2
' 2 2( 1)22 12
x
x x x xef x f x e e eke ，
当 1xe 时，即当 0x 时， k 有最小值，最小值为 1 ，
故选：B
8．（2021·千阳县中学高三其他模拟（理））已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 2f x f x ，且在
区间 1,2 上是减函数，令 2 ln39a ， 1 ln 22b ， 3ln28c ，则 f a ， ( )f b ， f c 的大小关系为（ ）
A． f b f c f a B． f a f c f b
C． f c f b f a D． f c f a f b
【答案】B
【详解】因为 f x 是 R 上的奇函数，且满足 2f x f x ，所以 ( )2f x f x + ，
所以函数 f x 的图象关于 1x 对称，
因为函数 f x 在区间 1,2 是减函数，
所以函数 f x 在 1,1 上为增函数，且 2 0 0f f ，
由题知 ln9
9a ， ln2 ln4
2 4b ， ln8
8c ，
由 ln( ) xg x x
，则 2
1 ln( ) xg x x
令 0g x ，解得 0 x e ，
令 0g x ，解得 x e ，
所以函数 ln( ) xg x x
在 0,e 上递增，
在 ( , )e 上递减知， 0 1a c b ，
所以 f a f c f b .
故选：B
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
错的得 0 分)
9．（2021·江苏高三其他模拟）已知函数 ( ) sin 06f x x
在区间 0, 上恰能取到 2 次最大值，
且最多有 4 个零点，则下列说法中正确的有（ ）
A． f x 在 0, 上恰能取到 2 次最小值 B． 的取值范围为 8 25,3 6
C． f x 在 0, 6
上一定有极值 D． f x 在 0, 3
上不单调
【答案】BD
【详解】当 0,x 时， ,6 6 6x
由函数 ( )f x 在区间 0, 上恰能取到 2 次最大值可得 5
6 2
由 ( )f x 最多有 4 个零点可得 46
，所以可得 8 25
3 6
， 故 B 正确，
当 8
3
时， f x 在 0, 上只能取到 1 次最小值，故 A 错误
当 0, 6x
时， ,6 6 6 6x
，
当 8
3
时，
6 6 2
， f x 无极值，故 C 错误
当 0, 3x
时， ,6 6 3 6x
因为 8
3 6 3 3 6 2
，所以 f x 在 0, 3
上不单调，故 D 正确
故选：BD
10．（2021·全国高三其他模拟）已知函数 1xf x x e ，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 在 ,0 上单调递减 B． f x 有两个零点
C．若 f x a 恒成立，则实数 ,0a D． f x 是奇函数
【答案】AC
【详解】由题可得 1 1 1x x xf x e xe x e ，令 1 1xg x x e ，则 2 xg x x e ，当
2x 时， 0g x ， g x 单调递减，当 2x 时， 0g x ， g x 单调递增，所以
2min
12 1g x g e
，又 0 0g ，当 2x 时， 0g x ，
所以当 0x 时， 0g x ，即 0f x ，所以 f x 在 ,0 上单调递减，所以 A 正确；
当 0x 时， 0g x ，即 0f x ， f x 在 0, 上单调递增，故 min 0 0f x f ，所以 B 不
正确；
f x a 恒成立，则 min 0a f x ，所以 C 正确； 1xf x x e f x ．所以 D 不正确．
故选：AC．
11．（2021·山东高三二模）关于函数 2 lnf x xx
，下列判断正确的是（ ）
A． 2x 是 f x 的极大值点
B．函数 y f x x 有且只有 1 个零点
C．存在正实数 k ，使得 f x kx 恒成立
D．对任意两个正实数 1x ， 2x ，且 2 1x x ，若 1 2f x f x ，则 1 2 4x x
【答案】BD
【详解】A：函数 f x 的定义域为 0, ， 2 2
2 1 2xf x x x x
，
当 0,2x 时， 0f x ， f x 单调递减；当 2,x 时， 0f x ， f x 单调递增，
所以 2x 是 f x 的极小值点，故 A 错误；
B： 2 lny f x x x xx
，
2
2 2
2 1 21 0x xy x x x
，
所以函数在 0, 上单调递减，
又 1 1 2 ln1 1 1 0f ， 2 2 1 ln 2 2 ln 2 1 0f ，
所以函数 y f x x 有且只有 1 个零点，故 B 正确；
C：若 f x kx ，即 2 ln x kxx
，则 2
2 ln xk x x
，
令 2
2 ln xg x x x
，则 3
4 lnx x xg x x
，
令 4 lnh x x x x ，则 lnh x x ，
当 0,1x 时， 0h x ， h x 单调递增；当 1,x 时， 0h x ， h x 单调递减，
所以 1 3 0h x h ，所以 0g x ，
所以 2
2 ln xg x x x
在 0, 上单调递减，函数无最小值，
所以不存在正实数 k ，使得 f x kx 恒成立，故 C 错；
D：因为 f x 在 0,2 上单调递减，在 2, 上单调递增，
∴ 2x 是 f x 的极小值点，
∵对任意两个正实数 1x ， 2x ，且 2 1x x ，若 1 2f x f x ，则 1 20 2x x ．
令 2
1
1xt tx
，则 2 1x tx ，
由 1 2f x f x ，得 1 2
1 2
2 2ln lnx xx x
，∴ 2 1
1 2
2 2 ln lnx xx x
，
即 2 1 2
1 2 1
2 lnx x x
x x x
，即 1
1 1
2 1 lnt x tx tx
，解得
1
2 1
ln
tx t t
，
2 1
2 1
ln
t tx tx t t
，
所以
2
1 2
2 2
ln
tx x t t
．
故要证 1 2 4x x ，需证 1 2 4 0x x ，
需证
22 2 4 0ln
t
t t
，需证
22 2 4 ln 0ln
t t t
t t
．
∵ 2
1
1xt x
，则 ln 0t t ，∴证 22 2 4 ln 0t t t ．
令 22 2 4 ln 1H t t t t t ， 4 4ln 4 1H t t t t ，
4 144 0 1tH t tt t
，所以 H t 在 1, 上是增函数．
因为 1t 时， 0H t ，则 0H t ，所以 H t 在 1, 上是增函数．
因为 1t 时， 0H t ，则 0H t ，所以
22 2 4 ln 0ln
t t t
t t
，
∴ 1 2 4x x ，故 D 正确，
故选：BD．
12．（2021·辽宁锦州市·高三一模）若函数
3 2 , 1
1 ln , 1
x x m xf x
x x x
，值域为 2, ，则（ ）
A． 3 2f f B．
2 1
2
mf f e
C． 2m D． 1log 1 log 2m mm m
【答案】ACD
【详解】对于 A，当 1x ， 1 lnf x x x ，则 1 11 0xf x x x
恒成立，
所以 f x 在 1, 上为单调递增函数，因为3 2 ，故 3 2f f ，故选项 A 正确；
且 1 1 1 ln1 2f x f - ，故当 1x 时，值域为 2 ， ；
对于 C，当 1x 时 3 2f x x x m - - ，则 23 1 0f x x - - 恒成立，
所以 f x 在 ,1- 上单调递减，所以 1f x f m ，故 f x m , ，
又 f x 的值域为 2, ，所以 2m , , ，故 2m ，故选项 C 正确；
对于 B，由选项 C 可知， 2m ，故
2 12 12
m
e
，
所以
2 2 2 2
1 ln 2 1 ln 22 2 2 2
m m m mf lnm
， 3
1 1 1 2f me e e
，
令
2 2
3
1 1 121 1 ln 2 22 2
m mh m f f nm me e e
，( 2m )，
所以 2 2 12 21 m mm mh m m m m m
，
当 2m 时， 0h m ，则 h m 单调递增，
当 4m 时， 3 3
1 1 1 14 8 4ln 2 1 ln 2 2 4 3 1 ln 2 0h e e e e
，
此时
2 1
2
mf f e
，故选项 B 错误；
对于 D，设 ln( 1)( ) ln
xh x x
，则
2 2
ln ln( 1)
ln ( 1)ln( 1)1( ) ln ( 1)ln
x x
x x x xx xh x x x x x
，
令 ( ) lnH x x x ，则 ( ) ln 1 0H x x 在 1x 恒成立， ( )H x 在 (1, ) 上单调递增，
因此 1x 时， ln ( 1)ln( 1)x x x x ， ( ) 0h x ，∴ ( )h x 是减函数，
又 2m ，∴ ( ) ( 1)h m h m ，即
ln 1 ln 2
ln ln 1
m m
m m
，
所以 1log 1 log 2m mm m ，则 D 正确．
故选：ACD.
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．（2021·山东高三其他模拟）已知函数 ( )f x 满足①定义域为 ( ,0) (0, ) ；②值域为 R；
③ ( ) ( )f x f x ．写出一个满足上述条件的函数 ( )f x ______．
【答案】 lnf x x （答案为唯一）
【详解】 lnf x x 的定义域为 ( ,0) (0, ) ，值域为 R ，且 ln ln ( )f x x x f x ，因此
lnf x x 符合题意．
故答案为： lnf x x
14．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））设 x 是函数 ( ) cos 3sinf x x x 的一个极值点，则
2cos2 sin ___________.
【答案】 1
10
【详解】因为 ( ) sin 3cosf x x x ， x 是函数 ( ) cos 3sinf x x x 的一个极值点
所以 ( ) sin 3cos 0f ，所以sin 3cos
所以
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
cos2 sin cos cos 1cos2 sin cos sin cos sin cos 9cos 10
故答案为： 1
10
15．（2021·宁夏银川市·高三三模（理））已知函数 f x 是奇函数，当 0x 时， 2f x x x .
若不等式 2logaf x x x （ 0a 且 1a ）对任意的 20, 2x
恒成立，则实数 a 的取值范围是
__________.
【答案】 1 14 a
【详解】设 0x ，则 0x ，故 2f x f x x x ，
故不等式 2logaf x x x （ 0a 且 1a ）对任意的 20, 2x
恒成立即为：
2 2logax x 对任意的 20, 2x
恒成立即
2 2
ln ln
x
x a
对任意的 20, 2x
恒成立.
设
2
ln
xg x x
，则
2
2ln 1
ln
x xg x x
，
因为 20, 2x
，故 0g x ，故 0g x 在 20, 2
为减函数，
故 min
1
22ln 2
g x ，故
2 1
ln 22ln 2
a
，整理得到 ln ln 4 ln 0
ln 0
a a
a
，
故 1 14 a .
故答案为： 1 14 a .
16．（2021·全国高三专题练习）若 ln 1x ax bx
对于 0x ， 恒成立，当 0a 时，b 的最小值为_____；
当 0a 时， b
a
的最小值是_______________．
【答案】1 1
e
【详解】 0a 时，
max
ln 1xb x
，令 ln 1xf x x
，
则 2 2
1 ln 1 lnx xf x x x
，
令 0f x ，
解得： 1x ，
且当 0 1x 时， 0,f x f x 单调递增；
当 1x 时， 0,f x f x 单调递减，
∴ max
ln1 11 11f x f ，
∴ 1b ，
故b 的最小值为1，
ln 1xf x x
的图像如下所示：
当 0a 时，
令 0ax b ，可得 b xa
，
故 b
a
取得最小值，直线 0ax b 在 x 轴的截距最大，
又 ln 1x ax bx
，
结合图像可知：令 ln 1 0xf x x
，
可得 1x e
，
则 1x e
，
故
min
1b
a e
.
故答案为：1， 1
e
.
四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．（2017·江西鹰潭市·高三一模（文））设函数 2( ) ( 1)xf x e ax x ．
（1）若 0a ，求 ( )f x 的单调区间；
（2）若函数 ( )f x 在 1x 处有极值，请证明：对任意 0, 2
时，都有| (cos ) (sin ) | 2f f ．
【答案】（1）当 1
2a 时， ( )f x 的单调递增区间是 ( , ) ；
当 10 2a 时， ( )f x 的单调递增区间是 ( 1), a
和 ( 2, ) ，单调递减区间是 1( , 2)a
；
当 1
2a 时， ( )f x 的单调递增区间是 ( , 2) 和 1( , )a
，单调递减区间是 1( 2, )a
．
（2）见解析.
【解析】（1） 2' 1 2 1x xf x e ax x e ax 1 2xae x xa
，
当 1
2a 时， 21' 2 02
xf x e x ， f x 在 R 上单调递增；
当 10 2a 时， ' 0f x ，解得 2x 或 1x a
； ' 0f x ，解得 1 2xa
，
故函数 f x 在 1, a
和 2, 上单调递增，在 1 , 2a
上单调递减．
当 1
2a 时， ' 0f x ，解得 1x a
或 2x ； ' 0f x ，解得 12 x a
，
故函数 f x 在 , 2 和 1 ,a
上单调递增，在 12, a
上单调递减．
所以当 1
2a 时， f x 的单调递增区间是 , ；
当 10 2a 时， f x 的单调递增区间是 1, a
和 2, ，单调递减区间是 1 , 2a
；
当 1
2a 时， f x 的单调递增区间是 , 2 和 1 ,a
，单调递减区间是 12, a
．
（2）∵ 1x 时， f x 有极值，∴ ' 1 3 1 0f e a ，∴ 1a ，
∴ 2 1xf x e x x ， ' 1 2xf x e x x ，
由 ' 0f x ，得 2 1x ，∴ f x 在 2,1 上单调递增．
∵ 0, 2
，∴sin ， cos 0,1 ，
∴ cos sin 1 0 1 2f f f f e ．
18．（2020·新疆高二期末）已知函数 1( ) ln( 1) , 01
xf x ax xx
，其中 0a ．
（1）若 ( )f x 在 x=1 处取得极值，求 a 的值；
（2）求 ( )f x 的单调区间；
（3）若 ( )f x 的最小值为 1，求 a 的取值范围．
【答案】（1） 1.a
（2） 2 2( ) 0 ), .a af x a a
的单调减区间为（ ， 单调增区间为（ ， ）
（3）a 的取值范围是[2, ).
【详解】（1）
2
2 2
2 2'( ) ,1 (1 ) ( 1)(1 )
a ax af x ax x ax x
∵ ( )f x 在 x=1 处取得极值，∴ 2'(1) 0, 1 2 0,f a a 即 解得 1.a 经检验满足题意.
（2）
2
2
2'( ) ,( 1)(1 )
ax af x ax x
∵ 0, 0,x a ∴ 1 0.ax
①当 2a 时，在区间 (0, ) '( ) 0,f x 上， ∴ ( )f x 的单调增区间为 (0, ).
②当 0 2a 时，由 2 2'( ) 0 , '( ) 0 ,a af x x f x xa a
解得 由 解得
∴ 2 2( ) 0 ), .a af x a a
的单调减区间为（ ， 单调增区间为（ ， ）
（3）当 2a 时，由（2）①知， ( ) (0) 1;f x f 的最小值为
当 0 2a 时，由（2）②知， ( )f x 在 2 ax a
处取得最小值 2( ) (0) 1,af fa
综上可知，若 ( )f x 得最小值为 1，则 的取值范围是[2, ).
考点：1、利用函数的极值求参数的范围；2、利用导数求单调区间；3、利用最值求参数范围．
19．（2020·定远县育才学校高二期末（文））已知函数 21ln 2f x x ax a R
（1）若 f x 在点 2 2f, 处的切线与直线 2 1 0x y 垂直，求实数 a 的值
（2）求函数 f x 的单调区间；
（3）讨论函数 f x 在区间 21,e 上零点的个数
【答案】（1） 5
4a ；（2）当 0a 时，函数 f x 的单调递增区间为 0, ；当 0a 时，函数 f x 的
单调递增区间为 10, a
，单调递减区间为 1 ,a
；（3）当 4
4 1ae e
时， f x 在区间 21,e 上有
两个零点；当 0a 或 1a e
时， f x 在区间 21,e 上没有零点； 当 4
40 a e
或 1a e
时， f x 在区
间 21,e 上有一个零点
【解析】（1） f x 的定义域为 0, ，
2
21 1 1ln 2
axf x x ax f x axx x
由于直线 2 1 0x y 的斜率为 1
2
， 1 1 4 51,2 2 4
a a
（2）由（1）知
21 1 axf x axx x
当 0a 时， 0f x ， f x 在 0, 上单调递增
当 0a 时，由 0f x ，得 1x a
，由 0f x ，得 1x a
f x 在 10, a
上单调递增，在 1 ,a
上单调递减
综上所述：当 0a 时，函数 f x 的单调递增区间为 0, ；当 0a 时，函数 f x 的单调递增区间为
10, a
，单调递减区间为 1 ,a
（3）由（2）可知
当 0a 时， f x 在区间 21,e 上单调递增， 11 02f a ， f x 在区间 21,e 上没有零点
当 0a 时， f x 在区间 21,e 上单调递增， 11 02f a ， f x 在区间 21,e 上有一个零点
当 0a 时，①若 1 1a
即 1a 时， f x 在区间 21,e 上单调递减， 11 02f a f x 在区
间 21,e 上没有零点
②若 211 ea
，即 4
1 1ae
时， f x 在 11, a
上单调递增，在 21 ,ea
上单调递减 ，
11 02f a ， 2 41 1 1 1ln , 22 2 2f a f e aea
若 1 1ln 02 2a ，即 1a e
时， f x 在区间 21,e 上没有零点
若 1 1ln 02 2a ，即 1a e
时， f x 在区间 21,e 上有一个零点
若 1 1ln 02 2a ，即 1a e
时，由 2 412 02f e ae 得 4
4a e
，此时 f x 在区间 21,e 上有一个
零点
由 2 412 02f e ae 得 4
4a e
，此时 f x 在区间 21,e 上有两个零点
③若 21 ea
即 4
10 a e
时， f x 在区间 21,e 上单调递增，
2 41 11 0, 2 02 2f a f e ae ， f x 在区间 21,e 上有一个零点
综上所述，当 4
40 a e
或 1a e
时， f x 在区间 21,e 上有一个零点
当 4
4 1ae e
时， f x 在区间 21,e 上有两个零点
当 0a 或 1a e
时， f x 在区间 21,e 上没有零点
20．（2021·山东高三其他模拟）已知函数 2( ) xf x ae a x ．
（1）若 0a ，且曲线 ( )y f x 在 0x 处的切线斜率为 2 ，求函数 ( )f x 的最小值；
（2）若 0a ，且当 [0, )x 时，不等式 2( ) 1f x ax ax xa
恒成立，求 a 的取值范围．
【答案】（1） 4 4ln 2 ；（2） 1 ,02
.
【详解】（1） 2exf x a a ，
由题意得 20 2f a a ，
解得 2a （ 1a 舍去），
所以 2 e 2xf x ，
当 ,ln 2x 时， 0f x ， f x 单调递减；
当 ln 2x ， 时， 0f x ， f x 单调递增，
所以 min ln 2 4 4ln 2f x f ．
（2）当 0x ， 时， 2 1f x ax ax xa
恒成立，等价于当 0x ， 时， 2 1 0xe ax x 恒
成立．
令 2e 1( 0)xh x ax x x ， 0 0h ，
则 e 2 1xh x ax ，所以 0 0h ．
令 e 2 1xx h x ax ，则 e 2xx a ．
①当 1 02 a 时， 0x 恒成立，可得 h x 在区间 0, 内单调递增，
所以 0 0h x h 恒成立，可得 h x 在区间 0, 内单调递增，
所以 0 0h x h 恒成立，即 2e 1 0x ax x 恒成立，即 2 1f x ax ax xa
恒成立．
当 1
2a 时，当 0,ln 2x a 时， 0x ， h x 在区间 0,ln 2a 内单调递减，
当 ln 2x a ， 时， 0x ， h x 在区间 ln 2a ， 内单调递增，
则当 0,ln 2x a 时， 0 0 0h x h ， h x 单调递减，所以 0 0x ，当 00,x x 时，
0 0 0h x h ，
所以 2 1f x ax ax xa
不恒成立．
综上所述， a 的取值范围是 1 ,02
．
21．（2021·千阳县中学高三其他模拟（理））已知函数
2 3 3( ) .x
x xf x e
（1）求函数 f x 的单调区间；
（2）当 0 1x 时，求证： 2 1ln 3ln 3 3 *( ) ( )x ne x x x n N .
【答案】（1）单调递减区间为 ( , 1) ， (0, ) ；单调递增区间为 1,0 ；（2）证明见解析.
【详解】（1） 2( ) ( 3 3) xf x x x e ，
22 3 3( 1)3x x xf x x e x x e x x e ，
当 ( , 1)x ， 0f x ′ ， f x 单调递减；
当 1,0x 时， ' 0f x ， f x 单调递增；
当 (1, )x ， ' 0f x ， f x 单调递减.
故 f x 的单调递减区间为 ( , 1) ， (0, ) ；单调递增区间为 1,0 ；
（2） 0 1x ， 2 1ln 3ln 3 3 *( ) ( )x ne x x x n N .
0 1x ，
2
*)ln 3ln 3 3 (
n
x
x x x n Nx e
.
由（1）知，当 0x 时， 1f x f e .即 0x ，
2 3 3
x
x x ee
(当 1x 时取等号)
当 0 1x 时， ln 0x ，以 ln x 代 x 得，
当 0 1x ，
2ln 3ln 3x x ex
.(当 1x e
时取等).
只需证明：当 0 1x 时， 3
3
n n
x x
x x ee e e
.
当 0 1x 时， nx x ，只需证明当 0 1x 时，
3x
x e
e
.
设 -( ) xg x xe ， 0,1x 则 1 xg x x e
当 0,1x 时， ' 0g x ， g x 单调递增；
1( ) (1) 3
eg x g e
；
故 0 1x ，
2
*ln 3ln 3 3 3 ( )
n
x x
x x x x n Nx e e
.原不等式得证．
22．（2021·山东济南市·高三二模）已知函数
2 3
1 2! 3! !
n
n
x x xf x x n Nn ．
（1）证明： 3f x 单调递增且有唯一零点；
（2）已知 2 1nf x 单调递增且有唯一零点，判断 2nf x 的零点个数．
【答案】（1）证明见解析；（2）0．
【详解】（1）证明：因为
2 3
3 1 2 6
x xf x x ，
所以
2
3 1 02
xf x x ，
所以
2 3
3 1 2 6
x xf x x 在 R 上单调递增；
又因为 3
12 03f ， 3 0 1 0f ；
所以 3f x 有唯一零点．
（2）因为
2 3 2 1 2
2 1 2! 3! 2 1 ! 2 !
n n
n
x x x xf x x n n
，
所以
2 3 2 1
2 2 11 2! 3! 2 1 !
n
n n
x x xf x x f xn
，
又因为 2 1nf x 单调递增且有唯一零点，设其零点为 nx ，
则当 , nx x 时， 2 1 0nf x ，当 ,nx x 时， 2 1 0nf x ；
所以 2nf x 在 , nx 上单调递减，在 ,nx 上单调递增；
所以
2
2 2 2 1min 2 !
n
n
n n n n n
xf x f x f x n ，
因为 2 1 0n nf x ，
所以
2 2
2 2 2 1 02 ! 2 !
n n
n n
n n n n n
x xf x f x f x n n ，
所以 2nf x 的零点个数为 0．
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