景德镇市 2021 届高三第三次质检试题
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 3
2log 1A x y x ， 2B y y x ，则 A B （ ）
A. ( 1,2] B. [2, ) C. [0, ) D. (1, )
2. 若复数 z 满足 20211 3 i z i ，则复数 z 的虚部是（ ）
A. -2 B. 1 C. i D. 2i
3. 已知等比数列 na 中， 1 5 10a a ， 1 5 16a a 且 1 5a a ，则 7a （ ）
A. 16 B. 16 C. 4 D. 4
4. 在手机未普及的上世纪七八十年代，小孩玩的很多游戏都是自创的，其中有一个游戏规则
如下：在地上画一条线段，游戏参与者站在规定的距离外朝着此线段丢一片圆形铁皮，铁皮
压住了横线为有效，恰好压住了线段的两端点之一，则为获胜，现假设线段长为 20 厘米，铁
片半径 1 厘米，若一个小孩朝着线段随机丢铁片若干次，其中有效次数为 100 次，获胜次数
为 15 次，用得到的频率估计概率，可估算出 的近似值为(精确到小数点后两位)（ ）
A. 3.06 B. 3.12 C. 3.20 D. 3.24
5. 已知向量 (2 , 1)
m ， (2, 5)
n 且 2 2m n m n
，则 （ ）
A. 5
3
B. 3
2
C. 1 D. 3
2
6. 景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图 1 这个精美的青花瓷花瓶，它的
颈部(图 2)外形上下对称，基本可看作是离心率为 34
3
的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋
转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为 16 厘米，颈部高为 20 厘米，则瓶口直径为（ ）
A 20 B. 30 C. 40 D. 50
7. 若直线 2 1 0mx y m 被圆 2 2 6 2 1 0x y x y 所截弦长最短，则 m （ ）
A. 4 B. 2 C. 1
2
D. -2
8. 三棱柱被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 20
3 B. 6 C. 5 2 D. 16 2
3
9. 已知函数
2
1
2 , 02 2( )
3 , 02x
a aa x x
f x
a x
在 0 0 0x x 处取得最小值，且 0 3 f x a ，
则实数 a 的取值范围（ ）
A. [2,3) B. [1,3) C. [1,2) D. (1,3)
10. 在棱长为 2 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 、F 分别为棱 AB 、 AD 的中点，则平
面 1D EF 与正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 外接球的交点轨迹长度为（ ）
A. 2 3 B. 13 C. 4 13
3
D. 4
11. 已知 A ， B 分别为抛物线 2
1 : 4C y x 与圆 2 2
2 : 4 2 7 0 C x y y 上的动点，抛物
线的焦点为 F ， P ，Q 为平面两点，当 AF AB 取到最小值时，点 A 与 P 重合，当
AF AB 取到最大时，点 A 与Q 重合，则直线的 PQ 的斜率为（ ）
A. 2
3
B. 1
2 C. 1 D. 2 2
3
12. 若正实数 a ，b 满足
2
2ln ln 2 22
ba b a ，则（ ）
A. 12 2 4
a b B. 12 2 22
a b
C. 2a b D. 2 4 0b a
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生必须
做答，第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本.已知 4
号､43 号同学在样本中，那么样本中另外两位同学的学号是___________.
14. 已知 tan 24
，则 cos sin4
___________.
15. 已知公差不为 0 的等差数列 na 的部分项 1ka ， 2ka ， 3ka ，……构成等比数列 na ，且
1 1k ， 2 2k ， 3 5k ，则 nk ___________.
16. 对于定义域为 R 的函数 f x ，若满足（1） 0 0f ；（2）当 xR ，且 0x 时，都
有 ( ) 0xf x ；（3）当 1 20x x ，且 1 2x x 时，都有 1 2f x f x ，则称 ( )f x 为“偏对
称函数”.现给出四个函数：① 1( ) sinf x x x ；② 2
2 ( ) ln 1 f x x x ；
③ 3
, 0( ) ln( 1), 0
x xf x x x
；④ 4 ( ) 1 xf x e x 则“偏对称函数”有___________个.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题
为必做题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
17. 已知向量 3sin ,cos 1
m x x ， (cos ,cos 1)
n x x .若 ( )f x m n
.
（1）求函数 ( )f x 的单调递增区间；
（2）在 Rt ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 90A ， 0f C ， 3c ，
CD 为 BCA 的角平分线， E 为 CD 中点，求 BE 的长.
18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，
2APB ，
3ABC ，
2 3PB ， 2 4PA AD PC ，点 M 是 AB 的中点．
（1）求证：平面 PCM 平面 PAB ；
（2）求二面角 B PC M 的余弦值．
19. 自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不
懈努力下，我国公民率先在 2020 年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工
作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，
进行了一些实验．
（1）实验一：选取 10 只健康白兔，编号 1 至 10 号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在
含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除 2 号、3 号和 7 号白兔仍然感染了新冠病毒，其他
白兔未被感染，现从这 10 只白兔中随机抽取 4 只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作 X ，
求 X 的分布列和数学期望．
（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射
的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白
兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到 96%，如若可
以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．
20. 已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
上的点到焦点 F 的最小距离为 1，且以椭圆 E 的短轴
为直径的圆过点 0, 5 且 A ， B 为椭圆的左右顶点．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）过 (2,0)P 直线交椭圆于 M ， N 两点（ M 在第一象限），直线 AN 、 BM 的斜率为 1k ，
2k ，是否存在实数 ，使得 1 2k k ，若存在，求出实数 的值；若不存在，说明理由．
21. 已知函数 1( ) ( ) xf x ae a R ，
（1）若直线 2y x 与曲线 ( )y f x 相切，求 a 的值．
（2）当 1a 时，求证：当 0x 时， ( ) ln ln 1 f x x a 恒成立．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答．如果多做，则
按所做的第一题记分
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22. 在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos 0 ，以极点O 为原点，以极轴
为 x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，已知 M 点的坐标为 (0,2) ，直线l 的参数方程为
2
2
22 2
x t
y t
(t 为参数)，且与曲线C 交于 A ， B 两点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若点 P 为曲线 C 的动点，则满足使得 ABP△ 的面积 16 2△ABPS 条件的点 P 有几个，
并求出点 P 的坐标.
[选修 4-5：不等式选讲]
23. 已知函数 ( ) | | | | ( 0)f x b x x a a .
（1）当 1b ， 2a 时，解不等式 4f x ；
（2）当 2b 时，若不等式 2f x 对任意的 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围.
景德镇市 2021 届高三第三次质检试题
数学（理科） 解析部分
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 3
2log 1A x y x ， 2B y y x ，则 A B （ ）
A. ( 1,2] B. [2, ) C. [0, ) D. (1, )
【答案】D
【解析】
【分析】求对数型函数 3
2log 1y x 的定义域化简集合 A ，再化简集合 B ，利用交集的概
念，即可求出结果.
【详解】解:因为 3
2log 1 1A x y x x x ，
2 0B y y x y y ，
所以 (1, )A B .
故选：D
2. 若复数 z 满足 20211 3 i z i ，则复数 z 的虚部是（ ）
A. -2 B. 1 C. i D. 2i
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数模的运算及 i 的运算性质、虚部的定义即可得出．
【详解】因为 3 2i ，且 20211 1i i ，
∴
2 12 11 1 1
iz i i i
i，
则此复数 z 的虚部为 1．
故选：B．
3. 已知等比数列 na 中， 1 5 10a a ， 1 5 16a a 且 1 5a a ，则 7a （ ）
A. 16 B. 16 C. 4 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】结合 1 5 10a a ， 1 5 16a a 且 1 5a a ,求出 1a , 5a ,从而得出数列的通项公式,即可求
出 7a .
【详解】解:已知 1 5
1 5
10
16
a a
a a
，且 1 5a a
解得 1
5
2
8
a
a
,
又因为 na 是等比数列,
所以 4
5 1 8a a q
所以 4 8 42q ,可得 2 2q ,
所以 57
2 8 2 16a qa .
故选:B
【点睛】本体考查等比数列的通项公式,求等比数列的简单基本性质,求出首项和公比是解题的
关键.
4. 在手机未普及的上世纪七八十年代，小孩玩的很多游戏都是自创的，其中有一个游戏规则
如下：在地上画一条线段，游戏参与者站在规定的距离外朝着此线段丢一片圆形铁皮，铁皮
压住了横线为有效，恰好压住了线段的两端点之一，则为获胜，现假设线段长为 20 厘米，铁
片半径 1 厘米，若一个小孩朝着线段随机丢铁片若干次，其中有效次数为 100 次，获胜次数
为 15 次，用得到的频率估计概率，可估算出 的近似值为(精确到小数点后两位)（ ）
A. 3.06 B. 3.12 C. 3.20 D. 3.24
【答案】D
【解析】
【分析】由题意画出图形，可知铁皮落在图形内为有效，落在两个圆内为获胜，然后利用几
何概型的概率公式列方程可求得结果
【 详 解 】
由题意得，铁片在图中两个圆内为获胜，
则
2
2
1 2
2 2 15
2 40 100
r
r O O r
，
所以 200 600 15 ，解得 600 3.24185
，
故选：D
5. 已知向量 (2 , 1)
m ， (2, 5)
n 且 2 2m n m n
，则 （ ）
A. 5
3
B. 3
2
C. 1 D. 3
2
【答案】A
【解析】
【分析】先求出 2m n 和 2m n
ur r ，再利用模的平方相等求解 即可.
【详解】由题意： 2 (2 , 1) 2(2, 5) (2 4,2 11)m n ，
2 (2 , 1) 2(2, 5) (2 4, 2 9)m n ，
又 2 2m n m n
，所以 2 28 28 137 8 52 97 ，
解得 5
3
，
故选：A.
6. 景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图 1 这个精美的青花瓷花瓶，它的
颈部(图 2)外形上下对称，基本可看作是离心率为 34
3
的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋
转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为 16 厘米，颈部高为 20 厘米，则瓶口直径为（ ）
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
【答案】A
【解析】
【分析】设双曲线方程为
2 2
2 2 1x y
a b
，根据已知条件可得 ,a c 的值，由 2 2 2b c a 可得双曲
线的方程，再将 10y 代入方程可得 x 的值，即可求解.
【详解】因为双曲线焦点在 x 轴上，设双曲线方程为
2 2
2 2 1x y
a b
由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以 2 16a ，可得 8a ，
因为离心率为 34
3
，即 34
3
c
a
，可得 34 8 34
3 3ac ，
所以
2
2 2 2 28 34
3
16008 9b c a
，
所以双曲线的方程为：
2 29 164 1600
x y ，
因为颈部高为 20 厘米，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为10，
将 10y 代入双曲线可得
2 9 100 164 1600
x ，解得： 10x ，
所以瓶口直径为 20cm ，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，利用待定系数法求出双曲线的方程，再
由 y 的值求得 x 的值，瓶口直径为 2x .
7. 若直线 2 1 0mx y m 被圆 2 2 6 2 1 0x y x y 所截弦长最短，则 m （ ）
A. 4 B. 2 C. 1
2
D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】先判断直线所过的定点，因为弦长最短得定点为弦中点，利用斜率关系即可求解参
数值．
【详解】直线 2 1 0mx y m 过定点 2,1P ，
因这直线 2 1 0mx y m 被圆 2 2 6 2 1 0x y x y 所截弦长最短，
所以点 2,1P 为弦的中点，故圆心 3, 1 与点 2,1P 连线与直线 2 1 0mx y m 垂直
则 1 1 12 3m
，解得 1
2m
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于判断定点为弦的中点位置．
8. 三棱柱被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 20
3
B. 6 C. 5 2 D. 16 2
3
【答案】A
【解析】
【分析】先把三视图还原为实物图，再求出体积.
【详解】三视图还原后的实物图如图所示，
相当于从三棱柱 ABC-EFD 中截取一个三棱锥 B-DFG，故体积为：
1 1 1 20= 2 2 4 1 2 4=2 3 2 3V V V 柱 锥 .
故选：A
【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画
出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、
画出整体，让后再根据三视图进行调整.
(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图
中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
(3)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行
求解．
9. 已知函数
2
1
2 , 02 2( )
3 , 02x
a aa x x
f x
a x
在 0 0 0x x 处取得最小值，且 0 3 f x a ，
则实数 a 的取值范围（ ）
A. [2,3) B. [1,3) C. [1,2) D. (1,3)
【答案】C
【解析】
【分析】先根据 ( )f x 在 0 (0, )x 处取得最小值，得 0f x f x ，且 0 02x a ，再由
当 0x 时 3( 2) af x ， 结 合
2
0 22 af x 得 2
0
32 2 2
a
a a
， 解 得 1a ， 最 后 结 合
0 3 f x a 得 2a ，即可得到结果．
【详解】由函数 ( )f x 在 0 (0, )x 处取得最小值得 0f x f x ，则 0a 且 0 02x a
当 0x 时 1 2
3 3( ) 2x
a af x ，又
2
0 222
a af x f
，
所以 2
0
32 2 2
a
a a
，得 1a ．
又 0 3 f x a ，所以 32
af a
，
即 12
3 3
2
a
a a
，整理得 122 1
a
， 1 02
a ，解得 2a ．
综上，1 2a .
故选：C．
【点睛】关键点睛：求解分段函数与方程、不等式问题的交汇问题，关键是依据自变量的不
同范围或参数的不同范围分类讨论求解，最后还要根据讨论对象的不同（是对自变量进行的
分类讨论还是对参数进行的分类讨论）来确定最终结果．
10. 在棱长为 2 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 、F 分别为棱 AB 、 AD 的中点，则平
面 1D EF 与正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 外接球的交点轨迹长度为（ ）
A. 2 3 B. 13 C. 4 13
3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】连接 1 1 1,B D B E ，取 1 1B D 的中点 N ， EF 的中点 M ， BD 的中点 Q ，连接
, ,MN MQ NQ ，
作OP MN ，垂足为 P ，证得 OP 平面 1D EF ，在直角 MNQ△ 中，求得 1sin 3MNQ ，
在 NPO△ 中，求得 2
3OP ，结合球的截面圆的性质，求得截面圆的半径，即可求解.
【详解】如图所示，连接 1 1 1,B D B E ，取 1 1B D 的中点 N ， EF 的中点 M ， BD 的中点 Q ，
连接 , ,MN MQ NQ ，其中O 为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的中心，
作OP MN ，垂足为 P ，
因为 NQ 平面 ABCD ， EF 平面 ABCD ，所以 NQ EF ，
因为四边形 ABCD 为正方形且 ,E F 为 ,AB AD 的中点， ,M Q 为 ,FE DB 的中点，
可得 FE MQ ，
又因为 ,FE NQ MQ NQ Q ，且 ,MQ NQ 平面 MNQ ，所以 EF 平面 MNQ ，
因为OP 面 MNQ ，所以 EF OP ，
又由 ,OP MN MN FE M ，且 ,MN FE 平面 1 1D B EF ，所以 OP 平面 1 1D B EF ，
因为面 1 1D B EF 和面 1D EF 是同一面，所以OP 平面 1D EF ，
在直角 MNQ△ 中， 1, 2 2MQ NQ ，可得 2 2 3MN MQ NQ ，所以 1sin 3MNQ ，
又因为 2ON ，在 NPO△ 中，可得 2sin 3OP NO MNQ ，
由平面截球的轨迹为圆，其中 P 是截面圆的圆心，O 为球心，
因为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 2 ，所以外接球的半径 6OS ，
根据截面圆的性质，可得 2 2 2 13
3PS OS OP ，
所以截面的周长为 4 132 3PS .
故选：C.
【点睛】解题方法点拨：
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等
问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的
定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代
数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
11. 已知 A ， B 分别为抛物线 2
1 : 4C y x 与圆 2 2
2 : 4 2 7 0 C x y y 上的动点，抛物
线的焦点为 F ， P ，Q 为平面两点，当 AF AB 取到最小值时，点 A 与 P 重合，当
AF AB 取到最大时，点 A 与Q 重合，则直线的 PQ 的斜率为（ ）
A. 2
3
B. 1
2 C. 1 D. 2 2
3
【答案】D
【解析】
【分析】根据 AF AB 取到最小值时，点 A 与 P 重合，利用抛物线的定义得到 2PC l ，从
而得到点 P 的坐标，连接 2FC ，由抛物线的定义得到 Q 为 2FC 与抛物线 1C 的交点求解.
【详解】如图所示：
2 2
2 : 4 2 7 0 C x y y ，即 22 2 2 1x y ，圆心为 2 0,2 2C ，
抛物线 2
1 : 4C y x 的焦点为 1,0F ，记 1C 的准线为 l，过点 A 作 1AD l ，
过 2C 作 2 2C D l ，
1 1 2 1AF AB AD AB AD AC ，当 2 1, ,A C D 共线时，点 B 在 2AC 上，此时
2,2 2P ，
连接 2FC ，
2 2 21 1 1AF AB AF AC AF AC FC ，此时 Q 为 2FC 与抛物线 1C 的交点，
2 : 2 2 1FC y x ，由
2
2 2 1
4
y x
y x
，解得
2
2 2
x
y
或
1
2
2
x
y
，
因为 Q 在第一象限，
所以 1 , 22Q
，
所以
2 2 2 2 2
1 32 2
PQk
，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是抛物线定义的灵活应用.
12. 若正实数 a ，b 满足
2
2ln ln 2 22
ba b a ，则（ ）
A 12 2 4
a b B. 12 2 22
a b
C. 2a b D. 2 4 0b a
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式可得 2
22 2 2 12
ba ab （当且仅当
2
2 2
ba 时取等号），利
用 熟 知 的 结 论 1 lnx x （ 当 且 仅 当 1x 时 取 等 号 ） 进 行 放 缩 可 得 到
2
22 2 ln ln2
ba a b ，结合已知条件，得到
2
2ln ln 2 22
ba b a ，考虑到各不等式
取等号的条件，解得 ,a b 的值，然后逐一检验即可做出正确判断.
【详解】先证明熟知的结论： 1 lnx x 恒成立，且当且仅当 1x 时取等号.
设 1 lnf x x x ,则 11f x x
,
在(0,1)上， 0f x , f x 单调递减;在(1,+∞)上， 0f x , f x 单调递增.
故 1 1 1 0 0minf x f ,
∴ 1 lnf x x x 恒成立，且当且仅当 1x 时取等号.
由 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2 1 2ln ln ln2 2
b ba a ab ab a b ,
由已知
2
2ln ln 2 22
ba b a ，
∴
2
2ln ln 2 22
ba b a ，且
2
2
2 2
1
ba
ab
，
解得
1
2
2
a
b
,
经检验只有 B 正确，
故选：B.
【点睛】本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论 1 lnx x 恒成立，且当且仅当 1x
时取等号进行研究，得到
2
22 2 ln ln2
ba a b ，结合已知得到等式，一定要注意基本不
等式和 1 lnx x 取等号的条件，才能列出方程组求得 ,a b 的值.
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生必须
做答，第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本.已知 4
号､43 号同学在样本中，那么样本中另外两位同学的学号是___________.
【答案】17 和 30
【解析】
【分析】根据题意得系统抽样的抽样间隔为52 4 13 ，列举出 4 个样本的编号分别进而可
得答案.
【详解】解：由系统抽样为等距抽样，故抽样间隔为52 4 13 ，
故所抽取的 4 个样本的编号分别为：4，4+13=17，17+13=30，30+13=43，
故样本中还有一个同学的学号是 17 和 30.
故答案为: 17 和 30
14. 已知 tan 24
，则 cos sin4
___________.
【答案】 3 2
10
【解析】
【 分 析 】 由 两 角 差 的 正 切 公 式 求 出 tan 3 , 再 用 三 角 恒 等 变 换 求 出
22 2cos sin cos sin sin4 2 2
,利用弦化切公式化为
2
2
2 tan tan
2 tan 1
,
代入 tan 3 即可求出结果.
【详解】解: 由两角差的正切公式可得 tan 1tan( ) 24 1 tan
，得 tan 3 ,
22 2cos sin cos sin sin4 2 2
2 2
2 2 2
2 cos sin sin 2 tan tan
2 sin cos 2 tan 1
2 3 9 3 2
2 9 1 10
.
故答案为: 3 2
10
.
15. 已知公差不为 0 的等差数列 na 的部分项 1ka ， 2ka ， 3ka ，……构成等比数列 na ，且
1 1k ， 2 2k ， 3 5k ，则 nk ___________.
【答案】
13 1
2
n
【解析】
【分析】设等差数列 na 的公差为 d ，则 0d ，由等比数列的性质列式求得 12a d ．然
后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得 nk ．
【详解】解：设等差数列 na 的公差为 d ，则 0d ，
由已知
2 1 3 2 1 5
2 2,k k ka a a a a a ，
即 2
1 1 1 4a d a a d ，得 12a d ，
于是，在等比数列 1 2 3
, , , , nk k k ka a a a 中，
公比 2
1
1 1 12
1 1 1
2 3k
k
a da a a aq a a aa
．
由 nka 为数列 ka 的第 n 项，知
1 1
1 133n
n
k
n
ka a a ；
由 nka 为数列 na 的第 nk 项，知 1 11 2 1nk n na a k d a k ，
1
1 13 2 1n
na a k ，
故
13 1
2 2
n
nk
.
故答案为
13 1
2
n ．
【点睛】该题考查的是有关等差数列与等比数列的综合问题，属于中档题目，在解题的过程
中，需要对等差数列的通项公式与等比数列的通项公式熟练掌握，并且要注意三项成等差数
列的条件，得出等差数列的首项与公差的条件，从而确定出所得的等比数列的项的特点，进
一步求得结果，从而求得等比数列的项的特点，得到 nk 的关系，从而求得结果，在做题的过
程中，如果分析不到位，很容易出错.
16. 对于定义域为 R 的函数 f x ，若满足（1） 0 0f ；（2）当 xR ，且 0x 时，都
有 ( ) 0xf x ；（3）当 1 20x x ，且 1 2x x 时，都有 1 2f x f x ，则称 ( )f x 为“偏对
称函数”.现给出四个函数：① 1( ) sinf x x x ；② 2
2 ( ) ln 1 f x x x ；
③ 3
, 0( ) ln( 1), 0
x xf x x x
；④ 4 ( ) 1 xf x e x 则“偏对称函数”有___________个.
【答案】1
【解析】
【分析】条件（2）等价于 ( )f x 在 ( ,0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递增，条件（3）等
价于 ( ) ( ) 0f x f x 在 ( ,0) 上恒成立. 运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条
件，结合奇偶性和单调性以及对称性，即可得到所求结论．
【详解】由（2）可知当 0x 时， ( ) 0f x ，当 0x 时， ( ) 0f x ，
( )f x 在 ( ,0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递增，
1 1
5( ) ( ) 02 2f f ， 1( )f x 在 (0, ) 上不单调，故 1( )f x 不满足条件（2），
1( )f x 不是“偏对称函数”；
又 2
2 2
1( ) ( 1 )
1
f x ln x x ln
x x
， 2 ( )f x 在 R 上单调递减，不满足条件（2），
2 ( )f x 不是“偏对称函数”；
对于 3
, 0( ) ( 1), 0
x xf x ln x x
，作出图象如图：
根据图象，满足②；且当 1 20x x ，且 1 2| | | |x x 时，都有 1 2( ) ( )f x f x ，故其不满足（3）；
3 ( )f x 不是“偏对称函数”；
4 ( ) 1 xf x e x ，显然满足 0 0f .，
当 0x 时， e 1x ， 4 ( ) 0f x ，
当 0x 时， 0 1xe ， 4 ( ) 0f x ，
则当 0x 时，都有 4 ( ) 0xf x ，符合条件（2），
因为 4 ( ) 1xf x e ，
函数 4 ( ) 1 xf x e x 在 ( ,0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递增，
由 4 ( )f x 的单调性知，当 2 1 1 20x x x x 时， 24 1 4( ) ( )f x f x ，
2 2
1 2 2 24 4 4 4 2( ) ( ) ( ) ( ) 2x xf x f x f x f x e e x ，
令 ( ) 2x xF x e e x ， 0x ，
( ) 2 2 2 0x x x xF x e e e e ，
当且仅当 x xe e 即 0x 时，“ “成立，
( )F x 在[0 ， ) 上是减函数，
2( ) (0) 0F x F ，即 4 41 2( ) ( )f x f x ，
符合条件（3），故 4 ( )f x 是“偏对称函数”.
故答案为：1
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断函数 4 ( )f x 是否是“偏对称函数”，关键是判断
函数 4 ( )f x 是否满足条件（3）. 要构造函数，结合导数和基本不等式的知识分析解答.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题
为必做题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选做题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
17. 已知向量 3sin ,cos 1
m x x ， (cos ,cos 1)
n x x .若 ( )f x m n
.
（1）求函数 ( )f x 的单调递增区间；
（2）在 Rt ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 90A ， 0f C ， 3c ，
CD 为 BCA 的角平分线， E 为 CD 中点，求 BE 的长.
【答案】（1）单调递增区间 , ( )3 6x k k k Z
；（2） 21
3 .
【解析】
【 分 析 】（ 1 ） 根 据 向 量 的 数 量 积 公 式 , 以 及 三 角 函 数 的 辅 助 角 公 式 求 出
1sin(2 )6 2f x x ,
然后根据正弦函数的性质求出单调递增区间即可.
（2）根据 1( ) sin(2 ) 06 2f C C ,可得
3C ,结合条件 2 3
3CD ,通过余弦定理即可
求出 21
3BE .
【详解】解析：（1） 2( ) 3 sin cos cos 1f x m n x x x
3 1 1sin 2 cos22 2 2x x 1sin(2 )6 2x
函数 ( )f x 的单调递增区间 2 2 ,2 ( )6 2 2x k k k Z
, ( )3 6x k k k Z
（2） 1( ) sin(2 ) 06 2f C C
1sin(2 )6 2C , (0, )2C ,所以
3C
在 ACD 中： 2 3
3CD
在 BCE 中：
2
2 3 3 3 212 2 2 =3 3 2 3BE
.
【点睛】三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同
解变形或利用数形结合方法求解．对于函数 ( ) 0)0(y Asin x B A ＝ ＋ ＋ ， ，由
(2 )2 2 2k x k k Z－ ＋ ＋ ＋ 求其增区间；由 3 ( )2 222k x k k Z＋ ＋ ＋
求其减区间．
18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，
2APB ，
3ABC ，
2 3PB ， 2 4PA AD PC ，点 M 是 AB 的中点．
（1）求证：平面 PCM 平面 PAB ；
（2）求二面角 B PC M 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 3 13
13
．
【解析】
【分析】（1）在 PAB△ 中，由
2APB ， 2 3PB ， 2PA ，得到 4AB ，然后分
别在 BMC△ 和 PMC△ 中，利用勾股定理得到 AB CM ， PM CM ，然后利用线面垂
直和面面垂直的判定定理证明；
（2）以 AM 的中点 O 为原点，以 OB 为 x 轴，平行于 MC 的直线为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空
间直角坐标系，分别求得平面 BPC 的一个法向量为 ( , , )m x y z 和平面 MPC 的一个法向量
为 ( , , )n x y z ，利用 cos ,
| | | |
m nm n
m n
求解.
【详解】（1）在 PAB△ 中，因为
2APB ， 2 3PB ， 2PA ，
所以 4AB ，
因为点 M 是 AB 的中点，
所以 2BM PM ，
在 BMC△ 中
3MBC ，得 2 2 2 · cos60 2 3CM BC BM BC BM ，
所以 2 2 2BM CM BC ，
所以 AB CM ，
在 PMC△ 中， 2PM ， 2 3CM ， 4PC ，满足 2 2 2PM CM PC ，
所以 PM CM ，而 AB PM M ，
所以CM 平面 PAB ，
因为 CM 平面 PCM ，
所以平面 PCM 平面 PAB
（2）以 AM 的中点 O 为原点，以 OB 为 x 轴，平行于 MC 的直线为 y 轴，OP 为 z 轴，如图建
立O xyz 坐标系，
则 (0,0, 3)P ， (1,2 3,0)C ， (3,0,0)B ， (1,0,0)M ，
所以 ( 2,2 3,0), ( 3,0, 3), (0,2 3,0), ( 1,0, 3)BC BP MC MP ，
设平面 BPC 的一个法向量 ( , , )m x y z ，平面 MPC 的一个法向量 ( , , )n x y z ，
则 · 0
· 0
m BC
m BP
，即 2 2 3 0
3 3 0
x y
x z
，令 1y ，可得 ( 3,1,3)m ，
则 · 0
· 0
n MC
n MP
，即 2 3 0
3 0
y
x z
，令 1z ，可得 ( 3,0,1)n ，
3 13cos , 13| | | |
m nm n
m n
，
所以二面角 B PC M 的余弦值为 3 13
13
．
【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线 AC，BD 的夹角为
β，则 cos β＝
AC BD
AC BD
.
2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化
为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平
面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两
个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝
角．
19. 自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不
懈努力下，我国公民率先在 2020 年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工
作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，
进行了一些实验．
（1）实验一：选取 10 只健康白兔，编号 1 至 10 号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在
含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除 2 号、3 号和 7 号白兔仍然感染了新冠病毒，其他
白兔未被感染，现从这 10 只白兔中随机抽取 4 只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作 X ，
求 X 的分布列和数学期望．
（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射
的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白
兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到 96%，如若可
以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．
【答案】（1）分布列见解析；期望为 1.2E x ；（2）不可以；每支疫苗的有效率至少要达
到 80%才能满足以上要求．
【解析】
【分析】（1）先分析出 X 的可取值，然后根据超几何分布模型求解 X 取不同值时的概率，由
此可求得 X 的分布列，并根据分布列可计算出数学期望；
（2）根据已知条件先分析出注射一次疫苗的有效率，然后计算注射两次疫苗的有效率并与
96% 作比较，得到结果为无法保证后先假设疫苗的有效率，利用1减去两次疫苗都无效的概率
等于 96% ，由此求解出结果.
【详解】解：（1）因为 X 可取 0,1,2,3，所以
4
3 7
4
10
, 0,1,2,3
k kC CP X k kC
所以
0 4
3 7
4
10
10 6
C CP x C
，
1 3
3 7
4
10
11 2
C CP x C
2 2
3 7
4
10
32 10
C CP x C
，
3 1
3 7
4
10
13 30
C CP x C
．
所以 X 的分布列如下：
X 0 1 2 3
P 1
6
1
2
3
10
1
30
1 1 3 10 1 2 3 1.26 2 10 30E x ；
（2）因为实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为 0.7 ，
所以注射一次疫苗的有效率为 0.7 ，
又因为每次注射的疫苗对白兔是否有效相互独立，
所以一只白兔注射两次疫苗的有效率为： 21 1 0.7 91% 96% ，所以无法保证，
设每支疫苗有效率至少达到t 才能满足要求，
则 21 1 96%t ，解得 80%t
所以每支疫苗的有效率至少要达到80%才能满足以上要求.
【点睛】关键点点睛：超几何分布模型的理解：
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则
0,1,2,...,
k n k
M N M
n
N
C CP X k k mC
，即：
X 0 1 ...... m
P
0 0n
M N M
n
N
C C
C
1 1n
M N M
n
N
C C
C
......
m n m
M N M
n
N
C C
C
其中 min ,m M n ，且 , , , ,n N M N n M N *N ；
如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布.
20. 已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
上的点到焦点 F 的最小距离为 1，且以椭圆 E 的短轴
为直径的圆过点 0, 5 且 A ， B 为椭圆的左右顶点．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）过 (2,0)P 直线交椭圆于 M ， N 两点（ M 在第一象限），直线 AN 、 BM 的斜率为 1k ，
2k ，是否存在实数 ，使得 1 2k k ，若存在，求出实数 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
2 2
+ 19 5
x y ；（2）存在； 1
5
．
【解析】
【分析】（1）由题意布列方程组，即可得到结果；
（2）设 : 2MNl x my ，联立方程，借助韦达定理表示 1
2
k
k
1 2 2
1 2 15
my y y
my y y
，即可得到
结果.
【详解】（1）由题意可得：
1
5
a c
b
，
∴ 3, 5,a b
∴椭圆 E 的方程为
2 2
+ 19 5
x y ．
（2）假设存在实数 ，使得 1 2k k ；
由题意可知直线 MN 斜率不为零，
设 : 2MNl x my ， 1 1,M x y 2 2,N x y 且 1 20, 0y y ， 1 3x ， 2 3x
2 2
+ 19 5
2
x y
x my
可得 2 2( 9 0 2)5 2 5 0m y my
∴ 1 2 1 22 2
20 250, ,5 9 5 9
my y y ym m
，
∴ 1 2 1 2
5
4my y y y
∴
2
1 2 1 2
12 2 1
1
3 ( 3)
( 3)
3
y
k x x y
yk x y
x
1 2 1 2 2
2 1 1 2 1
( 1)
( 5) 5
my y my y y
my y my y y
1 2 2 1 2
1 2 1 1 2
5 5 1
14 4 4
5 5 1 55 54 4 4
y y y y y
y y y y y
．
故存在实数 1
5
，使得 1 2k k 成立.
【点睛】方法点睛：解决解析几何中探索性问题的方法
存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参
数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、
直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
21. 已知函数 1( ) ( ) xf x ae a R ，
（1）若直线 2y x 与曲线 ( )y f x 相切，求 a 的值．
（2）当 1a 时，求证：当 0x 时， ( ) ln ln 1 f x x a 恒成立．
【答案】（1） 2
1a e
；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）设切点 0 0,P x y ，由
0
0
1
1
0
0 0
1
2
x
x
ae
y ae
y x
，解方程即可求得结果；
（2）利用分析法可知，要证 1e ln ln 1xa x a 对 0x 恒成立，通过化简变形可知只需证明
ln 1 lne ln 1 lna x xx a x e 对 0x 恒成立，构造函数 ( ) exg x x ,求得可知函数为增函数,
所以只需证明 ln 1 lna x x 即可，再次构造函数 ( ) ln ln 1h x x x a ,利用导数求得最值
即可证得结果.
【详解】（1）设直线 2y x 与 y f x 相切于点 0 0,P x y ，
则
0
0
1
1
0
0 0
1
2
x
x
ae
y ae
y x
，解得： 0 3x ， 0 1y ， 2
1a e
；．
（2）要证 1e ln ln 1xa x a 对 0x 恒成立；
只需证： 1e ln ln 1xa a x 对 0x 恒成立；
即证: ln 1e ln ln 1a x a x 对 0x 恒成立；
两边同时加 1x ，即证 ln 1e ln 1 lna x x a x x ,对 0x 恒成立；
即证: ln 1 lne ln 1 lna x xx a x e ,对 0x 恒成立；
设 ( ) exg x x ，则 ( ) 1 e 0xg x ，∴ ( )y g x 是增函数
只需证: ln 1 lna x x ，即 ln ln 1 0x x a 对 0x 恒成立；
设 ( ) ln ln 1h x x x a ，则 1( ) 1h x x
，
∴ ( )h x 在 (0,1) 单减，在 (1, ) 单增，
∴ min( ) (1) ln 1h x h a ，所以当 1a 时， ( ) 0h x 成立．
∴当 1a 时，当 0x 时， ( ) ln ln 1 f x x a 恒成立.
【点睛】关键点睛：本题考查导数解决函数的单调性问题，考查导数证明不等式，解决本题
的关键点将证明问题变形为 ln 1 lne ln 1 lna x xx a x e 对 0x 恒成立,对函数求导判断
出单调性和最值，可得命题成立.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答．如果多做，则
按所做的第一题记分
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22. 在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos 0 ，以极点O 为原点，以极轴
为 x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，已知 M 点的坐标为 (0,2) ，直线l 的参数方程为
2
2
22 2
x t
y t
(t 为参数)，且与曲线C 交于 A ， B 两点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若点 P 为曲线 C 的动点，则满足使得 ABP△ 的面积 16 2△ABPS 条件的点 P 有几个，
并求出点 P 的坐标.
【答案】（1）C 的直角坐标方程 2 8y x ，直线l 的普通方程为 2y x ；（2）存在三个点，
点 P 坐标分别为 (2, 4),(2,4),(18, 12) .
【解析】
【分析】（1）直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
（2）联立直线与抛物线方程,利用韦达定理求出 1 2 1 28, 16y y y y ,求出 AB 的距离,
再设点 2(2 ,4 )P t t ,结合点到直线的距离公式求出三角形的高,即可求出点 P 坐标.
【详解】（1）由题意，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 8cos 0 ，则
2 2sin 8 cos 0 ，
将 cos , sinx y 代入，可得 2 8 0y x ，
即曲线 C 的直角坐标方程 2 8y x ，
由直线 l 的参数方程为
2
2
22 2
x t
y t
(t 为参数)，消去参数，
可得直线l 的普通方程为 2y x .
（2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
由
2 8
2 0
y x
x y
得， 2 8 16 0y y ，
∴ 1 2 1 28, 16y y y y
2
1 2 1 2 1 22 2 ( ) 4 16AB y y y y y y ；
设点 P 到直线 l 的距离为 d，由 1 16 22ABPS AB d 得， 2 2d .
2(2 ,4 )P t t ，
2 22 4 2 2( 1) 4
2 2
2 2
t t t
d
∴ 1t 或 1t 或 3t ，
∴存在三个点，点 P 坐标分别为 (2, 4),(2,4),(18, 12) .
【点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式
cos sinx y ＝ ， ＝ 即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要
灵活运用 cos sinx y ＝ ， ＝ 以及 2 2 ),tan ( 0yx y x x ＝ ＝ .
[选修 4-5：不等式选讲]
23. 已知函数 ( ) | | | | ( 0)f x b x x a a .
（1）当 1b ， 2a 时，解不等式 4f x ；
（2）当 2b 时，若不等式 2f x 对任意的 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） 1,3 ；（2）[2, ) .
【解析】
【分析】（1）当 1b ， 2a 时，利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式 4f x 的解
集.
（2）当 2b 时，将 ( )f x 表示为分段函数的形式，求得 ( )f x 的最小值，由此求得 a 的取值范
围.
【详解】解:（1）当 1, 2b a 时，不等式 ( ) 4f x 即为| | | 2 | 4x x ，
当 2x
时，可得 ( 2) 4x x ，解得 3x ，则 2 3x ；
当 0 2x 时，可得 ( 2) 4x x ，即 2 4 ，所以 0 2x ；
当 0x 时，可得 ( 2) 4x x ，解得 1x
，则 1 0x .
综上可得，原不等式的解集为 1,3 .
（2）当 2b 时，若不等式 ( ) 2f x
对任意的 xR 恒成立，即为 min( ) 2f x
，
又
3 , ,
( ) ,0 ,
3 , 0,
x a x a
f x x a x a
a x x
当 x a
时， ( ) ( ) 2f x f a a
；
当 0 x a 时， ( ) 2a f x a ；
当 0x 时， ( )f x a
.
故 min( )f x a ，则 2a
，即 a 的取值范围是[2, ) .
【点睛】求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法
若不等式 ( , ) 0( )f x x D （ 是实参数）恒成立，将 ( , ) 0f x l ³ 转化为 ( )g x 或
( )( )g x x D 恒成立，进而转化为 max( )g x 或 min( ) ( )g x x D ，求 ( )g x 的最值即
可.
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相
对于 x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根
的分布解决问题.
（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般
情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.
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