2021 年四川省成都七中高考数学三诊试卷（文科）
一、选择题（共 12 小题）.
1．集合 A＝{x
∈
N|x2﹣2x≤3}，B＝{x|2x≥2}，则 A∩B 等于（ ）
A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．[0，3] D．[1，3]
2．若复数 z 满足 z+2+i＝（3﹣i）（1+2i），则 z 的模为（ ）
A．5 B．3 C． D．
3．空间中两条直线 l，m 和平面
α
，在下列条件中，能得到 l∥m 的是（ ）
A．l，m 与
α
所成角相等
B．1，m 在
α
内的射影分别为 l′，m′，且 l′∥m′
C．l⊥
α
，m⊥
αD．l∥
α
，m∥
α
4．已知 x，y 满足 ，则 z＝2x﹣y 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下
统计数据表：
收入 x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.2 12
支出 y（万元） 7.40 7.50 8.00 8.50 m
但是统计员不小心丢失了一个数据（用 m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为
＝0.76x+0.4，则 m 的值等于（ ）
A．8.60 B．8.80 C．9.25 D．9.52
6．函数 f（x）＝ 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ，则 sin2
α
的值为（ ）
A． B． C． D．
8．某学习小组有 4 名男生和 2 名女生，其中有一对是孪生兄妹，现从该小组中选出一名男
生和一名女生参加知识竞赛，则这对孪生兄妹至少有一人被选出的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在 Rt△ABC 中，C＝90°，CA＝ ，CB＝ ，CD 是斜边的高线，现将 ACD 沿 CD 折
起，使平面 ACD⊥平面 BCD，则折叠后 AB 的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
10．若 lna＝﹣1，eb＝ ，3c＝ln3，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c
11．抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，分别过 A，B 作准线
的垂线，垂足分别为 C，D，且|CF|＝2|DF|，则直线 l 的斜率等于（ ）
A．2 B． C． D．
12．已知函数 f（x）＝x+cos（ +2x），下列对于函数 f（x）性质的描述，错误的是（ ）
A．x＝ 是 f（x）的极小值点
B．f（x）的图象关于点（ ， ）对称
C．f（x）有且仅有三个零点
D．若 f（x）区间[a，b]上递增，则 b﹣a 的最大值为
π二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．
13．双曲线 x2﹣4y2＝1 的焦距等于 ．
14．点 P 是直线 y＝kx﹣4 上一动点，过点 P 作圆 C：x2+y2﹣2y＝0 的两条切线 PA，PB，其
中 A，B 为切点，若四边形 PACB 面积的最小值为 2，则实数 k 的值为 ．
15．在△ABC 中，内角 A，B，C 成等差数列，则 sin2A+sin2C﹣sinAsinC＝ ．
16．已知函数 f（x）＝ ，若方程 f（x）＝a 有四个不同的根 x1，x2，x3，
x4，且 x1＜x2＜x3＜x4，则 + 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且 a1，a3，a9 成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足 b1＝ ， ＝an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn．
18．经研究发现，A 疾病在老年人中发病率较高，已知某地区老年人的男女比例为 3：2，
为了解 A 疾病在该地区的发病情况，按性别用分层抽样的方法抽取 100 位老人作为样本，
对这 100 位老人是否患有 A 疾病进行了统计，其条形图如图一所示．
（Ⅰ）完成下列的 2×2 列联表，并判断有没有 90%的把握认为患 A 疾病与性别有关？
男性 女性 合计
患有 A 疾病
未患 A 疾病
合计
（Ⅱ）在这 100 个样本中，将未患有 A 疾病的老人按年龄段[60，65 ），[65，70），[70，
75），[75，80），[80，85]分成了五组，其频率分布直方图如图二所示．求未患 A 疾病
老人年龄的中位数． （精确到小数点后一位）
附：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，∠ACB＝90°，CA＝CB＝ ，AA1
＝ ，D 是棱 A1B1 的中点，E 在棱 BB1 上，且 AD⊥EC1．
（Ⅰ）求三棱锥 E﹣ADC1 的体积；
（Ⅱ）在棱 BC 上是否存在点 F，满足 EF∥平面 ADC1，若存在，求出 BF 的值．
20．已知椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的长轴长为 4，且离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线 l：y＝x+m 与椭圆交于 A，B 两点，AB 的中垂线交椭圆于 C，D 两点，M 为
CD 的中点，若 cos∠AMB＝﹣ ，求实数 m 的值．
21．已知函数 f（x）＝x﹣ ﹣mlnx，g（x）＝x+ ﹣（lnx）m，其中 x＞0，m
∈
R．
（Ⅰ）若函数 f（x）无极值，求 m 的取值范围；
（Ⅱ）当 m 取（Ⅰ）中的最大值时，求函数 g（x）的最小值．
请考生在第 22，23 题中任选择题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修 44：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点
O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ
＝2cos
θ
．
（Ⅰ）求直线 l 和曲线 C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）设点 A 的极坐标为（2， ），点 B 是曲线 C 上的点，求△AOB 面积的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．设函数 f（x）＝|x+3|+|x﹣1|，x
∈
R，不等式 f（x）＜6 的解集为 M．
（Ⅰ）求 M；
（Ⅱ）当 a2
∈
M，b2
∈
M 时，证明：|ab+2| |a+b|．
参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．集合 A＝{x
∈
N|x2﹣2x≤3}，B＝{x|2x≥2}，则 A∩B 等于（ ）
A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．[0，3] D．[1，3]
解：集合 A＝{x
∈
N|x2﹣2x≤3}＝{x
∈
N|﹣1≤x≤3}＝{0，1，2，3}，
B＝{x|2x≥2}＝{x|x≥1}，
∴A∩B＝{1，2，3}．
故选：B．
2．若复数 z 满足 z+2+i＝（3﹣i）（1+2i），则 z 的模为（ ）
A．5 B．3 C． D．
解：∵z+2+i＝（3﹣i）（1+2i）＝3+6i﹣i﹣2i2＝5+5i，
∴z＝3+4i，则|z|＝|3+4i|＝ ．
故选：A．
3．空间中两条直线 l，m 和平面
α
，在下列条件中，能得到 l∥m 的是（ ）
A．l，m 与
α
所成角相等
B．1，m 在
α
内的射影分别为 l′，m′，且 l′∥m′
C．l⊥
α
，m⊥
αD．l∥
α
，m∥
α解：在正方体中，底面为平面
α
，AD1 为 l，DA1 为 m，满足 l，m 与
α
所成角相等，但是 l，
m 的相交直线，所以 A 不正确；
在正方体中，底面为平面
α
，AD1 为 l，CB1 为 m，1，m 在
α
内的射影分别为 l′，m′，
且 l′∥m′，但是 l，m 是异面直线，所以 B 不正确；
l⊥
α
，m⊥
α
，由直线与平面垂直的性质，可知 l∥m，所以 C 正确；
l∥
α
，m∥
α
，反例上底面上的两条相交直线，满足条件，推不出 l∥m，所以 D 不正确；
故选：C．
4．已知 x，y 满足 ，则 z＝2x﹣y 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，A（1，0），
化 z＝2x﹣y 为 y＝2x﹣z，由图可知，当直线 y＝2x﹣z 过 A 时，
直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 2．
故选：C．
5．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下
统计数据表：
收入 x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.2 12
支出 y（万元） 7.40 7.50 8.00 8.50 m
但是统计员不小心丢失了一个数据（用 m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为
＝0.76x+0.4，则 m 的值等于（ ）
A．8.60 B．8.80 C．9.25 D．9.52
解：由题意可知： ＝ （8.2+8.6+10+11.2+12）＝10， ＝ ＝ ，
所以 ＝0.76×10+0.4，解得 m＝8.60．
故选：A．
6．函数 f（x）＝ 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x）＝ ＝ ＝﹣f（x），
即 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A，C
f（x）＝ ＝ ＝1+ ，
当 x＞0 时，f（x）＞1，排除 B，
故选：D．
7．已知 ，则 sin2
α
的值为（ ）
A． B． C． D．
解：因为 ，两侧同时平方得： ，
所以 ，
所以 ．
故选：C．
8．某学习小组有 4 名男生和 2 名女生，其中有一对是孪生兄妹，现从该小组中选出一名男
生和一名女生参加知识竞赛，则这对孪生兄妹至少有一人被选出的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：某学习小组有 4 名男生和 2 名女生，其中有一对是孪生兄妹，
现从该小组中选出一名男生和一名女生参加知识竞赛，
基本事件总数 n＝ ＝8，
其中这对孪生兄妹至少有一人被选出包含的基本事件个数 m＝ ＝5，
则这对孪生兄妹至少有一人被选出的概率为 P＝ ＝ ．
故选：C．
9．在 Rt△ABC 中，C＝90°，CA＝ ，CB＝ ，CD 是斜边的高线，现将 ACD 沿 CD 折
起，使平面 ACD⊥平面 BCD，则折叠后 AB 的长度为（ ）
A．2 B． C． D．3
解：在直角三角形 ABC 中，C＝90°，CA＝ ，CB＝ ，
可得 AB＝ ＝3，
由射影定理可得 AC2＝AD•AB，即 6＝3AD，可得 AD＝2，
BD＝AB﹣AD＝3﹣2＝1，
由于平面 ACD⊥平面 BCD，AD⊥CD，
AD
⊂
平面 ACD，平面 ACD∩平面 BCD＝CD，
所以 AD⊥平面 BCD，即有 AD⊥BD，
所以 AB＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
10．若 lna＝﹣1，eb＝ ，3c＝ln3，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c
解： ， ，
设 ， ，则 x≥e 时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[e，+∞）上单调递减，
∴f（e）＞f（3）＞f（4），即 ，
∴a＞c＞b．
故选：A．
11．抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，分别过 A，B 作准线
的垂线，垂足分别为 C，D，且|CF|＝2|DF|，则直线 l 的斜率等于（ ）
A．2 B． C． D．
解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），
抛物线 y2＝2x 的焦点为 F（ ，0），准线方程为 x＝﹣ ，
则 C（﹣ ，y1），D（﹣ ，y2），
直线 CF 的斜率为 ＝﹣y1，直线 DF 的斜率为﹣y2，
设直线 AB 的方程为 x＝my+ ，
代入抛物线的方程 y2＝2x，可得 y2﹣2my﹣1＝0，
可得 y1y2＝﹣1，①
由|CF|＝2|DF|，可得 ＝2 ，②
由①②可得 y1＝2，y2＝﹣ ，
则 A（2，2），可得 2＝2m+ ，解得 m＝ ，
则直线 AB 的斜率为 ．
故选：C．
12．已知函数 f（x）＝x+cos（ +2x），下列对于函数 f（x）性质的描述，错误的是（ ）
A．x＝ 是 f（x）的极小值点
B．f（x）的图象关于点（ ， ）对称
C．f（x）有且仅有三个零点
D．若 f（x）区间[a，b]上递增，则 b﹣a 的最大值为
π解：f（x）＝x+cos（ +2x）＝x﹣sin2x，
对于 A：f′（x）＝1﹣2cos2x，
令 f′（x）＝0，解得：x＝k
π
± ，k＝0 时，x＝± ，
当 0＜x＜ 时，f′（x）＜0，当 x
∈
（ ， ）时，f′（x）＞0，
故 x＝ 是函数的极小值点，故 A 正确；
对于 B：设 x1+x2＝
π
，则 x2＝
π
﹣x1，
f（x2）＝
π
﹣x1﹣sin（2
π
﹣2x1）＝
π
﹣x1+sin2x1＝
π
﹣f（x1），
故 f（x1）+f（x2）＝
π
，
故 f（x）的图象关于点（ ， ）对称，故 B 正确；
对于 C：结合图像，y＝x 和 y＝sin2x 的交点有且只有 3 个，故 C 正确；
对于 D：结合 A 得：f（x）在（ ， ）时，f′（x）＞0，
b﹣a 的最大值为 ﹣ ＝ ，故 D 错误；
故选：D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．
13．双曲线 x2﹣4y2＝1 的焦距等于 ．
解：双曲线 x2﹣4y2＝1．可知 a＝1，b＝ ，
则 c＝ ＝ ，
所以双曲线的焦距为： ．
故答案为： ．
14．点 P 是直线 y＝kx﹣4 上一动点，过点 P 作圆 C：x2+y2﹣2y＝0 的两条切线 PA，PB，其
中 A，B 为切点，若四边形 PACB 面积的最小值为 2，则实数 k 的值为 ±2 ．
解：圆 C：x2+y2﹣2y＝0 的圆心（0，1），半径是 r＝1，
由圆的性质知：S 四边形 PACB＝2S△PBC，四边形 PACB 的最小面积是 2，
∴S△PBC 的最小值 S＝1＝ rd（d 是切线长）
∴d 最小值＝2，
圆心到直线的距离就是 PC 的最小值，
所以： ，
解得：k＝±2．
故答案为：±2．
15．在△ABC 中，内角 A，B，C 成等差数列，则 sin2A+sin2C﹣sinAsinC＝ ．
解：△ABC 中，内角 A，B，C 成等差数列，
所以 A+C＝2B，由 A+B+C＝
π
，得 B＝ ，
所以 cosB＝ ＝ ，
化简得 a2+c2﹣ac＝b2，
由正弦定理得 sin2A+sin2C﹣sinAsinC＝sin2B＝ ＝ ．
故答案为： ．
16．已知函数 f（x）＝ ，若方程 f（x）＝a 有四个不同的根 x1，x2，x3，
x4，且 x1＜x2＜x3＜x4，则 + 的取值范围是 （ ， ） ．
解 ： 函 数 f （ x ） ＝ ， 作 出 f （ x ） 的 图 象 ，
方程 f（x）＝a 有四个不同的根，
可知 0＜a＜1，由 x1＜x2＜x3＜x4，
当 x＝2 上，可得 x2﹣6x+9 的值为 1，
当 x＝4 上，可得 x2﹣6x+9 的值为 1，
∴2＜x3＜3＜x4＜4，
由 f（x）＝x2﹣6x+9＝a 的两个根为 x3，x4，
可得 x3+x4＝6，
那么 + ＝ ＝ ，
令 y＝6x﹣x2，其对称轴 x＝3，
可知 x
∈
（2，3）单调递减，
则 y＝6x﹣x2 的值域为（8，9），
那么 ＜ + ，
即 ＜ + ，
故答案为：（ ， ）．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且 a1，a3，a9 成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足 b1＝ ， ＝an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn．
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为 d（d≠0），
由 a1＝2，且 a1，a3，a9 成等比数列，得（2+2d）2＝2×（2+8d），
又 d≠0，解得 d＝2．
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；
（Ⅱ）由 b1＝ ， ＝an＝2n，
得 ，
，
，
..．
，
，
累加得： ＝ ，
则 ， （ 适合）．
∴数列{bn}的前 n 项和 Sn＝ ＝ ．
18．经研究发现，A 疾病在老年人中发病率较高，已知某地区老年人的男女比例为 3：2，
为了解 A 疾病在该地区的发病情况，按性别用分层抽样的方法抽取 100 位老人作为样本，
对这 100 位老人是否患有 A 疾病进行了统计，其条形图如图一所示．
（Ⅰ）完成下列的 2×2 列联表，并判断有没有 90%的把握认为患 A 疾病与性别有关？
男性 女性 合计
患有 A 疾病
未患 A 疾病
合计
（Ⅱ）在这 100 个样本中，将未患有 A 疾病的老人按年龄段[60，65 ），[65，70），[70，
75），[75，80），[80，85]分成了五组，其频率分布直方图如图二所示．求未患 A 疾病
老人年龄的中位数． （精确到小数点后一位）
附：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解：（Ⅰ）由条形图知，未患有 A 疾病的男性有 40 人，女性有 25 人，
由男女比例未 3：2 知，100 个样本中，男性 60 人，女性 40 人，
填写 2×2 列联表如下：
男性 女性 合计
患有 A 疾病 20 15 35
未患 A 疾病 40 25 65
合计 60 40 100
计算 K2＝ ≈0.182＜2.706，
所以没有 90%的把握认为患 A 疾病与性别有关；
（Ⅱ）根据频率分布直方图知，
（ + +a+ + ）×5＝1，解得 a＝ ，
设这 100 个样本的中位数为 m，则 70＜m＜75，
所以（m﹣70）× +5× +5× ＝0.5，
解得 m≈74.5，即未患 A 疾病老人年龄的中位数为 74.5．
19．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，∠ACB＝90°，CA＝CB＝ ，AA1
＝ ，D 是棱 A1B1 的中点，E 在棱 BB1 上，且 AD⊥EC1．
（Ⅰ）求三棱锥 E﹣ADC1 的体积；
（Ⅱ）在棱 BC 上是否存在点 F，满足 EF∥平面 ADC1，若存在，求出 BF 的值．
解：（Ⅰ）∵AA1⊥平面 ABC，∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱，
则平面 A1B1C1⊥平面 AA1B1B，
∵D 是棱 A1B1 的中点，且 C1A1＝C1B1，∴C1D⊥A1B1，
由平面与平面垂直的性质可得直线 C1D⊥平面 ADE，而 AD
⊂
平面 ADE，
∴C1D⊥AD，C1D⊥DE，
又 AD⊥EC1，且 EC1∩C1D＝C1，
∴AD⊥平面 DEC1，
∵DE
⊂
平面 DEC1，∴AD⊥DE，
又 C1D∩AD＝D，∴DE⊥平面 DEC1，
由已知求得 A1B1＝2，则 C1D＝1，
又 ，则 AD＝2，
设 B1E＝x，则 DE2＝1+x2， ，
由 AD2+DE2＝AE2，得 ，
解得：x＝ ，可得 DE＝ ．
∴ ＝ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE＝2EB1，
取 AB 中点 K，连接 B1K，CK，可得 B1K∥AD，CK∥C1D．
在 AB 上取点 G，使 BG＝ BA，连接 EG，可得 EG∥B1K∥AD，
∵AD
⊂
平面 ADC1，EG
⊄
平面 ADC1，∴EG∥EG∥平面 ADC1，
在 BC 上取点 F，使 BF＝ ，连接 EF，GF，同理可得 GF∥平面 ADC1，
∴平面 EGF∥平面 ADC1，即 EF∥平面 ADC1，
此时 BF＝ ．
20．已知椭圆 + ＝1（a＞b＞0）的长轴长为 4，且离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线 l：y＝x+m 与椭圆交于 A，B 两点，AB 的中垂线交椭圆于 C，D 两点，M 为
CD 的中点，若 cos∠AMB＝﹣ ，求实数 m 的值．
解：（Ⅰ）由题意，
，解得 .
∴椭圆方程为 ；
（Ⅱ）直线 l：y＝x+m，设 A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 ，得 3x2+4mx+2m2﹣4＝0．
△＝16m2﹣12（2m2﹣4）＝﹣8m2+48＞0，得 ＜m＜ ．
， ，
∴AB 的中点 N（ ），
∵CD 是 AB 的垂直平分线，∴CD： ，即 ．
联立 ，得 ．
设 C（x3，y3），D（x4，y4），
∴ ， ，
∴CD 的中点 M（ ）．
∵cos∠AMB＝﹣ ，∴cos∠NMB＝ ，
得 sin∠NMB＝ ，则 tan ．
∴ ，
∵|AB|＝
＝ ＝ ，∴|BN|＝ |AB|＝ ．
|MN|＝ ＝ ，
由 ，解得 m＝ ．
21．已知函数 f（x）＝x﹣ ﹣mlnx，g（x）＝x+ ﹣（lnx）m，其中 x＞0，m
∈
R．
（Ⅰ）若函数 f（x）无极值，求 m 的取值范围；
（Ⅱ）当 m 取（Ⅰ）中的最大值时，求函数 g（x）的最小值．
解：（Ⅰ）f′（x）＝1+ ﹣ ＝ ，
根据题意得方程 x2﹣mx+1＝0 在区间（0，+∞）上无根或有唯一根，
即方程 m＝x+ 在区间（0，+∞）无根或有唯一根，解得：m≤2，
即 m 的取值范围是（﹣∞，2]；
（Ⅱ）当 m＝2 时，f（x）＝x﹣ ﹣2lnx，g（x）＝x+ ﹣（lnx）2，
由（Ⅰ）知 f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，且 f（1）＝0，
当 x
∈
（0，1）时，f（x）＝x﹣ ﹣2lnx＜f（1）＝0，得 x﹣ ＜2lnx＜0，
当 x
∈
（1，+∞）时，f（x）＝x﹣ ﹣2lnx＞f（1）＝0，得 x﹣ ＞2lnx＞0，
故当 x＞0 时，|x﹣ |≥|2lnx|＝|lnx2|，
令 x2＝u＞0，则| ﹣ |≥|lnu|，平方得 u+ ﹣2≥（lnu）2，
即当 u＞0 时，不等式 u+ ﹣（lnu）2≥2 成立，当 u＝1 时“＝”成立，
故当 x＝1 时，函数 g（x）取最小值 2．
请考生在第 22，23 题中任选择题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修 44：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点
O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ
＝2cos
θ
．
（Ⅰ）求直线 l 和曲线 C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）设点 A 的极坐标为（2， ），点 B 是曲线 C 上的点，求△AOB 面积的最大值．
解：（Ⅰ）由 （t 为参数），消去参数 t，可得直线 l 的普通方程为 x﹣2y+1＝
0，
由
ρ
＝2cos
θ
，得
ρ
2＝2
ρ
cos
θ
，则 x2﹣2x+y2＝0，
联立 ，解得 或 ．
∴直线 l 和曲线 C 交点的直角坐标为（1，1）或（ ， ）；
（Ⅱ）如图，A（2， ）＝（1， ），则|OA|＝2，
OA 所在直线的斜率为 ，
设斜率为 且与圆 x2﹣2x+y2＝0 相切的直线方程为：y＝ ，
即 ，由（1，0）到直线的距离为 1，
可得 ，解得 m＝2﹣ 或 m＝﹣2﹣ ，
由图可知，取 m＝﹣2﹣ 时，切点 B 到 OA：y＝ 的距离最大，为 ．
∴△AOB 面积的最大值为 ＝ ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．设函数 f（x）＝|x+3|+|x﹣1|，x
∈
R，不等式 f（x）＜6 的解集为 M．
（Ⅰ）求 M；
（Ⅱ）当 a2
∈
M，b2
∈
M 时，证明：|ab+2| |a+b|．
解：（Ⅰ）当 x＜﹣3 时，f（x）＜6 即为﹣2x﹣2＜6，解得﹣4＜x＜﹣3；
当﹣3≤x≤1 时，f（x）＜6 即为 4＜6 恒成立；
当 x＞1 时，f（x）＜6 即为 2x+2＜6，解得 1＜x＜2；
综上，M＝{x|﹣4＜x＜2}；
（Ⅱ）证明：当 a2
∈
M，b2
∈
M 时，0≤a2＜2，0≤b2＜2，
要证|ab+2| |a+b|，只需证明（ab+2）2＞2（a+b）2，即证 a2b2+4ab+4＞2a2+4ab+2b2，
只需证 a2b2﹣2a2﹣2b2+4＞0，只需证（a2﹣2）（b2﹣2）＞0，
又 a2﹣2＞0，b2﹣2＞0，故（a2﹣2）（b2﹣2）＞0，即得证．
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