专题 07 数列
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班
级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 2a ，且 3 32 2S a ，则
公比 q （ ）
A． 1
2 B．2 C．3 D． 1
3
【答案】B
【详解】
由 3 32 2S a 得 3 2 1 2 0a a a ，
又 1 2a ，∴ 2 2 0q q ，
即 2 1 0q q ，
∴ 2q = 或 1q (舍去).
故选：B
2．（2021·河南安阳市·高三一模（理））已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 11 22S ，则 4 12
3 1
2 2a a
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】
因为等差数列 na 中， 1 11
11
11 222
a aS
，
所以 1 1 1 4a a ，
则 4 12 1 1 1 6 1 11
3 1 3 13 11 2 10 2 42 2 2 2a a a d a d a d a a a .
故选：B.
3．（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 7 3 649, 3S a a ，则 nS 取
最大值时的 n 为（ ）
A． 7 B．8 C．14 D．15
【答案】A
【详解】
由题可知，
4
1 7
7
7 7 49,2
a aS a
则 4 7a ，
又 3 63a a ， 7 3(7 2 ),d d 则 2d ，
则 4 ( 4) 2 15,na a n d n
因此 7 80 , 0a a ，故 nS 取最大值时的 n 值为 7
故选：A.
4．（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））在正项等比数列 na 中，若 5 3a ，则
3 1 3 2 3 3 3 9log log log loga a a a （ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【详解】
3 1 3 2 3 3 3 9log log log loga a a a 3 1 2 9log a a a
9 9
3 5 3log log 3 9a .
故选：C
5．（2021·陕西西安市·高三二模（文））等差数列 na 中， 1 2020a ，前 n 项和为 nS ，若 1012 212 10
SS ，
则 2020S （ ）
A．1010 B．2020 C．1011 D．2021
【答案】B
【详解】
依题意 1012 212 10
SS ，
即 1 112 66 10 45 212 10
a d a d ，
即11 9 22 2d d d ，
所以 2020
2020 20192020 2020 22S
2020 2020 2020 2019 2020 2020 2019 2020 .
故选：B
6．（2021·山东高三其他模拟）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩
二(除以 3 余 2)，五五数之剩三(除以 5 余 3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的
正整数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 na ，则满足 2021na 的正整数 n 的最小值为（ ）
A．132 B．135 C．136 D．138
【答案】C
【详解】
由题意归纳可知，数列为 8，23，38，…，
即所求数列是首项为 8 公差为 15 的等差数列，
故 8 15 1 15 7na n n ，
令15 7 2021n ，解得 1135 5n ，
所以 n 的最小值为 136.
故选：C
7．（2021·浙江高三二模）已知实数 , ,x y z 满足 0 x y z ，且sin x ，sin y ，sin z 可以按照某个顺
序排成等差数列，则（ ）
A． sin x 不可能是等差中项 B． sin y 不可能是等差中项
C．sin z 不可能是等差中项 D． sin x ，sin y ，sin z 都可能是等差中项
【答案】D
【详解】
若sin x 是等差中项，则由 2sin sin siny x z ，
此时sin sin siny x z 或sin sin sinz x y ，如图（2）所示，所以 A 不正确；
若sin y 是等差中项，则由 2sin sin siny x z ，
此时sin sin sinx y z 或sin sin sinz y x ，如图（1）所示，所以 B 不正确；
若sin z 是等差中项，则由 2sin sin sinz x y ，
此时sin sin sinx z y 或sin sin siny z x ，如图（3）所示，所以 C 不正确；
所以 sin x ，sin y ， sin z 都可能是等差中项.
故选：D.
图（1） 图（2） 图（3）
8．（2021·陕西宝鸡市·高三其他模拟（文））已知数列 na 的前 n 项和为 2 3n
nS ，则此数列奇数项的前
m 项和为（ ）
A． 9 9
4 4
m
B． 5 9
4 4
m
C．
19 9
4 4
m
D．
13 9
4 4
m
【答案】B
【详解】
当 2n
时， 1 1
1 2 3 2 3 2 3n n n
n n na S S
，因为当 n=1 时， 1 1a 不满足，所以数列 na
从第二项开始成等比数列，又 3 18a ，
则数列 na 的奇数项构成的数列的前 m 项和 mT 118 1 9 5 911 9 4 4
m m
.
故选:B.
二、、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有
选错的得 0 分)
9．（2021·山东济南市·高三二模）已知数列 na 中， 1 1a ， 1 2n
n na a ， n +N ，则下列说法正确的
是（ ）
A． 4 4a B． 2na 是等比数列
C． 1
2 2 1 2n
n na a
D． 1
2 1 2 2n
n na a
【答案】ABC
【详解】
因为 1 1a ， 1 2n
n na a ，
所以 2 3 42, 2, 4a a a ，
由 1 2n
n na a 可得 1
1 2 2n
n na a
，
所以 2 2n
n
a
a
，
所以 2na ， 2 1na 分别是以 2,1 为首项，公比为 2 的等比数列，
所以 1 1 1
2 2 12 2 2 , 1 2 2n n n n
n na a
，
所以 1
2 2 1 2n
n na a
， 1 1
2 1 2 3 2 2n n
n na a
，
综上可知，ABC 正确，D 错误.
故选：ABC
10．（2021·全国高三其他模拟）已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，且 2 20a ， 7 98S ，则（ ）
A． 1 5 34a a B． 8 9a a
C． 9nS S D．满足 0nS 的 n 的最小值为 17
【答案】AD
【详解】
因为 1 7
7 4
7 7 982
a aS a
，所以 4 14a .
又 2 20a ，所以 1 5 2 4 34a a a a ，A 选项正确；
设等差数列 na 的公差为 d ，由 4 2 2 6a a d ，解得 3d ，
所以 2 2 3 26 3na a n n .
8 26 3 8 2a ， 9 26 3 9 1a .
所以 8 9a a ，B 选项不正确；
由 3d 知数列 na 为递减数列，又 8 2 0a ， 9 1 0a .
所以 8S 为 nS 的最大值，C 选项不正确；
因为 1 16
16 8 9
16 8 8 02
a aS a a
， 1 17
17 9
17 17 17 02
a aS a
.
所以满足 0nS 的 n 的最小值为 17，D 选项正确.
故选 AD．
11．（2020·扬州大学附属中学东部分校高二月考）设等比数列 na 的公比为 q,其前 n 项和为 nS ,前 n 项积为
nT ,并满足条件 1 2019 20201, 1a a a , 2019
2020
1 01
a
a
,下列结论正确的是( )
A．S2019
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