专题 08 三角函数 （新高考地区专用）-2021届高三《新题速递·数学》5月刊（适用于高考复习）（解析版）

专题 08 三角函数 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班 级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1．（2021·新疆乌鲁木齐市·高三三模（文））已知 1sin 6 3        ，则 cos 2 3      （ ） A． 7 9  B． 4 3 9  C． 4 3 9 D． 7 9 【答案】D 【详解】 因为 1sin 6 3        ， 由 2 21cos(2 ) cos[2( )] 1 2sin ( ) 1 2 ( )3 6 6 3 7 9                . 故选：D. 2．（2021·江西高三二模（文））已知 1sin 6 3      ， 2cos 3   ，则 cos cos23         （ ） A． 2 9 B． 2 9  C． 7 9 D． 7 9  【答案】B 【详解】∵ 2cos 3   ，∴ 2 2 2 5cos2 2cos 1 2 13 9              ， ∵ 1sin 6 3      ，∴ 1cos cos sin3 2 6 6 3                               ， ∴ 1 5 2cos cos23 3 9 9            ． 故选：B 3．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））已知点  1,2 2P 是角 终边上一点，则 cos 6      等于（ ） A． 2 2 3 6  B． 2 6 6  C． 3 6 6  D． 6 3 6  【答案】A 【详解】由题意可得 2 2sin 3   ， 1cos 3   ， πcos 6     = 6cos cos +sin sin6  = 3 2 × 1 1+3 2 × 2 2 3 6 2 2 3 ， 故选：A． 4．（2021·安徽高三其他模拟（理））已知 为锐角， 1sin 06 2m m             ，则 cos 2 6      （ ） A．1 2m B． 22 1m m C． 21 2m D． 22 1m m  【答案】D 【详解】∵ 为锐角，且 10 2m  ， ∴ 0 6 6     ．又 2 2cos 2 1 2sin 1 23 6 m                 ， ∴  22 2 4 2sin 2 1 1 2 4 4 2 13 m m m m m           ， ∴ 2cos 2 cos 2 sin(2 ) 2 16 3 2 3 m m                        ， 故选：D． 5．（2021·千阳县中学高三其他模拟（理））已知 (1,2 sin )a x  ， 3(cos , )8b x ， ( 1,2)c   ，( ) / /a c b   ， 则锐角 x 等于（ ） A． 6  B． 12  C． 12  或 5 12  D． 6  或 3  【答案】D 【详解】 (2,sin )a c x   ， 3( ) // 2 sin cos 08a c b x x      3sin2 2x  ，2 (0, )x  ，2 3x  或 2 3  ， 6x  ，或 3  . 故选：D． 6．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三其他模拟（理））函数 2 3( ) sin sin cos3 4f x x x x       的图 象的一个对称中心是（ ） A． ,012     B． 3,12 4      C． ,06      D． 3,6 4     【答案】A 【详解】 函数 2 23 1 3 3( ) sin sin cos sin sin cos cos3 4 2 2 4f x x x x x x x x                  = 2 21 3 3 3 1sin sin cos cos sin 2 cos22 2 4 4 4x x x x x x     1 sin 22 6x      令 2 ,6x k k Z    ，解得 ,2 12 kx k Z    ，即对称中心为 ,02 12 k     . 令 0k  ，可得一个对称中心为 ,012     ， 无论 k 取任何整数， 6x  ，故 BCD 错误. 故选：A 7．（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）将函数 sin cosy x x  的图象向左平移 4  个单位，得到函数 ( )y f x 的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A． ( )y f x 是奇函数 B． ( )y f x 的图象关于直线 x  对称 C． ( )y f x 的周期是 D． ( )y f x 在区间 ,6 6      上单调递减 【答案】A 【详解】 函数 sin cos 2 sin 4y x x x        的图象向左平移 4  个单位，得到函数 2 siny x 的图象，则 ( ) 2 siny f xx  . A：因为 2 sin( ) 2 s( ) in ( )xf xx x f      ，所以 ( )y f x 是奇函数，因此本选项说法正确； B：因为 2 sin 0( )f    ，所以 ( )y f x 的图象不关于直线 x  对称，因此本选项说法不正确； C：因为 ( )y f x 的周期是 2 21   ，所以本选项说法不正确； D：因为 , [ , ]6 6 2 2          ，所以 ( )y f x 在区间 ,6 6      上单调递增，因此本选项说法不正确， 故选：A． 8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数   cos 3sinxf x x  ( 0 )在 π π,12 12     上是单调函 数，则 的最大值是（ ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【详解】   1 3 πcos 3sin 2( cos sin 2 ) 2cos2 2 3f x x x x x x            ， 由 ππ π π3k x k    ( Zk  )， 得 π 2ππ π3 3k k x      ( Zk  )，令 0k  ，得 π 2π 3 3x    ， 故  f x 在 π 2π,3 3      上单调，于是 π π π 2π 3 12 12 3      ，得 0 4  ，所以 的最大值是 4. 故选：B． 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选 错的得 0 分) 9．（2021·全国高三专题练习）已知函数   cos2 1 sin xf x x   ，则（ ） A．    f x f x   B．  f x 的最大值为 4 2 2 C．  f x 是奇函数 D．  f x 的最小值为 1 2  【答案】AB 【详解】由题意，函数   cos2 1 sin xf x x   ， 可得             cos 2cos2 cos2,1 sin 1 s cos2 1 si in nn 1 si x xx xf x f xx x x x              ，所以 A 正确； 由   2cos2 1 2sin 14 2 2sin 4 2 21 sin 1 sin 1 sin x xf x xx x x               ， 当且仅当 2sin 12x   时等号成立，故 B 正确； 由       cos 2 cos2 1 sin 1 sin x xf x x x      ，所以    f x f x   ，所以 C 不正确； 由 2π 1cosπ 13 2 2 3π3 231 sin 13 2 f                        ，所以 D 不正确. 故选：AB 10．（2021·山东高三专题练习）已知  4 42sin ,cos2 2 x xa f x     r ， 11, 2b      r ，若 a 与 b 共线，则下 列说法正确的是（ ） A．将  f x 的图象向左平移 π 3 个单位得到函数 1 π 3cos 24 3 4y x      的图象 B．函数  f x 的最小正周期为 π C．直线 3π 2x  是  f x 的一条对称轴 D．函数  f x 在 π π,2 4      上单调递减 【答案】BC 【详解】因为 a 与b 共线，则  4 412sin cos 02 2 2 x x f x        ， 所以   4 4 2 2 2 2cos sin cos sin 2cos sin2 2 2 2 2 2 x x x x x xf x           21 1 1 31 sin 1 1 cos2 cos22 4 4 4x x x       . 对于 A，将  f x 的图象向左平移 π 3 个单位得到函数 1 2π 3cos 24 3 4y x      的图象，故 A 错误； 对于 B， 2 2 2T      ，故 B 正确； 对于 C，当 3π 2x  时，则 32 32    ， 由余弦函数的对称轴为 ,x k k Z  ，故 C 正确； 对于 D， π π,2 4x       ，则 π 22 ,x       ， 由余弦函数的单调递增区间为 2 ,2 ,k k k Z    ， 当 0k  时，余弦函数的单调递增区间为  ,0 ， 所以函数  f x 在 π π,2 4      上单调递增. 故选：BC 11．（2021·河北高三二模）已知函数 ( ) cos 3sin ( 0)f x x x     的部分图象如图所示，则下列选项 正确的是（ ） A． 2  B．函数 ( )f x 的单调增区间为 7 , ( )12 12k k k Z        C．函数 ( )f x 的图象关于 7 ,012      中心对称 D．函数 ( )f x 的图象可由 2cosy x 图象向右平移 6  个单位长度得到 【答案】AC 【详解】 ( ) cos 3sin 2cos 3f x x x x          由图象可知 3 5 3 4 3 12 4 T          ，所以 2T    ，所以 2  ，故 A 选项正确 函数 ( )f x 的解析式为 ( ) 2cos 2 3f x x      ， 令 2 2 2 ( )3k x k k Z       得： 2 3 6k x k      ， 故 ( )f x 的单调增区间为 2 , ( )3 6k k k Z        ，故 B 选项错误 因为 7 012f      ，故 C 选项正确 因为 ( )f x 图象可由 2cosy x 图象向左平移 6  个单位长度得到，故 D 选项错误 故选：AC 12．（2021·全国高三专题练习）已知函数   3 sin cosf x x x  ，则下列说法正确的是（ ） A．  f x 的图象关于点 ,06      中心对称 B．  f x 在区间 ,2       上单调递减 C．  f x 在 0,2 上有且仅有1个最小值点 D．  f x 的值域为 1,2 【答案】BC 【详解】对于 A 选项，因为 06f      ， 32f      ，所以 6 2f f             ， 所以  f x 的图象不关于点 ,06      中心对称，故 A 错误； 对于 B 选项，当 ,2x       时，   3sin cos 2sin 6f x x x x        ， 2 7,6 3 6x         ，所以，函数  f x 在区间 ,2       上单调递减，B 选项正确； 对于 C 选项，      3 sin cos 3 sin cosf x x x x x            3 sin cosx x f x   ，所以 为函数  f x 的周期. 当 0, 2x     时，   3sin cos 2sin 6f x x x x        ， ,6 6 3x         ， 所以  f x 在区间 0, 2      上单调递增，    min 0 1f x f   ，  max 32f x f      ； 由 B 选项可知，函数  f x 在区间 ,2       上单调递减， 当 ,2x       时，  max 32f x f      ，    min 1f x f    . 所以，函数  f x 在 0,2 上有且只有1个最小值点，C 选项正确； 对于 D 选项，由 C 选项可知，函数  f x 的值域为 1, 3   ，D 选项错误. 故选：BC. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．（2021·安徽芜湖市·高三二模（理））已知 ，  均为锐角，若  cos 0   ， 1tan 3   ，则 cos  __________． 【答案】 10 10 【详解】 Q ，  均为锐角， 0       ，  cos 0   ， 2     ， 1tan ,03      ， 10sin 10   ， 10cos cos sin2 10            . 故答案为： 10 10 . 14．（2020·沭阳县修远中学高三月考）已知 1tan 2   ，则 2cos πcos 2 2        ______. 【答案】1 【详解】因为 1tan 2   ， 所以 2 2 2cos cos cos 1 1π sin 2 2sin cos 2tancos 2 2                . 故答案为：1. 15．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））设 x  是函数 ( ) cos 3sinf x x x  的一个极值点，则 2cos2 sin   ___________. 【答案】 1 10 【详解】因为 ( ) sin 3cosf x x x    ， x  是函数 ( ) cos 3sinf x x x  的一个极值点 所以 ( ) sin 3cos 0f        ，所以sin 3cos  所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos2 sin cos cos 1cos2 sin cos sin cos sin cos 9cos 10                   故答案为： 1 10 16．（2021·浙江高三二模）函数   3cos sinf x xx   ，  0,x  的值域为_________，若   2f x   ，  0,x  ，则 cos 2x  _________． 【答案】 2, 3 3 2  【详解】    3 13 cos sin =2 cos sin = 2sin 0,2 2 3f x x x x x xx                  ∵  0,x  ，∴ 2,3 3 3x         ， 令 2, ,3 3 3t x t         ∴ 32sin 2, 3,t ty        ，∴ min 2sin 2=2y    ， 3=32siny      ， ∴值域为： 2, 3 ； 当   2f x   ，  0,x  ，即 2sin = 23x       ，可解得： 7 12x  ， 所以，此时 cos 2x  7 7 3cos2 cos12 6 2         . 故答案为： 2, 3 ； 3 2  四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．（2019·北京高三三模）已知函数     21 3 tan cosf x x x  . （Ⅰ）若 是第二象限角，且 6sin 3   ，求  f  的值； （Ⅱ）求函数  f x 的定义域和值域. 【答案】（Ⅰ）1 6 3  （Ⅱ）函数  f x 的定义域为 , ,2x x R x k k Z        且 ，值域为 1 3,2 2     【详解】（1）因为 是第二象限角，且 6sin 3   ， 所以 2 3cos 1 sin 3       . 所以 sintan 2cos     ， 所以     2 3 1 61 3 2 3 3f            . （2）函数  f x 的定义域为 , ,2x x R x k k Z        且 . 化简，得     21 3 tan cosf x x x   2sin1 3 coscos x xx      2cos 3 sin cosx x x  1 cos2 3 sin 22 2 x x  1sin 2 6 2x       ， 因为 xR ，且 2x k   ， k Z ， 所以 72 26 6x k    ， 所以 1 sin 2 16x        . 所以函数  f x 的值域为 1 3,2 2     . （注：或许有人会认为“因为 2x k   ，所以   0f x  ”，其实不然，因为 06f      .） 18．（2020·全国高一课时练习）如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为始边的锐角 的终边与单位 圆O 交于点 A ,且点 A 的纵坐标是 10 10 ． （1）求 3cos 4      的值: （2）若以 x 轴正半轴为始边的钝角  的终边与单位圆O 交于点 B ,且点 B 的横坐标为 5 5  ,求  的值． 【答案】（1） 5 5  （2） 3 4     【详解】因为锐角 的终边与单位圆交于点 A ,点 A 的纵坐标是 10 10 , 所以由任意角的三角函数的定义可知, 10 10sin  ． 从而 2 3 10cos 1 sin 10     ． （1）于是 3 3 3cos cos cos sin sin4 4 4           3 10 2 10 2 5 10 2 10 2 5                    ． （2）因为钝角  的终边与单位圆交于点 B ,且点 B 的横坐标是 5 5  , 所以 5cos 5    ,从而 2 2 5sin 1 cos 5     ． 于是  sin sin cos cos sin        10 5 3 10 2 5 2=10 5 10 5 2          ． 因为 为锐角,  为钝角,所以 3,2 2         从而 3 4     ． 19．（2017·上海高三一模）已知△ ABC 中， 1AC  ， 2 3ABC   ，设 BAC x  ，记 ( )f x AB BC   ； （1）求函数 ( )f x 的解析式及定义域； （2）试写出函数 ( )f x 的单调递增区间，并求方程 1( ) 6f x  的解； 【答案】（1） 1 1( ) sin(2 )3 6 6f x x    ， (0, )3x  ；（2）递增区间 (0, ]6  ， 6x  ； 【详解】（1）由正弦定理有 1 2sin sin sin( )3 3 BC AB x x    所以 sin 2 sin2 3sin 3 xBC x  ， sin( ) 23 sin( )2 33sin 3 x AB x        所以 2 2 2( ) sin sin( ) cos sin sin( )3 3 3 33 3 f x AB BC x x x x           2 3 1 1 1( cos sin )sin sin(2 )3 2 2 3 6 6x x x x      (0, )3x  （2）单增区间： 2 2 22 6 2k x k         ， k Z 所以 3 6k x k       ， k Z 又 (0, )3x  ，所以单增区间为 0, 6     ， 因为 1 1 1( ) sin(2 )3 6 6 6f x x     所以 sin(2 ) 16x   解得 6x  20．（2021·浙江高三其他模拟）已知锐角三角形 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ， c ，函数   sin 2 cos 2f x a x b x  ，且函数  f x 在 π 6x  处取得最大值 4. （1）求函数  f x 的单调递增区间； （2）若 ABC 的面积为 3 ，求 c . 【答案】（1） π ππ , π3 6k k     ， k Z ；（2）2. 【详解】（1）    2 2sin 2 cos2 sin 2f x a x b x a b x      ，其中 tan b a   . 因为函数  f x 在 π 6x  处取得最大值 4，所以 2 2 4a b  ， 且 π 3tan tan 6 3 b a     ，所以 2 3a  ， 2b  ，所以   π4sin 2 6f x x     . 令 π π π2 π 2 2 π+2 6 2k x k ≤ ≤ ， k Z ，解得 π ππ π3 6k x k    ， k Z ， 即函数  f x 的单调递增区间为 π ππ , π3 6k k     ， k Z . （2）因为 2 3a  ， 2b  ，且 ABC 的面积为 3 ， 所以 1 sin 2 3sin 32ABCS ab C C  △ ，解得 1sin 2C  . 因为 π0 2C  ，所以 π 6C  . 由余弦定理可知， 2 2 2 32 cos 12 4 2 2 3 2 42c a b ab C          ，得 2c  . 21．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数    2 π 1sin cos2 13 2f x x x       . （1）求  f x 的单调递增区间； （2）若  y g x 的图象是由  y f x 的图象向右平移 π 6 个单位长度得到的，则当 ,2 2 π πx      时，求满 足   5 4g x  的实数 x 的集合. 【答案】（1） π 2ππ, π6 3k k     ， k Z ；（2） π π| 2 3x x    或 π0 2x    . 【详解】（1）    2 2π1 cos 2π 1 1 13sin cos2 1 cos23 2 2 2 2 x f x x x x                1 1 1 3cos2 sin 22 2 2 2x x         1 1cos22 2x  1 3 1 3 1cos2 sin 2 cos2 1 sin 2 cos2 14 4 2 4 4x x x x x        1 πsin 2 12 6x       . 令 π π 3π2 2 π, 2 π6 2 2x k k       ， k Z ，则 π 2ππ, π6 3x k k      ， k Z ， 所以  f x 的单调递增区间为 π 2ππ, π6 3x k k      ， k Z . （2）由题可知   1 π π 1 πsin 2 1 sin 2 12 6 6 2 6g x x x                     ， 由   5 4g x  ，得 π 1sin 2 6 2x      ， 由 ,2 2 π πx      ，得 π 7π 5π2 ,6 6 6x       ， 由正弦函数的图象与性质可知 π 7π 5π π 5π2 , ,6 6 6 6 6x               ，则 π π π, 0,2 3 2x             ， 即所求实数 x 的取值集合为 π π| 2 3x x    或 π0 2x    . 22．（2021·浙江高三二模）设函数 ( ) sin cos2f x x x  ， xR . （1）求函数  y f x 的最小值； （2）若  是锐角， ( ) ( ) 1 5 9 8 f f     ，求sin 可能值的个数. 【答案】（1） 2 ；（2）4 个. 【详解】（1） 2 2( ) sin cos2 sin 1 2sin 2sin sin 1f x x x x x x x         令 sint x ，  sin 1,1x  ，  1,1t   则 2( ) 2 1g t t t    ，  1,1t   ，对称轴为 1 4t  利用二次函数的单调性知，函数在 11, 4t      时单调递增，在 1 ,14t     时单调递减； 故当 1t   时，函数取得最小值，即 ( 1) 2 1 1 2g        即当sin 1x   时，函数  f x 取得最小值，且最小值为 2 . （2）由 ( ) 1 5 8 f    ，得 5( ) 8f    ，即 2 52sin ( ) sin( ) 1 8          ， 整理得：  4sin( ) 1 4sin( ) 3 0        解得： 1sin( ) 4     或 3sin( ) 4    由 ( ) 1 9 8 f   ， 得 9( ) 8f   ，即 2 92sin sin 1 8      整理得： 24sin 1 0   ，解得： 1sin 4   又  是锐角， 15cos 4   利用凑角可知sin sin( ) sin( )cos cos( )sin                当 1sin( ) 4     ，  可以为三或四象限； 若  为三象限，则 15cos( ) 4     ，则 1 15 15 1sin 04 4 4 4             若  为四象限，则 15cos( ) 4    ，则 1 15 15 1 15sin 4 4 4 4 8             当 3sin( ) 4    ，  可以为一或二象限； 若  为二象限，则 7cos( ) 4     ，则 3 15 7 1 3 15 7sin 4 4 4 4 16             若  为一象限，则 7cos( ) 4    ，则 3 15 7 1 3 15 7sin 4 4 4 4 16            故sin 可能值的个数为 4 个.